Математическая модель процесса фильтрации применительно к проблеме водоподготовки Текст научной статьи по специальности «Физика»

НОВЫЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ТЕХНОЛОГИИ

УДК 66.067

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ФИЛЬТРАЦИИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ПРОБЛЕМЕ ВОДОПОДГОТОВКИ

Г.Н. МАРЧЕНКО, И.Г. АХМЕТОВА Казанский государственный энергетический университет

Предложена полная математическая модель процесса разделения суспензии фильтрованием применительно к проблеме водоподготовки. Решена задача о наборе осадка на плоской перегородке в режиме заданного перепада давления.

Вода, используемая в пароводяном цикле тепловых электростанций и тепловых сетей в зависимости от источника водоснабжения может иметь различное происхождение. В связи с тем, что вода промышленного назначения должна обладать определенными характеристиками, различающимися по типу ее применения, практически всегда перед подачей в распределительную сеть она должна проходить определенную подготовку (коагуляция, отстаивание, фильтрация, умягчение, дезинфекция и т.д.). Одной из наиболее существенных стадий водоподготовки на предприятиях является стадия фильтрации.

Подготовка такого рода применяется, в том числе, для воды, поступающей по обычному водопроводу, поскольку далеко не всегда водопроводная вода имеет все необходимые качества.

Фильтры применяются также для нейтрализации кислой воды и деминерализации воды, получаемой путем тепловой дистилляции. И, наконец, фильтрация используется для финишной обработки воды в целях нейтрализации вредных примесей при очистке сточных вод. Основная задача фильтрации -отделить от воды твердые взвешенные частицы (песок, грязь, ржавчина и пр.) и, тем самым, предохранить от отложений, коррозии, износа и засорения оборудование на последующих участках [1,2].

Фильтрация

осуществляется воды через из инертного

путем пропускания фильтрующий слой гранулированного

материала

определенной зернистости (гравий, щебень, песок, антрацит) либо через кассетный элемент из водопроницаемого материала или перфорированную корзину с мелкими ячейками, задерживающими большую часть загрязняющих веществ. Наиболее

популярные

гранулированные

Рис. 1. Гранулометрическая классификация кварцевого песка [2]

© Г.Н. Марченко, И.Г. Ахметова Проблемы энергетики, 2008, № 7-8

фильтрующие материалы - кварцевый песок и гранулированный антрацит (рис. 1).

В процессе фильтрации из воды удаляются не только взвешенные твердые частицы размером более размеров ячеек фильтра, но и вещества, находящиеся в коллоидном состоянии (переводимые в твердые посредством флокуляции), а также растворимые в воде металлы (например, железо и марганец), осаждаемые путем окисления.

Можно говорить о двух основных методах фильтрации воды:

- контактная фильтрация: водяная масса, подлежащая фильтрации, медленно пропускается через фильтрующее средство, которое механически удерживает взвешенные в воде частицы;

- биологическая фильтрация: данный вид фильтрации основан на очищающем действии колоний анаэробных бактерий, выращиваемых в субстрате щебня.

Рассмотрим первый метод - процесс разделения суспензии на фильтрат и влажный осадок с помощью фильтровальной перегородки. При построении его математической модели будем исходить из следующих соображений:

1) фильтрационное сопротивление осадка делает процесс достаточно медленным, безынерционным, так что распределение давления в суспензии с большой точностью является гидростатическим;

2) осаждение частиц в суспензии происходит по направлению действия массовых сил;

3) напряженно-деформированное состояние осадка описывается уравнениями механики насыщенных пористых сред;

4) фильтрация через сжимаемый осадок подчиняется обобщенному закону Дарси.

На практике фильтровальная перегородка бывает обычно плоской или цилиндрической. В первом случае она располагается горизонтально, фильтрация происходит под действием силы тяжести и вертикального градиента давления. Для интенсификации процесса перепад давления увеличивается либо за счет вакуумного разрежения на выходе фильтрационного потока, либо поршнем со стороны суспензии. В случае цилиндрической перегородки основную роль играет центробежная сила, причем угловая скорость вращения перегородки ш настолько велика, что силой тяжести можно пренебречь, в связи с чем фильтрационный поток практически плоскорадиальный [3].

Оба случая можно единым образом описать в цилиндрической системе координат (г, 0, /). В области Б1, занятой суспензией, имеем [4]:

[Рт +(1 - с)р]а-------------= 0,

дх

(1)

срт а — с------/------------------= 0,

дР г ЧТ Ч

(2)

дх ч с 1 — с ,

(3)

д дх

п д(1 — с) д(хПЧт) _

х ---------+ —--------- = 0,

д? дх

где для горизонтальной сетки х = z, n = 0, а = g cos а, а для цилиндрической - х = r, n = 1, а = ш2г. Ось х направлена по течению.

В области D2, занятой влажным осадком, в соответствии с теорией насыщенных пористых сред [5]:

дp 1 д\xnо xx )

[(1 - m )p t + mp ]a--------------------------+-,

(5)

дx xf

dx

дp 1

pa---------------------

дx K

m

W-----

v 1 — m

WT

= 0,

n дm д(xnW)

x"-----------+

дt

= 0,

дx

x

д(1 — m) д(xnWT )

= 0.

(б)

(7)

(8)

дt

дx

Для замыкания системы уравнений (1)-(8) необходимо задать зависимости ^), m(a) и Щс). Они находятся из экспериментов (рис. 2). Закон нарастания толщины слоя осадка ^і) определяется условием баланса массы жидкой или твердой фазы на границе сопряжения областей D1 и D2, x = Xo(t). Очевидно, dx0/d t = -dH/dt. Из общих условий на поверхностях сильных разрывов [6] непосредственно следует

dh

W — q qT — WT

dt І — c — m І — c — m

x = x о

(9)

Рис. 2. Зависимость пористости m (1) и безразмерной проницаемости K (2) от безразмерного напряжения а

В конкретных задачах уравнения (1)-(9) дополняются условиями на входе потока суспензии и на фильтровальной перегородке. При построении решений полезно учитывать вытекающую из выражений (1), (2) и (7), (8) независимость от х суммарного объемного расхода несжимаемых фаз:

2(0= хп (ч + ЧТ )= хп (щ + ЩТ ). (10)

Необходимо также иметь в виду, что о(х0) = 0 [5].

Рассмотрим допущения, обычно используемые при расчете набора осадка, и на основе (1)-(9) выясним условия их применимости.

В литературе по теории фильтровального разделения суспензии уравнение (5) отсутствует, вместо него используется линейная зависимость о от р либо считается, что К=К(р), т=т(р) [7, 8]. Для плоских перегородок при рцк<<р0-ра такой подход вполне оправдан, поскольку в этом случае массовыми силами в (5) можно пренебречь, и тогда

о = (Ро - р)/ра, Ро=Р(Хо, *). (11)

Напротив, при центрифугировании в силу (5) имеем

X й(хо) ро - р ш2 XГ(1 ) х л

I ------=---------I---I [(1 - т)р т + тр хйх, (12)

х0 х Ра Ра х0

х0 < х < Я, Я = х0+й.

Простые оценки показывают, что в реальных режимах (й<<Я, ш>103/с) основной вклад в правую часть (12) дает второе слагаемое. При этом

2

г йо ш / 2 2 \

/---------------------------------------(х 2 - х2 ).

0 р Т +(р - р Т )т 2 Ра

Таким образом, при центрифугировании нельзя пользоваться формулой (11), как это делается, например, в работе [7].

Решение рассматриваемых задач существенно упрощается, если функцию хпЩсчитать не зависящей от х. В связи с этим представляет интерес двусторонняя оценка ее изменения в области -02(х0<х<.х1). Обозначим Щ = Щ(х0, *), Щ = Щ(х1, {), к = (х1пЩ1) / (х0пЩ0). Из физических соображений ясно, что йт/йК0, поэтому в силу (7) хпЩ монотонно растет с ростом х, тш хпЩ = х0пЩ0, тах хпЩ = х1пЩ1 и, следовательно, к > 1.

Верхнюю оценку к можно получить двумя способами. Первый из них опирается на положительность скорости фильтрации при х = х0: Щ — Щ0Тт0 / (то+1)>0. В силу (10) при ЩТ(х1) = 0 имеем Щ0Т= (х1/х0)пЩ1-Щ0, значит (1-т0) Щ - т0 [(х1/х0)пЩ| — Ж0] > 0, т. е. к < (1/то).

Во втором способе используются физически очевидное неравенство (йй/й)>0 и уравнения (1), (2), (9), (10). На основании (9), (10)

2 0 ) Ч + ЧТ

к =-------<------

х П^0 Ч

х=х 0

Отношение чТ/Ч находится в результате исключения (др/дх) из (1), (2):

ЧТ с 2 (1 )(РТ -Р)а

--=---------+ с (1 — с)--------------------------------------------------------------. (13)

Ч 1 - с /ч

Таким образом, искомые оценки имеют вид

1 -у, Лрт -Р)а

1<1<(1-т0); 1<1<---------+ с о (1 - с о )------,

1 - с /Ч о

Со=с(хо, *), Ч0=Ч(Х0, ^).

Следовательно допущение о независимости хпЩ от х оправдано при значениях то = т(х^), близких к единице, а также при малой объемной концентрации частиц в суспензии. При этом с точностью г2 естественно принять хпЩ(х, t)~Q(t), малый параметр г означает со или 1-то. Подчеркнем, что в таком приближении фигурирующую в (9) разность W0-q0 необходимо выражать с точностью выше гQ, иначе отношение (Щ0-чО)/(1-с0-т0), а вместе с ним и закон (9) нарастания осадка будут неинформативны.

Рассмотрим набор осадка на плоской горизонтальной перегородке при Щ(х, ^ = Q(t) в режиме заданного перепада давления:

р(хо, ^=Ро(хъ ^=Р1. (14)

Пусть й(0) = 0,pgh(t)<<(p0-pa). Тогда уравнение фильтрации (6) приближенно можно записать в виде

— др

Q 0 ) = - К о К (о )—, (15)

дх

где К (о) = К(о)/К0 - безразмерная проницаемость. Интегрируя (15) по толщине осадка, с учетом (11) находим

х1 дР (Р°- Р1-^ Ра

Q (t) h(t ) = -| К (о )—йх = раК о J К (о )йо = А. (16)

х о дх 0

Теперь из (15), (16) имеем

раК о — h —

йх =--------К (о )йо = — РаК о К (о )йо ,

Q(t) А

следовательно

7 hpaK0 (Р0-Р УРа _ hB

| тйх =-------- | т(о)К (о)йо =---------= ^т). (17)

х о А 0 А

Равенства (16), (17) показывают, что в рассматриваемом приближении

(ИН2), при р0-Р1=сопз1 произведение Qh и средняя пористость осадка <т> остаются постоянными (сохраняются) в процессе разделения суспензии и определяются лишь перепадом давления и материальными функциями

К (о ) и т (о ).

Прежде чем воспользоваться уравнением (9) для нахождения ^^, выразим с достаточной точностью (ЩгЧо) через Q(t), ^1) и с0. Из (10) и (13) находим

ч0 =(1-с0)£-Ф(с0X Ф(с) =

с (1 - с) (р т - р )д / (с )

Интегрируя (7) по толщине осадка, имеем Х1 дт

|----йх + £ (і )-^0 = 0.

х 0 ді

Поскольку

Х1 дт й х}

0

I йх = — I тйх + т 0----------,

х 0 ді йі х 0 йі

то с учетом (7) получим

.йк

^0 = £(і) + ((т)- т0 )—.

йі

Таким образом,

йк

^0 - Ч0 = с0£(і) + Ф(с0 ) + ((т)-т0 )—,

йі

и на основании (9), (16) имеем

йк с 0 А

(1 -с0 -(т))— =------------+ Ф(с0).

йі к

(18)

Заметим, что при у(с0 ) < 0 (сила тяжести направлена против течения) правая часть выражения (18) может со временем уменьшиться до нуля, после чего набор осадка станет невозможен. Если величина с0 не зависит от времени, то в результате интегрирования (18) получим

1 - с0 -(т)

Ф(с0 )

с 0 А к-----0— 1п

ґ \

л Ф(с0).

1 +------к

Ф(с 0 )

с0 А

/J

Так как 1 + ф(с о )к/(с о А )> 0, при ф( с о )< 0 справедливо неравенство

к(( )<-С°А-.

|ф(с о )

В частном случае ф(с о ) = 0 (суспензия - взвесь, / = да или р т = р) решение (18) имеет вид

к =

2 с 0 А

-і

1 -с0 -(т)

Ь

При m (о ) = m о = const, K (о ) = K 0 = const ((m) = m 0, A = paK 0 ) оно

переходит в известное [9,10].

Строго говоря, концентрация с(х 0) на свободной границе осадка не зависит от времени лишь для взвеси. В остальных случаях, вследствие осаждения частиц в суспензии, она переменна и определяется уравнениями (1)-(4) и функцией Q(t). Из (10) и (13) находим q = (1 - с)Q - ф(с). Тогда в силу (4)

дс д

— + —(cQ + ф(с)) = 0, х*(,)< х < х0 (t).

dt дх

Фактически на плоскости х = х* (t) и приложено заданное давление p(х* ) = p0 . Перенос этого значения на границу осадка х = х0 (t) (условие (14)) оправдан тем, что на практике pg(х0 - х* ) << p0.

При x = x* истинные скорости частиц жидкой и твердой фазы совпадают с dх * q qj

dt 1 — с с

Введем в рассмотрение систему отсчета (|, t), надвигающуюся на фильтровальную перегородку со скоростью Q (t ):| = х - х * (t). В новых переменных имеем следующую задачу для определения с (|, t) в D1:

дс дф дс Л

— +------= 0, с (|,0) = с (), 0 < | < х 0 - х*^ ).

дt дс д|

Математически она совершенно аналогична задаче о гравитационном разделении воды и нефти, хорошо изученной в теории двухфазной фильтрации. Ее решение определяет значение концентрации с0 = с(х0 - х*, t) на свободной границе осадка в общем случае.

Для обычно используемых суспензий эффект осаждения проявляется лишь в малой окрестности нулевого значения концентрации, поэтому допустимо учитывать изменение с (<; ,t) в D1 в интегральном смысле, полагая

1 х 0

с0 (t)= с(х0 - х*, t) =----------Jс(х,t)dх.

х 0 - х* х*

При этом функция с0 (t) как отношение объема Vj (t) твердых частиц к общему объему V (t) суспензии в D1 выражается следующим образом:

х1

Vj (0)-S J(1 -m)dK

с 0 (t ) =---------х-°-,-------•

V (0)- Sh - S j Q(t )dT 0

Отсюда

V (0 )

- h - J Q (t )t =

( N 1

c 0

[vt (o )/s)-h(i-(m)].

Дифференцирование по времени этого соотношения приводит, с учетом (16), (18), к уравнению

dc о

c0ф(c0)

(19)

dt (VT (0)/S)-(1 -(m))h

На рис. 3 показаны результаты расчетов по уравнениям (18), (19) для водной суспензии, твердая фаза которой состоит из 30% волокнистой (степень помола 400 ШР) и 70% порошковой (размер частиц 2*10-5 - 5*10-5 м) структуры фильтрующего материала, причем К(0)=10-3 м3, 5=0,2 м2, с0(0)=0,3Ы0-2 из экспериментов (рис. 2) соответствуют значения Л=3,62*10- 5 м2/с, В=2,9310-5 м2/с фигурирующих в (16), (17) постоянных.

Рис. 3. Зависимость объемной концентрации с и толщины осадка h от времени t: 1 - h(t), c=0,31-10-2, а=0; 2 - h(t), c=0,31-10-2, а= %/ 2 ; 3 - h(t), c=0,31-10-2, а=п; 4 - h(t), c(t)=c, a= n; 5 - c(t),

a = n, h, м; t, с

Функция Дс) по данным экспериментов апроксимировалась в диапазоне изменения концентрации 2-10-3 < c < 1,5 • 10-2 в виде Дс)=0,185"10-3>с3’375 кг/м3*с.

Обозначения:

с - объемная концентрация частиц в суспензии; рТ и р - истинные плотности твердых частиц и жидкости; р - давление; ра - атмосферное давление; g -ускорение свободного падения; a - угол наклона силы тяжести к направлению течения; ф - угловая скорость вращения перегородки; х - обобщенная

координата; х0 и х1 - координаты границ осадка; x* - координата границ суспензии; q и qT - объемные расходы жидкой и твердой фаз в суспензии через единицу площади; оХХ - эффективное напряжение; К - коэффициент фильтрации

(проницаемость); K = К/К0 - безразмерная проницаемость; m - пористость осадка; h - толщина осадка; t - время; R - радиус цилиндра-перегородки; г - малый параметр; VT - объем твердых частиц в суспензии; V - объем суспензии; S -площадь фильтровальной перегородки. Индексы 0 и 1 означают, что соответствующие величины взяты на границе суспензия - осадок и на фильтровальной перегородке.

Summary

A complete mathematical model of filtering suspension separation is suggested. The problem is solved about set setting on horizontal partiton in mode of the givenned swing of the pressure.

Литература

1. Торопов А.Л. Водоподготовка: картриджная фильтрация. - М.: Изд. Аква-Терм, 2007. - С. 56.

2. Nino Zina, RCI, № 4/2005, http://book.rosteplo.ru.

3. Костерин А.В., Марченко Г.Н., Шарафутдинов В.Ф. Набор сжимаемых осадков фильтрованием // Инженерно-физический журнал. - 1989. - Т. 57. - №6. -С.917-923.

4. Нигматуллин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. - М.: Изд. Наука, 1978.

5. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. - М.: Изд. Наука, 1984.

6. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. - М.: Наука, 1983.

7. Соколов В. И. Центрифугирование. - М.: Химия, 1976.

8. Федоткин И. М., Воробьев Е. И., Вьюн В. И. Гидродинамическая теория фильтрования суспензий. - Киев.: Наукова Думка, 1986.

9. Жужиков В. А. Фильтрование. - М.: Изд. Химия, 1980.

10. Малиновская Т. А. Разделение суспензий в промышленности органического синтеза. - М.: Химия, 1971.

Поступила 19.02.2008