Математические модели статического состояния настраиваемых размерных связей в станках с устройством ЧПУ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.9.066-52

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТАТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ НАСТРАИВАЕМЫХ РАЗМЕРНЫХ СВЯЗЕЙ В СТАНКАХ С УСТРОЙСТВОМ ЧПУ

А.Ф. Проскуряков, Ю.А. Варфоломеева

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Мсщалада агапипьиупы мурала ну теориясыныц нег1зшде математикальщ улгктр келт'цплет'ш олшем байланыс агаттынын сайды к; багалауга мумк'шд1к oepedi.

В статье, на основе теории наследования погрешности, приводятся математические модели, позволяющие количественно оценить погрешность размерных связей в последовательности их настроит от начального звена к конечному.

Im Artikel werden mathematische Modele auf der Basis der Theorie der Fehlersnachfolge angeführt, die den Fehler von der Ausmassverbindung, Reihenfolge ihrer Einstellung vom Anfangs- zu Endglied quantitativ zu schätzen erlauben.

При прогнозировании графической модели формирования погрешности настраиваемых размерных связей в станках с устройством числового программного управления (УЧГТУ) было установлено, что:

- графическая модель погрешности каждого настраиваемого звена, характеризуется своей индивидуальной архитектурой, отличной от других звеньев;

- величина погрешности звеньев размерных связей непрерывно возрастает в последовательности их настройки, т.е. от первых настраиваемых звеньев к конечным - замыкающим;

- возрастание погрешности происходит по причине наследования величины погрешности каждого предыдущего звена и дополнительной погрешности при настройке каждого последующего звена;

- общая погрешность настройки отдельных звеньев может характеризоваться только случайной погрешностью, композицией ряда случай-

№3,20(m 159

10.14 noi реиничлеи. H»IU»KMIH(»C ILK! uu тематических 1) случайных ио-

I pOHlHOC I I'll.

Ilpn описании 1рафнчеси1ч моте н и мшемаигичким методом, i.e. при нр.ч кодировании матема nt4oimix м«мл ни. неминуемо возникает задача не ю н>ко и ко шчео твеннпй оценке noipeiHHnt in каждою чнена, но и в t,oop шпат ной ириня величины noi pcinnot in к номинальным pa (мерам u.u флинаемых звеньев размерных свячен.

В »айном случае под номинальным размером нулем понимать размер <иена. вво шмый в память устройства ЧПУ В процессе настройки размерных связей номинальные значения отельных звеньев могут принимать шачонпл. равные н\лю, целочисленные значения п. наконец, могут быть (рооными е точностью до одной дискреты, под которой понимают разрешающую способность датчика обратной связи, т.е. цепу деления шкалы мою татчика. 11о какое бы значение не принимал номинальный размер шона, vi о значение следует считать заданным в абсолютном измерении в coo I вез сл воющей сист еме координат. В то же время, значение погрешности еле ту от рассматривать в относительном измерении, т.к. в подавляющем оолыпиистве случаев она представляется в виде отклонения номинально-I о размера, что соответствует п методам ее измерения в процессе выполнения жеиерпмента.

Для количественной оценки случайной погрешности с плотностью распре,телепня }(.х) примем два первых момента:

математическое ожидание или среднее значение величины л

М(х)= jxf(x)dx (1)

-из

и величину разброса значений величины л около ее среднего значения. характеризуемую дисперсией

+С0

D(x)= J[x-M(x)]2 f(x)dx (2)

-СО

Величину разброса ограничим областью б.г, где

а = у[Щх) (3)

В случае, если графическая и соответствующая ей математическая модель представляют собой композицию двух и более распределений, то формулы 1 и 2 примут вид

= а

(4)

й(х) = |[х, - М(х, )]2 /(х, К, + |[х2 - М(х2 )]2 /(х2Ух2 +...

= а,/)(х,)+а2/)(х2)+...

= (7

(4)

Соответственно

а-а, л/0(х,) + а2>/0(х2) + ... Значения коэффициентов а, и т.д. выбираем из условия

а,+а, + ... = 1

а = а

2

(7)

(6)

Систематическая составляющая погрешности всегда будет представлена дробным числом с точностью до одной дискреты или на порядок выше дискреты, если для ее оценки в процессе эксперимента используется более точная измерительная техника, чем разрешающая способность датчика обратной связи. Систематическая погрешность всегда суммируется с номинальным размером с учетом ее знака

где X - номинальный размер звена;

Ах - систематическая погрешность; х - действительный размер звена в размерных связях.

Принципиальное значение при анализе погрешности настраиваемых размерных связей в последовательности их настройки имеет выбор места привязки систематической и случайной составляющих погрешностей к номинальному размеру конкретного звена. Это связанго с тем, что каждое звено размерной связи представляет собой размер перемещения рабочего органа из одной характерной точки станка с УЧПУ в другую из другой в третью и т.д. Исходя из этого размерные связи представляют собой неразрывную структуру, т.е. все звенья этих связей соединены друг с другом без зазоров.

Пусть рабочий орган станка выполняет позиционирование в нулевое положение с установленной случайной погрешностью, характеризуемой плотностью распределения 1 (рисунок 1).

При выполнении последующего движения в исходное положение О и в случае неизменности источников погрешности, позиционирование рабо-

х = Х± Ах »

(8)

Рисунок 1 - Настраиваемые размерные связи в токарном станке с У ЧПУ

чего органа в новом положении будет характеризоваться той же плотностью распределения /(Ои). Но точка О является точкой сопряжения со следующим звеном размерной связи. Поэтому погрешность предыдущего звена автоматически переносится на следующее звено. Это свойство передачи погрешности от предыдущего звена к последующему говорит о правомерности принятия гипотезы наследования погрешности в настраиваемых размерных связях от первоначально настраиваемого звена к конечному. Это же свойство определяет неприемлемость существующей теории расчета размерных цепей в сборочной конструкции, где отдельные детали (звенья) изготовлены с определенной погрешностью, а их совокупная погрешность влияет лишь на погрешность замыкающего звена.

В характерных точках размерных связей источники погрешности могут меняться, одни источники исчезают или уменьшают свое действие, другие появляются или увеличивают свое влияние на рассматриваемые погрешности. Так на погрешность позиционирования рабочего органа в нулевом положении могут оказывать влияние следующие факторы: погрешность датчика нулевого положения, наличие зазора в кинематической цепи между датчиком положения и рабочим органом, дрейф нуля усилительного канала, трение в направляющих и т.п. В исходном положении в действие вступают такие факторы как погрешность передачи винт-гайка, погрешности измерительной системы станка, изменение характеристик трения в направляющих и т.д. По этим причинам в конечной точке исходного звена размерных связей, кроме унаследованной погрешности, появляется еще одна составляющая погрешности 2, которая может и должна быть выделена отдельно с целью более глубокого познания механизма образования погрешностей настраиваемых размерных связей в целом (рисунок 1).

Кроме этого новые источники погрешности могут появиться при смене базовой точки на рабочем органе, на основе положения которой анализируется погрешность настройки отдельных звеньев. Так в статическом состоянии связь между точкой Ои и вершиной режущего инструмента следует считать жесткой, недеформируемой. Это дает право перенести параллельно координатным осям установленные погрешности с плотностями распределений/:(Ои) и/:(Оис) из точки Ои в точку Ощ. Но на положение вершины режущего инструмента существенное влияние оказывает погрешность позиционирования диска револьверной головки при смене инструмента в процессе работы станка или при замене затупившегося инструмента. Поэтому здесь появляется третья составляющая погрешности с плотностью распределения 3 (рисунок 1).

№3, 2003 г.

163

На основании вышеизложенного в таблице 1 представлены графические и математические модели погрешности настройки каждого звена размерных связей токарного станка 16К20ФЗ с устройством ЧПУ 2Р22. Общая модель настраиваемых размерных связей этого станка представлена на рисунке 1. На этом же рисунке кружками с соответствующей нумерацией указываются базовые точки, для которых в таблице 1 приведены прогнозируемые графические и математические модели.

Погрешность положения нуля системы координат станка (СКС) имеет место только по оси Ъ и описывается только случайной составляющей с плотностью распределения/:(Ос) (таблица 1). По оси X погрешность положения нуля СКС отсутствует по причине того, что положение оси центров станка не настраивается, а существующая погрешность положения оси центров станка относится к проблеме общих вопросов точности статического состояния технологической системы.

Погрешность нулевого положения рабочего органа по осям описывается также случайными составляющими с плотностями распределенияО ) и/х(0 ) (таблица 1), при этом плотность распределения/_(О) адекватна плотности распределения/„(Ос)9 т.к. нулевое положение рабочего органа по оси Ъ однозначно определяет положение нуля СКС [1]. Можно считать, что

/,(0.)=Л(0с) (9)

Погрешность исходного положения рабочего органа, определяемая по базовой точке Оис, характеризуется систематической и случайной составляющими. Систематическая погрешность Дг/{. и Ахис является в основном следствием погрешности изготовления передачи винт-гайка.

Случайная составляющая погрешности описывается композицией двух распределений: унаследованной случайной погрешности нулевого положения рабочего органа и случайной составляющей позиционирования рабочего органа в исходном//Оис) и/х/Оис) (таблица 1).

При переносе базовой точки Оис в вершину режущего инструмента случайная составляющая погрешности исходного положения примет вид композиции трех распределений. Третья составляющая случайной погрешности будет соответствовать погрешности положения вершины режущего инструмента при его смене из-за соответствующей погрешности позиционирования диска револьверной головки/_(От) и/х/Оип) (таблица 1).

На погрешность значения плавающего нуля окажет влияние наследуе-

мая погрешность положения нуля СКС по оси 2 и погрешность измерения значения г при использовании метода пробных проходов (таблица 1).

И, наконец, погрешность текущих значений звеньев будет определяться как результат наследования практически всех предыдущих погрешностей и дополнительно погрешностью определения вылетов режущих инструментов на заключительном этапе настройки размерных связей. Погрешность определения вылетов будет иметь систематическую и случайную составляющие. Поэтому в целом случайная составляющая погрешности текущих звеньев будет представлять собой композицию четырех законов распределения (таблица 1).

В основе вышеприведенных прогнозируемых математических моделей погрешности настраиваемых размерных связей в станках с УЧПУ используется характеристика точности позиционирования рабочего органа в узловых точках. Выполненные исследования в области изучения точности позиционирования рабочего органа практически не увязывались с конкретной технической задачей, каковой является точность настройки размерных связей. Не проводилась и дифференциация источников погрешности, оказывающих влияние на точность позиционирования рабочего органа в различных узловых точках. В связи с этим и для оценки погрешности позиционирования зачастую используется всеобъемлющая модель нормального распределения.

Прогнозируемые математические модели позволяют подойти к решению рассматриваемой задачи дифференцированно, выделяя отдельные слагаемые погрешности и их источники. Математические модели непосредственно увязаны с технической задачей обеспечения точности статической настройки размерных связей, от которых в конечном итоге зависят показатели точности обрабатываемой продукции. На основе данных моделей в последующем может быть организован и выполнен процесс математического моделирования в широком диапазоне варьирования входных данных с целью изучения возможности целенаправленного воздействия (управления) на процесс настройки размерных связей и поиска некоторых оптимальных решений в снижении статической погрешности замыкающих звеньев. И, наконец, полученные математические модели являются основой для выработки методики проведения экспериментальных работ по количественной оценке отдельных составляющих погрешности и последующей корректировке этих моделей.

Таблица 1

Графические и математические модели погрешности настройки размерных связей станка 16К20ФЗ

№ п/п Звено размерной связи Графическая модель Математическая модель

1 2 3 4

/74 чо<) ©

1 Нуль СКС / \ о„=ос±м.(о.)±з^о,(о.х

О, г X

2 © ^ / к 0„=0.±М.(0.)± 3^0.(0.);

Нуль \

рабочего органа ои I

УМ/******

3 X 0„ =0и ±Н(0„) + 3Л/0>(а);

Продолжение таблицы 1

о о

4 Исходное положение рабочего органа ^ чао 7 М Т 0,„ = 2цс±а1М1(0ц)±аЖ(0ис)± ±За./ОХа) ±ЗазХ/ЩСО ± Дг.

5 г к 0жх=Х±ЬЛЦ0и)±Ь2Мх(0,)± ± ЗЬ1ЛДШ) ± ЗМЭДО.) ± ДХ.

б Исходное положение вершины режущего инструмента ® ^г(Ои) № Шс) = ггс ± а,Мг(0„)± а2мг(0,)± ±азМа(0га)±За1Л/Вг(0;)±

Г*(0„) ^ис х , г ±3а2^г(0ю)±3азл//0=(0»)± Дг.

7 0^=Х±ЬЛ1(0Й)±Ь2М,(0Ж)± ±Ь3М,(0,И)±ЗЬ1ЛУ/Ц(0И)± ±ЗЬЛ, !>((),г) ±ЗЬл/Щ0в) ± ЛХю;

Шс )/*--- ГЛОин)

' X

X >

< >

X

-н

гп

><

Ш

X >

>

СО >

X

Г)

—I >

Л >

Продолжение таблицы 1

8 Плавающий нуль © У Од) ЦОо) V 0^^±а1М(а)±а2М(0д)

од г X

9 10 Текущие (замыкающие звенья) © № Ч Щ} у* / Л |/ \ \/ •а. г V 11 V II V я А V 1 \ V / \ V / \ V / \ V/ \ я 0„=г,±аМ(0ж)±а М('0.)± ± аМ(0га) ± аМ(0„) ± За1Ч/Ц(0„) ± ±:ч1А;'Д(0,)±За3^Д(0„.)±

ио* цо, Г, (IX, ) ^Л о„=хг±ьм(о;)±ьм(оге)± ± ЬМ(0га)± ьм(0„)± ЗЬ1Л/ШД) ± ±ЗЬ,^Д(0„;)±ЗЬ:А/Г),(0„,)± ±зь4Л/що,)±дх„±дх1„

ЛИТЕРАТУРА

1. А.Ф. Проскуряков. Анализ размерных связей в станках с устройством ЧПУ // Наука и техника Казахстана. - 2001. ~№1.

2. А.Ф. Проскуряков, Ю.А. Варфоломеева. Графическая модель погрешностей настраиваемых размерных связей в станках с устройчством ЧПУ// Паука и техника Казахстана. - 2003 - № 2.