CC BY
66
УДК 631.360
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УСТОЙЧИВОСТИ ОПОР РАБОЧИХ ОРГАНОВ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОЙ ТЕХНИКИ
С.М. ЯХИН, кандидат технических наук, доцент Казанский ГАУ E-mail: [email protected]
Резюме. В статье на основе дифференциального уравнения деформированного бруса, полученного в теории плоского изгиба, исследованы виды деформаций и напряжений при чистом косом изгибе. Получены уравнения деформаций брусьев с условиями прочности, а также дифференциальное уравнение изогнутой оси для задач устойчивости. Рассмотренные случаи косого изгиба применимы для пространственного изгиба, где углы будут переменными по длине, а момент инерции сечения будет меняться относительно нейтральной оси. Ключевые слова: брус, плоский изгиб, косой изгиб, условие прочности, пространственный изгиб.
Важный элемент моделирования деталей и узлов сельскохозяйственных машин - теоретическое обоснование устойчивости опор рабочих органов сельскохозяйственной техники, испытывающих различного рода нагружения.
Цель нашего исследования - разработка математической модели, описывающей деформации и напряжения брусьев, используемых в качестве опор рабочих органов сельскохозяйственных машин. Для ее реализации рассмотрены напряженное и деформированное состояние элемента бруса при косом и пространственных изгибах с целью получения зависимости кривизны изогнутой оси бруса деформированного элемента.
Из литературы известно, что основой исследования косого и пространственного изгиба элементов стержневых систем служит дифференциальное уравнение деформированной оси бруса. Один из способов его получения основан на дифференциальном уравнении плоского изгиба [1]: d2v
1 _ dz2 ■
Для двух взаимно перпендикулярных главных плоскостей (рис. 1) его записывают так:
d2v _+Мх ~dz2~~~EL
d2u _+Му dF~~~BL
(З)
где и - прогиб бруса в плоскости хг, м; Му - изгибающий момент в сечении относительно оси у, Н • м.
Относительные деформации (рис. 2) определяются следующими зависимостями:
(4)
где х, у - соответственно деформация по осям х и у, м; Я - радиус кривизны, м.
Используя закон Гука [3, 4] и уравнения
Рис. 2. Деформированное состояние элемента длиной 0102 = дг при чистом изгибе.
Я..
п(-
[dz
3/2
EJ,
(1)
I My=j^-x*dA = My
А ПХ
I Mx = l^-y2dA = Mx
где А - жесткость при изгибе, Н ■ м2, получаем значения кривизны
(5)
где R - радиус кривизны нейтральных волокон сечения — = — = -f-
(поверхности нулевыхнапряжений), м; V- прогиб бруса в плоскости уг, м; Мх - изгибающий момент в сечении, Н ■ м; EJx -изгибная жесткость относительно главной оси х, Н ■ м2.
В технических задачах величиной (dv/dz)2 пренебрегают [2], в результате чего получают приближенное дифференциальное уравнение деформированной оси
М.,
1
EJ„
М,
EJ_
(6)
У У
и исходные уравнения (3).
Напряжения в любой точке сечения записываются как сумма напряжений в двух плоскостях [5], то есть:
_ уМ соэф + х/Иэтф
(7)
d2v
dz2
М
EJ„
(2)
Второй вариант подхода к получению дифференциального уравнения деформированной оси бруса -рассмотрение деформаций и напряжений при чистом косом изгибе (рис. 3). Для этого сначала изучим деформированное состояние бруса (рис. 4).
Обозначим через а угол, составленный нейтральной (нулевой) линией сечения с осью х. Этот же угол образуется пересечением плоскости прогибов Yz с плоскостью уг. Его относительная деформация определяется уравнением:
е„=-
(8)
Рис. 1. Чистый плоский изгиб. Достижения науки и техники АПК, №9-2012
где Яу- радиус кривизны нейтральной (нулевой) линии сечения, м.
Если ранее (4) мы рассматривали изолированно две деформации, то здесь полагаем, что деформированная
Рис. 3. Чистый косой изгиб.
ось плоская и лежит в плоскости Уг. Тогда из определения кривизны следует:
1 _ ф
Яу 6е2 ’
(9)
где р = у]и2 + V2 - полная величина прогиба сечения, м.
Из определения кривизны пространственной линии можно записать так:
6Г
\2
б22
(10)
Так как и = рБта, V = рооБа, то уравнение (10) можно записывать в параметрическом виде:
1 с/2 р
(11)
из которого вытекает уравнение (8). Однако в представленном виде (11) дается количественная сторона записи полного прогиба через проекции.
Рассмотрим напряженное и деформированное состояние элемента бруса (рис. 5) при чистом косом изгибе. Величина внутреннего момента равна [6]:
Мвн С0Б(а - ф) = | а Ус/А
(12)
Относительная деформация по закону Гука определяется уравнением
гу=а/Е. (13)
Из уравнений (7) и (13) следует, что
а = ЕУ/Иу. (14)
Подставляя значение ст в уравнение (12), найдем: М„ сов (а -ф)= / У2ЕоМ /ЯУ=Ы^/ИУ, (15)
А
где Jно - осевой момент инерции относительно нейтральной оси и, м4.
Рис. 4. Деформированное состояние бруса при косом изгибе.
78 -----------------------------------------------
Рис. 5. Деформированное состояние элемента длиной
Или:
МвнсоБ(а-ф)_ 1
Еиш
Через главные моменты инерции сечения:
і7но =іУхсоб а + іУуБіп а.
(16)
(17)
Приравняв внутренний момент к внешнему, запишем окончательно:
МсоБ(а-ф)_ 1
Еиш
(18)
Переходя от радиуса кривизны к прогибу по зависимости (1), запишем
о(2р /о(г2=Мсо5(а-ф)/Б7„0 . (19)
Это вторая запись уравнения деформаций стержня, которая не встречается в технической и научной литературе в представленном виде. В проекциях на координатные оси она записывается так: гМ соБ(ос-ф)
V = сова
[/(/-
-с*г)с/г] +С^ + Оп
(20)
Используя уравнение (14), рассмотрим напряжения в точке сечения. Подставив значение кривизны (18), получим:
о =----соэ(а-ф).
^Н.О.
Условие прочности запишется так: М
-С0Б(а-ф)<аа
(21)
(22)
где отах - максимальное напряжение изгиба, МПа; оабт - допустимое напряжение изгиба, МПа; Wно - значение проекции деформации по оси W на нейтральную ось, м.
Такая запись не встречается в литературе.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси для задач устойчивости принимает следующий вид:
__ Достижения науки и техники АПК, №9-2012
оо = бг.
В1или" = Мсоэ(а - ф) = -Ри, где F - осевая сила, Н.
Для любой точки сечения уравнение напряжений (21) можно преобразовать в такой вид:
_ уМСОБф + хМз1Пф
а~ й - й '
X у
Для определения угла а воспользуемся суммой моментов относительно оси, которая совпадает с плоскостью действия момента М (см. рис. 3):
ХМ=|ар*сИ = |^р*сИ =
А А У
= -|-|(усоза+хзта)(узтф+хсозф)й4 = 0,
А
где р* - плечо элементарной силы, Н.
(23) После элементарных преобразований, получим формулу для определения положения нулевой линии:
tga = Jxtg^p/Jy, (26)
Рассмотренный случай косого изгиба можно рас-
(24) пространить на пространственный изгиб, где углы ф и а будут переменными по длине, а момент инерции сечения будет меняться относительно нейтральной оси.
Очевидно, что первый и второй варианты подхода привели к одинаковому результату.
Выводы. В результате исследования получена математическая модель устойчивости опор рабочих
(25) органов сельскохозяйственных машин применительно к случаям их косого и пространственного изгибов, которая позволяет определять поведение опор при различных видах деформации.
Литература.
1. Мартьянов А.П., Яхин С.М., Мартьянов С.А. Теория и расчет конструкторской надежности сельскохозяйственной техники. - Казань: Казан. гос. ун-т, 2010. - 210 с.
2. Справочник конструктора сельскохозяйственных машин в 4 т. Т4. - М.: Машиностроение, 1969. - 536 с.
3. Решетов, Д. Н. Детали машин. - М.: Машиностроение, 1989. - 496 с.
4. Анурьев, В. И. Справочник конструктора машиностроителя: в 3 т. Т3. - М.: Машиностроение, 1992. - 720 с.
5. Биргер И.А., Шор В.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин. - М.: Машиностроение, 1979. - 704 с.
6. Яхин С.М., Мартьянов А.П., Мартьянов С.А. О колебаниях и затратах энергии пружинных и сплошных балок//Международный технико-экономический журнал. - 2008. - № 3. - С. 76-79.
7. Мартьянов А.А., Мартьянов А.П., Яхин С.М. Практический расчет упругих элементов с большим шагом витков на прочность и жесткость при деформации сжатия//Вестник Казанского ГАУ. - 2010. - № 4 (18). - С. 117-119
8. МартьяновА.П., Матяшин Ю.И., ВалиевА.Р., Яхин С.М., МартьяновА.А. Общая классическая теория колебаний стержней и ее связь с колебаниями систем из упругих элементов//Вестник Казанского ГАУ. - 2011. - № 3 (21). - С. 90-94
MATHEMATICAL MODEL OF AGRICULTURAL MACHINERY TOOL BEARINGS STABILITY S.M. Yakhin
Summary. In this paper on the basis of differential equation of the deformed timber, resulting in the theory of simple bending, the deformations and tension types in pure skew bending are investigated. The equations of rods deformation with the terms of durability are obtained. We also received a differential equation for the curved axis of stability problems. The cases of a skew bending, which can be applied for the case of spatial curve, where the angles are variable in length, and the moment of inertia will vary with respect to the neutral axis. Keywords: simple bending, skew bending, strength condition, the spatial curve.
УДК 004.424.23
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОЦЕНКИ СЕЛЕКЦИОННОГО МАТЕРИАЛА ЯРОВОЙ ТРИТИКАЛЕ
И. Г. ГРЕБЕННИКОВА, зав. лабораторией СибФТИ Россельхозакадемии П.И. СТЁПОЧКИН, доктор сельскохозяйственных наук, ведущий научный сотрудник
СибНИИРС Россельхозакадемии А.Ф. АЛЕЙНИКОВ, доктор технических наук, зам. директора
СибФТИ Россельхозакадемии E-mail: [email protected]
Резюме. Представлены результаты разработки компьютерной программы, позволяющей вычислять коэффициент интегральной селекционной оценки форм тритикале в зависимости от долевых вкладов в него ряда ценных количественных признаков и алгоритм его расчета. По итогам тестирования программы на экспериментальных данных структурного анализа гибридов F4, полученных при скрещивании четырёх сортов ярового тритикале по полной диаллельной схеме, выявлены селекционно-ценные образцы.
Достижения науки и техники АПК, №9-2012 __
Ключевые слова: тритикале, программное обеспечение, база данных, селекционная оценка.
К важным факторам оптимизации селекционного процесса при выведении сортов сельскохозяйственных растений, обладающих требуемым сочетанием необходимых признаков, относится совершенствование его методики и техники [1].
Тритикале - единственный вид злака, искусственно созданный человеком и нашедший широкое применение как пищевая, кормовая и техническая культура. Принципы селекции тритикале изучены меньше, чем исходных родительских родов пшеницы и ржи [2]. Однако традиционная селекция этой культуры требует больших временных и материальных затрат.
В селекции тритикале подбор родительских форм ведётся на основе фенологических наблюдений и ре--------------------------------------------- 79
