Математическая модель сушки дисперсных продуктов в активном гидродинамическом слое Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Производительность у становки

из 3 блоков до 60 м3/сут.

Характеристики исходного и очищенного щелока представлены в таблице.

Таблица

Характеристика щелока До очистки После очистки

Содержание эфирорастворимых веществ, % 1-1,2 0,05-0,08

Содержание хлорида натрия, % 9-11 8-10

Содержание содопродуктов,% 0,3-0,5 0,1-0,3

ХПК, мг02/л 1720-2180 192-203

БПК, мг02/л 860-1320 98-106

Количество взвешенных, кг/м3 0,1-0, 0

В целях проверки степени выведения примесей была проведена дополнительная обработка очищенного способом электрокоагуляции подмыльного щелока активированным углем, что снизило количество эфирорастворимых веществ до 387,2 мг/л. Это свидетельствует, что способом электрокоагуляции достигнута практически предельная степень очистки физико-химическими методами при меньших затратах на проведение процесса очистки.

ВЫВОДЫ

1. Технологическая эффективность электрокоагуляции проявляется при обработке подмыльных щелоков, содержащих большое количество органических веществ различного типа. Она объясняется высокой активностью катионов железа и алюминия в момент их образования электролитическим путем, отсутствием дополнительных анионов и, как следствие, большой вероятностью образования металлорганических комплексов, проявляющих хорошие адсорбционные свойства.

2. Способом электрокоагуляции удаляются как высоко-, так и низкомолекулярные жирные кислоты, достигается более глубокое обесцвечивание щелока, снижение БПК и ХПК. Методом электрокоагуляции хорошо удаляются и растворенные фосфорорганические вещества.

Кафедра физической, коллоидной химии и управления качеством

Поступила 15.03.05 г.

66.047.1.517.001.57

МА ТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СУШКИ ДИСПЕРСНЫХ ПРОДУКТОВ В АКТИВНОМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ СЛОЕ

Н.Н. МАЛАХОВ, С.В. ДЬЯЧЕНКО, Е.Г. ПАПУШ,

О.А. КЛИМЕНЧУК

Орловский государственный технический университет Пятигорский государственный технологический университет

Несмотря на значительное количество работ по сушке пищевых продуктов, насчитывающих несколько тысяч публикаций, математическая модель данного процесса остается недостаточно развитой. До сих пор невозможно рассчитать поля влажности высушиваемого продукта, поля теплофизических характеристик в нем, не полностью раскрыто влияние внешних условий тепло- и массообмена на процесс сушки. Особенно слабо развита теория сушки мелкодисперсных продуктов в активном гидродинамическом слое. Об этом свидетельствует большое количество публикаций и изобретений, направленных на создание сушилок с разнообразным сложным движением сушильного агента и высушиваемого продукта. При любом сложном движении газовой фазы на каждую мелкодисперсную частицу, активно вращающуюся в слое продукта, внешний поток действует практически одинаково, т. е. независимо от направления его абсолютной скорости. При учете этого соображения большое разнообразие предложенных конструкций сушилок с активным гидродинамическим слоем нельзя объяснить улучшением процесса сушки в новых конструкциях. Возможно лишь обратить внимание на положительное изменение дру-

гих факторов: псевдоожижение при меньших скоростях потока, образование взвешенного тороидального слоя частиц в закрученных двухфазных потоках и т. п. Однако последний из этих факторов не относится к обязательному элементу процесса сушки, а первый может быть реализован и другими способами. Это свидетельствует о том, что теоретические аспекты сушки в данных условиях требуют уточнения.

В настоящей работе ставится задача создания математической модели сушки дисперсных продуктов в активном гидродинамическом слое.

Создавая математическую модель любого явления, прежде всего, необходимо обосновать его физическую модель. Основным аспектом данного обоснования является перечень явлений, которые должны учитываться разрабатываемой математической моделью. Этот перечень составляется на основании анализа опубликованных исследований и собственных экспериментальных данных.

В работах по созданию математических моделей выпечки хлебобулочных изделий, включающих процессы сушки твердых капиллярно-пористых продуктов [1], обоснована необходимость учета следующих процессов:

отдачи теплоты от окружающей среды поверхности находящегося в ней твердого продукта в процессах теплоотдачи в потоке газа и лучистого теплообмена между изделием и стенками сушильной или пекарной

камеры при наличии оттекающего от изделия стефа-новского потока пара;

передачи теплоты в объеме изделия теплопроводностью, осложненной явлениями одновременно протекающих процессов испарения влаги, ее перетекания и переноса ею теплоты;

изменения структуры и теплофизических характеристик продукта под действием теплоты.

Особенностью сушки дисперсных частиц является наличие теплоотдачи от движущейся среды движущейся в ней частице.

Без учета этих явлений результаты расчетов перестают быть адекватными.

Сложный процесс сушки, включающий перечисленные явления, не может быть рассчитан аналитически. Аналитическое решение даже существенно более простых процессов, например молекулярной теплопроводности при зависящих от температуры теплофизических характеристиках продукта, является большим достижением в области теплотехники [2]. В противоположность этому численное решение данной задачи вполне осуществимо без каких-либо упрощений. Для решения подобных задач разработаны эффективные методы [3-5], а выдающийся отечественный математик А.Н. Колмогоров предсказывал практически полное вытеснение аналитических численными методами при решении большинства практических задач вследствие их сложности.

Математическая модель процесса сушки включает две системы уравнений, описывающих процессы на границе высушиваемой частицы и в ее глубине. Обе системы уравнений составлены нами как одномерные в связи с тем, что основные факторы физической модели действуют одинаково независимо от мерности пространства, и потому качественный характер получаемых решений во всех случаях остается одинаковым. Количественные же результаты все равно приходится согласовывать с экспериментальными данными введением поправочных коэффициентов, хотя бы вследствие приближенности принимаемых значений теплофизических констант. Следует иметь также в виду, что если дисперсные частицы считать сферическими, дифференциальные уравнения для тепло- и массопровод-ности в них становятся одномерными. При решении дифференциальных уравнений в частных производных учитываются традиционные требования по обеспечению точности и устойчивости результатов.

Все уравнения, образующие исследуемые системы, разделяются на дифференциальные (в частных производных) и алгебраические. Как правило, дифференциальные уравнения описывают медленные процессы тепло- и массопереноса, а алгебраические - преобразования параметров на границах рассчитываемых элементов высушиваемого изделия. Последние процессы протекают на несколько порядков быстрее.

Эта особенность разделения уравнений позволяет решать системы составленных уравнений в соответствии со следующей процедурой.

1. Из рассчитываемой частицы выделяется одномерная цепочка расчетных ячеек, занимающая пространство от границы до геометрического центра частицы. Эта цепочка делится на несколько равных по размерам расчетных ячеек.

2. Выбирается шаг расчета по времени, обеспечивающий устойчивость решения. Решение ищется в пространстве двух параметров - координата и время.

3. Все производные дифференциальных уравнений передачи теплоты и массы паров воды аппроксимируются конечно-разностными выражениями, пригодными для численных расчетов.

4. Задав в начальный момент времени (/ = 0) или рассчитав в момент времени (/ - 1) все параметры в расчетных ячейках, значения параметров в /-й момент времени в ячейке г (г = 0, 1,..., п - 1) находим из решения уравнений тепло- и массопереноса.

5. Прежде чем приступить к расчету параметров в тот же момент времени 1/ для ячейки г + 1, уточняем параметры г-й ячейки системы, используя ее алгебраические уравнения. Рассчитываются и запоминаются: доза Д/,г температурного воздействия, набранная ячейкой к моменту времени 1/ уточняются теплофизические характеристики ячейки в соответствии с набранной дозой Д/,-; определяется количество влаги, испарившейся и оставшейся в ячейке к моменту времени 1/.

6. После уточнения повторяются расчеты по п. п. 4 и 5 для ячейки с номером г + 2. Так повторяется до ячейки г = п - 2; параметры последней ячейки массива г = п - 1 принимаются равными параметрам ячейки г = п - 2. Это соответствует граничному условию в геометрическом центре изделия, требующему отсутствия каких-либо потоков через этот центр.

7. После вычисления параметров во всех ячейках делается шаг по времени и расчет повторяется, начиная с п. 4.

Системы уравнений, составляющих математическую модель сушки мелкодисперсных частиц, записываются отдельно для их наружной границы и для внутренней части.

Для внутренней части используются следующие уравнения.

1. Одномерное нестационарное уравнение теплопроводности

д _

<91 рс дх2’

где X - температура, К; 1 - время, с ; 1 - теплопроводность материала, Вт/(м • К), 1 = 1(х, 1); р - плотность материала, кг/м3, р = р(х, 1); с -теплоемкость материала, Дж/(кг • К), с = с(х, 1).

Начальное условие для него X = Хн при 1 = 10.

Граничные условия

X = Х0 при хг = 0,

— _ 0 при х = хп-1. бх

2. Уравнение теплопереноса за счет перетекания воды внутри выпекаемого изделия

дИ _ А _д!1 д1

t — t

ц.тах 1

1 $ уН(ц —11 #

где 1 - значение коэффициента теплопроводности без учета поправ -ки на перенос теплоты термовлагопроводностью; Хц и Хцтах - темпе -ратура в центре выпекаемого изделия и ее максимальное значение; Х\ - температура в центре выпекаемого изделия, при которой начинается торможение переноса теплоты термовлагопроводностью; у - коэффициент , имеющий смысл феноменологического коэффициента данного процесса, уточняется в расчетах вместе с температурой Х\.

3. Уравнение термодиффузии, описывающее перетекание влаги в глубину изделия под воздействием градиента температуры:

рс дх

где к - феноменологический коэффициент передачи теплоты дан -ным механизмом, Вт/(м • К).

Данное уравнение идентично по написанию с уравнением молекулярного теплопереноса теплопроводностью. Это означает, что процессы переноса теплоты молекулярной теплопроводностью и с перетекающей водой идентичны и при их совместном действии сум марный теплоперенос может быть описан обобщенным уравнением теплопереноса, имеющим вид

— _ — ^-; _ 1(1 + Н),

д1 рс дх

где 1эф - эффективное значение коэффициента теплопроводности, увеличенное по сравнению с молекулярной теплопроводностью 1 на величину Н, характеризующую вклад процесса термовлаго переноса.

Величину Н можно считать феноменологическим коэффициентом и в связи с неопределенностью массового потока влаги О определять экспериментально, либо подбирать в расчетах из дополнительных условий.

Обратим внимание на то, что данный вывод полностью согласуется с представлением о термовлагопере-носе в капилярно-пористых телах, изложенным в справочнике [6]. В нем массовый поток влаги внутри изделия представлен в виде зависимости от градиента температуры, причем коэффициент пропорциональности между ними определяется экспериментально. Эти признаки дают все основания считать данную зависимость феноменологической и идентичной полученной нами.

Содержание влаги в расчетных элементах модели выпечки не может превысить максимального значения В связи с этим процесс термодиффузионного перетекания влаги внутри выпекаемого изделия, начиная с некоторого момента времени, будет тормозиться тем, что центральные элементы теста-хлеба до предела заполняются влагой и далее ее не пропускают и не накапливают. В результате эффективное значение коэффициента теплопроводности будет уменьшаться вплоть до полного исчезновения поправки Н. Следуя принятому нами феноменологическому методу, этот процесс целесообразно описывать введением поправки на поправку Н, имеющей вид

дМ

д 1

5 — •ри М > 0 ,

дх , кг /-,

0 0 •ри М < 0

где М - масса воды в ячейке, кг; 5 - термоградиентный коэффициент, кг • м/(К • с).

4. Уравнения, описывающие испарение воды в расчетной ячейке.

Испарение воды в рассматриваемых элементарных ячейках происходит по разным механизмам в зависимости от температуры в них.

При температурах, равных 100° С, происходит фазовый переход из жидкой в парообразную фазу при постоянной температуре равной 100°С. Весь тепловой поток, поступающий в этих условиях в рассматриваемую ячейку пространства, расходуется на испарение воды:

дМи 1* д2t

д1

дх2

где Ми - масса испаряющейся воды, кг; АУ- объем ячейки м3; г - теплота фазового перехода, Дж/кг.

Испарение продолжается до тех пор, пока вся вода в ячейке не испарится полностью. Лишь после этого возможно дальнейшее повышение температуры в ней.

При температуре ниже 100°С также происходит частичное испарение воды за счет повышения парциального давления насыщенного пара воды в ячейке при увеличении температуры в ней. Теплота, поступающая в ячейку, расходуется как на испарение воды в количестве, соответствующем повышению парциального давления паров воды, так и на повышение температуры материала ячейки и на теплопередачу вглубь выпекаемого изделия.

Давление насыщенных паров воды, Па, в зависимо -сти от температуры определяется следующим аппроксимирующим выражением:

(104 + 140000^% 26>п€

65,46 v ’

Рн, _) •ри 26оС <t < 1000С 25 •ри t_26° С 0 • ри t > 100о С.

Используя уравнение состояния идеального газа и данное аппроксимирующее уравнение, находим расход массы испарившейся воды в расчетной ячейке модели

бМи 140000 АV

Л

65,46 R

, кг/с,

где Я - универсальная газовая постоянная, Я = 287 Дж/(кг • К); АУ-объем расчетной ячейки, м3.

5. Феноменологическое уравнение Дальтона, описывающее непосредственный перенос паров воды с поверхности высушиваемого материала в окружающую среду при удельном массовом расходе М:

Р — Р

Ми _Ь —Ц—2, кг/(м2 •с),

Р

где

Р — Р,

Рб€

давлений насыщенных паров воды вблизи поверхности испарения и парциального давления воды в окружающей среде; Ь - феноменоло -гический коэффициент, определяющий скорость перехода влаги в окружающую среду.

При скоростях обдува влажной поверхности до

0,58 м/с коэффициент Ь = 0,007 кг/(м2 • с), при скоростях обдува от 0,58 до 1,13 м/с Ь = 0,009 кг/(м2 • с), при скоростях обдува свыше 1,13 м/с Ь = 0,0109 кг/(м2 • с).

6. Уравнение для расчета дозы температурного воздействия на ячейки

0 =

/ ( - 4р )■ ¿т-ри Ї^

0

0 -ри і < ію

где t Кр - критическое значение температуры, при котором начинаются процессы необратимых изменений структуры высушиваемого изделия, если они вообще имеют место.

7. Линеаризованные уравнения для расчета изменений тепло-физических характеристик ячеек в зависимости от набранной ими дозы температурного воздействия.

В соответствии с нарастающей дозой теплового воздействия на расчетную ячейку изделия происходят следующие изменения теплоемкости с и теплопроводности 1:

Си = С 0 +К - С 0 )

Д ■

Дкр '

= 10 $ (1к - 1 ) ■

кр

В этих выражениях индексы 0 и k соответствуют начальному состоянию продукта и его состоянию после окончания преобразования под влиянием набранной дозы температурного воздействия.

Для граничной ячейки данная система уравнений дополняется следующими зависимостями.

1. Уравнение теплоотдачи от окружающего сушильного агента частице

д = аР(іа -і,0)$ е.ра(т.4 —Т,),

где а - коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2 • К); р - коэффициент из -менения теплоотдачи за с чет образования стефановского потока па -ра от поверхности частицы:

р=

(р., .ри т > 0 1 .ри т = 0 ’

£Пр - приведенная степень черноты стенок сушильнои камеры и высушиваемой частицы:

б€р

- обобщенная движущая сила процесса, равная разности

л $ і

-'2

—— — 1

-'1

Є1, Є2 - степени черноты высушиваемого изделия и стенок сушильной камеры; F1, F2 - площади взаимно облучающихся поверхностей высушиваемого изделия и стенок сушильной камеры; а - постоянная Стефана-Больцмана, а = 5,76 • 10-8 Вт/(м2 • К4).

2. Зависимость коэффициента теплоотдачи от скорости обтекания частиц потоком сушильного агента

Ми = 0,67л/Рё3/Рг; а =

где Ми - критерий Нуссельта; Яе - критерий Рейнольдса, Ре _ и6р ;

т

Рг - критерий Прандтля; Уотн - относительная скорость сушильного агента и частицы, м/с, УоXн = U - V; U, V- абсолютные скорости сушильного агента и частицы, м/с; т - динамическая вязкость сушильного агента, Па • с; р - плотность сушильного агента, кг/м3; 1 - теп -лопроводность сушильного агента, Вт/(м • К), L - характерный раз -мер высушиваемого изделия, в нашем случае L = 2 d; d -эквивалентный диаметр высушиваемого изделия.

3. Для определения относительной скорости сушильного агента и высушенной частицы используется следующая система уравнений: масса частицы

рб3

m =-------р т, кг;

6

относительная скорость Уотн окружающей среды U и частицы V:

4>тн _ и —V, м/с; ускорение частицы

V _ рсУ,тн|У,тн| рб2 2

61 2 4 т

абсолютная скорость движения частицы Уj и ее перемещение Y:

сIV

, м/с2;

V = V $ — Дт м /-; бт У, = У—1 $ V, Дт, м,

где / - индекс шага по времени расчета, б/р; А1 - шаг расчета по времени, с;

феноменологическое уравнение, связывающее силу сопротивления частиц движению среды относительно них:

Я =

\Мот -ри иотн > 0 0 -ри Vотн < 0,

где k - феноменологический коэффициент сопротивления, Н • с/м;

а

і

№ ячейки

Рис. 1

баланс сил сопротивления движению среды со стороны частиц и торможения воздушного потока

/ \ 2 р- (щ)

2 4

где С - концентрация частиц в потоке:

= ¡1.0,

с =

вт

с $ в ’

т 1 с

где От, Ос - расходы сушильного агента (воздуха) и частиц, кг/с.

Из этого баланса получим: г

ди=

81.0

ЯРс <2 0 .ри У] <0;

ри V >0

скорость движения потока воздуха

(и- ди, •ри V> 0

и, _ ;- ; ;

; [иу-1 • ри V<0 критическая скорость псевдоожижения

икр =_14 рт—^ дб, м/-,

3 р-

начальная скорость сушильного агента

*

і

-♦-1000 с 35

лГ

—■—2000 С Б

О

-а-3000 с X і

—4000 с я ё

-1000 с -2000 с -3000 с -4000 с

№ ячеики

Рис. 2

где п - число псевдоожижения.

Дифференциальные уравнения тепло- и массопро-водности преобразуются к конечно-разностной схеме следующим образом:

дt _ ^¡-м - ; дt _ ,-1 - , ;

дх

д2 ^

Дх ’ дх Дх

1 /-і 2 ¡, / $ */, / $і

дх2

Дх"

Решение данной задачи скомпилировано нами из выполненных ранее в ОрелГТУ решений задачи выпечки хлеба [1] и сушки твердых капиллярно-пористых продуктов при дополнении их приведенными выше уравнениями движения дисперсных частиц в потоке сушильного агента и теплоотдачи в этом потоке.

т,с

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

т, с

-М50 °С

— 140 °С

-*-130 °С

-»И 20 °С

V, м/с

а

б

Рис. 3

Рис. 4

Результаты решений задачи сушки мелкодисперсных частиц представлены на рис. 1-4.

На рис. 1 и 2 (ґ воздуха 50°С, начальная влажность 10%) показаны зависимости температуры и влажности Ж в зерне пшена от его радиуса в различные моменты времени.

Обращает на себя внимание весьма быстрый прогрев зерна практически до одинаковой температуры по всему радиусу.

Это могло бы быть основанием для заключения о весьма малом значении критерия Био, т. е. о преобладании внешнего теплового сопротивления над внутренним при прогреве зерна и возможности соответствующего упрощения модели явления.

Однако сделать вывод о возможности такого упрощения модели все же нельзя, так как в этом случае теряются сведения о распределении влажности в зерне и о его сушке. Если эти сведения представляют интерес, задачу необходимо решать в принятой нами постановке.

На рис. 3 представлены зависимости суммарной влажности зерна от времени при вариациях начальной влажности, размера зерна, начальной скорости сушильного агента (вблизи пода сушилки).

На рис. 4 представлено изменение продолжительности сушки от начальной влажности 6% до конечной, равной 2%, при температуре теплоносителя 50°С (а) и различных температурах теплоносителя (б).

Наиболее важным результатом рис. 4 (а и б) является констатация факта изменения продолжительности сушки в фиксированных пределах по влажности не более чем на 6% при уменьшении скорости воздуха на входе до критической икр от 1,2 икр, т. е. на 20%.

Из этого следует, что при вводе мероприятий, позволяющих уменьшить рабочую скорость воздуха (при сохранении устойчивости процесса) в этих пределах, потери по производительности сушилки не превысят величины 6%; при этом появится экономия энергозатрат ориентировочно на 20 - 6 = 14%. Это является основанием к стремлению уменьшать рабочую скорость воздуха в сушилке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Малахов Н.Н., Дьяченко С.В. Совершенствование основного технологического оборудования мини-пекарен // Пищевая пром-сть. - 2000. - № 3. - С. 60-61.

2. Ваничев А.П. Приближенный метод решения задач тепло -проводности при переменных константах // Изв. АН СССР. ОТН. -1946. - № 12. - С. 1767-1774.

3. Давыдов Ю.М. Крупных частиц метод // Математическая энциклопедия. Т. 3. - М.: Сов. энциклопедия, 1982. - С. 125-129.

4. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. - М.: Изд-во МФТИ, 1995. - 528 с.

5. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. - М.: Энергия, 1977. - 344 с.

6. Лыков А.В. Тепломассообмен: Справочник. - М.: Энергия, 1971. - 560 с.

Кафедра машин и аппаратов пищевых производств

Поступила 08.09.03 г.