CC BY
23
УДК 637.5
Математическая модель процесса обвалки
реберного мяса
Д.т.н. Пеленко В.В., асп. Азаев Р. А., магистрант Иванов Р.А., студентка Фукс Е.В.
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
В статье рассматривается модель работы установки для обвалки реберного мяса. Определены величин перемещения и усилий тяговых штанг, кривизны поверхности толкателя установки, мощности привода установки, напряжений, возникающих в элементах, узлах, костном и мясном сырье. Пользуясь полученными соотношениями представляется возможным рассчитать геометрические и другие параметры установки для обвалки реберного мяса.
Рассматривая физическую модель работы установки для обвалки реберного мяса, можно составить схему действия сил и нагружения реберной кости.
Определение величин перемещения и усилий тяговых штанг (P), кривизну поверхности толкателя установки и его усилия (N), мощности привода установки, напряжений, возникающих в элементах, узлах, костном и мясном сырье, связано с решением дифференциального уравнения упругой линии балки.
В связи с тем что интенсивность "q" нагрузки на реберную кость со стороны мясного сырья пропорциональна вертикальному перемещению "у" и направлена в сторону, противоположную оси "у" можно записать:
q = -ny, (1)
где n - коэффициент пропорциональности, представляющий собой текущее значение напряжения, отрывающего соединительную ткань от кости.
Дифференциальное уравнение упругой линии имеет следующий известный вид [1]:
d 2
EI^-У = M „ . (2)
dx
Дифференцируя уравнение (2) дважды, получим:
EId 4 У = d 2 M иг (3)
dx4 dx2 .
Учитывая дифференциальную зависимость:
d 2 M изг
-2из— = q (4)
dx
и уравнение (1), запишем (2) в следующей форме:
а 4
Е1—у + пу - 0 (5)
ах
п _ Л 7 4
Обозначим — ~ к у , получим известное уравнение изогнутой оси
балки на упругом основании
а4 у
+ 4к4 у - 0 (6)
ах4
Как известно [2] решениями уравнения (6) являются произведения тригонометрических и гиперболических функций 8ткх * БИкх, СоБкх*сИкх, 8Икх*Совкх, сИкх*8ткх, а так же любые их линейные комбинации.
Наиболее удобными для решения следует выбрать функции Крылова -комбинации, предложенные А.Н. Крыловым. Они удобны тем, что производная от каждой из этих функций дает какую - либо другую из этих же функций.
Таблица функций Крылова имеет [2] нижеследующий вид.
Таблица 1.
п ¥ (кх) ¥1 (кх) ¥1 (кх) ¥Ц1(кх) С (кх)
1 СИкх*СоБкх - 4к¥л - 4к 2¥3 - 4к % - 4к ¥
2 ^(сИкх* 8ткх+вЬкх*Совкх) кУ1 - 4к 2¥4 - 4к 3¥3 - 4к ¥
3 1/2вЬкх*8ткх к¥2 к ¥ - 4к 3¥4 - 4к 4¥3
4 ^(сЬкхЗткх-вИкхСовкх) к¥3 к ¥ к 3¥1 - 4к 4¥4
В таком случае в результате дифференцирования уравнения (6), выражение для вертикального перемещения "у" запишется:
у = Уо>1 (кх) + у01 У2(кх)+Ы к2 ¥ (кх)+§1 УА(кХ), (7)
где уо, уо, Ы0, §0 — соответственно перемещения, угол поворота, изгибающий момент и поперечная сила при х=0.
Если принять за начало отсчета левый край бруса, то, с учетом малой кривизны, очевидно,
§ 0 = 0; Ы, - 0.
г
Величины у0 и у 0о определим из граничных условий:
х - - А ~ N
при х - 2, у0 - 0, § - у.
С учетом соотношений таблицы 1 получаем:
1У = -4УсЛ (кх) + Уо1 У1 (кх) ■ (8)
к к
1 4
— у" = -4УоГ3 (кх) - у0- 7Л (кх) ■ (9) к к
1 4
у" = -4УоГ2(кх) - Уо куз(кх). (10)
Граничные условия примут следующий вид:
- 4 у 7Л)+У 0} 7. А = о. (11)
2 к 2
. лт/кК >4Л, ЛК N
- 4Уо72 Ы - УоТ 7з (") = Т^ТГ . (12)
2 к 2 2Е1к
Из уравнений (11) и (12) найдем перемещение уо угол поворота уо балки при х=о.
- ^ |)
Уо " 8Ек Г2(|щ|) + 4Гз(|щ|); (13)
м
Уо N
- и-)
к у2(к^)У1(к^)+4¥3(2Ш2)
п
(14)
Величины У , У и у принимают в таком случае вид:
к1 к! У = - N о 7 (- )7 (кх) + 7„ (- )72 (кх)]; (15)
у' = 4 N о ВД (2 )7„ (кх) - 7 (к1 )72 (кх)]; (16)
к1 к!
у' = 4 N о к2 [71 (-) 7з (кх) + 74 (-)74 (кх)], (17)
где
N =
' 2 N 1
о ^^ + 473(^^)74(1). (18)
Неопределенной величиной в полученной модели является коэффициент пропорциональности "п" в уравнении (5), входящий в выражение для "к". Найти значение "п" позволяет граничное условие, записанное для уравнения
(1) в арифметческой форме при х=о, У=Щ =Ос, где - адгезионная
прочность связи соединительной ткани мясного сырья с поверхностью реберной кости.
Таким образом, имеем следующее соотношение для определения коэффициента "п":
ос
п- — • (19)
у0 ; ^
к4 • у0 --^ (20)
4Е1' 4Е1к4 •
Подставляя уравнение (20) в (13) и приводя к арифметическому виду, получаем:
ас _ N ¥1( к)
4Ek 8Elk ^(f)+
Откуда находим выражение для "k"
kl kl kl kl 2S [Y2( f )Y,( 2) + 4Y3( k- )F4( k-)]
к =-2--2-^ (21)
2)
Уравнение (21) является трансцендентным относительно "k". Решая его методом итераций, определяем величину "k".
Далее, в соответствии с принятым обозначением для уравнения (5), находим искомое значение "n":
n = 4 EIk4.
Проведем численную оценку полученных результатов.
Для реальных значений N = 50 Н , sc = 100Н /М , из уравнения (21)
находим величину k = 4,7 м_1 для материала кости E = 1010 Па . Для поперечного сечения кости эллиптической формы имеем:
7ШЬЪ
I
64 '
где а, Ь - большая и малая полуоси эллипса.
Статистические исследования размерных характеристик определенного вида реберных костей дают величины:
а = 0,0146 м , Ь = 0,0035 м. В этом случае получаем:
1» 30,7 • 10-12 п - 600 д - 600у
Величина N0 запишется:
N =_10_
0 ЧТ^ф + 4Y3(kl)Y4(kl)]' (23)
Пользуясь значениями тригонометрических и гиперболических функций, в соответствии с выражениями Тп (kx) таблицы 1, найдем при I = 0,4 м :
Т1( |) = 0,870; Т2( |) = 0,916;
Тз( |) = 0,438; Т4 (к) = 0,138.
Уравнения 15-19 примут следующий вид:
N 0 = 3,78 -10 -3 N (24)
Для N = 50 Н имеем N0 = 0,189:
y = 0,189[0,870Y (kx) + 0,552Т2 (kx)]. (25)
Угол поворота сечения 6:
в = y' = 3,553[0,870T4(kx) - 0,138T1(kx)]; (26)
M = Ely" = 5,1[0,870Т3 (kx) + 0,552Y4 (kx)]. (27)
Пользуясь полученными соотношениями представляется возможным рассчитать кривизну y опорной цилиндрической поверхности установки для обвалки реберного мяса, а так же величину "у" хода элементов привода для перемещения краевых сечений установочной пластины. В частности:
У max = У0 = У(0) = 0.167 М
Mmax = M(2) = 2.343 H - М
R = 0.128 м 1
p = — = 7.813 м
R
-1
Список литературы
1. Ю.Н. Работнов. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.744 с.
2. В.И. Феодосьев. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1967. 376 с.
