Математические модели анизотропного упрочнения ортотропных кристаллических материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.983; 539.374

С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82, тр£1:и1а@гатЫег.ги (Россия, Тула, ТулГУ),

Д.В. Дудка, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-14-82, тр£1:и1а@гатЫег.ги (Россия, Тула, ТулГУ)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНИЗОТРОПНОГО УПРОЧНЕНИЯ ОРТОТРОПНЫХ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

Предложены математические модели анизотропного упрочнения ортотроп-ных кристаллических материалов. В качестве параметров упрочнения используются величина интенсивности деформации и компоненты тензора деформаций в главных осях анизотропии, а также учитывается накопленная величина повреждаемости.

Ключевые слова: ортотропный материал, анизотропное упрочнение, повреждаемость, напряжение, деформация.

Листовой материал, подвергаемый штамповке, как правило, обладает анизотропией механических свойств, обусловленной маркой материала и технологическими режимами его получения. Анизотропия механических свойств материала заготовки может оказывать как положительное, так и отрицательное влияние на устойчивое протекание технологических процессов обработки металлов давлением. В процессах пластического формоизменения начальная анизотропия механических свойств изменяется и зависит от режимов обработки.

При анализе технологических процессов обработки анизотропных металлов давлением в настоящее время учитывается, в основном, начальная анизотропия механических свойств. Учет влияния начальной анизотропии осуществляется в рамках идеально-пластического или изотропно упрочняющегося тела [1 - 5]. Однако указанные предположения не позволяют оценить изменение анизотропии механических свойств в процессе пластической обработки.

Анализ экспериментальных исследований, приведенных в работах [1 - 5], убедительно доказывает изменение этих свойств. В многооперационных технологических процессах обработки металлов давлением следует учитывать изменение анизотропии механических свойств при назначении технологических параметров промежуточных и окончательных операций пластического деформирования. Кроме того, технические условия работы изделия часто требуют формировать определенную анизотропию механических свойств деталей.

Наибольшее распространение среди теории пластичности орто-тропного материала при анализе процессов обработки металлов давлением нашла теория течения анизотропного материала Мизеса - Хилла [5], которая, однако, не учитывает анизотропное деформационное упрочнение ма-

териала и не позволяет оценить изменение анизотропии механических свойств в процессах пластического деформирования.

Большинство существующих теорий анизотропного упрочнения начально изотропного и анизотропного тела основано на изотропном расширении и перемещении поверхности нагружения в пространстве напряжений и отличается друг от друга в подходах к описанию перемещения центра поверхности нагружения, которые могут задаваться в виде конечных и дифференциальных соотношений. Они разработаны для малых упругопластических деформаций.

Ниже приведены основные соотношения, которые необходимо использовать при анализе процессов холодной штамповки ортотропных ани-зотропно-упрочняющихся материалов.

Основные соотношения. Материал принимаем несжимаемым, жесткопластическим, ортотропным, для которого справедливы условие текучести Мизеса - Хилла [6]

2/(а# )= Р(ау -аг)2 + ^аz -ах)2 + Н(ах -ау )2 + + 2Ь ^ + 2М + 2Ы Х^Ху = 1

= ёф(с

и ассоциированный закон пластического течения

ds х = ёЦН (а х - а у ) + G(ax - а 7 )]; ё у у7

dsу = (ау -а7) + Н(ау -ах)]; ёу

ёХЬ х

а

гх

у2 > ёХМ х

(1)

(2)

dAN х-

'у>Р “• гху~^'"У 'ху*

где ^, О, Н, Ь, М , N - параметры, характеризующие текущее состояние анизотропии; а^ - компоненты тензора напряжений в главных осях

анизотропии; dsх, dsу, dsг, ёуу2, ё у^ и ё у 7х - компоненты приращения тензора деформаций; дК - коэффициент пропорциональности. Здесь х, у, г - главные оси анизотропии.

Параметры анизотропии F, О, Н , Ь, М , N связаны с величинами сопротивления материала пластическому деформированию следующими соотношениями:

2 ^

2G

2 Н =

1 1 1 , 2 Ь = 1 ;

2 аэу ' 2 аэг 2 ; а эх 2 ; Х ьу1

1 1 1 ; 2М 1 ;

2 а sz ' 2 а sх 2 ; а sy 2 ; Х 81х

1 1 1 ; 2 N = 1

2 ' а эх 2 аэу 2 ; аэг 2 , Х sхy

где аэх, аэу и а8г - величины сопротивления материала пластическому

деформированию при растяжении в главных осях анизотропии; х

Х

эху? '■Эу2->

эгх - величины сопротивления материала пластическому деформированию при сдвиге по отношению к главным осям анизотропии.

Величины коэффициентов анизотропии листовых материалов Яо, «45 и Я90 могут быть вычислены через параметры анизотропии Р, О, Н и N следующим образом:

« = НО; «о = Щр; «45 = -1+№)(1+о/р). (4)

В случае изотропно-упрочняющегося ортотропного тела Р.Хиллом введены понятия интенсивности напряжений ае [49, 52]

аi = Л/^[2(р+^+НИ Р (а у -а г )2 + G(а г -а х )2 +

112

а у )2 + 2Ь ті + 2М т2х + 2 N т2

+ Н(ах ау ) 1 Хуг 1 Хгх

и приращения интенсивности деформации ds е

ds і

і

3 (р+о+я)

2

+ о

Яds 2 - Fds

(5)

2

х

РО + ОЯ + ЯР

+

+ я

2

ху

Ь

М

N

12

(6)

Можно показать, что коэффициент пропорциональности ёХ = 3dSi /(2аг-).

Математические модели упрочнения анизотропного материала.

Среди математических моделей, описывающих упрочнения материала, следует выделить модели изотропного, трансляционного и комбинированного упрочнения материала при пластическом формоизменении.

Изотропное упрочнение - простейшая модель упрочняющегося тела. Она реализуется в предположении, что поверхность нагружения расширяется подобно начальной поверхности текучести. В этом случае пределы текучести растут пропорционально одному параметру упрочнения, и состояние анизотропии механических свойств исходной заготовки не изменяется [3, 6].

Рассмотрим некоторые возможные математические модели анизотропного упрочнения. Допустим, что поверхность нагружения не перемещается в пространстве напряжений, а анизотропно расширяется во всех направлениях.

Примем, что сопротивления материала пластическому деформированию в направлениях главных осей анизотропии х, у, 2 и при сдвиге в главных осях анизотропии подчиняются зависимостям

аsii = аТн + Рп (е.)' Р1и (еи, е.); т s .. = хТу + Ру (е.), (7)

и ^

где а и ту. - пределы текучести в соответствующих направлениях;

ТЧ г

Рц (е.) и Ру (е.) - функции, зависящие от величины интенсивности деформации е., определяемой с помощью выражения (6); Р1.. (е.. ,е.) - функции, зависящие от величины интенсивности деформации е. и компонент тензора деформаций 8ц в главных осях анизотропии х, у и г; г и / принимают значения х , у и г.

В дальнейшем принимаем, что в случае совпадения индексов г и / остается только один из них.

Следует отметить, что модель анизотропного упрочнения (7) при Р1у (е.. ,е. ) = 1 переходит в модель анизотропного упрочнения от интенсивности деформации е.

аsii = аТгг + РИ (е.); тs. = тТ1} + Ру (е.), (8)

а в случае равенства Р1Х (е. Уатх = Р1у (е. )/аТу = Р1z (е. УаТ2 =

рху (е.)/ % = Ргх (е. УтТ2Г = Руг (е. = Р(е.) - в модель изотропного

упрочнения вида

а*,. = °Тц &+Р (е,)]; т =тт. I1+Р (е)] •

Функции Ру (е.), Ру (е.) и Р1ц (е.) могут быть определены из анализа системы опытов на растяжение, сжатие и чистый сдвиг образцов в главных осях анизотропии в исходном состоянии и образцов предварительно деформированных.

Структуры функций Ру (е.), Ру (е.) и Р1. (еу ,е.) в дальнейшем

представим соответственно в виде

Рц(е.)= А.(е.)п«; Ру(е.)= Ау(е.)пу ; (9)

Р1И (еи,е. ) =

/ Л 2 " т.

1 + 8ё_

V е. У

(10)

где Лц , А/, пгг, п/ и шц - константы материала.

Учитывая соотношения (9) и (10), выражения для определения сопротивления материала пластическому деформированию (7) можно записать следующим образом:

АІ, (С,) п"

Ґ \ 2 " тіі

1 + Си

V єі У

х sij =*Т„ +

А»(с,Т» . (11)

В ряде случаев при отсутствии той или иной информации по анизотропии механических свойств исходного материала целесообразно принять

?х (е/ )/°Тх = ру (е/ )/°Ту = (е/ У^тг =

= РХУ (е/ УТтху = ргх (е/ = руг (е/ ,

т.е.

и

Пх — — пху — — — п

Ах1 ®Тх ~ Ау/®Ту ~ Аг1 ®Тг ~ Аху/ %Тху ~ ЛУ2/ТТ* _ Лгх1 %Тгх ~ А , и представить выражения (11) в виде

Л2'

а,

аТ,

1 + а(с, )П

1 +

ХТ„

1+а(с, У1 ]•

(12)

Такое допущение позволяет значительно упростить систему экспериментальных исследований по определению параметров кривых анизотропного упрочнения ортотропного материала.

Выбор предложенных выше моделей упрочнения для исследуемого листового материала осуществляется следующим образом. Рассматривается простейшая модель упрочнения анизотропного материала - изотропного упрочнения. Если величины коэффициентов анизотропии Яр в опытах на

простейшее растяжение изменяются менее чем на 5 % в пределах равномерной деформации, то эта модель закладывается в основу расчета процессов пластического формоизменения. Если это условие не выполняется, то анализируется однопараметрическая модель анизотропного упрочнения, предусматривающая использование кривых упрочнения в направлениях главных осей анизотропии х, у и г. Если же рассчитанные величины коэффициентов анизотропии Яр с учетом выражений (3) и (4) отличаются от

экспериментальных более чем на 5 % в пределах равномерной деформации, то необходимо переходить на более сложную модель - анизотропного упрочнения (11) (многопараметрическую).

Анализ напряженного и деформированного состояний при пластическом формоизменении изотропных и анизотропных материалов обычно осуществляется без учета накопления повреждаемости. Вопрос о разрушении заготовки в этих случаях, как указывалось выше, рассматривается путем линейного или нелинейного накопления повреждаемости при пластическом формоизменении [7 - 9].

є

X

<

>

s

Однако, как показали экспериментальные исследования, повреждаемость имеет место даже при малых деформациях, и, безусловно, она оказывает влияние на напряженное и деформированное состояния заготовки [7 - 9]. В связи с этим целесообразно в определяющие соотношения изменения сопротивления материала пластическому деформированию (7) ввести повреждаемость и принять соответственно

?Ту + р//(е/)■р1//(е// >е )](1 );

„=[% + р (е/)](1 -®е )*, (13)

где - повреждаемость материала при пластическом формоизменении по

деформационной модели разрушения; к - константа материала.

В этом случае выражения для определения сопротивления материала пластическому деформированию с учетом соотношений (13) можно записать следующим образом:

= X С...

СТс.. =

ат. +

1II

А/Лг^'

1 + 1 4

\2

т.

(1 -®е ;

% + А

(14)

Введение повреждаемости в соотношения для определения сопротивления материала пластическому деформированию значительно усложняет постановку задачи по анализу напряженного и деформированного состояний и требует одновременного расчета как компонент напряжений, деформаций, величины интенсивности деформаций, так и повреждаемости при пластическом формоизменении, однако, позволит получить более реальную картину деформирования.

Таким образом, разработан вариант теории пластичности начально ортотропного тела с анизотропным упрочнением, который основан на неоднородном расширении поверхности нагружения в шестимерном пространстве напряжений, связанных с направлениями главных осей анизотропии. Допускается, что поверхность текучести не перемещается в пространстве напряжений. В качестве параметров упрочнения используются величина интенсивности деформации е/ и компоненты тензора деформаций е// в главных осях анизотропии х, у и г.

Работа выполнена по ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)», грантам РФФИ и по государственному контракту в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.

<

X

С

Список литературы

1. Арышенский Ю.М., Гречников Ф.В. Теория и расчеты пластического формоизменения анизотропных материалов. М.: Металлургия,1990. 304 с.

2. Арышенский Ю.М., Гречников Ф.В., Арышенский В.Ю. Получение рациональной анизотропии в листах / под ред. Ф.В. Гречникова. М.: Металлургия, 1987. 141 с.

3. Яковлев С.П., Кухарь В.Д. Штамповка анизотропных заготовок. М.: Машиностроение, 1986. 136 с.

4. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант. 1997. 331 с.

5. Гречников Ф.В. Деформирование анизотропных материалов. М.: Машиностроение, 1998. 446 с.

6. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ, 1956.

408 с.

7. Богатов А.А., Мижирицкий О.И., Смирнов С.В. Ресурс пластичности металлов при обработке давлением. М.: Металлургия, 1984. 144 с.

8. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2001. 836 с.

9. Богатов А.А. Механические свойства и модели разрушения металлов. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2002. 329 с.

S. Yakovlev, D. Dudka

The mathematical models of the crystalline orthotropic materials anisotropic hardening

The mathematical models of the crystalline orthotropic materials anisotropic hardening are offered. Under the character of hardening parameters the value of strain intensity and deformation tensor components in anisotropy major axis are used and also accumulated damage value is came into account.

Key words: orthotropic material, anisotropic hardening, damageability, stress, deformatione.

Получено 04.08.10