CC BY
92
УДК 664:621.929
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА СМЕШИВАНИЯ ПОЛИФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
КОМПОЗИЦИЙ В СМЕСИТЕЛЕ-ГРАНУЛЯТОРЕ
Л.И. Лыткина, С.А. Шевцов, Е.С. Назарьева, Л.Ш. Довтаев
Рaзрaботaнa мaтемaтичeскaя модель процессa смешивания компонентов в двухвaльном лошстном смесителе, в основу которой положеш статистическaя обрaботкa эксперимен^^ных дaнных. Предложена конструкция смесителя-гранулятора, позволяющая оптимизировать процесс смешивания компонентов c различным гранулометрическим составом и физико-механическими свойствами
Ключевые слова: математическая модель, смешивание, однородность, идентификация, адекватность, смеситель-гранулятор
Процесс смешивания сыпучих материалов зависит от типа, конструкции смесителя и рабочих органов, интенсивности технологических режимов, состава смешиваемых компонентов, их свойств и соотношения. Задача смешивания полифункциональных композиций заключается в вырaвнивaнии содержания каждого компонента смеси по всему объему смесителя, поскольку положение частиц компонентов композиционной смеси относительно друг друга во времени и пространстве изменяется.
В смесителе происходят сложные явления, при этом возникает трудность в математически точном выражении картины распределения в смеси компонентов в зависимости от их физико-механических свойств и технологических факторов [1] .
При мaтемaтическом моделировании процессa смешивaния использован неформaльный метод, основанный га модифигации математического описания процессa смешивания для конкретного типа смесительного аппарата - двухвaльного смесителя лопастного типа [2, 3].
Математическая модель процесса смешивания двухкомпонентной смеси в лопастном смесителе представлена в виде следующих уравнений:
Л (СА - тА )
-і
- (с в - т в )
с
= -к (сл - т а У + кВ А ; (1)
= -к (с в - т в )2 + кВ в , (2)
где А и В - компоненты смеси; к = т(^Аа '+ ЫвЬ уь' - коэффициент; сА , сВ - относительное содержание компонентов; тА , тВ - мaтематичeские ожидaния содержания компонентов в соответствии с рецептом; т - эмпирический коэффициент, определяемый экспериментально; ЫА , N - общее число частиц компонентов; а'=ауАУА; Ь = Ьув¥в; а и Ь - число частиц, содержащихся в компонентах А и В; УА и Ув -объемы частиц в однокомпонентных смесях А и В;
Лыткина Лариса Игоревна - ВГУИТ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 255-38-51
Шевцов Сергей Александрович - Воронежский институт ГПС МЧС России, ст. науч. сотрудник, тел. (473) 255-38-51 Назарьева Елена Сергеевна - ВГУИТ, соискатель, тел. (473) 255-38-51
Довтаев Леча Шутаевич - Центр оценки качества зерна (Воронежский филиал), тел. (473) 255-38-51
уА и ув - плотность частиц компонентов; БА и Бв -дисперсии, соответствующие неоднородности композиционной смеси при завершении процесса смешивания.
Изменение содержания компонентов А и В в рабочем объемe смесителя определяется уравнениями (1) и (2). В производственных условиях оценка состояния однородности композиционной смеси проводится статистическими методами путем отбора определенного количества проб. Уравнение (1) при отборе п1 проб, взятых в п произвольно выбранных точках по всему объему камеры смешивания при I измерениях в каждой точке, принимает вид:
с (си - т У
= -к (с,] - т У
+ кВ.
і = 1, 2,
,п;
- ^ Ч]
] = 1, 2,..., і. (3)
Перейдем от содержания компонентов в смеси к выборочной дисперсии для оценки однородности композиции. Определим сумму уравнений (3) по п выбранным пробам и і измерениям и разделим на пі:
1 -ТТ(с -т) =
п1Л^^ ’ (4)
=-кТТ(с -т) + кТТВ ,
1
пі'
(с] - т)
■ т
).
Тогда двойные суммы парных
где Т Т (с - т )2 - осредненная по пи і измере-
пі і =4=1
ниям дисперсия содержания компонента А в двухкомпонентной смеси. Возведем в квадрат величину
п і (
2 2 (с
і =1] =1
произведений центрированных случайных величин, являющихся корреляционными моментами, будут равны нулю вследствие независимости наблюдаемых отклонений с ] - т в п точках при і измерениях. В результате получим 2
п і (
= Т Т (і
і=1]=1
где а - выборочная дисперсия содержания компо нента в композиции.
ТТ
і=1]=1
\с] - т
)2 = пі а
(5)
1 п I
Выряжение — X X О
п1 i =11 =1 а}
- осредненнад дис-
персия, соответствующая неоднородности композиционной смеси при завершении процесса смешивания, которня характеризует рассортировывание частиц компонентов смеси в объеме смесителя и несет смысл дисперсии сегрегации ас2.
Упростим уравнение (4)
пШ
= -к (а 2 -аС)
(6)
где к -констaнта скорости смeшивaния компонентов.
Заданная однородность смеси ар2ддостигается в момент времени t (рис.1), при котором наступает динамическое равновесие между числом частиц, образующихся при смешивании и рассортировывающихся при сегрегации.
Будем считать, что функциональная связь между дисперсиями рaспрeдeлeния и сегрегации носит линейный характер:
с2 -а2 =42 -а2) , <7>
где ан2 - начальная дисперсия содержания компонента в смеси при t = 0; 1 - коэффициент линейной регрессии; анс2 - дисперсия сегрегации в начальный период.
Обычно при исследовании процесса смешивания используют дисперсии, масштабированные через ан2, которые в случае двухкомпонентной композиции [2] рассчитываются как
1н2 = с • (1 - с), где с - содержание компонента.
При ® 0 ан2 = 1, анс2 = 0, а при = ас2 =
1р2.
Из уравнения (7) найдем при ( = 0
1 = (1 - а/) / 1, (8)
а при
1 = (1 - 1р2) / 1р2 , (9)
С учетом (7) уравнение (5) приводится к виду
1
Л V а 2
Л
-- к
'1 -(1 +1) а
1
(10)
Рис. 1. Зависимости изменения дисперсии концентрации от времени процессов смешивания и сегрегации
После рaздeлeния переменных имеем
d а
2клШ
1
dt
а[-(1 +1 )а 2 ]
Интегрируя урнвшнж (11), получaeм
1 , \1 +41+1-С1 2 к 44 „ . (12)
1п --- =-------+ 1п С
V1 +1 1 -у[Г+1у а 2 1
Постоянная интегрирования С из начального
условия t = 0, а2 = 0:
' " (13)
1п С = 1 1п
л11 + 1
1 + У1 +1
_ 1 -л/1 +1
С учетом (13) уравнение (12) имеет вид
1
44+
или
1
[+^1+1 а
1 - л! 1 +
1
1_+л
1-
2 к 44
444\
1п
+ 41+ Ыа 2 1 -л11+1 Подставим выражение (8) в (14) и получим
1
-t
1п
+1
2 к 4гй\! а р
1 -4а
или
ехр
+1 . (15)
1
После несложных преобразований уравнения (15) математическая постановка задачи моделирования (1) - (14) принимает вид:
-Т 2 _ 2
а =а р
2 к 44 •
2 к 44 •
1 -а ‘
(16)
с начальными условиями t = 0 ;а2= 1; t = ж ; С= ар2.
Как показывает полученная математическая модель (16), процесс смешивания бинарной композиции в лопастном смесителе определяется двумя параметрами: константой скорости смешивания к и равновесной дисперсией содержания компонентов смеси ар2.
Значения к и ар. математической модели (16) зависят от режима работы и конструктивных особенностей смесителя и определяются экспериментально на этапе идентификации параметров и проверки адекватности математической модели.
Рассмотрим задачу математического моделирования процесса смешивания многокомпонентных смесей. Уравнения (1) и (2) представим следующим образом:
d (С1 - т1) , ( \ п ( ч , п ,
----------= -к,(с, - т,) х (^ - т,)+к,Оч
dt 1=1
I = 1, 2,..., п (17)
где п - число компонентов в смеси; сi и тi - соответственно содержание и математическое ожидание
1
содержание /-го компонента в смеси; Б С/ - дисперсия содержания /-го компонента.
Для п = 3 уравнения (17) принимают вид:
& (С1 - т1)_
-к, [(С1 - т1 )■ (С, - т 2 )+(С1 ■ - т1 )■ (С3 - т3 )]+ к,°с,
:-к2 [(С1 - т1 )■ (С! - т1 )+(С2 - т1 )■ (Сз С5 3 -
-к з [(С 1 - т1 )■ (С3 -тз )+(С, - т 2 )■ (С3 -тз )]+ к3°1.
(18)
& (с 2 - т1 ) _ &
& (с 3 - т 3 )
Просуммируем по 1 измерениям для п точек проб в объёме смесителя первое уравнение системы (18) и определим значения переменных.
Тогда
& Е Е (с1ч - т1 )
/ =1} =1 ■)
к,
п1 ■ Л
п1
- +
Е Е
/=11=1
{С1ц - т1 У(2« - т 2 )+
(19)
+ ЕЕ
,=11=1
+ — ЕЕ Б,
п1 >=ч=1 1ц
{С1« - т1 1С3ц - тз)
В левой части уравнения (19)
Ч - т1,
ее (ч - т1) а
,=Ц=1
п1
1 п > (
— Е Е (
п1 1=1 )=Л
1 п 1 (
— Е Е (С
п1 1=1 1=1 К
1 п 1 „
— Е Е Б
п1 1=1. 1=1
а в правой части
- т1 )$2ц
2 )— ' С1С2 Л/а 1° 2
■1 - тз )
з 1 с1с3 м° 1° з
(20)
(21)
(22)
1° 3 (23)
2 2 2
где °1 ,а2 ,°з - дисперсии содержания компонентов
* *
в смеси; ?С\С2 ’ Г с С 3 -коэффициенты корреляции
между с1 и с2, с1 и с3; а 2 - осредненная дисперсия
С 1
сегрегации первого компонента; 1 - коэффициент пропорциональности.
Экспериментальные данные по смешиванию композиции из трех компонентов показывают, что
г* , г* , г* изменяются в интервале значе-
'С1С2 'С1С3 С 2С з Г
ний 0,85... 0,95 при п = 10.
С учетом выражений (19) - (21) уравнение (17) примет вид
= -к1 +у1°21°21 ]+у- -1 +4аа ]
или
& к 1 (11 +1)
1
(24)
Аналогично преобразуем второе и третье уравнения в системе (17). В итоге получим математическую модель процесса смешивания тройной композиции в лопастном смесителе в виде
& д/ а 1 к 1 (1 +1)
4п1& 11
& л[°2 = к 2 2 + 1 )
-\fridt
1,
°2°2 +^\°2°2
'\[а1 = - кз (1з +1) [
^ “ 1, г
°2°2 +л°2а2, + —
-\fufdt
где 1 =(-° Р1 )/
1 = (1 -а 2 2 , с начальными условиями t = 0,
а2 = 1; t =¥, (гр12 = 1; / = 1, 2, 3.
Константы скорости смешивания компонентов к1, к2, кз и предельные дисперсии содержания компонентов а2 , а 2 , а 2р^ в (25) - определяются экспериментально.
Математическая модель процесса смешивания многокомпонентной композиции из £ компонентов может быть представлена в виде:
1
dt
(26)
с начальными условиями t =
где 1 =(-° 2,)/°.
0, °2 = 1; t =¥, а,2 = <7р2';/ = 1, 2, .£.
Из выражений (25) и (26) в отличие от модели (16) процесс смешивания многокомпонентных композиций характеризуется различными кинетическими кривыми для каждого компонента.
Для получения удовлетворительной сходимости результатов расчета по модели (16) с экспериментальными данными осуществляли выбор наилучших оценок константы скорости смешивания
к и значения равновесной дисперсии содержания
2
компонента ар .
По экспериментальным значениям концентраций контрольных компонентов при объеме выборки п1 = 10.30 определяли значения выборочных дисперсий содержания каждого компонента по формуле
° \,с, =1^ (с, - СУ/п , (27>
— п I , ,
где с = ЕЕ С п1 , С - экспериментальное зна-
,=1,=1 1 11
чение содержания компонента в ,-ой пробе, взятой в /-ой точке измерения.
Проверка на однородность дисперсий а
1 эксп
а 2 эксп , а 3 эксп параллельных измерений в каждом опыте проводилась по критерию Кохрена [2].
Экспериментальные значения а 2экт для рассматриваемых смесей использовали для идентификации параметров к и ар математической модели (16) и проводили её проверку на адекватность (рис. 2).
По результатам экспериментальных и теоретических исследований предложен оригинальный сме-ситель-гранулятор для эффективного смешивания компонентов (рис. 3) с различными физикомеханическими свойствами [4].
к
+
к
+
&
&
Рис.2. Экспериментальные (---) и расчетные ( — )
кривые для двухкомпонентных модельных смесей: а - металломагнитная примесь, измельченный зерновой компонент; б - соль поваренная, измельченный зерновой компонент; в - жир животный кормовой, измельченный зерновой компонент
Особенность конструкции смесителя-гранулятора состоит в том, что он состоит из трех зон. В первой зоне быстроходный вал обеспечивает
направление движения потоков композиционной смеси различных компонентов в противотоке навстречу друг другу.
Во второй зоне расположен тихоходный вал с вращающимися конусообразными лопастями, вращение которых осуществляется от быстроходного вала, что обеспечивает радиальное перемещение композиционной смеси от оси вращения к внутренней поверхности корпуса.
В третьей зоне смесителя-гранулятора происходит уплотнение и сжатие полученной смеси и формирование однородной, гомогенной массы продукта при помощи шнека с переменным шагом витков за счет возрастания давления вследствие резкого уменьшения размеров винтового канала.
Различные сочетания основных типов течения за счет изменения угла поворота конусообразных лопастей и частоты вращения быстроходного и тихоходного валов позволяют изменять интенсивность перемешивания компонентов продукта в смесителе.
Сыпучнс
компоненты
V)
Рис. 3. Общий вид смесителя - гранулятора: плосткостное (а) и объемное (б) изображения; 1 - корпус; 2 - загрузочный патрубок; 3 - быстроходный вал; 4 - тихоходный вал; 5 - опора; 6, 20 - зубчатое колесо; 7,8,9 - зоны; 10 - неподвижное колесо; 11 - водило; 12 - сателлит; 13 - форсунка; 14 - торцевая крышка; 15, 18 - лопасти; 16, 17, 19 - спирали; 21 - шнек; 22 - матрица; 23 - привод
Литература
1. Техника и технология тепловых и механических процессов в задачах энергосбережения на комбикормовых заводах: монография / Л. И. Лыткина, А. А. Шевцов, А. В. Дранников, А. И. Клейменов - Воронеж : ВГТА, 2011. -304 с.
2. Амосов А. А. Вычислительные методы для инженеров / А. А. Амосов, Ю. А. Дубинский, Н. В. Копченова. - М. : Высшая школа, 1994. - 544 с.
3. Шевцов А. А. Моделирование процесса смешивания бинарной композиции в лопастном смесителе / А. А. Шевцов, Л. И. Лыткина, И. Б. Чайкин //Вестник Воронежской государственной технологической академии - 2008. -№ 1 - С. 86 - 92.
4. Пат. 2422194 РФ, МПК7 В 01 F. Смеситель-гранулятор/ Шевцов А. А., Остриков А. Н., Лыткина Л. И., Бритиков Д. А.,Чайкин И. Б.; заявитель и патентообладатель Воронеж.гос. технол. акад. - № 2009100236/05; заявл. 11.01.2009; опубл. 27.06.2011, Бюл. № 18.
Воронежский государственный университет инженерных технологий
Воронежский институт ГПС МЧС России
Центр оценки качества зерна (Воронежский филиал)
MATHEMATICAL MODEL OF PROCESS OF MIXING OF MULTIFUNCTIONAL OF COMPOSITIONS IN THE MIXER GRANULATOR
L.I. Lytkina, S.A. Shevtsov, E.S. Nazaryev, L.Sh. Dovtayev
The mathematical model of process of mixing of components in two-shaft lopastnom the mixer in which basis statistical process in of experimental data is put is developed. The mixer-granulyator a design, allowing to optimize mixing process before a granulation of loose and liquid components with various granulometric structure and physic-mechanical properties is offered
Предлагаемый смеситель-гранулятор позволяет:
- сократить цикл смешивания, снизить удельные энергозатраты на процесс смешивания и повысить однородность композиционной смеси;
- оптимизировать технологические параметры процесса смешивания исходных компонентов композиционной смеси, различных по составу и свойствам, за счет рационального смешивания и движения смеси в каждой из трех рабочих зон смесителя-гранулятора;
- расширить возможность использования сме-сителя-гранулятора в различных отраслях про-мыщленности с учетом особенностей физикомеханических свойств компонентов композиционной смеси.
Key words: mathematical model, mixing, uniformity, identification, adequacy, mixer-granulyator
