Математическая модель вспомогательной силовой установки самолета Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 519.71

И.В. Луценко

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ СИЛОВОЙ УСТАНОВКИ САМОЛЕТА

Осуществляется построение математической модели вспомогательной силовой установки самолета, основными узлами которой являются

газотурбинный двигатель и управляемый трехфазный генератор переменного тока.

Математическая модель, газотурбинный двигатель, генератор переменного тока

I.V. Lutsenko

MATHEMATICAL MODEL OF AUXILIARY POWERPLANT OF AIRCRAFT

Mathematical model of auxiliary power plant of aircraft with gas turbine engine and controllable three-phases AC generator as main components is investigated.

Mathematical model, gas turbine engine, AC generator

Назначение и функциональная схема вспомогательных силовых установок

Вспомогательные силовые установки (ВСУ) широко используются на современных летательных аппаратах. На самолетах они предназначены для воздушного запуска маршевых двигателей, подачи сжатого воздуха для системы кондиционирования салона, питания бортовой системы электроснабжения на земле и при отказе основной системы электроснабжения в полете.

Функциональная схема ВСУ изображена на рис. 1 и включает следующие компоненты: линейный электромагнитный преобразователь (ЛЭП) и дозатор топлива топливного агрегата; газотурбинный двигатель (ГТД) и датчик температуры газов; возбудитель, вращающийся выпрямитель и генератор, входящие в состав управляемого трехфазного генератора переменного тока (ГПТ).

! Возбудитель Выпрямитель Генератор Рис. 1. Функциональная схема вспомогательной силовой установки самолета

Для ВСУ управляющими воздействиями являются: напряжение возбуждения ивв индукторной обмотки возбудителя ГПТ и управляющий ток іЛ ЛЭП, который преобразуется в перемещение хЛ иглы дозатора. От расхода топлива g на выходе дозатора зависят скорость вращения п вала ГТД и температура газов: в камере сгорания Ти за турбиной Тг . При подаче напряжения возбуждения ивв в якорной обмотке возбудителя ГПТ создается переменное

напряжение ив, которое выпрямляется вращающимся выпрямителем и образует напряжение возбуждения игв генератора ГПТ. Следует отметить, что значение напряжения ив, так же как и выходного фазного напряжения иг генератора ГПТ, мультипликативно зависит от частоты вращения ротора ГПТ, т. е. скорости вращения вала ГТД.

На ВСУ действуют внешние возмущения, которыми являются воздушная и электрическая нагрузки. На ГТД они действуют в виде механических моментов сил тнв и тнЭ, приложенных к валу. Для ГПТ подключение электрической нагрузки приводит к возникновению напряжения иГЯ реакции якоря генератора, которое компенсируется увеличением якорного напряжения возбудителя ив. При этом значение разности напряжений возбуждения игв и реакции якоря иГЯ генератора ГПТ не изменяется и соответствует режиму холостого хода.

Модель газотурбинного двигателя

Полная математическая модель ГТД является очень сложной, описывается большим числом нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений [1], ряд из которых представляются в виде графических зависимостей. Упрощенная, но достаточно адекватная модель ГТД применительно к реальному двигателю ТА 18-200 на основе экспериментально снятых кривых описано в [2, 3]. Используя полученные результаты, будем описывать приближенную модель ГТД в безразмерном виде следующими уравнениями:

—{kTg - Г); Тг = Т - кпп. (1)

п

Здесь введены обозначения относительных величин:

К = Кп^пом , (2)

(индекс ном обозначает номинальную величину), а также нелинейной функции f (£) = Р(010ном)/ юном, где со [рад/с_1] - угловая скорость вращения вала (

аном = 2513 рад/с_1); J' = 0,17 [Н-м-с2] - момент инерции вращающихся частей на валу;

М0 = 12 [Н-м] - пусковой момент стартера; С [кг/ч] - расход топлива (С ном = 149,3 кг/ч);

т

нв •

тнЭ [Н-м] - механические моменты воздушной и электрической нагрузок, соответственно (Мв = 6,85 Н-м, МЭ = 1,41 Н-м); Т' [град] - температура газов в камере сгорания (Ттах = 1000 град); Кп = 0,0003 [с] - коэффициент, определяющий влияние скорости вращения вала двигателя (турбины) на температуру газов Тг за турбиной; К = 0,044 [Н-м-с], КТ = 7,37 [град/кг] - параметры двигателя; Г(Є) - статическая характеристика двигателя; тТ = 3,5 [с] - постоянная времени сгорания топлива.

Структурная схема приближенной модели ГТД приведена на рис. 2.

Рис. 2. Структурная схема приближенной модели ГТД

Рис. 3. Статическая характеристика ГТД

Вычисляя по соотношениям (2) значения параметров двигателя и моментов нагрузок, получим: J = 35 с, к = 9,18, кп = 0,78, кг = 1,1, тнВ = 0,57, тнЭ = 0,12. Заменим входящую в (1) нелинейную функцию /(g), график которой приведен на рис. 3 [2], линейной функцией /(g) = а ■ g . Коэффициент а = 0,36 определим как тангенс угла наклона касательной к графику функции / (g) в точке, соответствующей номинальному режиму работы двигателя (g = 1, п = 1). Окончательно, используя соотношения (1), запишем уравнения модели ГТД в следующем виде:

Гп = 0,0944g — 0,2623п - 0,029тНВ - 0,029тНЭ;

[Г = 0,3143 g — 0,29Г; ГГ = Г — 0,78п.

Запишем известные [3] уравнения модели ЛЭП:

(3)

= 75іЛ + 25х1 - 26х

Л ’

х1 = 5і Л

х

Л

а также моделей дозатора топлива и датчика температуры газов (термопары):

,§■ = 54,6хЛ — 33,33g;

йг = 1,429Г — 0,9714п —1,429 иТ, где х1 - вспомогательная переменная.

(4)

(5)

(6)

Модель управляемого генератора переменного тока

Построение математической модели ГПТ будем осуществлять применительно к реальному индукторному генератору ГПТ-100. Как отмечалось выше, конструктивно электрическая машина состоит из трехфазного возбудителя, вращающегося трехфазного двухполупериодного диодного выпрямителя и трехфазного генератора. Используя теорию расчета индукторных машин [4], запишем в безразмерном виде уравнения выходного действующего напряжения одной из фаз генератора:

и г І г № г к г • РМГ (Гг ) ■ п ;

Ті г ^Іі г

Я г Л

1гл-

(7)

В уравнениях (7) используются обозначения относительных величин:

&

Л

= и гв І г

и = иГ 1 = 1Г к = ^ГИ ®»ом1 Гхх и = иГВ и = 1ГЯЯГ (8)

иг ~ и 5 г ~ I •> кг ~ и 5 гв ~ I о > игя ~ I о > ^

и Гном 1 Гхх и Гном 1 ГххЯГ 1 ГххЯГ

а также индуктивности [Г н] якорной обмотки генератора

кГ = ^2 ■ Рмг(Р); (9)

где иГ [В] - выходное действующее напряжение одной из фаз генератора ( иГном = 115 В); IГ и IГхх [А] - рабочий ток и ток холостого хода в якорной обмотке генератора, соответственно; ЖГ = 500 - число витков в якорной обмотке; ЖГИ = 36 - число витков в индукторной обмотке; кГ [витки/Ом-с] - параметр генератора; РМГ (РГ) [Вб/А-витки] -функция нелинейной зависимости магнитной проводимости магнитной цепи генератора от магнитной движущей силы (МДС) РГ = (IГ — IГЯ) ЖГ [А-витки]; ЯГ = 2,6 Ом -активное сопротивление якорной обмотки генератора; IГЯ = 2,7 ШГИ /ЖГ ■ IН = 9,0 [А] -приведенный средний ток реакции якоря генератора при возникновении в индукторной обмотке генератора тока нагрузки ^ = 46,4 А. Постоянное напряжение возбуждения генератора иГВ [В] определим как

иГв = кт4ьив. (10)

Здесь квв = 0,98 - коэффициент передачи трехфазного двухполупериодного выпрямителя; ив [В] - выходное амплитудное напряжение возбудителя.

Уравнения выходного амплитудного напряжения возбудителя ГПТ аналогичны уравнениям (7) - (9) и в безразмерном виде могут быть записаны следующим образом:

йв = Ув^ви кв ' Рмв (Рв) ■ п; ~ ~ = йвв — Ув . (11)

Яв т

Здесь используются следующие обозначения относительных величин:

й = и в 1 = Тв к = ^Ж^ваном ^ вхх и = и вв (1 2)

йв = Т Я ’ в = т ’ кв = г Я ’ ивв = т Я , (12)

Гхх Г вхх Гхх Г вхх в

а также индуктивности [Гн] индукторной обмотки возбудителя

кв = ^в2и ■ Рмв (Рв ); (13)

где ^ и [А] - рабочий ток и ток холостого хода в индукторной обмотке возбудителя,

соответственно; ЖВИ = 1488 - число витков индукторной обмотки возбудителя; ЖВ = 136 - число витков якорной обмотки возбудителя; кв [витки/Ом-с] - параметр возбудителя; Рмв (Рв) [Вб/А-витки] - функция нелинейной зависимости магнитной проводимости магнитной цепи возбудителя от МДС Рв = IвШви [А-витки]; Яв = 2,9 [Ом] - активное сопротивление индукторной обмотки возбудителя.

Следует отметить, что в уравнениях (11) не учитывается ток реакции индуктора возбудителя при возникновении тока ^Я, поскольку его величина мала.

Используя экспериментальные данные (значения напряжений ивв, иГ и тока ^ ), полученные для различных статических режимов работы ГПТ, определены значения токов холостого хода в индукторной обмотке возбудителя = 0,67 А и якорной

обмотке генератора IГхх = 5,79 А, параметры возбудителя кв = 15212,5 витки/Ом-с и генератора кГ = 3221,1 витки/Ом-с, а также регулировочные характеристики намагничивания магнитопроводов возбудителя Фв (ув ) = 1вШвикв ■ Рмв (Рв ) и генератора ФГ (1Г ) = 1ГЖГкГ ■ РМГ (РГ ), графики которых приведены на рис. 4.

Введем в рассмотрение вспомогательные переменные:

ев =Ф в (1в ) и еГ =Ф Г (1Г X (14)

с использованием которых представим структурную схему модели ГПТ в виде, изображенном на рис. 5.

Рис. 4. Регулировочные характеристики намагничивания магнитопроводов ГПТ

Возбудитель Выпрямитель Г енератор

Рис. 5. Структурная схема приближенной модели ГПТ

Заменим нелинейные функции Фв (Ів) и Ф г (Іг) линейными функциями Фв (Ів) = ав ■ ів и Ф г (Іг) = аг • іг, где коэффициенты ав = 0,37 и аг = 0,62 определим как тангенсы углов наклона касательных к графикам соответствующих функций в рабочих точках для режима работы ГПТ при включенной нагрузке. Тогда уравнения (7), (11), используя выражения (9), (10), (13), (14) можно переписать следующим образом:

е г • п;

ив ев ■ П;

№'г

к г Я г

IV,

ви

кВВ ■ и в *

1

аг

1гя ’

(15)

квЯв

а

в

или, используя числовые значения параметров модели ГПТ, в виде

и г = е г ■ п;

Єг = 28,475ив - 27,02ег - 16,75и

гя

\ив = ев • п; Єв = 29,65ивв -80,13ев.

(16)

Разложим в ряд Тейлора выражения для ив и иГ, не учитывая члены разложения второго и высших порядков: ив = ев + п, иГ = еГ + п . Тогда, принимая во внимание первое уравнение из (3), система уравнений (13) может быть представлена в виде следующей системы линейных дифференциальных уравнений:

Ге в = 29,65ивв — 80,13ев;

1иг = 28,475ев - 27,02иг + 55,233п + 0,0944& - 16,75игя - 0,029тв - 0,029тЭ.

(17)

Таким образом, окончательно заключаем, что математическая модель вспомогательной силовой установки самолета может быть представлена системой линейных дифференциальных уравнений первого порядка, включающей уравнения газотурбинного двигателя (3),

линейного электромагнитного преобразователя (4), дозатора топлива (5), датчика температуры (6) и генератора переменного тока (17).

и

г

г

г

е в = и

1. Теория автоматического управления силовыми установками летательных аппаратов. Управление ВРД / под ред. А. А. Шевякова. М.: Машиностроение, 1976. 344 с.

2. Приближенная модель газотурбинного двигателя в режиме разгона со стартером / О.В. Авдеев, В.Ю. Челмадеев, А.И. Голодный и др. // Проблемы точной механики и управления: сб. науч. трудов. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2004.

3. Луценко И.В. Синтез цифрового регулятора для контура ограничения температуры газов газотурбинного двигателя / И.В. Луценко // Доклады академии военных наук. 2005. №1. С. 47-53.

4. Альпер Н.Я. Индукторные генераторы / Н.Я.Альпер, А.А. Терзян. М.: Энергия,

1970.

Луценко Илья Вячеславович -кандидат технических наук, доцент кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета

Статья поступила в редакцию 01.11.10, принята к опубликованию 15.11.10