Математическая модель вибровозмущающих сил локомотивного асинхронного электродвигателя Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

60

Современные технологии - транспорту

чем строительство новых мостов, учитывая расположение мостов в городах.

Заключение

Проблема реконструкции и усиления железобетонных мостов рамных и балочно-неразрезных систем постройки 1950-1970-х гг является актуальной. В указанный период было построено множество таких сооружений и на данный момент они имеют схожие дефекты. Способ усиления моста через реку Кимры можно считать вполне современным по экономическим и эстетическим показателям; кроме того, проект позволяет оставить существующий подмостовой габарит, регулировать грузоподъемность моста и выровнять его профиль. Проанализировав преимущества данного способа реконструкции железобетонных мостов рамных и балочнонеразрезных систем, можно найти оптимальное решение для каждого отдельного случая.

Библиографические ссылки

1. Актуальные проблемы строительства транспортных сооружений в городских условиях / В. А. Селиверстов // Дороги. Инновации в строительстве. - 2012. - 15 апр.

2. Современные железобетонные мосты / Е. Н. Крыльцова, О. А. Попо, И. С. Файнштейн. -Москва : Транспорт, 1974. - 416 с.

3. ВСН 4-81 (90). Инструкция по проведению осмотров мостов и труб на автомобильных дорогах. - Москва : Министерство автомобильных дорог РСФСР, 1990. - 26 с.

4. Технический отчет по обследованию моста имени 50-летия Октября через реку Великую в городе Пскове, выполненного по Государственному контракту № 2601-1 от 19.09.2007 г. ООО «МИЛ» [Рукопись], 2007.

5. Реконструкция моста через р. Волга в Кимрах / Ю. Б. Девичинский // Вестник Мостостроения. - 2008. - № 2 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.stpr.ru/publications/5/411.html.

УДК 621.313

О. R Хамидов, М. Н. Панченко

Петербургский государственный университет путей сообщения

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВИБРОВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ ЛОКОМОТИВНОГО АСИНХРОННОГО ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ

Представлены разработанная авторами статьи математическая модель вибровозмущающих сил при дефектах ротора и подшипников качения локомотивного асинхронного электродвигателя и метод диагностики, позволяющий выявлять повреждение подшипника качения на ранней стадии возникновения дефекта. Показано, что с помощью предложенной модели можно рассчитать влияние параметров электродвигателя на его динамические характеристики. Для этого составлены дифференциальные уравнения динамики данной системы, которые решались методом численного интегрирования с помощью программы Matlab R2012b. При этом учитывалось наличие дефектов в подшипнике качения.

математическая модель, локомотивный асинхронный электродвигатель, вибровозмущающие силы, дефект ротора и подшипников качения.

Введение неисправностей локомотивных асинхронных

электродвигателей, позволяет оценить воз-Применение вибродиагностических мето- можность их выхода из строя, обеспечить дов на сегодняшний день помогает в поиске контроль качественных показателей техноло-

2013/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Современные технологии - транспорту

61

гического процесса с использованием сложного механического оборудования, снизить шум электродвигателя, увеличить долговечность, надежность, износостойкость железнодорожного транспорта. Работоспособность подшипниковых узлов определяется при этом по параметрам вибрации, поскольку по вибросигналу работающего подшипника косвенным образом можно судить о текущем состоянии [1].

1 Описание динамической модели

подшипника качения

Исследуются железнодорожные радиальные шарикоподшипники типа 80-315Ш15 и радиальные роликоподшипники типа НО-92417К2М с короткими цилиндрическими роликами. Данный тип подшипников широко распространен на подвижном составе.

Размеры внутренней конструкции подшипника приведены в табл. 1 [2, 3].

Математические моделирование вибраций локомотивных асинхронных электродвигателей позволяет определить частотный и амплитудный диапазоны измерений выходных процессов и обосновать пороговые значения ускорений электродвигателя, которые должны свидетельствовать о различных неисправностях подшипников.

Для более точного анализа динамики подшипникового узла необходимо рассмотрение вибрации всех элементов.

Динамическая модель подшипника качения показана рис. 1. Выбраны геометрические параметры подшипника (табл. 1).

В подшипниках вращающееся кольцо и тела качения, с которыми оно контактирует, можно рассматривать как планетарную систему, в которой тела качения подшипника играют роль сателлитов.

При описании математической модели подшипника качения (см. рис. 1) приняты следующие допущения [5]:

1. Тела качения, элементы качения и сепаратор двигаются только в плоскости подшипника. Это исключает любое движение в осевом направлении.

2. Предполагается, что подшипники работают в изотермических условиях.

3. Деформации происходят в соответствии с упругой теорией Герца. Следовательно, рассматриваются малые упругие деформации между телами качения и кольцами.

4. Сепаратор подшипника обеспечивает

„ „ о 2■%

постоянный угловой зазор р = ^— между

телами качения, которые, таким образом, не взаимодействуют между собой.

5. Отсутствуют любые виды проскальзывания тел и поверхностей качения.

ТАБЛИЦА 1. Параметры подшипников

Тип подшип- ника Внутренний диаметр d, мм Наружный диаметр D, мм Ширина кольца B, мм Диаметр ролика d , мм р’ Длина ролика l, мм р Число роликов, Z Масса подшип- ника, кг Диаметр окружности, идущей через центры роликов d , мм c’

НО-32332 К2М 160 340 68 42 42 5 31 250

НО 92417 К2М 85 210 52 32 32 12 9,8 147,5

70-2315 КМШ 75 160 37 22 22 13 3,7 117,5

80-315 Ш15 75 160 37 26,99 26,99 8 3,1 117,5

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2013/4

62

Современные технологии - транспорту

Рис. 1. Динамическая модель шарикоподшипника

Центр сепаратора имеет результирующую поступательную скорость:

V = VBH + VH c 2

(1)

6. Наружное кольцо считается неподвижным, жестко закрепленным на корпусе, а внутреннее кольцо жестко закреплено на валу ротора, поэтому

V = 0;

V = ш V r

вн ш ротор 5

(2)

(3)

отсюда частота вращения сепаратора:

ш

сеп

= ш

ротор

7+R) ■

(4)

где R, r - радиус внешнего и внутреннего кольца подшипника соответственно.

Частота вращения тела качения подшипника:

ш

k

= ш

ротор

• Z •

r

r + R

(5)

В локомотивных асинхронных электродвигателях одной из основных частот возбуждения вибрации является оборотная (ро-

торная) частота, называемая в дальнейшем частотой вращение ротора, которая определяется выражением:

ш

f =-7 Jr 2п ’

(6)

где юг - угловая частота вращения ротора.

2 Расчет контактной силы

Расчетная схема локализованного дефекта подшипника качения показана на рис. 2. Выбраны геометрические параметры подшипника, представленные в табл. 2.

Податливость подшипника на изгиб 5к определена энергетическим методом по формулам Максвелла - Мора (табл. 3). Модуль упругости материала подшипника, приве-

; момент инерции

денный в справочнике [4] определяется по

формуле E = 2,1 х 1011\ H

V м2

поперечного сечения кольца подшипника -

по формуле: J = (мм4), как показано на

рис. 3; умножая модуль упругости на модуль инерции, получаем жесткость поперечного сечения кольца подшипника на изгиб: EJ = = 6,114 х 106 (Н • м2).

2013/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Современные технологии - транспорту

63

Рис. 2. Расчетная схема, учитывающая дефекты внутреннего или внешнего кольца подшипника

ТАБЛИЦА 2. Геометрические характеристики шарикоподшипников серии 80-315Ш15

Наименование параметра Ед. измерения Значение

Наружный диаметр подшипника (Do) мм 160

Внутренний диаметр подшипника (d.) мм 75

Диаметр тел качения (шариков) (d) мм 32

Средний диаметр (Dc) мм 117,5

Число тел качения (Z) шт. 9

Радиальный зазор (5) мм 0,02

Угол контакта (а) град. 0° (считается)

Масса ротора (mp) кг 600

Масса подшипника (тп) кг 3,1

Коэффициент демпфирования (D) Нс/м 200

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2013/4

64

Современные технологии - транспорту

ТАБЛИЦА 3. Эпюры изгибающих моментов от действия единичных усилий в месте контакта с телами качения

Эпюра моментов Формулы

Г 1 Mi # ч Mi (ф) = R 81п(ф); п nR3 Su- = М,(ф) хМДф) Rd <р = — 0 EJ

Is"- 2 -"^1 М2(ф) = Rэ1п(ф-а1); а1 = 30°; П 52к = 1 М1(ф) хМ2(ф)Rdф = а 2R3 П о = 1 sin ф-Б1п(ф-30° )d ф. EJ зо

3 м/ 1 М3(ф) = R sin^-a2); а2 = 60°; П 5зк = 1 М1(ф) ^Мз(ф)Rdф = а 2R3 П = 1 sin ф • sin^ - 60° )d ф. EJ 60

Примечание: ф - угол расположения тела качения относительно дефекта; в принятом алгоритме ф ограничивается пределами 0 < ф < п, где п - радиальная нагрузка на шарик (ролик); E - модуль упругости материала подшипника.

Рис. 3. Поперечное сечение внешнего кольца подшипника

2013/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Современные технологии - транспорту

65

Эпюры изгибающих моментов от действия единичных усилий в месте контакта с телами качения в точках 1, 2 и 3 представлены в табл.3.

Интегрируя и суммируя полученные результаты, определяем коэффициент податливости:

5

к

2,82 • R3 EJ

(7)

Получается система дифференциальных уравнений, учитывающая силы инерции, восстанавливающую и демпфирующую силы, а также постоянное вертикальное усилие, воздействующие на внутреннюю поверхность кольца подшипника, которая имеет вид:

Z

mx + dx + ^ K[( x cos 9, + y sin 0.) -

-1 (11) - (5 + AS)]” •sin9. = F• sin(ra• t);

Если в этих формулах радиальную нагрузку положить равной единице, получим величину, эквивалентную гибкости. Жесткость в месте контакта:

my + dy + ^ K[( x cos 9. + y sin 0.) -

.=1 (12)

■ (5 +AS)]” •sin9. = F• cos(ra • t) + Pm,

k=-5 = EJ

5k 2,82•R

3 ’

(8)

где 5k - деформация от действия единичной силы, приложенной к ротору тягового электродвигателя.

Если в формулы подставить соответствующие параметры шарикоподшипников серии 80-315Ш15 локомотивных асинхронных электродвигателей, получим величину приведенной контактной жесткости между

шариком и кольцами K = 1,873 х1091 — |.

^ м )

Величина K использована при решении дифференциальных уравнений.

Восстанавливающие силы при наличии дефектов подшипника могут быть определены с помощью следующих выражений [6]:

Fxd =£ K [(x cos 9. + y sin 9.) -

i=1

- (5 +As)]” •cos9,;

(9)

где m - масса ротора локомотивных асинхронных электродвигателей и масса внутреннего кольца, поддерживаемого подшипниками; d - коэффициент демпфирования; i - номер шариков (i = 1, 2, 3, ... Z); Z - количество шариков; 5 - радиальный зазор в подшипнике; K - коэффициент контактной жесткости; F - сила удара при прохождении шарика вблизи места дефекта (трещины); ю - частота вращения ротора; t - время; Pm -сила веса.

3 Вычисление собственных значений системы уравнений

Уравнения (11) и (12) представляют собой систему из двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с эффектом параметрического возбуждения.

Начальное смещение записывается следующим образом:

Fyd =Е K [(x cos 9, + y sin 9,)

i=1

- (5 + As)]" •sin9,;

(10)

As = 9t - 0.;

t V

n = 10/3 - для шариковых и n = 10/9 для роликовых подшипников.

х = Xj - Х2; у = y -у2.

Расчет выполнен с помощью программы MATLAB R2012b.

Результаты расчета собственных частот и амплитудно-частотных характеристик для подшипника качения локомотивных асинхронных электродвигателей представлены на рис. 4-7.

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2013/4

66

Современные технологии - транспорту

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,:

Время t (с)

Рис. 4. Зависимость изменения перемещения x(t) от времени

140 120 100

v(t) [м/c] 80

60

40 20

0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2

Время t (с)

Рис. 5. Зависимость изменения скорости v (t) от времени

Заключение

Результаты моделирования свидетельствуют о том, что величина радиального зазора и дефектов в подшипнике качения существенно влияет на динамическое поведение роторной системы, но характер влияния весьма сложен. Для целей вибрационной диагностики желательно использование низкочастотной области, где уровень регистрируемого сигнала существенно выше.

Моделирование позволяет конкретизировать важные для диагностирования состояния подшипника особенности его вибросигналов. Можно надеяться, что моделирование поможет специалистам более эффективно диагностировать формирование сложных вибросигналов подшипника в конкретных электродвигателях и определять условия их работы.

2013/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Современные технологии - транспорту

67

8 6 4

a(t) [м/с2] 2

0

-2 -4 -6

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

Время t (с)

Рис. 6. Зависимость изменения ускорения a (t) от времени

х103

Дб

120

110

100

90

80

70

60

50

40

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Гц

Рис. 7. Спектр виброускорения

Библиографический список

1. Неразрушающий контроль : справочник. Т. 7 / Под ред. чл.-корр. РАН В. В. Клюева. -Москва : Маршрут, 2005. - 828 с.

2. Новые электрические машины локомотивов / А. В. Грищенко, Е. В. Козаченко. - Москва : Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте, 2008. - 271 с.

3. Динамические модели в асинхронном тяговом приводе магистральных электровозов / Ю. А. Бахвалов, Г. А. Бузало, А. А. Зарифьян, П. Ю. Петров и др. - Москва : Маршрут, 2006. -374 с.

4. Мониторинг и диагностика роторных машин по вибрации / А. В. Барков, Н. А. Баркова, А. Ю. Азовцев. - Санкт-Петербург : Изд-во Санкт-Петербургского гос. морского техн. ун-та, 1997. - 204 с.

5. Upadhyay, S.H., Harsa, S. P., Jain, S. C. (2009).

International journal of acoustics and vibration, 14 (3), 163-171.

6. Patil, M. S., Mathew Jose, Rajendrakumar, P. K., Desai Sandeep (2010). International Journal of Mechanical Sciences, 52, 1193-1201.

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2013/4