CC BY
118
Мезо-, нано-, биомеханика и механика природных процессов Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 423-424
УДК 539.3
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГЕМОДИНАМИКИ КРОВОТОКА С УЧЕТОМ РАБОТЫ РАСПРЕДЕЛЕННОГО СЕРДЦА
© 2011 г. А.В. Доль, Ю.П. Гуляев
Саратовский госуниверситет им. Н.Г Чернышевского
Поступила в редакцию 15.06.2011
Представлены математические модели движения крови в крупных кровеносных сосудах с учетом работы распределенного сердца. Рассмотрена модель в рамках одномерной теории течения вязкой несжимаемой жидкости. Представлена модель кровотока в трехмерном случае.
Ключевые слова: биомеханика, гемодинамика, математическое моделирование, уравнения Навье - Сто -кса, артерия.
Основная замкнутая система уравнений течения вязкой несжимаемой жидкости
Вопросы моделирования гемодинамики крупных кровеносных сосудов приобретают в последнее время все большую актуальность. Это связано с медицинскими проблемами реконструкции сосудистого русла при атеросклеротических поражениях и необходимостью прогнозирования возможного поведения сосуда в ближайшие и отдаленные периоды после оперативного вмешательства.
Построим математическую модель динамики кровотока.
Движение крови по сосуду предполагается осесимметрическим, поэтому будем рассматривать его в цилиндрической системе координат. Ось г направляем по оси сосуда, полярную ось г направим по его радиусу. Поле скоростей с компонентами уг, уг зависит от переменных г, г, I.
Уравнения Навье — Стокса в цилиндрической системе координат имеют вид:
Р
-+ V,
дР
дг
+ ц
дґ
(я 2 д V,
дvг
дг
1 ду
+ V,
дуг
~д,
дг
2 г дг
г
ду7 ду7
—-+уг—^ дґ г
дг
+ V,
- -Г+-
г
ду,
д,
дР =------------+ Ц
д,
1 д^7
- + —
дг2 г дг
д(^г) д)
+
д 2 V,
д,2
дг
- + -
д,
= 0,
где р — плотность крови, ц — вязкость крови, Р — давление.
Получим уравнения движения цилиндрической оболочки. На стенки трубы действует трансмуральное давление, состоящее из среднего давления Р0 и пульсационной составляющей Р. Оболочка находится в предварительно натянутом состоянии. Кроме трансмурального давления на стенки действуют силы вязкого трения и силы упругой податливости окружающих сосуд тканей в осевом и радиальном направлении соответственно: У = —К2ы, Р1 = = —к^, к, к — коэффициенты податливости тканей.
В поперечном сечении действует продольная сила: S = 50 + У, где 50 — средняя сила продольного натяжения, У — пульсационная составляющая продольной силы. В окружном направлении на элемент действует поперечная сила натяжения Т = Т0 + Т' , где Т0 — средняя сила поперечного натяжения сосуда, Т' — пульсаци-онная составляющая поперечной силы.
Уравнение изменения количества движения элемента оболочки в осевом направлении имеет вид:
(1)
, д2 и дБ' £0 - Т0 дм
РЪ^Т = ^ +
д,
Я д,
- К2и, (4)
(2)
(3)
где м — радиальное смещение стенки, Я — радиус сосуда.
Уравнение изменения количества движения элемента в радиальном направлении:
д2м Р0 Т' „ д2м „ , ч
pH—— = Р +—м--------------+ 50—— - Клм). (5)
Р ~^2 Я Я 0 *-2 1
дґ2
д,2
Используя закон Гука, получим уравнения для усилий:
Р
S ' = ■
Eh
T ' =
1 -V 2
Eh
1 - V2
du w
— + V—
dx R _
w du
— + v —
R dx
(6)
V — коэффициент Пуассона.
Система (1)—(6) представляет собой замкнутую систему уравнений динамики кровотока в артериальном русле.
Одномерная теория
Для вывода уравнений одномерной теории нужно усреднить уравнения Навье—Стокса по радиусу трубы. Если ввести объемный расход по формуле
Q = | 2nrvzdr,
а также пренебречь конвективной составляющей ускорения частиц жидкости, инерционными силами, действующими на элемент оболочки, из замкнутой системы уравнений (1)—(6) получается более простой вариант системы уравнений динамики кровотока:
dQ R2 dp'
р^^ = -nR -£—
dt dz
Ч Q,
nR 2
dw
~dt
_L dQ
2nR dz ’
S
d2w , To T
0 —— + p +—- w---------= 0,
0 dz2 R2 R
(7)
T=
Eh w
1 -V2 Е
Пульсовая волна давления, распространяясь по сосуду, вызывает ответную реакцию мышечных слоев сосудистой стенки. Эта реакция выражается в принудительном продольном растяжении мышечных волокон, которые приводят к дополнительному перемещению сосудистой стенки. В силу наличия вязкости крови, последняя увлекается стенкой. В результате средняя скорость кровотока возрастает. Такую схему взаимодействия стенки сосуда с кро-
вью можно назвать распределенным (вторичным) сердцем.
Из этой системы получается уравнение для объемного кровотока с учетом реактивного перемещения стенок сосуда, возникающего под действием волны давления:
дQ п2 дР 8пц 2
р— --------------^2-пЕ (8)
дґ д, %Е2
где v0 - средняя скорость продольного перемещения стенки сосуда за счет мышечной реакции. Дальнейшая процедура построения решения задачи о пульсации кровотока представлена в работе [1].
Трехмерная теория
В трехмерном случае система уравнений (1)-(6) при определенных упрощениях методом разделения переменных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно амплитуд пульсирующего кровотока. При этом амплитуда продольных скоростей в жидкой части системы будет удовлетворять уравнению Бесселя нулевого порядка:
vz0 +1 v_z0_
dr r dr
/рю
vz0 = 0,
(9)
где Уг0 — проекция скорости течения крови на ось г; ю — круговая частота.
Работа «распределенного сердца» моделируется с помощью функции дополнительных продольных реактивных перемещений стенок сосуда, инициированных пульсовой волной.
Предложенные математические модели динамики кровотока достаточно точно описывают течение крови в сужающихся сосудах и могут применяться для решения задач динамики кровотока в артериальном дереве различной геометрической конфигурации.
Список литературы
1. Гуляев Ю.П., Коссович Л.Ю. Математические модели биомеханики в медицине. Саратов: Изд-во СГУ, 2001. 49 с.
0
MATHEMATICAL MODELS OF HAEMODYNAMICS WITH TAKING INTO ACCOUNT THE WORK
OF A DISTRIBUTED HEART
A. V Dol, Yu.P. Gulyaev
The paper describes mathematical models of blood flow in large-scale vessels with taking into account the work of a distributed heart. The mathematical model of a viscous incompressible liquid flow is considered. A 3-dimentional mathematical model is described.
Keywords: biomechanics, haemodynamics, mathematical modeling, Navier- Stokes, artery.
