Математическая модель распространения тепла в системе двух полуограниченных тел на стадии остывания Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 53.08

Б01: 10.17277/уеБ1тк.2015.03.рр.388-392

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В СИСТЕМЕ ДВУХ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛ НА СТАДИИ ОСТЫВАНИЯ

Н. П. Жуков, Н. Ф. Майникова, И. В. Рогов, С. С. Никулин

Кафедра «Энергообеспечение предприятий и теплотехника»; ФГБОУВПО «ТГТУ»; [email protected]

Ключевые слова: математическая модель; моделирование; неразрушаю-щий контроль; сферическое полупространство; температурное поле; теплофизи-ческие свойства.

Аннотация: Представлена математическая модель распространения тепла в сферическом полупространстве на стадии остывания. При разработке методов неразрушающего теплового контроля твердых материалов может быть использовано решение краевой задачи теплопроводности.

Обозначения

а - температуропроводность, м2/с; X - теплопроводность, Вт/(м-К);

q - плотность теплового потока, Вт/м2; сР - объемная тeплоeмкость, Дж/(м3-К);

, г, 0 - координаты; R - радиус сферического нагревателя, м; , 3

^ ;; р - плотность, кг/м ;

Т - тeмпeратура, К; т - время, с.

Математическая модель, описывающая распространение тепла в системе двух полуограниченных тел на стадии остывания, получена на основе решения следующей краевой задачи теплопроводности [1].

Два полуограниченных тела с различными теплофизическими свойствами (ТФС) при температуре Т(г, 0, 0) = 0 находятся в идеальном тепловом контакте с поверхностным сферическим источником тепла постоянной мощности радиуса R и плотностью теплового потока д. Вне источника тепла, в плоскости соприкосновения тел, существует идеальная теплоизоляция (рисунок). Источник тепла действует заданное время, затем отключается и система остывает.

Конечное распределение температуры после окончания действия источника тепла принимается близким к стационарному [1].

Математически задача записывается следую-"^2, а, ! щим образом:

Щ (r, 8,т) _ ^ ( d2Tl (r, 8,т) + 2 Щ (r, 8,т) +

„2 r dr

дт

_1__д_

r2 sin 8 д 8

dr 2

БШ!

,dTi(r, 8,т) д 8

(1)

Рис. Тепловая схема системы с поверхностным сферическим нагревателем

r > R, 0 < 8 <-, т > 0; 2

Щ (r, 8, т) 5т

(я 2

= 02

д% (r, 8, т) + 2 ÖT2 (r, 8, т) + 1

дг2

дг

2~~ 8 д 8

r sin 8

д( sin 8 д%2(r, 8,т)

д 8

(2)

r >R, — < 8 < п, т > 0; 2

T1 (r, 9,0)

r > R

0<9<П 2

= /(r), %2(r,9,0)

r > R = / (r);

—<9<n 2

(3)

T1 (o, 9, t)

t>0 = T2 К9 t)

0<9<П 2

t>0

= 0:

—<9<n 2

(4)

T1 (R, 9, t)

дT1(r, 9, t)

t>0 = T2 (R, 9, t)

д9

0<0<П 2

n =

=—0 2

t>0

—<8<n 2

дT2(r, 9, t)

r > R t>0

д?^, 9, t)

д9

дT1 (R, 9, t)

дr

9=0 r > R т>0

= 0, h

д9

cT2(r, 9, t)

9=n+0 =0; 2

r > R t>0

д9

9=n r > R т>0

= 0:

д^ (R, 9, t)

0<8 <--0

2

дr

= 0, t > 0,

—+0<8<n 2

(5)

(6)

(7)

(8)

где _Дг) - функция начального распределения температуры в каждом полуограниченном теле (после отключения нагревателя); / (г) = ————— [2].

Запишем уравнения (1) и (2) в виде [3]: дТ1 (г, т)

дт

дT2 (r, т) дт

(д2T1 (r, т)+ 2 дT1 (r, т)А

дт'

дr

2

(д2T2 (r, т)+ 2 дT2 (r, т)^

дr

2

дr

(h +h2 )r

r >R, т > 0, 0 < 9 < — ; (9) 2

r > R, т > 0, — < 9 < n. (10) '2

V /

Решения (9) и (10) в области преобразования Лапласа имеют вид [3, 4]:

)2

rT1L (r, Р) -

rT2 L (r, Р ) -

2qR

( + ^2 ^

= A exp

2 qR2

(h1 +h2 )Р

= C exp

ai Р

+ B exp

+ D exp

ai Р

0 <9<-; (11) 2

-<9<л, (12) 2

где р - комплексная переменная; А, В, С, Б - константы интегрирования.

r

r

r

Граничные условия для изображения можно записать в виде:

T1L (оР)

Til (R, Р)

dT1L (R, Р)

0<е<-

_ T2L (00, Р)

_ 0;

-<е<п

0<8 <П 2

_ T2L (R, Р)

П<0 <п 2

dr

_ 0, X-

dT2L (R, Р)

0<8 <—0 2

dr

_ 0.

+0<8<n

Из условия (13) следует, что В = Б = 0. Постоянную А определим из граничного условия (15):

' 1М— А

1 A

X1 — exp R2

- —R

—R +1

2X^ (Xj +X2) Р

X C

_-X^—rexp R2

R

-R +1

2X 2q

(X1+X2) р

Из условия (14) имеем: A exp

-J —R

_ C exp

—R

a2

тогда

C _ A exp

R

Подставляя выражение (17) в (16) получим

A _--

2qR2

p exp

-J —R

a1

( ( X1

v v

\—R +1

(

+x 2

I~PR+1

Следовательно, решение (11) примет вид

T1L (r, Р )_

2qR 2

2qR exp

-(r - R )

rp(Xi +X2) . J ¡— X1 +X2 1 2 rp(El +e 2 )|V Р + 1 2

R(e1 +e 2 )

0<е<-. 2

(14)

(15)

(16)

(17)

Перейдя от изображения к оригиналу и воспользовавшись разложением функции ейс(х) в ряд при больших значениях т для первого полуограниченного тела, получим

>3/ , „ \ , л ч Л

T1 (r T)_ 2qR On +s2) | (r-R)(X1 +X2) +1

^л/л (X1 + X2)2 v V01R(^1 +s2

1

При r = R

r > R, т> 0, 0 <е<-

T1(R,T)_ 2qR (S1 +s2)2 ^, T>0, 0<е<П Vn (X1 +X2)4T 2

(18)

(19)

X

2

Таким образом, получены математические модели (18) и (19), описывающие распространение тепла в системе двух полуограниченных тел на стадии остывания. Полученные результаты возможно использовать при разработке методов и средств неразрушающего контроля теплофизических свойств материалов и теплового контроля структурных превращений (фазовых и релаксационных) в полимерных материалах [5].

Список литературы

1. Жуков, Н. П. Многомодельные методы и средства неразрушающего контроля теплофизических свойств материалов и изделий / Н. П. Жуков, Н. Ф. Майни-кова. - М. : Машиностроение-1, 2004. - 288 с.

2. Zhukov, N. P. Modeling of the Process of Heat Transfer from a Plane Heat Source of Constant Strength in Thermophysical Measurements / N. P. Zhukov, N. F. Mainikova // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. - 2005. - Vol. 78, No. 6. -P. 1104 - 1112.

3. Multimodel Method of Nondestructive Determination of the Thermophysical Properties of Solid Materials / Zhukov N. P. [et al.] // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. - 2012. - Vol. 85, No. 1. - P. 203 - 209.

4. Лыков, А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. - М. : Высшая школа, 1967. - 599 с.

5. Методы и средства неразрушающего теплового контроля структурных превращений в полимерных материалах / Н. Ф. Майникова [и др.]. - М. : Изд-во ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 2012. - 320 с.

Mathematical Model of Heat Transfer in the System of Two Semibounded Bodies at Cooling Stage

N. P. Zhukov, N. F. Mainikova, I. V. Rogov, S. S. Nikulin

Department "Enterprise Power Supply and Thermal Engineering", TSTU; [email protected]

Keywords: mathematical model; modeling; non-destructive testing; spherical half space; temperature field; thermal physical properties.

Abstract: The paper describes a mathematical model of heat propagation in spherical half-space at cooling stage. The solution of the boundary value problem of heat conduction can be applied to the methods of non-destructive thermal testing.

References

1. Zhukov N.P. Mainikova N.F. Mnogomodel'nye metody i sredstva neraz-rushayushchego kontrolya teplofizicheskikh svoistv materialov i izdelii (The multi-methods and means of nondestructive kontrolya thermo-physical properties of materials and products), Moscow: Mashinostroenie-1, 2004, 288 p.

2. Zhukov N.P., Mainikova N.F. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2005, vol. 78, no. 6, pp. 1104-1112.

3. Zhukov N.P., Mainikova N.F., Rogov I.V., Pudovkina E.V. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2012, vol. 85, no. 1, pp. 203-209.

4. Lykov A.V. Teoriya teploprovodnosti (The theory of thermal conductivity), Moscow: Vysshaya shkola, 1967, 599 p.

5. Mainikova N.F., Mishchenko S.V., Zhukov N.P., Rogov I.V. Metody i sredstva nerazrushayushchego teplovogo kontrolya strukturnykh prevrashchenii v polimernykh materialakh (Methods and tools for non-destructive thermal control of structural transformations in polymeric materials), Moscow: Publisher of Tambov State Technical University, 2012, 320 p.

Mathematisches Modell der Wärmeverbreitung im System der zwei halbbegrenzten Körper auf dem Stadium der Abkühlung

Zusammenfassung: Es ist das mathematische Modell der Wärmeverbreiterung im sphärischen Halbraum auf dem Stadium der Abkühlung dargelegt. Die Lösung der Grenzaufgabe der Wärmeleitfähigkeit kann man in den Methoden der nichtzerstörenden Wärmekontrolle anwenden.

Modèle mathématique de la propagation de la chaleur dans un système à deux corps semi-limités pendant la phase de refroidissement

Résumé: Est présenté le modèle mathématique de la propagation de la chaleur dans un semi-espace sphérique pendant la phase de refroidissement. La solution du problème de limite de conductivité thermique pourrait être appliquée dans les méthodesdu contrôle thermique non destructif.

Авторы: Жуков Николай Павлович - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Энергообеспечение предприятий и теплотехника»; Майникова Нина Филипповна - доктор технических наук, профессор кафедры «Энергообеспечение предприятий и теплотехника»; Рогов Иван Владимирович -кандидат технических наук, доцент кафедры «Энергообеспечение предприятий и теплотехника»; Никулин Сергей Сергеевич - кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Энергообеспечение предприятий и теплотехника», ФГБОУ ВПО «ТГТУ».

Рецензент: Чернышова Татьяна Ивановна - доктор технических наук, профессор кафедры «Конструирование радиоэлектронных и микропроцессорных систем», директор института энергетики, приборостроения и радиоэлектроники, ФГБОУ ВПО «ТГТУ».