CC BY
21
УДК 539.37; 621.7
А.Н. Пасько, д-р техн. наук, доц. (4872) 35-18-32, аleksey.n.pasko@mail.т (Россия, Тула, ТулГУ), Д.А. Алексеев, асп. (4872) 35-18-32,
Ad16663@уа^ех. гц (Россия, Тула, ТулГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРЕХМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
Представлены основные соотношения, описывающие трехмерное течение упругопластического материала.
Ключевые слова: теория течения, метод конечных элементов, упругопластический материал, условие текучести
Во многих процессах холодного пластического деформирования наблюдается трехмерное течение материала. Теоретический анализ данных процессов возможен методом конечных элементов.
На базе метода конечных элементов предлагается модель трехмерного деформирования, основанная на теория течении изотропно упрочняющегося упругопластического материала.
В качестве функции пластичности для изотропного материала используем условие текучести Губера - Мизеса, которое в матричной форме примет вид
F = ¥ (а, Х)=^ 2 8Т • L • S-а, (х) = 0,
где 8 - вектор-столбец компонент девиатора напряжений,
(1)
8 = а -М-а; МТ = {1 1 1 0 0 0}; а
3
среднее напря-
жение; а 5 (х) - сопротивление деформированию;
аТ = {а х а у а г т ху т уг т гх } - вектор столбец компонент напряже-
ний; х - параметр упрочнения;
L =
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
2
В качестве критерия упрочнения используем параметр Одквиста [1]
Х = | ,
(2)
где dzf - интенсивность приращения пластических деформаций,
dsP = J2 dsp • Q • dsp
(3)
(dsp f = {fc
где j = d £ ds £ ds £ dy Xy dy IyZ dy px j - вектор-столбец приращения компонент тензора пластических деформаций;
'1 0 0 0 0 0
dy p
Q
0 1 ОО
0
1
О
О
0 0 0 0,5
О О О О
О
О
О
О,5
О
О
О
О
О О О О О О,5
Приращение функции пластичности (1) будет иметь вид
dF = ^_. d0 . dx = 0.
ао ах
Учитывая выражение (2), перепишем соотношение (4) в виде
л- aFT , аа о (х) , P г, dF =-------do-------• dsP = 0.
ао ах
(4)
(5)
Ассоциированный закон пластического течения в матричной форме будет иметь вид
йгр = Х —, (6)
ао
где X - коэффициент пропорциональности.
Из выражений (3), (6) получим
йгР =Х. (7)
Учитывая, что приращение упругопластической деформации
йгер = йге + йгр,
где йге - вектор-столбец приращения компонент тензора упругих деформаций, выражение для йо запишется в виде
йо = Бе (йгер - йгр ), (8)
где Бе - матрица упругости.
Матрица упругости для трехмерного случая имеет вид
Vе
2G + к к к 0 0 0
к 2G + к к 0 0 0
к к 2G + к 0 0 0
0 0 0 G 0 0
0 0 0 0 а 0
0 0 0 0 0 а
2
где G - модуль сдвига; k = К - — G, К - объемный модуль упругости. Учитывая соотношения (7), (8), получим
а¥
Т
х =
ао
- Vе - йгер
(9)
ао ао ах
Тогда, используя (6), запишем соотношение для определения век тора пластических деформаций
— - Vе - йгер йгр = ао
а¥
а¥
Т
а¥ аа5 (х) ао
(10)
ао ао ах
Подставляя выражение (10) в (8), получим
йо =
Vе
а¥
ао
Т
а¥
ао
-
а¥ ^е а¥ ■ аа5 (х)
ао
ао
ах
йг ер
(11)
или
йо = Бер - йгер.
В качестве уравнения состояния используется кривая, полученная из опыта на одноосное растяжение, тогда
х = |йгр = {ер = ер . (12)
Учитывая соотношения (11), (12), выражение для Бер будет иметь
вид
в*
Зо
Зо
т
в*
Вер = Бе-------- -----^^, (13)
^ - ве - а¥+н
ао ао р
и аа 5 (в р)
где Н р ^—1 - пластический модуль.
р авр
Соотношение для приращения компонент пластических деформаций примет вид
— - Ве - йгер ¥
йгр = —р--------------------------------------—. (14)
^ - ве - а¥+нр *
ао ао
а¥
Выражение для — в соотношениях (13), (14) запишем как ао
а¥ _ 3Ь - 8 ^ 2а 5 (в р ).
В процессе деформирования в заготовке могут возникать зоны разгрузки, которые заранее не известны. Для определения зон разгрузки используем выражение [2]
а¥Т
—— Со < 0, ао
тогда йгр = 0.
Процесс нагружения считается нейтральным, если
а¥Т
—— Со = 0, ао
при этом для упрочняющегося материала йгр = 0.
В случае активного нагружения
дрТ
------Со > 0, йгр > 0.
о
При решении задач холодного деформирования компоненты тензоров напряжений, деформаций и пластических деформаций будут определяться по формулам
о к =о к-1+йо *; г £ =г к- + йг £; гр = е£’-1 +£ > где к - шаг нагружения.
Таким образом, приведенные выше соотношения с использованием метода конечных элементов позволяют моделировать процессы упруго-
пластического трехмерного течения материала в процессах холодного деформирования.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №10-01-97507.
Список литературы
1. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести: учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1975. 400 с.
2. Клованич С.Ф. Метод конечных элементов в нелинейных задачах инженерной механики // Свет геотехники. 2009. Вып. 9. Запорожье. 400 с.
A. Pasko, D. Alekseev
A mathematical model of 3D flow elastoplastic material
The basic equation describing the three-dimensional elastoplastic material are presented.
Key words: flow theory, FEM, elastoplastic material, yield condition.
Получено 04.08.10
УДК 621.983; 539.374
П.А. Алексеев, асп. (4872) 33-23-80,
[email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
Е.В. Панченко, д-р техн. наук, проф. (4872) 33-23-80, [email protected]. ru (Россия, Тула, ТулГУ)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ОБОЛОЧКИ В РЕЖИМЕ СВЕРХПЛАСТИЧНОСТИ
Выполнено конечно-элементное моделирование процесса сверхпластической формовки сложнопрофильной осесимметричной оболочки из листовой заготовки. Получен закон изменения давления газовой среды по времени формовки, обеспечивающий деформирование заготовки в режиме сверхпластичности.
Ключевые слова: сверхпластическая формовка, листовая заготовка, формообразующая матрица, сложнопрофильная оболочка, штамповый блок.
В авиастроении и машиностроении широкое применение находят тонкостенные сложнопрофильные оболочки, которые изготавливаются из труднодеформируемых сплавов. Сверхпластическая формовка (СПФ) благодаря повышению ресурса пластичности и снижению деформирующих сил доказала свою эффективность при производстве деталей различной геометрии из листовых заготовок [1]. Однако необходимо отметить, что для отработки новых технологий сверхпластической формовки требуется
