CC BY
22
Известия Тульского государственного университета
Естественные науки 2008. Выпуск 2. С. 93-100
---- МЕХАНИКА ----
УДК 539.3
Е.Д. Комолова, Д.В. Христич
Тульский государственный университет
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОДА-ИНСТРУМЕНТА С ЗАГОТОВКОЙ
Аннотация. Рассмотрен изгиб электрода-инструмента в форме полосы при жестком закреплении. Найдена критическая сила, необходимая для потери устойчивости. Получено предельное значение нагрузки, при которой в инструменте начинаются пластические деформации.
В настоящее время в промышленности все чаще возникают задачи получения сложнопрофильных отверстий, длинномерных узких пазов и прочих труднообрабатываемых элементов, особенно, если речь идет о микрообъектах. Благодаря современным достижениям в области производства микроинструмента становится возможным решение ряда подобных задач с помощью механической обработки. Однако изготовление инструментов довольно дорого, поэтому возникает вопрос о целесообразности их применения, особенно когда приходится иметь дело с труднообрабатываемым материалом, а при обработке инструментальных материалов их использование вообще не возможно. Поэтому целесообразно использовать более эффективные методы обработки, например, электроэрозионную обработку.
Существует множество задач, связанных с обработкой микрообъектов, размеры которых зачастую составляют несколько десятков микрометров. Одним из самых перспективным методов в этой области является микровырезание непрофилированным электродом-инструментом (проволокой). Электрод-инструмент жестко закреплен на одном конце. При соприкосновении электрода-инструмента и заготовки возникает разряд тока, металл плавится. В момент, когда электрод соприкасается с металлом, можно сказать, что инструмент жестко закреплен с двух концов. (Из этих соображений записываются граничные условия задачи.) Так как речь идет об обработке микрообъектов, то требуется определить точность, с которой электрод-инструмент может попасть в ту или иную указанную координату. При этом
очень важно, чтобы деформации электрода-инструмента оставались упругими, а не переходили в пластические — форма инструмента должна оставаться неизменной. Модель этого процесса разрабатывается в данной работе.
В статье [1] была предложена вариационная постановка задачи об изгибе полосы в рамках нелинейной теории упругости. Данная задача решается относительно неизвестного угла поворота сечения. Через угол поворота сечения выражаются все кинематические и силовые характеристики. Представим вариационное уравнение для указанной постановки в следующем виде:
Ьо
/сЛф
МвнутрЗ2 = N • 611 -Ь Мвнеш5ф, (1)
о
где Мвнутр = М\ + М2 — главный момент внутренних сил, отнесенный к толщине,
м м
2 2
М\ = I Т22-1' 1 (1-1' 1 • М2 = - у Т22Х1-^~(1X1]
но _ но
2 2
НО
2
N = / Р(1:г 1 — главный вектор внешней нагрузки, отнесенной к площади
НО
2
НО
2
сечения; Мвнеш = у Рх 1 Т2(1х 1 — главный момент внешних сил, отнесен-
_ м 2
/ х2 \ / х2 \
пый к толщине; дй = I j сон(ф)6ф(]х-2 | е\ + I j — нт((;>)дф(1х2 | ва-
риация вектора перемещений; 6ф — вариация неизвестного угла поворота сечения.
Уравнение (1) определяет вариационную постановку задачи о нелинейном изгибе. Удобно с помощью преобразований перейти от вариационного к дифференциальному уравнению, так как само уравнение упростится, и в него не будет входить вариация производной неизвестной функции угла поворота 5-^, а войдет только производная функции ^:
о12Ф , ЗР2 . ( ^
Щ + Щ*т{-Ф)=0’
<1*ф
йх 2
+ к2 $т(ф) = 0, (2)
где Р2 — компонента вектора внешней нагрузки; ф — угол поворота сечения полосы; /?о — толщина полосы; Ет — модуль Юнга; к2 = .
Уравнение (2) определяет дифференциальную постановку задачи о нелинейном изгибе полосы, решение которого дает нам искомый угол поворота сечения. Данное уравнение предствляет собой дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, его решение ищем в виде:
ф(х2) = С\ ет(кх2) + С2 соз(кос2). (3)
Здесь С\ и С2 — некоторые постоянные, которые определяются из граничных условий.
Ранее было оговорено, что полоса жестко закреплена на обоих концах, то есть на верхнем и нижнем концах сечение не поворачивается, угол поворота сечения равен нулю. Граничные условия для этого случая запишем в виде
х2 = 0 : ф = О
х2= Ь0 : ф = 0. (4)
Условия (4) дополним еще и требованием, что середина полосы не пово-
рачивается:
х2 = ^: ф = 0. (5)
Исходя из выражений (4) и (5), находим неизвестные С\ и С2 для функции угла поворота сечения (3). Таким образом,
ф(х2) = Сг 8Ш X2^ . (6)
Теперь видно, что С\ представляет собой максимальное отклонение от первоначального положения в полосе при х2 = 0. 51/о-
Далее сравним в полученном уравнении (6) и представленном ранее выражении (3) значения величины к:
р 2Л°Е (7)
~ Е-к1 ~ \Ь0) ’ Крит ~ ЗЦ ' [ >
Выражение (7) определяет значение критической силы, при достижении которой в полосе начинается изгиб в виде полуволны синусоиды, то есть при достижении этой силы полоса теряет устойчивость.
Подставляя выражение (6) в вариационное уравнение (1) и разрешая его
относительно неизвестной Сг, после интегрирования по координате х2 по-
лучим
7Г 2Ек% ЗЖ§7Г4 2 1
“б1Г ^Ц 1 4 0 0 2' (8)
Уравнение (8) решаем сначала относительно неизвестной (71 и получаем зависимость максимального прогиба полосы (для точки х2 = = 0. 51/о) от приложенной силы:
_ 2^10 Ьо / зР2Ь1 ,
(9)
Подкоренное выражение должно быть положительным:
^ 2тг2/г2£
Рг ^ “Щ“'
Уравнение (8) решалось независимо от представлений (7), однако, при его решении получилась критическая сила, при достижении которой в полосе начнется прогиб. Эта сила в точности совпадает со значением (7).
Уравнение (8) можно решить относительно неизвестной Р2 и найти тем самым зависимость силы от максимального прогиба:
2 2зг Ч1Е
Рз = ~2оЩ~ + -Щ~- (11)
Второе слагаемое в выражении (11) в точности совпадает с критической силой, определенной формулами (10). Первое слагаемое является нелинейной поправкой к решению.
Графики зависимостей (11) для полосы из стали (предел текучести <т,я = 2, 5 • 108Па, модуль упругости Ет = 2,1 • 101111а). меди (предел текучести СГ5 = 0,5 • 108Па, модуль упругости Ет = 1,1 • 101111а). вольфрама (предел текучести (Т,ч = 7. 5 • 108Па, модуль упругости Ет = 4,1 • 101111а) показаны на рис. 1.
На рис. 1 видно, что графики начинаются не из начала координат, а только после достижения критического значения силы, которое совпадает с силой Эйлера.
Сила (11) представляет собой сумму двух слагаемых — нелинейного относительно амплитуды С\ и силы Эйлера. Если отбросить эту нелинейную поправку, получим линеаризованное решение, которое часто используется при решении задач линейной упругости. Можно сравнить два этих решения:
ЗЯ^тг4 2 , 2ТГЧ2Е
гнелин — 201/4 1 3^2 ’ ' '
Рис. 1. Зависимость приложенной силы от амплитуды для полосы из стали, меди, вольфрама, длина Ьо = 0, 05 м, ширина /го
0,001 м
Р
лип
2'к2Н$Е
(13)
Формулы (12) и (13) определяют нелинейное и линейное решения соответственно.
На рис. 2 приведены зависимости линейного и нелинейного решения от максимального прогиба С\ (сила отнесена к критическому значению).
Рис. 2. Сравнение зависимостей нелинейного и линейного решения для выражения силы для полосы из стали, длина 1/о = 0, 05 м, ширина 1го = 0, 001 м
Интересно узнать, при каких соотношениях длины и ширины разница между линейным и нелинейным решениями была бы существенной. Для
этого мы должны проанализировать только нелинейное слагаемое в выражении (12). Именно оно вносит различия между решениями, и с его возрастанием увеличивается и разница между решениями:
Р.
пелип
3-Е/гд7г4
201/|
С .
(14)
Предположим, что длина превосходит ширину в п раз, то есть Ьо = п1го Тогда зависимость (14) перепишется в виде
ЗЕтг4
Р
пелип
(С)
20п4
■с\
(15)
На рис. 3 построены графики зависимостей нелинейной части в виде (15) от п при предельном значении амплитуды, которое будет получено ниже.
Рис. 3. Зависимость нелинейной составляющей силы от параметров полосы из стали, меди и вольфрама
Из графика видно, что значение нелинейной составляющей более существенно, когда длина превосходит ширину в 1-50 раз, при дальнейшем увеличении значения п слагаемое стремится к нулю. Так как зависимость (15) обратно пропорциональная, то с увеличением параметра п вклад нелинейного слагаемого в значение силы уменьшается.
Для описания напряженного состояния используем обобщенный энергетический тензор напряжений, ненулевая компонента которого имеет вид [1
Т<
22
Ет
2ТТ X
2^2
Т 2
0
Сл сое
27ГЖ-
2жхл
■ С\ сое
27ГХГ
(16)
Ьо ) Ед \ 1/0 ) )
Для нахождения предельного значения прогиба используем предельное значение напряжений, при достижении которых деформации переходят в пластическую зону. Наибольшие напряжения возникают при х\ = 0, 5/?о ?
х-2 = 0,51/о, то есть в середине сечения полосы. Приравняем это значение напряжения к пределу текучести <75-:
-2 . , (17)
= Егп
/го ^ П2 , /г0 2тг
ТЦС + ТГ°
Уравнение (17) является квадратным относительно амплитуды С, следовательно, имеет два корня, различающиеся лишь знаками. Рассматривая прогибы в положительном направлении оси Ох\, будем исследовать только положительный корень уравнения (17). Отсюда определяется предельное значение максимального отклонения:
Спред
¿0
7ТІІ(
1
(18)
Для определения предельного значения приложенной силы используем (10), где вместо отклонения С\ подставляем его предельное значение Спред:
л
пред
З ІідЕттт2
5 Ц
Ет + Е2 + ЗЬ20 '
В выражение (19) входят два слагаемых: сила Эйлера и нелинейная добавка. Покажем на графике (рис. 4) действие сил: прогиб полосы равен 0, пока значение действующей силы не достигнет значения силы Эйлера, далее прогиб и сила могут возрастать, но деформации остаются в упругой зоне, потом значение силы достигает предельной величины, и в полосе начинаются пластические деформации.
Рис. 4. График действия силы, на полосу из вольфрама, 1/о = 0, 05 м, ширина 1го
0,001 м
Таким образом, для указанного условия нагружения и закрепления изгибаемой полосы определено критическое значение приложенной силы, при достижении которой полоса теряет устойчивость, а также предельно допустимые значения нагрузки, при превышении которых в рассматриваемой полосе начинаются пластические деформации.
Библиографический список
1. Христич Д.В. Определение напряженно-деформированного состояния в изгибаемых телах / Д.В. Христич, Е.Д. Комолова, А.Л. Екатериничев // Известия ТулГУ. Естественные науки. — 2007. — Вып. 1. — С. 98-111.
Поступило 24.07.2008
