CC BY
21
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 519.87 : 532
Р. А. БРАЖЕ, А. А. ГРИШИНА
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА В ИНВЕРСНЫХ ЖИДКОСТЯХ
С помощью уравнений Боголюбова - Борна - Кирквуда - Ивона и модели Кирквуда строится математическая модель явлений переноса в инверсных жидкостях. Делается вывод об отрицательности как объёмной, так и сдвиговой вязкости инверсной жидкости, косвенным образом подтверждаемый результатами других авторов.
Ключевые слова: жидкости, явления переноса, модель Кирквуда, формулы Грина - Кубо.
Уравнения Боголюбова. В статистической механике жидкостей их равновесные свойства полностью описываются системой зацепляющихся интегро-дифференциальных уравнений Боголюбова для 5 -частичных функций
распределения описывающих
плотность вероятности нахождения частиц в
точках гь*"5г5. С учётом временной динамики
функции в фазовом пространстве можно записать в виде
■^5 Я\ > Р\ 5 Я 5 » Рб ) — (1)
— V | (л ^7] ? Р\ ч •• *1 Ц ДГ 5 Р V
)с!яз+\с1р,+\,...,с1с]ус1рн,
где - функция распределения N частиц по
координатам ^ и импульсам ^ в объёме ^ фазового пространства.
В наиболее общей форме записи уравнения Боголюбова (1946 г.) имеют вид [1,2]
дБ,
д(
аЦя, -Я5+\ 1)^+1 №-иФ*+1, (2)
1!</<5 )
где ^5 - гамильтониан системы из 5 частиц,
{—5—} - скобки Пуассона, ^(¡<7/ ~Ях+\) -потенциал взаимодействия между частицами. Уравнения (2) часто называют также уравнениями Боголюбова - Борна - Грина -Кирквуда - Ивона (уравнениями ББГКИ), отдавая дань вкладу перечисленных учёных в развитие теории функций распределения (1).
можно получить большую наглядность о распределении точек,
Расписывая (2) по 5
Р. А. Браже, А. А. Гришина, 2009
изображающих состояние частиц в фазовом пространстве. Например, для 5 = ^ 2 имеем
ді т дq^i V ’
дБ-2
?л
+
Р\ о Р2 3 ---------+--------------0]2
т ос/2
А =
= 77 К013 + ©23 )/7зФзФз
(3)
где
дФ\
0 - = -и
ь
д дф\ +—
Я І - Яу
д
сЯі
дрі
т
дя] др] ’
масса частиц.
С помощью уравнений ББГКИ (3) можно вывести кинетическое уравнение Больцмана для газа малой плотности со слабым взаимодействием между частицами. Вывод основан на том, что в таком газе существует открытая Н. Н. Боголюбовым (1945 г.) иерархия трёх времён релаксации: времени столкновения
гО~го/(у) (г0 - радиус действия
межмолекулярных сил, (у) - средняя тепловая скорость молекулы), времени свободного
пробега *0 ~ )/(у) (('О - средняя длина
свободного пробега) и времени макроскопической релаксации 1г характерный размер системы). Обычно
Т0 <<: ^0 « 1г, вследствие чего через время то
все функции распределения ^ с ^ — 2 начинают зависеть от времени лишь через
одночастичную функцию . Используя граничное условие, состоящее в ослаблении корреляций между молекулами при их удалении
друг от друга, и условие факторизации на произведение
Р, (1)^(2)
в отдалённом
прошлом, из (3) можно получить кинетическое уравнение Больцмана для одночастичной
функции распределения частиц по
координатам и импульсам:
д(
+
г
V
V —
дг
/
+
1
т
/
\
/
\
ді
\
'С
(4)
Здесь у - скорость частиц, Т7 - внешняя
сила, действующая на частицу, (з//Ч -
интеграл столкновений, характеризующий изменение функции распределения вследствие столкновений. Подробный вывод уравнения Больцмана из уравнений ББГКИ можно найти, например, в [3].
Модель Кирквуда. В математической модели явлений переноса в жидкостях вместо бесконечной цепочки уравнений (2) для упрощения задачи можно ограничиться лишь
двумя уравнениями для функций ^1 и ^2. Так как уравнения (2) обратимы во времени, то для описания необратимых кинетических процессов
обычно переходят к новым функциям и *2, являющимся результатом усреднения функций
^1 и ^2 по соответствующим образом подобранным малым интервалам времени.
Кирквудом [4] были предложены кинетические
уравнения для функций и ^2, учитывающие лишь одну составляющую теплового движения молекул - их броуновское движение в флуктуирующем поле. При этом столкновения
частиц не учитывались. В частности для ^1,2 уравнение Кирквуда имеет вид
^1,2 , дР\Л Р [ д/7\,2 к* =
ді
д
др
/
Р
\
дг т др
Р ~ 2
2 + кВТ——
т 1,2 3 др
(5)
}|(
где К - сумма внешней силы и дополнительного слагаемого статистической природы, связанного с отклонением системы от равновесного состояния (им обычно
пренебрегают); Р - коэффициент трения.
В случае малых отклонений внешней силы, градиента температуры, плотности и т. д. от их равновесных значений решения (5) могут быть найдены в виде
(б)
А») ,
где г1;2 - равновесные функции распределения,
ш
а 1,2 — малые поправки, обусловленные
иеравновесностью системы. С помощью
функций ''1,2 Кирквудом получены [4] для
сдвиговой 7/ и объёмной Ь вязкости следующие выражения:
+ (7)
_ тпквТ тсрп
+
9кВТ о
2 оо
- ¡Ф'(лр0(л)4'0(л)л3с№ (8)
где п ~ ^'¡V _ концентрация молекул; ^(**) -потенциал парного взаимодействия частиц;
- функция Грина нулевого приближения. Учёт столкновений в уравнении Кирквуда (5) приводит к тому, что в формулах (7), (8) появляются дополнительные члены (теория Райса - Олнетта). Однако даже в этом случае имеет место существенное различие между теоретически вычисленными и экспериментально полученными значениями кинетических коэффициентов.
Например, для жидкого аргона при Т - 90К и р = 1,3 атм экспериментально найденное значение
^ превышает расчётное на 27%.
Вычисление коэффициентов переноса через временные корреляционные функции.
В соответствии с гипотезой Онсагера, эволюция системы не зависит от того, оказалась ли она в данном состоянии под воздействием внешнего возмущения или в результате флуктуации. Следовательно, можно найти связь между коэффициентами переноса и временными корреляционными функциями соответствующих потоков и выразить эти коэффициенты через интегралы от данных корреляционных функций. В частности, для коэффициентов самодиффузии
теплопроводности К , СДВИГОВОЙ ВЯЗКОСТИ
и объёмной ВЯЗКОСТИ £ Грином и Кубо в 1954-1957 гг. были получены следующие формулы:
СО
П - Ііт т\2 |е~а (р\ Р]
/г->0
О
(9)
к -
Ііт [ПВТ*
¿•->0, У-*ос
■'7.
о
-й
■¡Щ (<))<*, (10)
со
-1 г -ЄІ
Г}= Ііт {пвт)~] ¡е
£■->0, V ^>сО 0
, (11)
<г= Пт (ПцТУ^е^^-Р)
¿г—>0, V -»со 0
П П
✓С *
Здесь Р,- - х-компонента импульса 1-
/=IV УЛ _
частицы (/_]); •'С? ~ -"-компонента потока
тепла; яху, л"и - компоненты тензора потока полного импульса.
Явления переноса в инверсных жидкостях.
Из формул Грина - Кубо (9) - (12) видно, что в инверсной жидкости, когда эффективная масса
частиц т\ < 0 и эффективная абсолютная
температура самодиффузии В
Т< 0
коэффициенты
и теплопроводности
сдвиговой вязкости 4 и объёмной вязкости
остаются положительными, а коэффициенты
'П ы пг\1.рк* игпл иа^и-гк^ты
становятся отрицательными. Таким образом, известная математическая модель Грина - Кубо явлений переноса в жидкостях, расширенная на случай инверсных жидкостей, предсказывает возможность существования не только отрицательной объёмной вязкости, что уже экспериментально доказано [5, 6], но также и отрицательной сдвиговой вязкости, что ещё предстоит обнаружить экспериментально.
Известные экспериментальные результаты и их трактовка. Всплеск интереса к явлениям с отрицательной вязкостью был во многом стимулирован появлением книги В. Старра [7], содержащей примеры эффектов отрицательной вязкости, в том числе в жидкостях, приводящих к росту энергии волн различной природы.
В настоящее время известно большое количество работ, посвящённых теоретическим аспектам распространения акустических волн в неравновесных, в том числе ионизованных, газах, а вот работ, посвящённых теории отрицательной вязкости жидкостей, немного. И совсем мало работ, в которых обсуждаются результаты экспериментального исследования данного явления [8].
Во всех указанных работах рассматривается вторая (объёмная) вязкость, дающая вклад в затухание акустических волн. В газе из нейтральных частиц это единственное коллективное возбуждение. Оно сохраняется также и в плазме, и в жидкостях, определяя в значительной мере их динамику. Отмечается, что инверсия знака второй вязкости наблюдается в акустически неравновесных (активных) средах. Эта неравновесность заключается в большем заселении частицами вращательных и колебательных уровней энергии. Вовлечения новых степеней свободы, активно взаимо-
действующих с акустической волной, определяют условия её устойчивости -нелинейность и диссипативные эффекты [9].
Если период звуковой волны становится соизмеримым со временем установления равновесия в среде (временем релаксации г), то сжатия и растяжения среды в процессе распространения волны будут сопровождаться дополнительной диссипацией энергии волны и увеличением её затухания. Эта дополнительная диссипация энергии и определяется второй вязкостью в отличие от трения, обусловленного сдвиговой вязкостью. В неравновесной среде возникает иерархия времён релаксации [10]:
Т » Ту » т1 ~ тг
где г - соответственно обозначают времена релаксации колебательно-поступательных, колебательных, поступательных и вращательных степеней свободы.
Вместо времён релаксации часто вводят температуры заселения уровней, в частности, «температуру заселения колебательных
уровней» ^ и «кинетическую температуру» Т ? связанные с поступательными и вращательными степенями свободы. Если в среде искусственно
поддерживать Ту>1 ? то происходит перекачка энергии из колебательных степеней свободы к поступательным и вращательным степеням свободы. В случае распространения в такой среде акустической волны эта энергия перекачивается в вольту, вызывая уменьшение её затухания или даже усиление, что можно интерпретировать как отрицательную вторую вязкость.
Трудности прямой экспериментальной проверки наличия отрицательной сдвиговой вязкости. Согласно нашей математической , модели, жидкость с отрицательной вязкостью должна быть инверсной (активной), т. е. характеризоваться отрицательной эффективной абсолютной температурой. Таковыми жидкостями являются жидкости, используемые в лазерах на красителях. Для того чтобы жидкость находилась в стационарном инверсном состоянии, необходимо, чтобы вынужденное излучение её активных частиц превышало их спонтанное поглощение и потери энергии на поглощение в открытом резонаторе лазера, т. е. измерение вязкости надо проводить на работающем лазере. В такого типа лазерах жидкость прокачивается через резонатор в виде тонкой струи во избежание перегрева при мощной оптической накачке другим лазером и «пригорания» к окнам кюветы. Но главная проблема состоит в том, что концентрация
активного вещества в растворе должна быть очень маленькой. Иначе излучение испытывает сильное затухание, связанное с тушением люминесценции. Известные методы измерения сдвиговой вязкости жидкостей имеют значительно большую погрешность.
Косвенная проверка справедливости модели. В нашем случае результатом служит выведенная в [11] апроксимационная формула, связывающая динамическую (сдвиговую) и вторую (объёмную) вязкости:
\
/
-у
\
;
У _
где 1 - показатель адиабаты, равный
отношению теплоёмкостей при постоянном давлении и постоянном объёме. Он связан с
числом степеней свободы частиц 1:
, 2
7-1 + Т.
/
Число степеней свободы складывается из количества степеней свободы поступательного
• • движения Ч, вращательного движения Ь и
колебательного движения :
/ = 11 -ь /г + 2/у ?
* __ • _ Л 5
причём *тт ~Ч -з. Следовательно,
(5/3-/)>0> Таким образом, знаки 71 и £ совпадают: если объёмная вязкость
отрицательна, то и сдвиговая вязкость должна быть отрицательной.
В работе [12] независимо получена другая формула, связывающая коэффициенты
сдвиговой и объёмной вязкостей:
Ç = ^nkBcrvr]Z
\
/
t
где - «вращательная» удельная теплоёмкость при постоянном объёме. Отсюда также следует,
что ^ и £ принимают положительные или отрицательные значения одновременно.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Боголюбов, Н. Н. Избранные труды по статистической физике / Н. Н. Боголюбов. - М. : Наука, 1979. - 342 с.
2. Фишер, И. 3. Статистическая теория жидкостей / И. 3. Фишер. - М.: Физматгиз, 1961. -280 с.
3. Зубарев, Д. Н. Статистическая механика неравновесных процессов. В 2 т. Т. 1 /
Д. Н. Зубарев, В. Г. Морозов, Г. Репке. - М. : Физико-математическая литература, 2002. -
432 с.
4. Kirkwood, J. G. The statistical mechanical theory of transport processes. Part 1. Genezal Theory / J. G. Kirkwood // J. Chem. Phys. - 1946. -V. 14.-P. 180.
5. Молевич, H. E. Дисперсия скорости звука и вторая вязкость в средах с неравновесными химическими реакциями / H. Е. Молевич // Акустический журнал. - 2003. - Т. 49. - № 2. -С. 229-232.
6. Коган, Е. Я. Коллапс акустических волн в неравновесном молекулярном газе / Е. Я. Коган, H. Е. Молевич // ЖТФ. - 1986. - Т. 56. - № 5. -С. 941-943.
7. Старр, В. Физика явлений с отрицательной вязкостью / В. Старр. - М. : Мир, 1971.
8. Косарев, А. В. Динамика эволюции неравновесных диссипативных сред / А. В. Косарев. - Оренбург : ИПК «Газпромпечать» ООО «Оренбурггазпромсервис», 2001. - 144 с.
9. Коган, Е. Я. Распространение звука в колебательно-возбуждённом газе / Е. Я. Коган,
B. Н. Мальнев // ЖТФ. - 1977. - Т. 47. - № 3. -
C. 653-656.
10. Hasegawa, М. Amplification of sound waves in partially ionized gases / M. Hasegawa // Phys. Soc. Jap. - 1974. - V. 37. - P. 193-199.
11. Елизарова, Т. Г. Квазигазодинамическое уравнения и аппроксимационная формула для объёмной вязкости / Т. Г. Елизарова,
B. В. Серегин // Вестник Московского ун-та. Серия 3. Физика. Астрономия. - 2006. - № 1. -
C. 15-18.
12. Галкин, В. С. К теории объёмной вязкости и релаксационного давления / В. С. Галкин, С. В. Русаков // Прикладная математика и механика. -2005. - Т. 69. - № 6. - С. 1051-1064.
Браэ/се Рудольф Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Физика» УлГТУ. Имеет публикации в области физики твёрдого тела и математического моделирования неравновесных систем.
Гришина Алёна Александровна, аспирант кафедры «Физика» УлГТУ. Имеет публикации по теории явлений переноса.
