Математические модели оптимизации предупредительныхзамен и ремонтов технических устройств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.3.019 Володарский Владислав Афанасьевич,

канд. техн. наук, старший научный сотрудник, доцент, кафедра транспортных систем Красноярского института железнодорожного транспорта - филиала ИрГУПС,

тел.: 8391 221 60 72, e-mail: wolaw@ krw.ru

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРЕДУПРЕДИТЕЛЬНЫХЗАМЕН И РЕМОНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ

V.A. Volodarsky

MATHEMATICAL OPTIMIZATION MODELS FOR SYSTEM PREVENTIVE REPLACEMENTS AND REPAIRS

Аннотация. Предлагается комплекс математических моделей при разных стратегиях обслуживания устройств, позволяющий оптимизировать периодичность предупредительных замен и ремонтов, а также при заданной периодичности ремонтов глубину восстановления ресурса и при заданной глубине восстановления ресурса количество ремонтов за период срока службы технических устройств.

Ключевые слова: ресурс, глубина восстановления, ремонт, замена, математическая модель, оптимизация.

Abstract. Mathematical models system for different strategies of the facilities service is suggested. This complex model permits to optimize preventive replacements and repairs frequency. Also this mathematical model optimizes life restoration intensity when repair frequency is defined, and optimizes repairs number during service life of technical facilities when life restoration intensity is given.

Keywords: life, restoration intensity, repair, replacement, mathematical model, optimization.

1. Исходные положения

В результате обзора состояния вопроса [1] установлено, что в настоящее время разработаны только математические модели оптимизации предупредительных замен (ПЗ) технических устройств (ТУ), когда полностью восстанавливается их первоначальная надежность [2]. Практика предупредительных ремонтов давно и хорошо известна. Она показывает, что отремонтированным устройствам обычно возвращается лишь часть исходных надежностных свойств. Этот факт находит свое отражение в росте эксплуатационных затрат по мере старения ТУ.

Для учета глубины восстановления ресурса при предупредительных и аварийных ремонтах ТУ предложено использовать два параметра [1]:

q -вероятность ресурсных отказов, требующих для их устранения проведения капитального ремонта (КР) или замены ТУ;

a - глубина восстановления ресурса как «возраст» ТУ после проведения КР.

Предложены аналитические зависимости стоимости капитального ремонта у1 как функция глубины восстановления ресурса и стоимости нового ТУ у вида [1]

Ух И = у (1 -О), (1)

где с- параметр формы, принимающий различные положительные значения.

В зависимости от наличия тех или иных предупредительных или аварийных ремонтов и замен, то есть в зависимости от значений, предложенных для учета глубины восстановления ресурса параметров, в [1] приведена классификация стратегий обслуживания ТУ.

Цель статьи - предложить математические модели оптимизации предупредительных замен и ремонтов, отличающиеся учетом глубины восстановления ресурса при разных стратегиях обслуживания технических устройств.

2. Математические модели оптимизации предупредительных ремонтов

2.1. Модель предупредительного капитального ремонта по наработке ^ = 1; а > 0)

Стратегия обслуживания ТУ заключается в следующем. Все ремонты, предупредительные и аварийные, являются капитальными. При этом после аварийного ремонта (АР) время очередного предупредительного ремонта (ПР) переносится с началом отсчета от АР.

За исходную примем ранее разработанную модель вида [3]

У =

pP(a) - {fi-rx ) P( x + q)

x

J P(u + a) du

(2)

0

Системный анализ. Моделирование. Транспорт. Энергетика. Строительство

У:

fi(a)P(a) -(fi(a) -y (a)) P( x+a)

x

J P(u + a)du

У =

y(1 -ac )P(a)+Д (P(a) - P( x+a))

x

J P(u +a)du

онных затрат y0 находятся из условия как

dx = 0

y = (y -£0n P(x + a) -

Ш

Здесь х- время в единицах ресурса; Р - вероятность безотказной работы.

Поскольку параметры стоимости АР в и ПР у1 зависят от глубины восстановления ресурса, то их можно представить как в(а) (а). Тогда выражение (1) может быть записано в виде

где 8 - параметр стоимости минимального аварийного ремонта.

Подставив в (6) вместо у ух (а) из (1), получим

У = (y(l - ac) - ф P(x + a) - ln P(a)))y

(7)

(3)

Параметр в(а) может быть представлен как Д(а) = Д +П(а), (4)

где Д - составляющая стоимости аварийного ремонта, связанная с ущербом из-за отказа ТУ.

Подставив значение в(а) из (4) и (а) из (1) в (3), получим математическую модель

(5)

При заданной глубине восстановления ресурса а оптимальная периодичность предупредительного КР х0 и минимум удельных эксплуатаци-

При заданном значении а, продифференцировав выражение (7) по I и приравняв производную нулю, получим уравнения для определения оптимальной периодичности предупредительного КР и минимума удельных эксплуатационных затрат:

(у(1 -а с))

х0 Х(х0 + а) + 1п Р(х0 + а) - 1п Р(а) = —-—;

8

у0 =8Л(х0 +а).

При заданной периодичности КРх, взяв производную от (7) по а и прировняв её нулю, получим уравнение для определения оптимального значения глубины восстановления ресурса а0

a

.1-c

(Л(x + a0) - Л(а0)) =

yc.

x0

l(x0 +a) J P(u + a)du+P(x0 +a) = ((y(1 -ac) + Д) P(a)) Уо = PA(xo +a)■

Здесь X - интенсивность отказов.

2.2. Модель предупредительного капитального ремонта с минимальным аварийным ремонтом (q = 0; a > 0)

Стратегия обслуживания ТУ заключается в следующем. Все отказы устраняются минимально необходимым аварийным ремонтом (МАР), проводимым или в порядке технического обслуживания (ТО), или путем проведения непланового текущего ремонта (ТР). При этом после проведения МАР срок очередного предупредительного КР не переносится.

В качестве исходной примем разработанную ранее модель вида [3]

x

(6)

2.3. Модель предупредительного КР с полным или минимальным аварийным ремонтом (0 <q< 1; а> 0)

Стратегия обслуживания устройств состоит в следующем. Если ресурсных отказов не было, а отказы работоспособности устранялись минимальным аварийным ремонтом, то в конце планового периода проводится предупредительный КР с глубиной восстановления ресурса а. Если произошел ресурсный отказ, устраняемый аварийным КР с глубиной восстановления ресурса а, то очередной предупредительный КР переносится.

Интенсивность отказов изменяется в общем случае, как показано на рис. 1. Отказы работоспособности, вероятность которых q = 1 - q , устраняются МАР. Интенсивность отказов при этом не изменяется. Ресурсные отказы с вероятностью q устраняются АР. С оптимальной периодичностью Xq проводятся ПР с глубиной восстановления ресурса а. После проведения АР или ПР интенсивность отказов снижается до 1(а). С периодичностью Хр проводятся предупредительные замены (ПЗ), снижающие интенсивность отказов до нуля. Оптимальное значение интенсивности отказов в момент проведения ПР или ПЗ составляет 1 (х0 +а).

x

о

о

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

В качестве исходной примем разработанную ранее модель вида [3]

(7Р + (1 - #)( Р(д)у-^-Т1) + (1 - Р( х+Р)]

X

7^(Р(и + «})'? ёи

о

У =

(9)

(д(К1 -ас)+Д)+(1 - ф)( Р(а)) q-( qpl+ (1-q)s)( Р( X+а))q

X

7^(Р(и+а)) ёи

о

Из условия ^У/дх — 0 может быть получено

уравнение для определения оптимального значения периодичности предупредительного КР

Хо

7Л(х0 + а) | (Р(и + а))7 ёи + (Р(х0 + а)) =

о

(7(г(1 -ас) + А) + (1 - 7)е)( Р(а))7

(8)

Учитывая, что /3(а) = Рх +у (а) и

у (а) = у(1 - ас), после несложных преобразований из (8) может быть получена модель оптимизации предупредительного капитального ремонта с полным или минимальным ремонтом при отказе вида

3. Математические модели оптимизации предупредительных замен

Математические модели оптимизации предупредительных замен могут быть получены как частные случаи рассмотренных в разделе 2 моделей предупредительных ремонтов ТУ.

1. Прид — 1 (все отказы являются ресурсными) и а — 0 (в случае отказа или в плановом порядке производится замена ТУ на новое, полностью восстанавливающая его первоначальный ресурс), когда — 1, из (4) получим математическую модель

У = 1 - (1 - у)P(x) |p(u)du,

/ 0

которая известна в теории надежности как модель предупредительных замен по наработке [2].

2. Прид — 0 (все отказы являются нересурсными, устраняемыми в порядке ТО или ТР) и а — 0 (в плановом порядке производится замена ТУ на новое) из (7) получим математическую модель

у = (у-еЫ Р( х)у^

(10)

+ (1 - 7)е

Тогда минимум удельных эксплуатационных затрат определится как

Уо = +(1 - 7>)Л(хо + а)• Математическая модель (9) является более общей, чем рассмотренные ранее в 2.1 и 2.2 модели. Из нее как частные случаи могут быть получены: при д — 1 модель оптимизации предупредительного капитального ремонта по наработке (5); при д — 0 модель оптимизации предупредительного капитального ремонта с минимальным аварийным ремонтом (7).

которая известна как модель предупредительных замен с минимальным ремонтом при отказе [2].

3. При а — 0, учитывая, что @ — у + — 1, из (9) получим математическую модель вида

7 + (1 - 7)е- (7(1 -у) + (1 - 7)е\Р( х))7

х

|(Р(и)) 7ёи

Рис. 1

7

которая эквивалентна предложенной в [4].

4. Математические модели оптимизации предупредительных замен и ремонтов

На практике предупредительные замены применяются совместно с предупредительными капитальными ремонтами ТУ. Поэтому их целесообразно рассмотреть в рамках единой стратегии обслуживания. Рассмотрим случай, когда отказы работоспособности устраняются минимальным аварийным ремонтом, а после проведения «капитальных ремонтов осуществляется замена устройства на новое. Характер изменения интенсивности отказов для этого случая представлен на рис.2.

Удельные эксплуатационные затраты при этой стратегии определяются из выражения

Ч /

у = (у + пу1(а) + е)А(х)(1х)/хр. (11)

о /

Количество отказов на интервале 0 — хр определится как

о

Системный анализ. Моделирование. Транспорт. Энергетика. Строительство

y=-

(13)

ш

p а x+а

J Л(x)dx = J Л(x)dx + (n +1) J Л(x)dx =

0 0 а ( )

= nlnР(а) - (n +1) lnP(x + а)).

xp

Подставив значения J Л(x)dx из (12) и у (а) из

0

(1) в (11) и учитывая, что хр = а + (п + 1)х, получим математическую модель вида

у + ny(1 -ас) + £•( n ln Р(а) - (n + 1)ln P(x + а))

При заданных значениях п и а оптимальную периодичность предупредительных замен хр 0 и минимум удельных эксплуатационных затрат ду,

найдем из условия / qx

= 0:

Хр0Л

'хрии^

п+1

+(п+1)к Р

п+1

а + (п +1)1

При заданных значениях п и а оптимальная периодичность предупредительного капитального ремонта и минимум удельных эксплуатационных

затрат определяются из условия = 0:

(а+(п+1)х )Л(х0 + а)+(п+1) 1п Р(х0 + а) - п 1п Р(а)=(у+пу(1 -ас))/.

у0 =еЛ(х0 +а). Рассмотрим два частных случая модели (13): при п = 0 и а = 0 (проводятся только предупредительные замены, полностью восстанавливающие первоначальный ресурс ТУ) получим математическую модель (10);

при п ^ ю, когда предупредительные замены не проводятся, после раскрытия неопределенности в выражении (13)получим математическую модель (7).

Периодичность КР может быть определена из выражения

I = (I, -а)/(п +1). (14)

Тогда I + а = (хр + па)1(п +1). (15)

Подставив полученные выражения х и х + а из (14) и (15) в выражение (13), преобразуем его к

виду

У о = Л

v у Хр о

- п In Р(а) = г/ Л

(у+пг(1-а)),

V

п +1

При заданных значениях хр и а оптимальное количество капитальных ремонтов щ определится

из условия = 0:

X -а

(

по +1

-Л

хр + п а

по +1

А

(

+ In Р

хр + п а по +1

А

-In Р(а) =

У-ас)

При заданных значениях хр и п оптимальная глубина восстановления ресурса а0 при КР определится из условия = 0:

а

.1-е

^ г хр + па0 ^

Л

V V

п +1

-Л(ао)

5. Заключение

Предлагаемый комплекс математических моделей при разных стратегиях обслуживания позволяет оптимизировать периодичность предупредительных замен и ремонтов, а также при заданной периодичности ремонтов глубину восстановления ресурса и при заданной глубине восстановления ресурса количество ремонтов за период срока службы технических устройств.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Володарский В. А. Учет глубины восстановления надежности технических средств транспортной системы // Информационные системы контроля и управления в промышленности и на транспорте : Сб. науч. трудов / под. ред. Ю. Ф. Мухопада. - Иркутск : ИрГУПС. - 2010. - Вып. 17. - С. 119-126.

2. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности. - М. : Советское радио, 1969. - 488 с.

3. Володарский В. А. Математические модели оптимизации периодичности плановых ремонтов электрооборудования с учетом глубины восстановления // Электротехническая промышленность. Сер. Общеотраслевые вопросы. - 1983. - Вып.11. - С. 15-18.

4. Вeichelt T., Fisher K. General failure model applied to preventive maintenance policies // IEEE Transactions on reliability. - 1980. - Vol. R-29, N 1. - P. 39-41.

Рис. 2

х

К

V

у

V

у