Математическая модель процессов магнитно-импульсного деформирования полых заготовок Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.961

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССОВ МАГНИТНО-ИМПУЛЬСНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПОЛЫХ ЗАГОТОВОК

© 2002 В.А. Глущенков1, В.Н. Кислоокий2

1 Волжский филиал Института металлургии и материаловедения им. А. А. Байкова, г. Самара 2 Самарский государственный аэрокосмический университет

Разработана математическая модель процессов магнитно-импульсного деформирования полых заготовок. Предложена методика расчета, основанная на вариационных принципах механики с использованием теории пластического течения и дискретных расчетных схем.

В конструкциях многих изделий машиностроения используются детали и узлы, изготавливаемые из трубчатых, полых заготовок [1, 2].

К сожалению, технология штамповки таких деталей является слабым звеном современных машиностроительных технологий. Повысить технологическую вооруженность предприятий, исправить положение призван разработанный в Самарском государственном аэрокосмическом университете комплекс технологических процессов магнитно-импульсной штамповки полых заготовок [3-6], представленный в таблице.

Для их исследования и внедрения необходимы разработка и реализация методик теоретического решения задач магнитно-импульсного деформирования полых заготовок различной конфигурации с различными начальниками и граничными условиями. Теоретический анализ позволяет исследовать механизм процессов, изучить раздельное или совместное влияние конструктивно-технологических факторов на процесс деформирования, то есть выработать научно-обоснованные рекомендации по управлению процессами магнитно-импульсного деформирования полых заготовок с целью получения наилучшего качества и надежности деталей и узлов при минимальных материальных и трудовых затратах.

Постановка и методология решения задач магнитно-импульсного деформирования полых заготовок должны учитывать общие и частные особенности каждого технологического процесса:

- импульсное магнитное поле значительной интенсивности, воздействуя на объект, приводит к появлению в нем индукционных токов. В результате в заготовке возникают объемные электромагнитные силы и дополнительные источники джоулева тепла;

- для процессов формовки характерны сильная геометрическая и физическая нелинейность, что требует разработки специальных математических моделей состояния материала и алгоритмов задач с большими (конечными) деформациями;

- процессы калибровки характеризуются взаимодействием калибруемой детали с оснасткой и зависят от предыстории деформирования. В частности, напряженно-деформированное состояние материала заготовки после операции формовки является исходным для решения задачи деформирования в процессе калибровки;

- задача о динамическом взаимодействии двух и более упруго-пластических тел должна реализовываться при анализе операций калибровки и сборки с использованием алгоритма, учитывающего контактное взаимодействие тел с заранее неизвестной зоной контакта;

- особенностью разделительных операций является процесс упруго-пластического деформирования в заданной локальной зоне, моделирование которого требует разработки специальных математических моделей накопления повреждаемости и учета предельного состояния материала;

- наконец, комбинированные операции могут включить в себя все перечисленные

Таблица. Комплекс технологических процессов магнитно-импульсной штамповки полых заготовок

РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ

Разрезка трубчатых деталей

Обрезка припусков, ______торцовка_______

Пробивка

отверстий

Резка труб на мерные длины

О о

ФОРМОВКА

Получение переходников, конусов, фланцев

Получение рифтов

Отбортовка

отверстий

Получение деталей сложного контура

КАЛИБРОВКА

Правка местных неприлеганий

Калибровка замкнутого контура

СБОРКА

Образование соединений за счет местного ____________формообразования____________

Образование соединений за счет натяга

КОМБИНИРОВАННЫЕ ОПЕРАЦИИ

Формовка + калибровка

Разделительные операции + _________калибровка_________

Формовка + разделительные __________операции___________

I-*- 6 1

п О

выше особенности.

Таким образом, для задач рассматриваемого класса в общем случае имеет место взаимодействие магнитного поля с полями напряжений и температур при наличии поверхности контакта нескольких тел и нелинейных эффектов как физической, так и геометрической природы.

Над созданием расчетных методик рабо-

тают научные школы Москвы, Киева, Санкт-Петербурга, Казани, Тулы, Чебоксар, Нижнего Новгорода, Ростова-на-Дону. Однако разработанные специалистами методики разнородны, не связаны между собой, решают частные задачи, а по некоторым технологиям решение вообще не рассматривалось. Кроме того, в них использовано большое количество допущений, часто искажающих физическую

картину. Так, в некоторых случаях в основе предложенных методик лежат гипотезы различных теорий оболочек. Однако, более достоверное описание процессов высокоскоростного деформирования, в общем случае, возможно только при учете волн напряжений по толщине оболочек.

В связи с этим, в данной работе разрабатывалась математическая модель на основе трехмерной теории и ориентированная на численные методы. Аппарат численного моделирования позволил использовать единую математическую модель при исследовании широкого круга технологических задач и дал большую информацию о процессах сложного динамического деформирования.

Предложенная методика основана на вариационных принципах механики с использованием теории пластического течения и дискретных расчетных схем, то есть в сочетании с математическим аппаратом метода конечных элементов, вариационно-разностного метода и метода конечных разностей.

Предложенная математическая модель разрабатывалась поэтапно от свободного деформирования оболочки (тестовая задача) до взаимодействия многослойных ком -позиций с жесткой и податливой оснасткой; модели поведения материала постепенно усложнялись, использовались различные граничные условия.

Рассматривается класс задач в плоской или осесимметричной постановке.

Система координат. Движение тела "т" определяется по отношению к базисной инерциальной правой прямоугольной или цилиндрической системе координат Ъ1’. Наряду с базисной (глобальной) системой вводится местная (локальная) Лагранжевая система координат Х\ неразрывно связанная с частицами сплошной среды и деформируемая вместе с ней. Она является криволинейной правой системой координат, причем ось Х3, описывающая изменение угловой координаты, совпадает с осью Ъ3’. Базисная система служит для описания конфигурации исследуемого объекта, его положения в пространстве в требуемый момент времени и для описания внешних воздействий и граничных ус-

ловий. Местная система координат позволяет получать наглядное представление о поведении отдельных параметров объекта (напряжениях, деформациях...), связанных с фиксированными частицами среды. Переход от одной системы координат к другой осуществляется по известным формулам преобразования.

Исходные уравнения и гипотезы. Рассматривается система, состоящая из "М" деформируемых тел (рис.1), движение которой описывается на основе вариационного принципа

М ,

8Ь = X (т ] О ёУ +

т=1 Гти * т

+ і ри 8и ёУ

Уту т

8А ) = 0,

т' 5

(1)

где О , - соответственно значения тензора напряжений и скоростей деформаций; Ут -объем деформируемых тел т; р- плотность, 8Ат - вариация работы внешних сил; и - перемещение, и, И - скорость и ускорение точек среды.

И = Ъ - Т

И = ё2Ъ/ё2

где Ъ - радиус вектор.

Соотношение (1) рассматривается совместно с уравнением неразрывности сплошной среды в Лагранжевой постановке рУ = роУо и дополняется заданием начальных и граничных условий.

Начальные условия. В начальный момент времени ^ конфигурация деформируемого тела задается координатами Ъ0*’ исходной си-

Рис.1. Принятые базисная 71 и местная Xі системы координат

стемой отсчета любой ее точки М(Х->). Наряду с этим во всех точках задаются напряжения о*.0, скорости И*0, плотности р0 и темпе-рэтуры То.

1 = 1 Уте И,

о..0 = о..0(М), р = Po(M),

=^(М И = идм),

Т0 = Т0(М).

Граничные условия. Граничные условия являются функциями, зависящими от времени и задаются в интервале [1;0, 1;,]. В зависимости от вида граничных условий поверхности деформируемых тел представляются состоящими из поверхностей БО, Бу, Бт.

На поверхности Б - задаются динамические граничные условия. Под этим подразумевается, что в любой точке Бо задается поверхностное напряжение Р1 = Р*(М, 1). На свободных поверхностях Р1 = 0.

На поверхности - задаются кинематические граничные условия. В любой точке этой поверхности задается вектор скорости или перемещения

И* = И*(М, 1), И* = И*(М, 1).

- это поверхность жесткого сцепления совместно деформируемых тел, зоны наложения жестких связей

Ит1 = Ит2,

т1 т25

и, = и 2.

т1 т2

Скорости и перемещения точек контактной поверхности полагаются известными. В случае, например, взаимодействия с жесткой преградой они принимаются равными нулю.

На поверхности Б задаются смешанные граничные условия. Предполагаются известными компоненты вектора поверхностного напряжения и соответственно компоненты скорости или перемещения, причем они относятся к разным осям координат. - зона

скольжения на контакте взаимодеформируе-мых тел. Это выражение непроницаемости и тангенциального обтекания. При учете сил трения поверхностное напряжение представляется в виде суммы нормального Рк и тангенциального давления Р

Таким образом, в зависимости от характера взаимодействия двух тел в зоне контак-

та условия взаимодействия представляются, например, следующими соотношениями:

- условие жесткого сцепления

Ът1 (У 0 - Zm2(У, 0 = 0 У е Бт, т2;

- условие непроникновения тела друг в друга и тангенциальное скольжение без трения

V (Ъ т1, Ъ т^ У, 0 ^ 0,

где функция ¥ принимает отрицательное значение при внедрении точек одного тела в другое;

- взаимодействие тел с учетом трения при тангенциальном скольжении тел в зоне контакта

¥ (Ът1 Zm2, У, 1) > 0

|Рт(У)| < %) |Рк(У)| ^{Ът1(У) - Ът2(У)}Т = 0

|Рт(у)|< «(У) |Р»| ^(Ът,(У) - Ът2(У)}т=С |Рт(у)|

где У - общая точка, принадлежащая поверхности Бт1 т2; «(у) - коэффициент трения; Ът,(у)

- Ът2(у) - тангенциальная составляющая разности скоростей тел в точке у; С - коэффициент пропорциональности.

Предполагается также, что в процессе ударного взаимодействия тел на совместных границах контакта Бт1 т2 возникают контактные усилия, равные по величине и противоположные по направлению, которые будем считать дополнительной внешней нагрузкой.

В качестве варьируемого параметра принимаются скорости перемещения отдельных точек среды. Тогда, учитывая, что при осевой симметрии скорости перемещений О3’ и их производные равны нулю, выражение для входящих в уравнение движения (1) вариаций можно записать в следующем виде:

- вариация работы внутренних сил 8эт

8э = 1 (о“р 8е в + о33 8е33) ёУ;

т Ут “Р 33)

(в случае плоско-напряженного состояния О33=0);

- вариация кинетической энергии системы 8W

^^^т = - 1 рИ“‘ 8И„,ёУ, (2)

У т

вариация работы внешних сил 8А

8А = 1 Р1 5й . ёУ + 1 ра1 5й . ёГ +

т т/ а1 т гг г а1 т

У т Г т

+ X 01 Г1 8и , ёБ , 2,

с О , „ * а1 т1 т2’

От1т 2

^и ра1 - компоненты векторов объемной и поверхностной сил, действующих на тело "т", 7я1 - компоненты вектора контактных усилий, множитель Хс принимает значение 1 при наличии контакта и 0 при его отсутствии;

ёУ - элемент объема, ёГ и ёБ 12 - элемент 5 т т1т2

ты площади внешней поверхности тела "т".

Компоненты Г11 и ра1 - вычисляются как функции интенсивности давления импульсного магнитного поля (ИМП) [7]

1

Рт = 2 Д (Р 22 -Н12).

Для некоторых задач правомерно принятие только внешнего воздействия ИМП, по одной из аппроксимирующих зависимостей, например, вида

Рт=Ро е-251 б.и2 (2л1/Т),

для других - объемное распределение электромагнитных сил по толщине скин-слоя, например, по линейному закону от максимума до нуля.

Таким образом, уравнения (1) и (2) совместно с начальными и граничными условиями полностью описывают движение системы М деформируемых тел в пространстве Ъ в двумерной постановке.

Связь между напряжениями и деформациями. При описании динамического деформирования воспользуемся тензором скоростей деформаций, компоненты которого связаны с компонентами скорости перемещения,

Єар = 1/2 (Уа 1).

(3)

За достаточно малый промежуток времени Ді;’ деформация изменится на бесконечно малую величину Дє. = є. Ді; и полные деформации составят є = є. + ДєіГ

Компоненты тензора напряжений в случае упругой изотропной среды определяются по закону Гука

Поведение материала за пределом упругости подчиняется ассоциированному закону теории течения. В качестве исходных положений принимаются следующие.

1. Тело изотропно.

2. Полные приращения составляющих тензора деформаций ёе*. равны сумме упругих ёе*.(е) и пластических ёе*.(р) деформаций.

3. Пластическое изменение объема отсутствует ёе*.(р) = 0.

4. Область упругих деформаций ограничена поверхностью нагружения

да и, е. (р), е. X, Т) = 0,

где Б * - компоненты девиатора активных напряжений, X - параметр упрочнения, Т - температура.

5. Переход из упругой области в область пластических деформаций определяется условием текучести Мизеса

Ї = Б.. 8.. - 2/3 а о02

і] і. 0,2 0,2

(5)

где О0,2 = О0,2 & Т .

При пластическом деформировании изображающая точка в пространстве тензора напряжения должна оставаться на поверхности нагружения.

6. Приращения пластических деформаций полностью определяются компонентами тензора активных напряжений

ёе. (р) = ёХ Б., (6)

1. 1.’ V /

где ёХ - скалярный множитель, зависящий от истории нагружения и скорости деформаций в данной точке среды.

7. Вычисление приращений напряжений эквивалентно процедуре коррекции девиато-ра полных напряжений

Оо

о1] = с 1]к1 є,,.

(4)

136 ч=тш • Т(е)=1/2 V ^ (е)-

Т(е) - интенсивность фиктивных напряжений, полученных в предположении упругой работы материала. Графическая интерпретация такой процедуры показана на рис.2.

8. Тензор тепловых деформаций е(Т), возникающий от действия внутренних и внешних источников тепла определяется через

Рис.2. Сечение поверхности текучести Мизеса девиаторной плоскостью в момент времени 1 и 1+А1

тензор тепловых расширений а: е(Т) = а АТ.

(7)

В настоящей работе использованы две модели поведения материала за пределом упругости: идеальная пластичность и изотропное упрочнение по степенному закону.

Для оценки предельного состояния материала использована феноменологическая теория разрушения, представляющая собой модель накопления повреждаемости в металле при его пластической деформации (критерий Колмагорова).

Шт л

¥ 0 мК) 1

где V - функция повреждаемости, Н - интенсивность скоростей деформаций, Хр(К) - пластичность металла в момент разрушения 1р при определенных значениях коэффициентов вида напряженного состояния К = 3Р/о* и температуры Т.

Кроме того, для анализа технологических задач формообразования и разделения предложен для использования критерий наибольших удлинений (критерий Мариотта). Согласно этому критерию нарушение в металле происходит при е1 = 5*, где е1 - максимальная положительная относительная деформация, 5* - локальное относительное уд -линение, при котором происходит разрушение образца.

Приведенные в данном разделе соотношения представляют собой общий случай предложенной математической модели упру-

гопластической среды, от которой возможен переход к различным частным случаям.

Расчетные дискретные модели и численные методы.

В качестве расчетной математической модели рассматриваемых процессов принимается дискретная модель процесса динамического деформирования упругопластических тел. Под этим подразумевается процедура дискретизации разрешающих уравнений по пространственным переменным и последующее интегрирование этих уравнений по конечным интервалам времени.

Пространственная дискретизация осуществляется путем использования вариационно-разностного метода и модифицированного метода конечных элементов - момент-ной схемы конечных элементов [8, 9].

Конечно-разностная схема интегрирования уравнений движения по времени. Дискретизация вариационного уравнения движения предусматривает для каждого "т" тела разбиение интервала времени [10, 11], в течение которого длится процесс деформирования, на конечное число К(т) временных промежутков А1пт

N (т)

1 - г0 = X Агт

1 п

1 0

п=1

Из предположения, что временные промежутки А1пт для рассматриваемого тела являются достаточно малыми, интегралы, входящие в выражение (1), заменяют их значениями в центрах этих промежутков

т N (т)

X X [^ (т) - 5К (т)) - 5А (т)] А1;(т) = 0.

т=1 П=1 п п п п

Дискретизация по объему. По объему деформируемой среды дискретные соотношения для 5Wn(m) получены на основе момент-ной схемы конечных элементов, предусматривающие разложение тензоров напряжений и деформаций в ряд Маклорена и удержание только самых старших членов ряда. Такой подход позволяет учитывать жесткие смещения элементарных объемов сплошной среды. Для дискретизации 5Кп(т) использован вариационно-разностный метод, а для 5Ап(т) -

обычная схема конечных элементов. Для построения дискретных моделей в работе использованы кольцевые осесимметричные КЭ, меридиональные сечения которых представляют собой произвольные четырехугольники. Предполагается, что в следствие малых размеров КЭ механические и физические характеристики в его пределах изменяются незначительно и могут быть приняты постоянными.

Аппроксимация скоростей перемещений

- как разрешающих функций - в пределах каждого элемента производится с помощью полиномов Лагранжа (по линейному закону).

После подстановки дискретных соотношений в исходное уравнение движения и последующего его интегрирования получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений движения вида:

[М] {и}(п) + (Я}(п) - (0}(п) = 0,

где [М] - диагональная матрица масс дискретной модели, {и}(п), {Я}(п), {0}(п)- матрицы столбцы векторов узловых ускорений, внутренних и внешних сил соответственно на "п" - шаге по времени.

Решение уравнения движения производится по явной разностной схеме сквозного счета. Геометрическая нелинейность задачи учитывается путем расчета геометрии дискретной модели на каждом временном шаге. Учет физической нелинейности достигается корректировкой девиаторной части тензора полных напряжений в соответствии с уравнением поверхности нагружения и принятым законом состояния. Устойчивость решения обеспечивается выбором шага по времени согласно критерию Куранта А1п(т)<0,5 1т1п/С (1т1п - минимальный размер КЭ, С - скорость звука в данном материале).

В результате решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений по известным значениям {Я}п и {0}п получаем значения ускорений узлов { и }. Затем, по рекуррентным формулам вычисляются компоненты скоростей перемещений {О}п и {И}п -координаты узлов дискретной модели в рассматриваемый момент времени процесса деформирования.

Для реализации разработанной методики созданы алгоритмы, впервые комплексно использующие принцип пространственновременной декомпозиции, алгоритм учета контактного взаимодействия деформируемых тел, метод дискретных торможений, алгоритм учета предельного состояния и другие.

Так, в соответствии с концепцией пространственной декомпозиции рассматриваемая область разбивается на ряд квазирегу-лярных подобластей (блок фрагментов), которые в свою очередь могут быть разделены на регулярные подобласти (фрагменты). Пространственная декомпозиция объектов на фрагменты, осуществляемая по конструктивным, геометрическим и другим признакам, выполняется как в процессе построения расчетной модели, так и на различных уровнях (стадиях) решения задачи. Временная декомпозиция предусматривает для каждого фрагмента выбор соответствующей схемы численного интегрирования и предельно-допустимого шага по времени. Например, при решении контактных задач необходимо сильное сгущение расчетной сетки в зоне предполагаемого контакта, уменьшение временных отрезков интегрирования для отдельных подобластей среды. Принцип пространственно-временной декомпозиции дает возможность распараллелить обработку независимых фрагментов, применять нерегулярные и перестраиваемые сетки, использовать локальные аппроксимации, то есть позволяет исследовать объекты сложной пространственной конфигурации, находящиеся в условиях нестандартного упругопластического деформирования, и при этом обеспечить требуемую точность решения при высокой эффективности реализации его на ЭВМ.

Алгоритм расчета контактного взаимодействия. Для известной области контактного взаимодействия, когда условно можно принять бесконечно малым зазор между контак-тируемыми телами, разработан алгоритм контактного взаимодействия из узла в узел (стыковка сеточных областей). В этом случае зазор принимается за контактный фрагмент, состоящий из одного КЭ, свойства которого описываются уравнениями для идеальной

несжимаемой жидкости. Контактный КЭ определяется сетью узлов на поверхности контактирующих тел. Для более общего случая, когда зоны контакта заранее неизвестны, разработан специальный алгоритм. Действие "контактора" на "мишень" заменяется сосредоточенной внешней нагрузкой, приложенной в точке контакта, и которая по своей сути является узловой невязкой N - для 1-го узла контактора. Действие этой силы заменяется ее эквивалентными узловыми значениями, которые после подстановки в уравнение движения, суммирования по всем отрезкам границы " мишени" определяют положение фрагмента - " мишени" в данный момент времени. Полученная таким способом граница " мишени" является по отношению к " контактору" областью с заданными кинематическими условиями, для которой должны соблюдаться принятые граничные условия.

Для определения равновесного состояния дискретной модели предусмотрено применение метода дискретных торможений. При установившихся колебаниях в определенный момент времени система проходит вблизи положения равновесия, характеризуемого достижением минимума потенциальной энергии и максимума кинетической. Метод дискретных торможений подразумевает обнуление скоростей всех узлов в данный момент времени, что равнозначно торможению системы.

Алгоритм учета предельного состояния. Анализ предельного состояния материала (разрушение осуществляется по напряженно-деформированному состоянию (НДС) конструкции на каждом шаге по времени). Предполагается, что в малой окрестности точки, находящегося в условиях трехосного напряженного состояния и для которой выполняется условие разрушения, материал перестает воспринимать нагрузку любого вида. В настоящей работе за малую окрестность точки принимается весь объем конечного элемента, в центре которого анализируются параметры НДС. Таким образом, исключая текущий КЭ из дальнейшего рассмотрения, в материале заготовки с течением времени

моделируют возникновение и развитие зоны возможного появления макротрещин (зон разрушения). Такой подход по сравнению с классической механикой разрушения может иметь существенную погрешность при количественном исследовании процессов трещинообразования. Однако он с успехом может быть использован для качественной оценки и прогнозирования поведения материала при экстремальных внешних воздействиях.

Функции "штрафа" используются при корректировке положения узлов конечного элемента с учетом граничных условий. Алгоритм предусматривает штрафные санкции. Если узел КЭ пересекает поверхность жесткой оправки, он штрафуется и возвращается на эту поверхность в зависимости от граничных условий либо в точку пересечения (случай " прилипания"), либо по нормали к поверхности (случай " скольжения").

Таким образом, разработанные алгоритмы позволили наиболее полно использовать достоинства метода конечных элементов и достичь наибольшей эффективности организации исследования целого класса задач деформирования полых заготовок на ЭВМ.

Разработанные математическая модель и алгоритмы реализованы в виде пакета прикладных программ (ППП), ориентированного на ЭВМ серии ЕС и персональные ЭВМ. Пакет обеспечивает максимальную автоматизацию задания и контроля входной информации и гибкое управление вычислительными алгоритмами. В составе пакета имеются постоянные и временные части. В постоянную часть входят универсальные модули не зависимые по отношению к конкретной задаче.

Временная часть пакета - это модуль подпрограмм, создаваемый лишь на время решения конкретной задачи. Язык программирования в основном Фортран, отдельные подпрограммы написаны на машинно-ориентированном языке Ассемблера.

Пакет прикладных программ оформлен и сдан во Всесоюзный фонд алгоритмов и программ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белянин П.Н. Производство широкофюзеляжных самолетов. М.: Машинострое-ние,1979.

2. Горбунов М.Н. Штамповка деталей из трубчатых заготовок. М.: Машгиз,1960.

3. Глущенков В.А. Магнитно-импульсная обработка при производстве деталей и узлов летательных аппаратов и двигателей // Известия ВУЗов. Авиационная техника. 1993. №2.

4. Glouschenkov V.A., Bourmostrov A.E. Metallic behavior in the center of deformation when pulse-magnetic cropping an allowance of hollow billets // Journal de Physique IV, Eurodymat-2000. France 10(2000).

5. Глущенков В.А. Магнитно-импульсные технологии изготовления из полых заго-

товок деталей и узлов летательных аппаратов и двигателей // Металлдеформ-99. Т.4. Самара: СГАУ, 1999.

6. Глущенков В.А., Бурмистров А.Е. Поведение металла в очаге деформации при магнитно-импульсной обрезке припуска у полых заготовок // Кузнечно-штамповочное производство. 2001. №6.

7. Белый И.В., Фертик С.М., Хименко Л.Т. Справочник по магнитно-импульсной обработке. Харьков: Вища школа, 1977.

8. Сахаров А. С. Моментная схема конечных элементов (МСКЭ) с учетом жестких смещений // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Будівельник. 1974. Вып.4.

9. Кислоокий В.Н. Алгоритм численного решения задач статики и динамики нелинейных систем // Прикладная механика. 1966. Т.2.

MATHEMATICAL MODEL OF HOLLOW BILLETS PULSE-MAGNETIC

DEFORMATION PROCESSES

© 2002 V.A. Glouschenkov, V.N. Kislookii

1 Volga Branch of Institute of Metallurgy and Materials named for A.A. Bajkov of Russian Academy of Sciences, Samara

2 Samara State Aerospace University

Formulation and methodology of solution of hollow billets pulsed-magnetic deformation problems with consideration for general and special peculiarities if technological processes of cutting, calibration, forming, assembling are considered in the paper. The procedure is proposed based on variational principles of mechanics with the use of the theory of plastic flow and calculation discrete schemes.