CC BY
62
13.00.00 - ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 512(072.3) АКСЁНОВ АЛ.
доктор педагогических наук, профессор, кафедра математического и информационного анализа экономических процессов, Орловский государственный университет имени И.С. Тургенева E-mail: [email protected]
UDC 512(072.3) AKSYONO V A.A.
Doctor of Pedagogics, Professor, Department of the mathematical and information analysis of economic processes, Orel State University named after IS. Turgenev
E-mail: [email protected]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА КАК СРЕДСТВО ВЫПОЛНЕНИЯ УЧЕБНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ И ОТДЕЛЬНЫЙ ВИД ЗАДАЧ НА ИССЛЕДОВАНИЕ
MATHEMATICAL TASK AS A MEANS OF MAINTAINING SCIENTIFIC RESEARCH IN MIDDLE SCHOOL AND AN INDIVIDUAL TYPE OF RESEARCH TASKS
В статье охарактеризована сущность исследовательской работы школьников, выполняемой в ходе решения математических задач. Описан отдельный вид задач - задачи на исследование. Раскрыта их роль в обучении математике.
Ключевые слова: математическая задача, поиск, решение, исследование.
The article characterizes the essence of the students' research carried out in the course of solving mathematical problems. It describes an individual type of tasks - the research one. It also explains their role in teaching math.
Keywords: mathematical task, search, solution, study.
1. Обоснование проблемы
В Большой советской энциклопедии научное исследование понимается как процесс выработки новых научных знаний и характеризуется объективностью, воспроизводимостью, доказательностью, точностью. Основными компонентами научного исследования являются: постановка задачи; предварительный анализ имеющейся информации; условий и методов решения задач данного класса; формулировка исходных гипотез; планирование, организация и проведение эксперимента; анализ и обобщение полученных результатов; окончательная формулировка новых фактов и законов, получение объяснений или научных предсказаний. В соответствии с этими тезисами, выполнение математических исследований посредством решения задач в средней школе должно быть неким подобием научной деятельности учёного. То есть выполняя исследовательскую работу в ходе решения задач, учащиеся должны "открывать" (разумеется, на субъективном уровне) какие-либо новые математические знания и (или) выполнять действия, адекватные перечисленным выше, характеризующим процесс исследования как такового.
В настоящее время у методистов-математиков не вызывает сомнений необходимость приобщения учащихся (прежде всего, старших классов) к исследовательской работе по математике. Опишем основные аспекты сущности такой работы учащихся и специфику её организации.
2. Теоретико-методическая характеристика школьных математических задач на исследование
Среди всего многообразия школьных математических задач выберем те задачи, теоретико-методические характеристики которых давали бы основание считать, что они могут быть использованы для выполнения школьниками исследовательской работы. Основываясь на трактовке категории "задача", введённой в науку Ю.М. Колягиным и В.И. Крупичем [3, 4] и скорректированной с учётом исследований A.B. Брушлинского, можно выделить ряд характеристик задач. В данной трактовке задача представляет собой диалектическое единство информационной (внешней) и внутренней структур. Информационная структура задачи состоит из шести компонентов: S = (А, В, Е, С, D, R), где А - условие задачи, В - её требование, то есть то. что нужно сделать в решении задачи, Е - искомое, то есть то, что в ней требуется найти (обнаружить), доказать или выяснить, С - теоретический базис решения задачи, D - способ её решения, R - основное отношение, реализованное в задаче |2].
Исходя из смысла требования, содержащегося в формулировке задач (с учётом возможности его выполнения), все они могут быть разделены на семь основных видов: 1) задачи на нахождение; 2) задачи на доказательство; 3) задачи на построение; 4) задачи на исследование; 5) конструктивные задачи; 6) задачи, решаемые приведением конкретного примера; 7) задачи, решаемые словесным описанием.
© Аксёнов A.A. © Aksyonov A.A.
На основе количества неизвестных компонентов, содержащихся в информационной структуре задачи, Ю.М. Колягиным и В.И. Крупичем установлена типология задач: I тип - ABECD и ABZCD, - алгоритмические задачи; II тип - ABECV и ABZCV, - полу эвристические задачи; III тип - ABEUV и ABZUV, - эвристические задачи [2]. (Буквами Z, U и V обозначены неизвестные компоненты.) Здесь приняты во внимание шесть информационных структур задач, в каждой из которых известны компоненты А и В - условие задачи и её требование, что почти всегда имеет место для школьных математических задач.
Принимая во внимание теоретический базис задач, можно выделить четыре типа ситуаций, определяемых количеством теорий, средствами которых задача сформулирована и решена: 1) задача сформулирована и решена средствами одной теории; 2) задача сформулирована средствами одной теории, но решена с привлечением аппарата дополнительных теорий; 3) задача сформулирована средствами нескольких теорий и решена только их средствами; 4) задача сформулирована средствами нескольких теорий и решена с привлечением арсенала дополнительных теорий. Это четырёхаспектная типология теоретического базиса задач [1].
Также все школьные математические задачи можно разделить на четыре класса в зависимости от того, каким образом выполняется их решение: 1) задачи, в решении которых непосредственно (без выполнения преобразований, выходящих за рамки предметного содержания алгоритма) используется лишь известные алгоритмы; 2) задачи, в решении которых непосредственно применяются только известные стандартные методы и алгоритмы; 3) задачи, в решении которых допускается использование стандартных методов (и алгоритмов), после выполнения преобразований; 4) задачи, в решении которых стандартные методы не применяются (но могут быть задействованы общие методы решения задач). Здесь под стандартным понимаются методы, суть которых может быть выражена теоремой (с помощью теоремы можно выразить сущность метода оценки, применяемого в решении уравнений и т. п.), а под общими - методы, суть которых выражена совокупностью общих указаний по применению в решении задач (метод координат, метод геометрических мест и др.) [1].
Компонент информационной структуры задач R не влияет на их типологию. Компонент А - условие задач, он задаёт всё их многообразие, то есть его функция сугубо информационная. Если он известен, то практически не определяет теоретико-методических характеристик задач.
Итак, рассмотрены все теоретико-методические характеристики задач, детерминируемые их информационной структурой. Поскольку эта структура полностью задаёт субъекту пространство поиска информации, необходимой для решения задачи, сопоставляя представленные выше характеристики задач, выясним, какие из них позволят отнести задачу к числу тех, которые надо использовать для организации исследовательской работы школьников по математике.
Задачи на исследование характерны тем, что в них необходимо: а) найти условия существования (или невозможности существования) некоего факта; б) указать сам факт и условия его существования; в) определить особенности существования (свойства и качества) какого-либо математического объекта для тех или иных условий, а если требуется, и сами эти условия; г) выяснить, обладает ли данный объект указанными качествами (свойствами), причём здесь выдвигаются и исследуются альтернативные гипотезы, и по результатам этой работы делается вывод; д) выяснить, какие качества (свойства) характерны для данного объекта (указать условия, при которых эти качества имеют место) и т. п. Примером является любое уравнение с параметром [1]. В решении этих задач надо выполнять действия, адекватные процессу научного исследования. Заметим, что в задачах остальных шести видов выполнение подобных действий не требуется, однако задача на исследование может быть подзадачей задачи другого вида, например, задачи на доказательство.
Также заметим, что задачи на исследование в своём решении фактически сводятся к подзадачам, каждая из которых представляет собой задачу на доказательство или нахождение чего-либо. Например, если дана задача: "Решить уравнение ах2 +(а-3)х + 2я-1 = 0", то она сводится к трём подзадачам на нахождение тех значений параметра, при которых действительных корней два, один или нет вообще. Напротив, если дана задача: "Исследовать функцию /(х) = х3-(о-3)х2+(о2-2о + 4)х+о-5 на монотонность", эта задача в конечном итоге сводится к доказательству того, что функция возрастает при любых значениях параметра на множестве всех действительных чисел. Дело в том, что в таких задачах почти никогда не удаётся сразу понять, что нужно делать: находить или доказывать. Самое главное в таких задачах то, что в ходе их решения нужно рассматривать все возможные ситуации в задаче, связанные с сопоставлением свойств объектов, задействованных в задаче. Поэтому справедливо выделить их в отдельный вид задач.
Задачи алгоритмического и полу эвристического типа в ходе их решения не предполагают как выполнения действий, адекватных процессу научного исследования, так и самостоятельного получения учащимися ещё неизвестных им теоретических сведений из школьного курса математики. Для достижения последней цели служат эвристические задачи. Например, решая уравнение 2log + 5х"" 2 = 36 ". школьникам необходимо обнаружить и доказать свойство логарифма числа: я1 = blotc", (если учитель специально не знакомил их с ним) поскольку без его использования решить это уравнение не представляется возможным.
Очевидно, задачи первого и второго класса не могут быть использованы для исследовательской работы школьников, а задачи третьего и четвёртого класса в принципе могут быть привлечены к организации такой деятельности учащихся, однако сама по себе их принадлежность к третьему или четвёртому классу не гаран-
тирует детерминации исследовательской деятельности учащихся. Итак, отношение к третьему или четвёртому классу задач, адекватных исследовательской деятельности школьников, является неизбежным следствием того, что они детерминируют указанную деятельность. Следовательно, такая характеристика задач, как отношение к классу не является ориентиром в выборе задач для обучения школьников математическому исследованию.
Наконец, четырёхаспектная типология теоретического базиса задач также строго не предопределяет исследовательской деятельности учащихся по их решению. Однако следует иметь в виду, что чем больше теоретических фактов надо принять во внимание для выбора из них тех, которые будут использованы для обоснования найденного способа решения задачи, тем более требуются школьникам исследовательские умения. Это утверждение наиболее значимо в тех случаях, когда для нахождения решения учащимся необходимо отыскивать ещё и сами теории, средства которых дополнительно привлекаются к решению задачи. То есть второй и четвёртый пункты этой типологии при прочих равных условиях наиболее соответствуют исследовательской работе.
Итак, для обучения школьников математическим исследованиям необходимо задействовать задачи на исследование или эвристические задачи (разумеется, одна и та же задача может удовлетворять и обоим этим требованиям). Они могут относиться лишь к третьему или четвёртому классу. В среднем, качественно они будут труднее, а процесс поиска решения - насыщеннее, если в его выполнении необходимо задействовать средства дополнительных теорий.
Сопоставим выявленные ранее характеристики подробнее. Для дальнейших рассуждений имеется четыре исходных основания: а) вид задачи (задача на исследование: введём обозначение ЗИ); б) тип задачи (эвристическая задача: введём обозначение ЭЗ); в) принадлежность задачи к третьему или четвёртому классу (введём обозначение где V - знак
дизъюнкции); г) соответствие задачи второму или четвёртому пунктам типологии теоретического базиса (введём обозначение (ПЛ V)). С учётом описанных ранее выводов получим следующие комбинации:
ЗИл(Зv4) (здесь и далее л - знак конъюнкции);
ЭЗа(Зу4);
ЗИлЭЗл(Зу4);
ЗИл^4)л(1^1У);
ЭЗл^4)л(1К'1У);
ЗИлЭЗл^4)л(1К'1У).
В рассматриваемых случаях дизъюнкция и конъюнкция понимаются в смысле, аналогичном для математической логики.
В каждой из шести комбинаций конъюнктивное присутствие исходного основания (3v4) означает его неизбежность для задач, определяющих исследовательскою деятельность школьников.
В третьей и шестой комбинациях задача на исследование одновременно принадлежит к числу эвристи-
ческих задач, что однозначно указывает на то, что она будет довольно трудной для учащихся.
В ходе решения задач, относящихся к последним трём комбинациям, необходимо изыскивать дополнительные теории, средства которых будут задействованы для реализации решения. Это также качественно повысит трудность задач, но вместе с тем внесёт большее разнообразие в процедуру поиска их решения. Можно утверждать, что соблюдая принцип прочих равных условий. представленные выше шесть комбинаций расположены в порядке качественного возрастания трудности задач и эта трудность тем выше, чем выше порядковый номер класса задач и типологии их теоретического базиса. В среднем математическая задача ЗИлЭЗл(4)л(1У) качественно труднее задачи ЗИлЭЗл(3)л(П), так как в первом случае для решения задачи нет возможности применения известных алгоритмов и стандартных методов, а сама задача сформулирована средствами нескольких теорий (во втором случае - средствами одной теории).
Очевидно, эти шесть комбинаций могут быть конкретизированы (с помощью законов алгебры логики), но это приведёт к большому количеству "производных" комбинаций (нетрудно подсчитать, что их будет 18). Итак, разнообразие задач, ощутимо детерминирующих исследовательскую деятельность школьников, довольно велико даже в плане учёта их теоретико-методических характеристик. На каждом этапе обучения найти в структуре предмета место для каждой из 18 комбинаций трудно и в обучении учащихся профильных или специализированных математических классов. С другой стороны, сравнительный анализ этих возможных комбинаций показывает, что в этом нет и необходимости, поскольку они в определённой мере обладают взаимозаменяемостью. Так, в ряде случаев можно не использовать комбинацию ЗИлЭЗл(3)л(1У), если школьникам предлагались задачи, соответствующие комбинации ЗИлЭЗл(3)л(П), поскольку доминанта для пунктов II и IV четырёхаспектной типологии теоретического базиса задач состоит в необходимости поиска дополнительных теорий, а не в особенностях теоретического базиса формулировок задач.
Применяя задачи для обучения школьников исследовательским умениям, целесообразно придерживаться известного принципа "от простого к сложному". Его суть в данном случае такова.
1. Сначала учащихся необходимо познакомить с задачами на исследование, поскольку они раскрывают суть самого исследования как длительного поискового процесса (зачастую противоречивого).
2. Необходимо на конкретных примерах пояснить учащимся сущность разделения задач на классы и че-тырёхаспектную типологию теоретического базиса задач, объяснить им суть их влияния на процесс поиска решения задачи.
3. Предлагать учащимся эвристические задачи следует несколько позже. К моменту знакомства с ними школьники уже должны иметь некоторый опыт решения задач на исследование, поскольку эвристические задачи
могут содержать в себе подзадачи, являющиеся задачами на исследование.
4. Далее можно предлагать школьникам более трудные задачи, соответствующие частным случаям третьей-шестой комбинаций с учётом их возможной взаимозаменяемости, описанной выше.
3. Примеры алгебраических задач на исследование и их место в структуре школьного курса алгебры
Прежде всего заметим, что задачи на исследование, очевидно, не могут быть алгоритмическими, но они широко представлены среди полу эвристических и эвристических задач, поэтому их роль в обучении поиску решения задач велика даже с сугубо теоретической точки зрения.
Пример 1. Решить уравнение ах2 + (а - 3)х + 2а -1 = 0
Пусть V = Зд. Получим уравнение у" - (2а + 2)у + а2 +2а - 3 =0 . Его дискриминант
В = 4а2 +8(7+ 4-4я2 -8я + 12 = 16 . Оно всегда имеет два различных действительных корня у1 = а -1; у2 = а + 3 . Очевидно, второй корень всегда больше первого. Область значений показательной функции представлена положительными
действительными числами, поэтому сопоставляя этот теоретический факт с тем, что уравнение-следствие имеет два различных корня, получим такие варианты для исходного уравнения: два действительных корня только в том случае, если у1 = а -1 > 0; один корень, если у1 = а -1 < б, у2 = а + 3 > 0 ; нет действительных корней, если у2 = а + 3 < 0 . Дальнейшее решение задачи не представляет серьёзных затруднений, поэтому оно здесь не приведено.
Иная ситуация была бы в том случае, если в этом примере вместо Зд и 9х использовать х2 и х4 соответственно. Функция у = х2 не обладает свойством строгой монотонности и в её область значений входит ещё и 0 (изменяются всего два теоретических факта). Тогда для исходного уравнения возможны уже пять вариантов: корней может быть четыре, три, два, один и не быть вообще. Подобные задачи можно усложнить, если в уравнении-следствии дискриминант будет принимать любые значения и (или) функция у - /(х) будет ограничена и снизу и сверху, или будет периодической и т. д.
Выше в качестве примера приведена полуэвристическая задача с параметрами. В курсе алгебры это самые распространённые задачи на исследование, но таковыми могут быть не только задачи с параметрами. Так, задачи, решаемые в 11 классе средней школы, связанные с математическим моделированием, получением некоторой функциональной зависимости и нахождением наибольшего или наименьшего значения функции на некотором отрезке, тоже являются задачами на исследование, хотя в них есть некий стандартный подход к выполнению решения.
Пример 2. Задача: "Изучить свойства показательной
функции".
Если эту задачу предложить учащимся специализированного (или профильного)
математического класса сразу после того, как им представлено определение этой функции (они уже знакомы с основами дифференциального исчисления), то это будет не просто задача на исследование, а ещё и эвристическая задача. В самом деле, в ней неизвестно искомое (свойства функции), неизвестен способ решения в строгом смысле, так как школьники знают только то, что необходимо использовать аппарат производной, но им неизвестно, с чем конкретно придётся столкнуться в процессе поиска решения, и неизвестен теоретический базис задачи, так как всё то, что они обнаружат в ней, само станет частью теории, а в таких случаях принято считать, что теоретический базис задачи неизвестен [1]. Таким образом, эта задача действительно является эвристической.
Пример 3. При каком целом положительном значении х значение выражения
Ье-5 х2 + (2-х)у/х2 -Зх-10 -4
»7---, =- ближе всего к
\х + 2 х2-(х + 5)л/х2-Зх-10-25
-0,7.
Так как первый множитель определён на множестве (-оо; - 2) и [5; + со), а Ж - положительное целое число, то ясно, что х > 5 Далее путём несложных
7
преобразований данную дробь приводят к виду--1
' х + 5
. Это выражение равно -0,7 при некотором значении переменной х, причем хе(18; 19). Находя абсолютную величину разности значения этой дроби при х = 18 и числа -0,7 , а затем абсолютную величину разности значения этой дроби при х = 19 и числа -0,7 , находят, что модуль разности меньше при х = 18.
Очевидно, это задача на исследование. Она также не содержит параметр (как и предыдущая задача) и является полуэвристической.
Таким образом, даже три приведённых примера показывают, что спектр применения задач на исследование в школьном курсе алгебры достаточно широк. Это позволяет утверждать, что такие задачи, в принципе, могут занять достойное место в структуре школьной алгебры (и вообще математики) вопреки сложившейся традиции. Однако следует иметь в виду, что из всех семи видов задач школьной математики задачи на исследование в основной массе - самые трудные. Поэтому соответствующий курс математики может быть построен либо для специализированного (профильного) математического класса, либо для обучения школьников общеобразовательного класса, который почти полностью состоит из математически способных учащихся. Однако это не является ограничением, так как обучение поиску решения трудных математических задач целесообразно для тех учащихся, которые далее намерены выбрать профессию, существенно связанную с математикой.
4. Примеры геометрических задач на исследование и их место в структуре школьного курса геометрии
Как и в курсе алгебры, геометрические задачи на исследование относятся к полу эвристическим и эвристическим задачам.
Пример 4. В треугольник со сторонами 6 см, 10 см и 12 см вписана окружность. К ней проведена касательная так, что она пересекает две большие стороны. Найти периметр отсечённого этой касательной треугольника (рис. 1).
Пусть АС = 12, ВС = 10, АВ = 8. Выполним дополнительные построения. Пусть касательная РЭ перпендикулярна ОС (О - центр окружности). ЕР - произвольная касательная. Вообще говоря, сам рисунок скорее указывает на то, что периметры двух треугольников, отсекаемых указанными касательными, не равны. Поскольку в задаче не указано, какая это должна быть касательная, то возникает мысль о том, что задача сформулирована некорректно. Тогда под её решением следует понимать доказательство того, что периметры этих треугольников не равны. Едва ли это удастся доказать приведением конкретных значений периметра, поскольку если они различаются незначительно, различие может иметь место из-за погрешности приближённых вычислений. Следовательно, нужно строго доказать, что периметры не равны. Но ведь может оказаться, что они равны. Это означает, что нужно выяснить этот вопрос. Если периметры не равны, то задача строго решена. Если они равны. то достаточно найти периметр треугольника СБЕ. Таким образом, данная задача принадлежит к виду задач на исследование благодаря тому, что нужно выяснять вопрос о равенстве или неравенстве периметров треугольников, отсекаемых всевозможными касательными.
Фактически нужно доказать, что ЕР + р[) = ЕР + РО. Доказательство опирается на тот факт, что отрезки двух разных касательных, проведённых из одной точки к данной окружности, равны. Сама эта точка не лежит на окружности, а отрезки здесь с концами в этой точке и точках касания.
Так, ЕЫ = ЕЕ, ЕМ = БК, отсюда следует, что ЕБ + РК = ЕЕ. Получили первое важное равенство. О К = ОМ. РЕ = РМ. Получаем такую цепочку равенств: Г)К = ОМ = РМ + РБ = РЕ + РО. то есть ЭК = РЬ + РО. Это второе важное равенство. Складывая это равенство с первым (не меняя местами левую и правую части в каждом из
равенств), получаем: ЕБ + БК + О К = ЕЕ + РЕ + РО Так как БК + БК = РЭ. а ЕЕ + РЕ = ЕР, получаем, что ЕР + ББ = ЕР + РО. что и требовалось доказать. Теперь ясно, что периметры всех треугольников, получаемых указанным в условии задачи способом, равны.
Остаётся найти периметр треугольника СББ. Пусть МС = х. Тогда по свойству касательных СМ = х. Далее легко найти, что АМ = 12 - х, АР. = 12 - х. ШЗ = 8 -(12 - х) = х - 4, ВИ = х - 4. Тогда, учитывая, что ВС = 10, получаем уравнение: х - 4 + х = 10, из которого легко найти, что х = 7. Поскольку РЫ = БК, то легко найти, что СБ + БК = СМ = 7. Точно также можно найти, что СБ + ЭК = 7. То есть искомый периметр равен 14.
Заметим, что также можно было бы найти и периметр треугольника СЕР, поскольку для данного варианта решения вообще не важно, перпендикулярны ли прямые РО и ОС. Такой способ решения задачи не предполагает доказательства равенства периметров треугольников СЕР и СОЕ. Ответ получился бы "автоматически". Тогда можно усомниться в том, что это задача на исследование, но это только кажущееся сомнение. Последнее охарактеризованное решение получилось благодаря стечению обстоятельств и лишь профессионал (в данном случае - учитель) поймёт, почему не нужно никаких доказательств, так как они сами следуют из найденного способа решения. Но школьник, даже если он и получит такое решение, вряд ли сможет его осмыслить в полной мере, то есть задача им будет решена лишь формально. Если учитель поставит вопрос о равенстве периметров всевозможных треугольников, удовлетворяющих требованию задачи, школьники могут подумать, что это математический софизм. Поэтому в средней школе предпочтительнее представленный вариант решения этой задачи, но после него есть смысл представить учащимся и краткий вариант решения, о котором упомянуто выше.
Пример 5. Задача: "Изучить свойства ромба".
Если эту задачу предложить учащимся специализированного (или профильного) математического класса после того, как им представлено определение ромба, то это будет не просто задача на исследование, а ещё и эвристическая задача. В ней неизвестно искомое (свойства ромба), неизвестен способ решения в строгом смысле, так как школьники знают только то, что надо использовать в решении свойства параллелограмма и равнобедренного треугольника и пр., но им неизвестно, с чем конкретно придётся столкнуться в процессе поиска решения, и неизвестен теоретический базис задачи, так как всё то, что они обнаружат в ней, само станет частью теории. В таких случаях принято считать, что теоретический базис задачи неизвестен. Таким образом, это эвристическая задача.
Два последних примера показывают, что диапазон применения задач на исследование в школьном курсе геометрии достаточно широк. Поэтому такие задачи могут занять достойное место в структуре школьной геометрии (и вообще математики) вопреки сложившейся традиции.
5. Роль задач на исследование в формировании умения выполнять поиск решения школьных математических задач
Разумеется, роль задач на исследование в процессе обучения школьников поиску решения любых математических задач очень велика, но нужно правильно понимать процедуру их применения в обучении математике.
Рассмотрим некоторые аспекты методики использования в обучении таких задач. Заметим, что речь идёт об обучении тех учащихся, которые имеют достаточно хорошие математические способности и у учителя есть возможность включения таких задач в структуру курса математики.
Прежде всего, обучая поиску решения таких задач, следует иметь в виду, что в курсе алгебры большинство таких задач относится к задачам с параметрами. Верно и обратное: абсолютное большинство задач с параметрами - задачи на исследование. Поэтому если в учебном предмете нет достаточного количества времени для того, чтобы задействовать весь спектр задач на исследование, можно ограничиться только решением задач с параметрами.
Если позволяет временной ресурс, то вполне можно в обучении алгебре использовать задачи на исследование, аналогичные той, которая рассмотрена во втором примере. Разумеется, задачи такого плана можно предлагать и учащимся 8-9 классов, но делать нужно это не всегда, а только тогда, когда теоретический материал, который им нужно самим (с минимальной руководящей помощью учителя) изучить, не слишком труден и у них достаточно теоретических знаний для того, чтобы "открывать" на субъективном уровне новые теоретические факты. Удобно, особенно в старших классах, таким способом изучать свойства функций.
В геометрии также довольно большая часть задач на исследование относится к задачам с параметрами. Дело в том, что есть задачи, в которых какое-либо качество или свойство фигур (или тел в стереометрии) может иметь место только для определённых значений, например, какого-то угла. Его значение принимается как параметр и выясняется, каким этот угол должен быть, чтобы было выполнено требование задачи. Помимо этого, в обучении геометрии можно использовать задачи на исследование, аналогичные рассмотренной в пятом примере. Разумеется, аналогичные задачи можно предлагать и учащимся 10-11 классов, также учитывая, что они должны быть посильны для них.
Теперь рассмотрим наиболее типичные задачи на исследование (имеются в виду задачи с чётко фиксированным условием и требованием, предложенные им учителем "в готовом виде"). Основная отличительная черта таких задач - необходимость рассматривать все возможные варианты развития событий на каждом этапе решения задачи. Заметим, что это продиктовано не тем, что нужно перепробовать несколько методов решения какой-либо подзадачи, встретившейся в процессе решения, а тем, что после решения какой-либо подзадачи получается некоторая развилка. То есть далее нужно
рассматривать несколько случаев и для каждого из них находить свой способ решения задачи, причём и ход решения, и ответ, и даже сам смысл полученного результата для каждого из случаев может быть принципиально отличен от остальных. Важно также и то, что лишь изредка один из рассмотренных вариантов развития событий в решении задачи может исключать все остальные. Это может быть, например, в решении задачи с параметром, если в качестве подзадачи необходимо решать квадратное уравнение с параметром. Может случиться так, что дискриминант будет всегда положителен, поэтому рассматривать случаи, когда он равен нулю или отрицателен, нет смысла. Однако ещё до того, как дискриминант вычислен, субъект, решающий задачу, ещё не знает этого факта, поэтому он намеревается рассмотреть три случая, обусловленные тем, какой знак может иметь дискриминант. Ответ в задачах на исследование может "разветвляться" и это имеет место не только в задачах с параметрами, и не только для алгебраических задач.
Обучая школьников поиску решения задач на исследование, нужно исходить из указанной выше основной их отличительной черты. Что представляет собой такой альтернативный вариант развития событий? В подавляющем большинстве случаев его основой является сопоставление различных свойств разных объектов, указанных в задаче. Чаще всего это свойства объектов, описываемых разными теориями, поэтому в процессе решения этих задач ёмко задействованы внутрипред-метные связи. Это, в свою очередь, обязывает школьников достаточно основательно изучать математику, чтобы в изучении последующих тем легче использовать материал предыдущих.
Составлять задачи на исследование, решаемые средствами только одной теории, конечно, можно, но это нелегко, а кроме того, целесообразнее предлагать учащимся задачи, решаемые средствами нескольких теорий, опираясь на использование внутрипредметных связей.
Обычно в курсе алгебры большинство задач решается с помощью выведения следствий из данных утверждений, выражений, формул и т. д. Такая ситуация не имеет места в ходе поиска решения большинства задач на исследование. Во многих из них поиск решения - аналитико-синтетический, причём применяется он классическим способом - сначала выполняется анализ, а затем с помощью синтеза частные результаты решения собираются воедино. Это. конечно, несколько нетипично для учащихся, тем более что в традиционном курсе алгебры задачи на исследование почти не присутствуют.
В курсе геометрии большую помощь в решении задач на исследование (как и для всех других задач) оказывает верно и чётко выполненный рисунок. В отличие от курса алгебры, где поиск решения задач, преимущественно, синтетический (то есть основан на выведении следствий из тех или иных фактов), а поиск решения задач на исследование осуществляется, в основном, с помощью анализа, в геометрии поиск ре-
шения большинства задач выполняется аналитическим (аналитико-синтетическим) методом, То есть задачи на исследование в геометрии не опровергают привычных представлений о поиске решения задач в рамках этого предмета. Это составляет преимущество в обучении поиску их решения, так как учащиеся находятся в знакомой ситуации.
В ходе поиска решения задач на исследование учитель должен, прежде всего, обращать внимание учащихся на два обстоятельства. Первое из них - учащиеся должны задействовать все данные условия задачи. Часто они не могут решить такую задачу потому, что использовали не все данные её условия. Второе обстоятельство - учащиеся не смогли сопоставить и одновременно учесть характеристики и качества тех теоретических фактов, наиболее значимых для этой задачи, или вообще сопоставляли какие-то другие свойства и качества.
Из этого вытекает основной принцип методики работы с такими задачами. После того, как сделан первый шаг в решении (или поиске решения), учитель должен предложить учащимся сделать как можно больше выводов из того результата, который получен учащимися. Разумеется, большая часть таких выводов не используется в решении данной задачи, но так учащиеся учатся получать информацию, которая открыто не представлена в тех или иных компонентах задачи, но вообще им присуща. Это касается и поиска причин (признаков) существования некоторых фактов, и выводов, которые делаются из полученных ранее достижений в ходе поиска решения. Конечно, точно также Следует действовать и на всех последующих этапах решения.
Важно, чтобы учитель постепенно уступал свою управленческую инициативу самим школьникам, поскольку основа умения решать задачи - умение управлять свой деятельностью в процессе поиска решения задачи. На каждом этапе решения задач на исследование
учитель должен побуждать учеников к самостоятельному принятию решений - основе управления своей деятельностью. Вообще нужно требовать от учащихся, чтобы они перечисляли как можно больше свойств и признаков объектов, которые указаны в задаче, а затем сопоставляли эти свойства. Всё это учащиеся должны приучиться делать каждый раз, когда решают задачу. Постепенно таким способом у них можно выработать умение управлять своей деятельностью в ходе поиска решения задачи.
6. Выводы
Задачи на исследование - довольно мощный ресурс обучения школьников поиску решения математических задач. В ходе обучения решению задач на исследование в высокой степени проявляется реализация вну-трипредметных связей, следовательно, в силу вступают все функции, которые им присущи. Решая такие задачи, школьники учатся выдвижению гипотез и их проверке, а это основа не только решения задач, но и научного познания действительности, а значит, и любой творческой деятельности, которая выполняется уже профессионалами. Поскольку задачи на исследование достаточно трудны, есть смысл систематически применять их лишь в обучении школьников, планирующих связать свою будущую профессию с математикой,
В курсе геометрии задачи на исследование экзальтируют процедуру доказательства утверждений, поскольку решая их. нередко приходится выдвигать и доказывать самые невероятные предположения. Задачи на исследование во многом качественно изменяют курс алгебры. Во-первых, они не являются сугубо стандартизированными, поэтому необходим полноценный поиск их решения. Во-вторых, в ходе поиска их решения часто используется анализ, что не типично для многих задач, традиционных для школьного курса алгебры.
Библиографический список
1. Теория обучения логическому поиску решения школьных математических задач: дисс. ... д-ра пед. наук: 13.00.02 / Аксёнов Андрей Александрович. Орёл, 2010. 460 с.
2. Аксёнов А. А. Сущность эвристических математических задач и специфика их использования в обучении школьников // Учёные записки Орловского государственного университета. 2015. № 6 (69). С. 219-223.
3. Калягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. I /Ю.М. Колягин. М.: Просвещение, 1977. 110 с.
4. Крупич B.II. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. Монография. М.: Прометей, 1995. 166с.
References
1. The theory of teaching logical search school mathematical tasks. Dissertation of doctor of pedagogical sciences. 13.00.02 / Aksyonov Andrey Alexandravich. Orel, 2010. 460 p.
2. Aksyonm' A.A. The essence of heuristic mathematical tasks and specificity of their use in students' training // Scientific notes of Orel State University. 2015. №6(69). Pp. 219-223.
3. Kolyagin Yu.M. The tasks in teaching mathematics. P.I. / Yu.M. Kolyagin. M.: "Prosveschenie", 1977. 110 p.
4. Krtipich V.I. Theoretical bases of teaching of school mathematical tasks. Monograph. M.: "Prometey", 1995. 166 p.
