Математическая модель возбудителя синхронного двигателя на основе эквивалентных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.313

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОЗБУДИТЕЛЯ СИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ НА ОСНОВЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

А.И. ФЕДОТОВ, В.В. МАРФИН

Казанский государственный энергетический университет

Включенный возбудитель синхронного двигателя при кратковременных нарушениях электроснабжения обеспечивает быструю ресинхронизацию. Математическая модель синхронного двигателя должна учитывать наличие вентильных преобразователей в системе его возбуждения. Метод эквивалентных уравнений позволяет сформировать математическую модель возбудителя постоянной структуры.

Ключевые слова: синхронный двигатель, математическая модель, эквивалентные уравнения, вентильный преобразователь.

Применительно к системам внутреннего электроснабжения напряжением 6 - 10 кВ важность оценки воздействия высоковольтных электродвигателей на частоту тока и величину остаточного напряжения в аварийных режимах обусловлена требованиями к проверке эффективности установки устройств быстрого аварийного включения резерва (БАВР). Применение устройств БАВР выдвигает задачу математического описания выбега СД с включенной системой возбуждения.

Математическая модель генератора с системой бесщеточного возбуждения описана в работе [1], но СД отличается от рассматриваемого случая изменением скорости вращения двигателя в переходном процессе. Таким образом, необходима её доработка применительно к рассматриваемым обстоятельствам. Известны математические модели синхронных машин в дискретных переменных [2, 3], где текущая коммутация вентилей системы возбуждения выводится из рассмотрения. Для СД в режиме выбега к уравнениям электромагнитного переходного процесса добавляется уравнение баланса моментов, учитывающее изменение скорости вращения двигателя, которое не приводится к конечно-разностному виду. В связи с этим актуальна задача формирования такой математической модели СД, которая бы сохраняла достоинства дискретного описания, отслеживая «полезные» составляющие [4] выпрямленного тока, и удобство использования уравнения баланса моментов в мгновенных значениях переменных для выполнения численных расчетов.

Эта задача может быть решена на основе использования метода «эквивалентных уравнений» [5], суть которого состоит в том, что изначально составляется математическая модель переменной структуры в мгновенных значениях переменных, описывающая режим работы вентильного преобразователя на его интервале повторяемости. Затем, с использованием метода локального интегрального преобразования (ЛИП) [6], осуществляется переход к уравнениям смешанного вида, где конечные разности переменных используются совместно с их средними («полезными») значениями на интервале интегрирования. Такой прием позволяет вывести из математической модели текущую коммутацию вентилей и, тем самым, перейти к уравнениям постоянной структуры. Далее полученным уравнениям сопоставляются

© А.И. Федотов, В.В. Марфин Проблемы энергетики, 2013, № 1-2

уравнения в мгновенных значениях переменных по принципу совпадения их ступенчатых изображений [6]. Смысл такого длинного пути понятен, если учесть, что исходной является математическая модель переменной структуры, а конечной -математическая модель постоянной структуры, основанная на использовании обычных дифференциальных уравнений в мгновенных значениях переменных.

Рассмотрим на простом примере метод составления эквивалентных уравнений. В качестве исходной модели примем трехфазный мостовой преобразователь с активно-индуктивной нагрузкой гу, ху =ш СЬ^ и сопротивлением со стороны питающей сети

гС, хС = тСЬС . При условии, что вентили преобразователя идеальные, а угол управления а отсчитывается от нулевого значения фазного напряжения и, на т-м интервале повторяемости схемной структуры преобразователя к = тс/3 уравнение баланса напряжений в мгновенных значениях переменных имеет следующий вид [4, 5]:

di

Хт)

( ,.(т) Л

(2rc + rf ) +(2xc + xf к (0, т)

di,(m)

rÄт) + xc—— c 1 c d 0

= SUcosI 0--3

(1)

где 9 = гаС?, ) - коммутационный ток (ток фазы, заканчивающей коммутацию), причем его направление принимается такое, чтобы выполнялось условие:

, (т) , а + 1 а + л/3

) (а) = гу) (а) ; г^) = 0 при 9 е

Функциональный прерыватель

к(9,т)=1{9-а}-1|9-а-у(т)},

где 1{9} - единичная функция; т) - угол коммутации.

Для приведения уравнений (1) к ступенчатым изображениям применим к ним ЛИП, которое, согласно [6], сопоставляет функции /(9) на локальном отрезке к(т) ее

Ат)

среднее значение :

а+А(т)

fS^TT j f (0) d0 •

S Лт) J

II r>

Поскольку h(т) = h = л/3, систему локальных уравнений (1), при переходе к ступенчатым изображениям на произвольном т-м интервале, можно записать в следующем виде:

( т) 3 . ( т) 3 ( т) 3>/3 ( лЛ

Ri S +~XSi\' +~Xbi f -UcosIa—I, (2)

fS л fL Л f Л ^ 6)

где R = 2rc + rf ; X = 2 Xc + Xf; = xc - rc 1(т)/2, f )= f) ( a),

Д1(т)= а + л/3)- a) .

Особенности уравнения (2) рассмотрены в работах [4, 5]: точного его решения в рамках метода локального интегрального преобразования не существует. Но поскольку решетчатой функции может быть сопоставлено бесконечное множество непрерывных

функций, достаточно подобрать такую (эквивалентную) функцию, которая совпадает с дискретной в точках отсчета. Применительно к рассматриваемому случаю ожидаемый выигрыш проявится тогда, когда новое эквивалентное уравнение будет более простым, чем исходное (1), порождающее уравнение (2). Принципиальное требование: применение ЛИП к эквивалентному уравнению должно приводить к таким же ступенчатым изображениям, что и для исходного уравнения переменной структуры. Авторами [5] предлагается в качестве эквивалентного следующее уравнение в мгновенных значениях переменных, соответствующее условиям мгновенной коммутации вентилей:

f + xs8(e'),W+ f гйи cos (а-f), (з)

'f

где 8 (б ) - импульсная функция (функция Дирака); 9 = 9 - а .

Далее уравнение (3) постоянной структуры подвергается локальному преобразованию Фурье и находится его решение [5]. Однако непосредственное сочетание уравнения вида (3) с другими нелинейными уравнениями требует применения специальных численных методов и в итоге возвращает к отслеживанию каждого цикла переключения вентилей (хотя и выводит из рассмотрения коммутационные процессы внутри интервала повторяемости).

Для возбудительных систем синхронных машин, у которых постоянная времени в переходных процессах измеряется десятыми долями секунды, имеется другая возможность преобразования уравнения (2) к эквивалентному в мгновенных значениях переменных. Для этого достаточно принять следующую приближенную связь между отсчетом выпрямленного тока и его средним значением на интервале повторяемости преобразователя:

(m) .(m) 1 .(m) ...

f = V- 2 Aif . (4)

Тогда приходим к уравнению в области ступенчатых изображений

R 3 X ^ (m) 3 ( 1 X Л (m) 3^3 т ( Ъ

R XSJ f -2JAif j = —Ucos(a-6

которому соответствует следующее эквивалентное уравнение в мгновенных значениях переменных:

R + 1XS ^-i^^a-fl. (5)

Обоснованность такого перехода от уравнения (1) к уравнению (5) подтверждена численными расчетами, выполненными в рамках исследования возможности применения ЛИП к электромашинно-вентильным системам [5]. Отличие от методики настоящей статьи состоит в том, что постоянная времени, отвечающая уравнению (4), определялась на основе уравнения (2) в более общем виде, и было предложено использовать в качестве эквивалентного именно уравнение (3).

Когда рассматриваются электромеханические переходные процессы в синхронных машинах, только уравнения вида (5) позволяют записать полную систему уравнений постоянной структуры в мгновенных значениях переменных, в которой коммутационные процессы вентилей сведены в некоторые параметры уравнений. Рассмотрим применение предлагаемой методики на примере математического описания возбудителя СД с бесщеточной системой возбуждения.

Запишем уравнение [7, 8], которые описывает переходный процесс в возбудителе синхронной машины в рамках метода локального интегрального преобразования [6]:

М'

(т)

хасС'

л/3

М

(т)

М

(т)

х/ + + х!-(хС -хС)С082ао —+ хаа^С +

л/3

л/3

Гг у

----г^3(х! -хС)б1п(2а0 -п/6)

2л/3 2л/3 л/3\ С д! V 0 '

х 1 + х^-» а д

,(т) '/7

-73:

М'

£(т)

хаа51П а

/

аа

л/3

л/3

соб (а - л / 6) /)(т) + (г/ + 2гС))} = 0. (6)

Обозначения параметров синхронной машины общепринятые; верхний индекс «£» соответствует параметрам подвозбудителя. Используя подстановку (5),

применимую для токов нагрузки преобразователей подвозбудителя (ток ) и возбудителя (ток 1/), приходим к эквивалентному уравнению в мгновенных значениях

переменных. При этом учтем, что для синхронных машин хС + хС << х/ и гС << г/ . Тогда получаем:

с е

сИа а'/ а'а хаа+ х/~е + хас+

а е

г/ +

х 1 I х„ а д

2л/3

ГС У

. (хС, -хС)б1п(2а0 - л/6) 2л/3 л/3 а д> V 0 7

аа

б1п а--—соб (а-л/6)

л/6 V '

С1/

л/3

аа

соб(а-л/6)/' = 0.

(7)

се л/3

Аналогичным образом может быть записано эквивалентное уравнение для подвозбудителя. Присовокупляя к ним уравнения для обмотки статора СД и уравнение баланса моментов, получаем систему дифференциальных уравнений постоянной структуры в мгновенных значениях переменных, отражающих влияние вентильных преобразователей на электромагнитные переходные процессы в системе возбуждения.

Заметим, что в уравнениях (6) и (7) для упрощения не учтено влияние изменения скорости. На самом деле при возникновении кратковременных нарушений электроснабжения на этот период времени двигатели затормаживаются. Поскольку интервал интегрирования при переходе к ступенчатым изображениям не превышает 1/6 периода частоты, в этих пределах скорость вращения ротора СД может быть принята постоянной, что позволяет сформировать аналогичные эквивалентные уравнения в общем случае электромеханического переходного процесса.

Выводы

1. Наличие вентильных преобразователей в цепях системы возбуждения обусловливает математическую переменную структуры их математической модели вследствие неодинакового количества проводящих вентилей в разные интервалы времени.

2. Локальное интегральное преобразование исходной математической модели возбудителя обеспечивает постоянство её структуры, но не решает проблемы её интеграции в общую математическую модель синхронного двигателя при изменении скорости его вращения.

3. Переход к эквивалентным уравнениям возвращает дискретную модель возбудителя к непрерывной, которая вписывается в известную математическую модель синхронного двигателя.

Summary

The switched on exciter of the synchronous motor during short-time electrical power failure to fast resynchronization. The mathematical model of synchronous motor must consider the presence of gate converter in the system of its excitation. The method of equivalent of equations allows forming a mathematical model of the exciter permanent structure.

Keywords: synchronous motor, mathematical model, equivalent to the equation, the gate converter.

Литература

1. Федотов А.И., Кривов А.Н. Расчет переходных процессов в синхронных машинах дискретным операционным методом. // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2006. № 5-6. С.43-49.

2. Кузнецов В.А., Федотов А.И. Дискретная математическая модель системы синхронный генератор - выпрямительная нагрузка // Электричество. 1995. №4. С.23-26.

3. Кузнецов В.А., Федотов А.И. Применение локального интегрального преобразования для исследования цепей с выпрямительной нагрузкой. // Электротехника. 1997. №7. С.23-28.

4. Кузнецов В.А., Федотов А.И. Использование локального преобразования Фурье для математического моделирования синхронных машин с вентильными системами возбуждения // Электричество. 1999. №4. С. 13-22.

5. Теоретические основы дискретного моделирования электромашинно-вентильных систем: Научное издание / А.И. Федотов, Р.Р. Каримов, Е.А. Федотов, Э.Ю. Абдуллазянов. Казань: Казан. гос. энерг. ун-т, 2003. 119 с.

6. Береговенко Г.Я., Пухов Г.Е., Саух С.Е. Численные операторные методы решения дифференциальных уравнений и анализа динамических систем. Киев: Наук. думка, 1993. 262 с.

7. Федотов А.И., Каримов Р.Р., Федотов Е.А. Дискретные математические модели синхронной электрической машины с вентильной системой самовозбуждения. Ч.1. // Электричество. 2004. №9. С. 34-40.

8. Федотов А.И., Каримов Р.Р., Федотов Е.А. Дискретные математические модели синхронной электрической машины с вентильной системой самовозбуждения. Ч.11.// Электричество. 2004. №11. С. 33-40.

Поступила в редакцию 26 февраля 2013 г

Федотов Александр Иванович - д-р техн. наук, профессор кафедры «Электрические системы и сети» (ЭСиС) Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ).

Марфин Виталий Вячеславович - инженер филиала «Казанские электрические сети» ОАО «Сетевая компания».