CC BY
50
УДК 621.316.722.4
А. П. Воронов, В. Г. Недорезов, Н. К. Юрков
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АМПЛИТУДНЫХ И АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВАКУУМНОГО ЕМКОСТНОГО ДЕЛИТЕЛЯ ВЫСОКИХ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Аннотация. Предложены математические модели амплитудных и амплитудночастотных характеристик вакуумного емкостного делителя высоких высокочастотных напряжений. Теоретически обосновывается правомочность применения разрабатываемого алгоритма к измерениям динамических характеристик ДН высоких высокочастотных напряжений.
Ключевые слова: математическая модель, амплитудно-частотные характеристики, вакуумный делитель высокочастотных напряжений.
Abstract. Under discussion vathematical models of peak and peak-frequency characteristics of a vacuum capacitor divider of high high-frequency pressure. Competency of application algorithm to measurements of dynamic characteristics of high high-frequency pressure is theoretically proved.
Keywords: mathematical model, peak-frequency characteristics, a vacuum divider of high-frequency pressure.
Введение
Повышение точности масштабных широкополосных (до 100 МГц) измерительных преобразователей высоких (более 1 кВ) напряжений (далее -делители напряжений) связано с необходимостью получения достоверной и точной информации о режимах работы высоковольтных блоков мощных радиотехнических устройств, с исследованием работы высоковольтных высокочастотных электронных компонентов и контролем технологических режимов их изготовления в процессе производства [1]. Однако зависимость функции преобразования делителя напряжений (ДН) от частоты и амплитуды входного сигнала, которая может приводить к деформации формы преобразуемого сигнала, препятствует достижению требуемого уровня (1 %) погрешности функции преобразования. Кроме того, сложность организации аттестации и поверки ДН в указанном частотном диапазоне обусловлена отсутствием эталонных средств измерений высоких высокочастотных напряжений, созданием в процессе проведения измерений мощных электромагнитных полей, влияющих на окружающую среду. Поэтому динамические характеристики таких средств измерений проверяются обычно при низких напряжениях [2, 3], уровень которых не превышает 20-30 % от уровня номинального напряжения. Например, измерение амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) вакуумных емкостных делителей напряжений типа ДНЕ 1-2, ДНЕ 1-3 производится при уровнях напряжений 30...100 В, а линейность амплитудной характеристики (АХ) измеряется в пределах от 1 до 30 кВ в одной точке (0,1-5 МГц) рабочего диапазона частот. Полученные результаты распространяются на весь рабочий диапазон частот. В то же время отсутствие математических моделей, допускающих правомерность проведения такой операции, вызывает сомнения в достоверности выдаваемых заключений о соответствии метрологических ха-
рактеристик поверяемого делителя требованиям нормативно-технической документации и осложняет выявление источников погрешности с целью уменьшения их вклада в погрешность функции преобразования. В данной статье теоретически обосновывается возможность применения вышеуказанного алгоритма к измерениям динамических характеристик ДН высоких высокочастотных напряжений.
1 Конструкция вакуумного делителя
Конструктивно вакуумный емкостной делитель напряжений (ВЕДН) выполнен в виде двух последовательно соединенных конденсаторов. Системы емкостных электродов конденсаторов расположены внутри цилиндрической газонепроницаемой оболочки, фиксирующей их расположение в пространстве. Давление остаточных газов внутри оболочки 10-3...10-5 Па. Конфигурация и шероховатость поверхности электродов, а также применение высококачественных вспомогательных электроизоляционных материалов (например, стекла молибденовой группы) для вакуум-плотной оболочки создают необходимые условия исключения коронного разряда и сведения к минимуму токов утечек (порядка единиц, в худшем случае - десятка микроамперов). На одном конце ВЕДН расположен противокоронный электрод с высоковольтной клеммой (вход), а на другом - гнездо для подключения измерительного прибора (выход). Соотношение емкостей конденсаторов подобрано таким образом, что амплитуда прошедшего через делитель сигнала уменьшается в заданное число раз.
Формирование АЧХ ВЕДН связано с элементами конструкции и взаимным расположением элементов в конструкции через индуктивность (собственная, взаимная), емкость (собственная, взаимная) и активное сопротивление элементов. В результате имеет место зависимость коэффициента передачи К(Х01, ю) ВЕДН от частоты ю при постоянном уровне входного сигнала Х01. Эта зависимость изображается на графике кривой линией, заметно отклоняющейся от прямой линии параллельной оси частот в крайних точках (Ютт, ютах) частотного диапазона рис. 1,а [4].
Верхний уровень рабочих напряжений ВЕДН ограничен по оси напряжений номинальным напряжением, связанным с пробивным напряжением коэффициентом запаса, и напряжениями, соответствующими предельным значениям токов, которые на указанных выше частотах можно пропускать через делитель. Поэтому на линейность АХ в диапазоне (хт^п, хтях) изменения входной величины Хо оказывают влияние такие физические явления, как токи электрических разрядов (коронный разряд, частичный разряд и т.д.), нагрев элементов конструкции электрическим током. Причем чем выше требования к линейности АХ, тем больше их влияние. Кроме того, при определенных сочетаниях амплитуды напряжения и частоты возможно поглощение энергии измеряемого сигнала, проявляющееся в виде провалов или выбросов АХ. Типовая зависимость относительного отклонения коэффициента деления от напряжения для делителей, используемых совместно со спектральным киловольтметром СКВ-100, приведена на рис. 1,б [5].
Таким образом, на изменение функции преобразования ВЕДН влияет два фактора - частота и амплитуда напряжения.
0 Wmin Wi Wl W2 Wmax
а)
б)
Рис. 1 Динамическая характеристика высоковольтного делителя напряжений: а - нормализованная амплитудно-частотная характеристика коэффициента передачи; б - нормализованная амплитудная характеристика коэффициента передачи
Уравнение преобразования входного сигнала для ВЕДН записывается в данном случае в виде
y = K)[1 + Y(x)]x, (1)
где x = f (x0, ю) - сигнал на входе ВЕДН, форма которого определяется амплитудой xq и циклической частотой ю сигнала; у(x) - относительное отклонение коэффициента передачи ВЕДН от своего номинального значения Kq .
2 Моделирование амплитудно-частотных характеристик
Учитывая, что ВЕДН в первую очередь создавались для контроля режимов испытаний вакуумных высоковольтных устройств, осуществляемого на конкретных частотах, для построения простой и удобной математической модели относительного отклонения функции преобразования от своего номинального значения введем предварительные условия:
- при низких уровнях входных сигналов (xq ^ xqi = 0) в ВЕДН влияние физических процессов, вызывающих появление нелинейности АХ функции преобразования, пренебрежимо мало. Поэтому функция у(xq,ю) после подстановки ( xq = xqi = const) принимает вид у( xqi, ю) = S(w);
- в диапазоне изменения входной величины для частоты (ю = юг-) коэффициент передачи зависит только от амплитуды входного сигнала, т.е.
у(Х0, ю) = ^ (xo);
- на частоте юг-, лежащей в области частот (ю^, Ю2) рабочего диапазона частот (ютіп, ютах), для которых выполняются условия (ютіп ^ Юі ^ Ю;- ^ ^ Ю2 ^ ютах) и 8(юг- ) ^ 8D , где 8D - заданное предельно допустимое относительное отклонение АЧХ в области частот (ю^, Ю2), коэффициент передачи не зависит от частоты и равен номинальному значению К = K(Х01, юг-);
- относительные изменения коэффициента передачи от частоты 8(ю) и амплитуды k(x) входного сигнала значительно меньше единицы ^(x), 8(ю) ^ 1) .
На рис. 2 изображена структурная схема, поясняющая работу ВЕДН в установившемся синусоидальном режиме, коэффициент передачи для которой можно записать в виде
K(x) = К)[1 + k(*о, ю)][1 + 8(ю)]. (2)
Рис. 2 Структурная схема преобразования входного сигнала ВЕДН
Относительное отклонение коэффициента передачи после преобразования уравнения (2) можно переписать в виде
у( x) = k (x0, ю) + 8(ю) + k (x0, ю)8(ю).
(3)
Применив к данному уравнению требования к пренебрежимо малым погрешностям
< 0,1,
получим выражение
k (xo, ю) -8(ю) k (xo, ю) + 8(ю)
у( x) = k (xo, ю) + 8(ю).
(4)
(5)
Неравенство выполняется, когда один из сомножителей числителя (например, k(xq, ю)) меньше 0,1 и меньше 0,1 части второго сомножителя k(xq,w) < 0,1S(w). Выполнение неравенства (2) позволяет по результатам измерений у(xo,ю) проводить независимые исследования k(xq,ю) , S(w) , и наоборот. Например, произведя измерения АЧХ при амплитуде входного сигнала (xq = xq1 = const), находим значение коэффициента передачи Kq [1 + S(юг-)] для конкретной частоты юг-, причем неравенство (2) в данном случае выполняется k(xq , w) < 0, 1S(w) . На этой же частоте производим измерение коэффициента передачи K(xq, юг-) в различных точках диапазона из-
менения Хо . Найдем нормализованные значения коэффициента передачи, используя формулу К (Хо, юг- )/{Ко[1 + 8(юг-)]} = 1 + к^ (Хо), обеспечив тем самым выполнение неравенства (2). Действительно, использование деления позволяет привести соотношение между сомножителями неравенства к виду 8(ю) = 0, 8(ю) < 0,1к(Хо,ю).
3 Амплитудно-частотная характеристика для низких уровней напряжений
Так как длина электрической измерительной цепи, образуемой внутри ВЕДН типа ДНЕ 1-2, ДНЕ 1-3, не превышает одной четвертой метра (что соответствует частоте /г ~ 3 ГГц), то эти делители можно рассматривать как устройства с сосредоточенными параметрами. Для линейных электрических цепей (к ( х) = о) с сосредоточенными параметрами коэффициент передачи четырехполюсника записывается в виде [6]
К( ч К(о) ТГТ (1 + Р%И) 1 + 2“¿,2 • Р%гА + р2т2,4 (6)
К (Р) = К (о) I -------ч-------------------, (6)
¿=1 (1 + рхц) 1 + 2“г',1 • рхг-,з + р Хг-,з где 1 - номер каскада; X-1, хг- 2, хг- 3, тг- 4 - постоянные коэффициенты, имеющие размерность времени; аг1, “¿2 - постоянные коэффициенты; К (о) -
коэффициент передачи для переменной р ^ о .
Математическое выражение (6) можно представить в виде
к(р)=коп а+1/^+2 +р214. (7)
.=1 (1 + 1/ рТг-,2) 1 + 2аг.,г ртг-,з + р Хг-,з
1=п X-1
где Ко = К (о) • --номинальный коэффициент передачи.
¿=1 Х1,2
Модуль функции преобразования | К(р) | соответствует коэффициенту передачи К (ю), который получается из уравнения (7) после ряда преобразований и имеет вид
К(ю) = Ко 1 + £ ^2(1/юхг,1 )2 - 2(1/юхг,2 )2 + ю2(х2, 3 - х2,4 ) +
+ 2ю2 ((аг,2хг,4 )2 -(агДхг,3 )2 )] , (8)
8(ю) “ 1Т (1 (1/юхг,1 )2 -1 (1/юхг,2 )2 + ю2 (х2, 3 - хг24) + г =1 ^ 2 2
+ 2ю2 ((аг,2хг,4 ) -(аг,1 - X,3 ) ]|| (9)
Назовем условия независимости коэффициента передачи от частоты
8(ю) = о, получаемые из формулы (6):
1) равенство постоянных времени плеч делителя: хг- 1 = хг- 2, хг- 3 = хг- 4,
ai,1 = ai,2 ;
2) минимальная резонансная частота / делителя должна быть больше
верхней рабочей частоты: /max << /р = minJ-^, -^, -^, -^1 .
[ Xi,1 Xi,2 Xi,3 хг',4 J
Как показывают результаты исследований различных авторов, высоковольтные высокочастотные делители напряжений могут быть смоделированы с хорошим приближением при помощи эквивалентных схем. Объемные физические процессы заменяют элементами электрических схем, для расчета которых существует мощный математический аппарат, позволяющий рассчитать указанные выше постоянные времени.
4 Амплитудная характеристика
Пусть у(х, ю) - действительная функция, имеющая в интервале Xqi < х ^ Xq2 п -производных. Тогда ее можно представить в виде ряда Тейлора:
( - )2
Y(х- Xoi,ю) = Y(Х01,ю) + (х-Xqi)y'(Х01,ю) + Х ^Q1 Y#(Х01,ю)+...
или
ж , (n—2)
Y(x - Xq1 , ю) = y(xq1, ю) + (х - Xq1) 2 Х .XQ1^------------Y(n-1)(Xq1, ю) . (10)
П=2 (n -1)!
В результате сравнения уравнений (1Q) и (11) можно прийти к выводу,
что
8(ю) = y( Xq1, ю)
и
ж / \(п—2)
k(Х,ю) = (Х - Х01) 2 Х ,XQ1^--------Y(n-1)(XQ1, ю) . (11)
2 (п -1)!
п=2
Правую часть уравнения (11) удобнее представить в виде степенного
ряда:
2 3
k (х, ю) = aQ + 01Х + Ü2 х + аз х + .... (12)
При исследовании делителей [5], которыми комплектуется спектральный киловольтметр типа СКВ-100, зависимость относительного отклонения коэффициента k(х, ю) передачи ДН от напряжения представляет собой кривую, аппроксимирующую результаты математической обработки данных измерений и описываемую полиномами третьей или четвертой степени. Достоверность аппроксимации степенной функцией равна единице. Уравнение аппроксимирующей кривой соответствует уравнению (12), причем aQ,..., «4 -
13Q
постоянные коэффициенты, полученные в результате математической обработки экспериментальных данных.
В то же время это уравнение можно представить как сумму степенных функций, связывающих через физические процессы (характеризуемые внутренними факторами) отклонение функции преобразования с внешними факторами:
г=N
к(х, ю) = ^ (“о г + “11х + а2 гх2 + “3 гх3 + а4 ¿х4) , (13)
г =1
где N - число математических выражений, представленных степенными функциями; г - текущий номер.
Например, слагаемые первого и второго порядков уравнения (13) совпадают со слагаемыми формулы коэффициента нагрузки к^т :
кит = к]^ и + АТ • ТКС ~ “1Х + “2 х2 , где кН - коэффициент, характеризующий зависимость сопротивления от напряжения; АТ - температура перегрева при рассеиваемой мощности Р ~ и2 ; ТКС - температурный коэффициент сопротивления; х = и - амплитуда напряжения на входе ДН.
Следует отметить, что представленные выражения описывают влияние одного фактора (амплитуды входного сигнала). В данном случае имеет место двухфакторный эксперимент, для которого выражение записывается в виде [6]
у = Во + В1Хо + в2юг + В12 Хою г + В11Хо + В22ю2 +
+ В112 Х0юг + В122 Хою2 + В111Х0 + В222ю3. (14)
Сравнение постоянных коэффициентов уравнений (13) и (14) позволяет получить систему уравнений:
ао = Во + В2юг + В22ю2 + В222юг3;
а1 = В1 + В12ю г + В122ю2; (15)
а2 = В11 + В112юг;
„а3 = В111.
Следует отметить, что для решения системы уравнений, т.е. нахождения постоянных коэффициентов Во, В1,..., В222, необходимо обработать результаты измерений АХ в нескольких точках ю- частотного диапазона.
Как показывают результаты исследований делителей напряжений, которыми комплектуются измерительные приборы типа СКВ-1оо, представление отклонений АХ от линейности степенными рядами позволяет выявлять и исследовать источники погрешности функции преобразования. В то же время нахождение постоянных коэффициентов модели двухфакторного эксперимента позволяет оценивать отклонения функции преобразования во всех точках рабочих диапазонов частот и напряжений ВЕДН.
Заключение
В результате проведенных теоретических исследований получены условия, выполнение которых позволяет проводить независимые исследования амплитудной и амплитудно-частотной характеристик ВЕДН.
Получены математические выражения, позволяющие выявлять и анализировать процессы, протекающие в ВЕДН при приложении напряжения и влияющие на линейность АХ в рабочем диапазоне частот.
Показана необходимость исследования функции преобразования ВЕДН с помощью двухфакторной модели.
Список литературы
1. Воронов, А. П. Вакуумные емкостные делители напряжения для ИИС и АСУ ТП / А. П. Воронов, Н. К. Юрков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2оо7. - № 3. - С. 97-Ю4.
2. Журавлев, Э. Н. Современные методы и средства аттестации установок для измерения импульсных и постоянных сверхвысоких напряжений: Обзорная информация / Э. Н. Журавлев, В. Н. Ярославский. - М., 1988. - 8о с. - (Образцовые и высокоточные средства измерений; Вып. 4/ВНИИКИ).
3. Ашнер, А. М. Получение и измерение импульсных высоких напряжений / А. М. Ашнер ; пер. с нем. - М. : Энергия, 1979. - 12о с.
4. Смирнов, Э. Н. Анализ передаточной функции двухкаскадного вакуумного емкостного делителя напряжений / Э. Н. Смирнов, А. П. Воронов // Электронная техника. - 1981. - Вып. 3. - С. 8-12. - (Сер. 5 «Радиодетали и радиокомпоненты»).
5. Воронов, А. П. Исследования коэффициента передачи делителя высокого напряжения в диапазоне изменения входной величины / А. П. Воронов, Д. А. Янва-рев // Материалы, изделия и технологии пассивной электроники : материалы Международной научно-технической конференции / под ред. В. Г. Недорезова. -Пенза : НИИЭМП, 2оо7. - С. 2Ю-219.
6. Зажигаев, Л. С. Методы планирования и обработки результатов эксперимента / Л. С. Зажигаев, А. А. Кишьян, Ю. И. Романиков. - М. : Атомиздат, 1978. -С. 232.
Воронов Александр Павлович инженер,
Научно-исследовательский институт электромеханических приборов (г. Пенза)
Voronov Alexander Pavlovich the engineer,
Scientific research institute of electro-mechanical devices (Penza)
Недорезов Валерий Григорьевич
доктор технических наук, доцент, генеральный директор Научно -исследовательского института электромеханических приборов (г. Пенза)
E-mail: [email protected]
Nedorezov Valery Grigorevich a Dr.Sci.Tech., the senior lecturer, the general director of Scientific research institute of electro-mechanical devices (Penza)
Юрков Николай Кондратьевич
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой конструирования и производства радиоаппаратуры, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
УДК 621.316.722.4 Воронов, А. П.
Математические модели амплитудных и амплитудно-частотных характеристик вакуумного емкостного делителя высоких высокочастотных напряжений / А. П. Воронов, В. Г. Недорезов, Н. К. Юрков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. -2009. - № 1 (9). - С. 125-133.
Yurkov Nikolay Kondratevich a Dr. Sci. Tech., the professor, managing chair of designing and manufacture of radio equipment, the Penza state university
