Математические модели задач теории упругости для анизотропного тела на классе случайных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

----------------------------------------- © А.В. Юденков, А.Э. Адигамов,

О.А Изотова, А.М. Володченков,

2010

УДК 519.673

А.В. Юденков, А.Э. Адигамов, О.А. Изотова,

А.М. Володченков

МА ТЕМА ТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДА Ч ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА НА КЛАССЕ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Предлагается класс случайных функций, для которого определяются основные операции математического анализа, а также операторы сдвига, сопряжения и сингулярного интегрирования. В этом классе случайных функций можно рассматривать основные задачи теории упругости в более общей постановке.

Ключевые слова: теория упругости, функция Гельдера, анизотропное тело.

1ГЛлассические задачи плоской теории упругости постановка которых дается в -ж\ работах Колосова и Н.И.Мусхелишвили традиционно рассматриваются в пространстве Гельдера [2]. Напомним, что функцией Гельдера с показателем Ц называется функция, удовлетворяющая на контуре L условию:

|Ф (Г2) -Ф (0| < Л|Г2 - ц, Х2 е L, (1)

где А - определенная константа, 0 < ц < 1.

Класс функций Гельдера с показателем Ц на контуре L обозначим через

Нц (Ь) . Если показатель Ц не играет роли, то его обычно не пишут.

Класс функций Гельдера оказывается достаточным, чтобы решать основные задачи теории упругости в классической постановке.

На практике область D, занимаемая телом, контур L, который его ограничивает, и нагрузки на тело в основном являются случайными функциями от координаты

2 = х + гу.

В работе предлагается класс случайных функций, аналогичный классу функций Гельдера в классической постановке, для которого определяются основные операции математического анализа, а также операторы сдвига, сопряжения и сингулярного интегрирования. В этом классе случайных функций можно рассматривать основные задачи теории упругости в более общей постановке.

Будем основываться на фундаментальном понятии теории случайных функций -сходимости в среднем квадратическом [3].

Напомним, что последовательность случайных величин X сходится в среднем квадратическом к случайной величине X, если существуют моменты

п п2 и и 2 и п2

Щх\ , Щх\ <да и ЩХг - X ^ 0 при г ^ г0.

Введем в рассмотрение класс случайных функций, удовлетворяющий классу Гёльдера в среднем квадратическом.

Определение 1. Функция Ф(7) принадлежит классу Гёльдера в среднем квадратическом на контуре L с показателем ц (Ф(t) е H (L)), если для любых и 12 , принадлежащих контуру L выполняется условие

М\|Ф(t2) -Ф(t,)|2 < ^|t2 - t,|2' (2)

Справедливы следующие свойства функций, удовлетворяющих условию Гёльдера в среднем квадратическом.

Свойство 1. Если ti и t2 достаточно близки друг к другу и условие Гёльдера в

среднем квадратическом выполняется для показателя Ui , то оно выполняется и для

показателя ju2 < u1 .

Свойство 2. Если функции ФД/) и Ф 2(t) удовлетворяют условию Гёльдера в среднем квадратическом, то их сумма, произведение и частное при условии, что знаменатель не обращается в ноль, принадлежат классу Гёльдера в среднем квадратическом.

Свойство 3. Аналитическая функция от случайной функции Гёльдера в среднем квадратическом с показателем U , принадлежит классу Гёльдера в среднем квадратическом с тем же показателем.

Справедлива также следующая теорема.

Теорема. Если L — замкнутый контур и R(t) удовлетворяет на L условию Гёльдера в среднем квадратическом с показателем U , то предельные значения интеграла типа Коши Ф+ (t) и Ф-(t) удовлетворяют этому условию с тем же показателем, если 0 < U < 1 и с показателем сколь угодно мало отличающимся от U , если U =

1.

Доказательство:

Проведем следующие преобразования

гадл = гт + Х(е)Г

L Т -1 L Т -1 L Т -1

Так как полагается, что контур замкнутый, то Г dT

= in.

L Т - t

Получим

R(T)dT г R(t) - R(t)

Г = г R(T) - R(t)dT + inR(t).

L T -1 L T -1

Таким образом, для доказательства теоремы достаточно доказать ее справедливость для функции

2ю * т -1

Для этого оценим

I I?

М1^02) -^(0 = М

_±_ г| Я (т) - Я (?2) - Я(т) - Я(р С

2ж1 * [ т - t2 т - ^ ]

для двух произвольных достаточно близких точек ^1 и ^2 . Из точки 11 опишем окружность радиуса 5 так, чтобы она пересекалась с L в двух точках а и Ь. Часть

контура L, лежащего внутри окружности обозначим I. Пусть ^ - фиксированная точка дуги I, отличная от а и Ь.

Положим 5 = К\12 - Очевидно, К < 1.

Обозначим 5 = s(t, т) длину меньшей из двух дуг контура L с концами t и т

0: - фиксированная точка, т - текущая).

Воспользуемся свойством гладкости контура L: для гладкого контура отношение

ds

~~г, где 5 - длина дуги контура, г - длина стягивающей ее хорды, есть величина ог-

dг

раниченная [1], т.е. — < т

Сг

где т - некоторая положительная константа. Значит

|Ст| = < тйг

Из приведенного неравенства следует, что

5^ О < Ч2 - ^|.

Проведем следующие преобразования

2

и, 2) _^(0_х! т _ | г+

2т * Т _ /2 2т * г _ /

, ^ Г IЛ (Т) _ Л (' 2) Л (Т) _ л (О

тп *

2т £_1 I т — /

_^_ г Л(т) _ Л(/2) 2т , Т _ /0

Дт —— Г

9 7Т7 ^

^Й?Т

Т _

1 с Л (т) _ Л (О

2т £ т _ ^1

й?т +

+

X Г Л(О _ Л(/2)дт + 2т •*

^ Г [Л(Т) _ Л(/2 )](/2 _ т _

Г *

2 т

(т _ /2 )(т _ О

£—I ^ Ч 1—1\'/ 2,

— ^1 + J 2 + J3 + J4

Для доказательства теоремы нужно доказать, что для каждого из интегралов выполняется соотношение

М 3 к| < Ак^2 — /11 ^ при 0 < /И < 1 и

, ,\ Т |2 ^ , \ |2(1—е)

М Л < Ак\/2 — Ы пРи М = 1.

Проведем оценку интеграла 3\ 1 |*Л (г) — Л(Г2)

мзх _ М

2т ^ т — /2

2/

2

< М

1— Г

V4т2 Г

л(г)—ад

2

.По-

скольку Л(/) е Н V£) и |Дт| < даДг, то

» г1 т |2 ^ А

Ми, < -;

1 11 4т"

А л2

Г даг ^—1Дг V 0

Ада | 12^

--------/ — м

2 *1 :

т

то есть и - принадлежит классу функций, удовлетворяющих условию Гельдера в среднем квадратическом с коэффициентом ^ . Аналогично оцениваем интеграл

3 2.

Оценим интеграл 3 3

ми3 — м

— Г Л(0 — Л(2)Дт 2т

Т —

2 1 р Дт

2т £ 1 т —

I 17

МЛ (О — Л(/2) —

|2^

1п

а —

2

Оценим интеграл J 4 MJ4|2 = M ±. j[R(г) - R('2)]('2 - '■)

t — t п______1_2

4n2

M

2ni L—l (Г — t2 )(г — t1)

R(г) — R(‘2)dr

dг

2 t — t п *2| П у 1^—2 I \Г — t1 Г

J 1 1 ^ L—l Г

L—l (Г — t2 )(г — t1)

t\ \ — & = K|t1 — 121 — K{|г — t^ — j t1 — 12|}— (K — 1)|г — t^,

|dг

2У

читывая, что

Г

M\J4\2 < Al t1 —12|2

где R = max Г — t J.

тєЬ—Г 11

I r M—2dr

Г

2

получим

В классе функций Гельдера в среднем квадратическом решены следующие задачи:

Задача 1. Пусть тело, обладающее анизотропией общего вида, занимает область D, ограниченную гладким контуром L. Определить упругое равновесие тела, если действующие на тело нагрузки представимы функциями класса Г ельдера в среднем квадратическом.

Задача 2. Пусть тело, обладающее анизотропией общего вида, занимает область D, ограниченную гладким контуром L. Область D взаимнооднозначно отображается на внутренность единичной окружности аналитическими функциями, удовлетворяющими условию Г ельдера в среднем квадратическом.

---------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи - М.: Наука, 1977. - 640 с.

2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука. 1966. - 707 с.

3. ПугачевВ.С., СиницынИ.Н. Теория стохастических систем. - М.: Логос, 2004. - 1000 с.

4. Редкозубое С.А.. Юденков А.В. Системы краевых задач и сингулярных интегральных уравнений для полианалитических функций в статической теории упругости // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. Сборник статей к 75-летию Е.И.Шемякина / Под. ред. Д. Д.Ивлева и Н.Ф.Морозова. - Москва: Физматлиг, 2006. С. 627-634. шгЛ

2

2

2

2

Коротко об авторах

Юденков А.В. - заведующий кафедрой информационных технологий и высшей математики Смоленской государственной сельскохозяйственной академии, профессор, доктор физикоматематических наук ([email protected]);

Адигамов А.Э. - доцент кафедры высшей математики Московского государственного горного университета, кандидат технических наук, Moscow State Mining University, Russia, ([email protected]);

Изотова О.А.- старший преподаватель кафедры информационных технологий и высшей математики Смоленской государственной сельскохозяйственной академии ([email protected]).

Володченков А.М. - доцент кафедры информационных технологий и высшей математики Смоленской государственной сельскохозяйственной академии, кандидат физикоматематических наук ([email protected]).

80