CC BY
31
Плющ А.А.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЧРЕЗВЫЧАЙНЫХ СИТУАЦИИ НА ОБЪЕКТЕ ХРАНЕНИЯ БОЕПРИПАСОВ ПРИ НАРУШЕНИИ ПРАВИЛ ИХ ЭКСПЛУАТАЦИИ ОБСЛУЖИВАЮЩИМ ПЕРСОНАЛОМ
Предложена на основе ветвящихся стохастических процессов Марковская модель прогнозирования чрезвычайных ситуаций на объектах хранения боеприпасов из-за нарушения правил их эксплуатации обслуживающим персоналом. Для Марковской модели получена система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно вероятностей распределения обслуживающего персонала по группам риска, которая сведена к дифференциальному уравнению в частных производных относительно производящей функции. Получено общее решение уравнения в частных производных в аналитическом виде. Даны рекомендации по использованию модели прогнозирования чрезвычайных ситуаций на объекте хранения боеприпасов из-за нарушения правил их эксплуатации обслуживающим персоналом в режиме функционирования «постановка задачи на определенный период времени - контроль за выполнением - подведение итогов - устранение недостатков и постановка задачи на следующий период времени» с целью создания рациональной структуры системы управления безопасностью объекта.
Анализ статистики чрезвычайных ситуаций (ЧС) на объектах хранения боеприпасов ВС РФ показывает, что
доля человеческого фактора, вызывающего ЧС, составляет 75%, в том числе из-за нарушений правил эксплуатации боеприпасов обслуживающим персоналом около 2 0% [1]. В настоящее время отсутствуют модели прогно-
зирования возникновения ЧС на объекте в результате нарушений правил эксплуатации боеприпасов обслуживающим персоналом. В данной работе предложена вероятностная математическая модель возникновения, и развития ЧС на объектах хранения боеприпасов из-за нарушения правил их эксплуатации обслуживающим персоналом на основе стохастических ветвящихся процессов.
Обслуживающий персонал для работ с боеприпасами условно разделяется на п групп. Количество сотрудников в группах является случайной величиной: группа 1 - ц(ґ) = , группа 2 - Ц2(ґ)= ш2 , — , группа п -
Ц (ґ) = ш . Считаем, что риск возникновения ЧС зависит от группы и возрастает с ростом ее номера. В этом случае граф возникновения ЧС на объекте хранения боеприпасов за счет нарушения правил их эксплуатации
обслуживающим персоналом показан на рис. 1.
Рис. 1. Граф перехода обслуживающего персонала в группы риска и отстранение сотрудников групп риска от служебных обязанностей
Пусть за время Аґ(Аґ ^0) с вероятностью Р ¡+\ = /+1Аґ + Оі(Дґ) отдельно взятый сотрудник переходит
из группы і в группу І+1 риска или с вероятностью р = ш РА + О (Аґ) отстраняется от выполнения служебных обязанностей за нарушение правил эксплуатации боеприпасов, где &ц+\ - интенсивность перехода в группы
остаточные
риска, Д - интенсивность контроля за правильной эксплуатацией боеприпасов; О (А/), 02 (А/) -
члены формул Тейлора показанную на рис. 2.
члены формул Тейлора ( lim O(?) = 0 , lim O(?) = 0 ), тогда Марковский случайный процесс имеет структуру,
Д?^0 At ^0
Рис. 2. Структура вероятностных переходов Марковского процесса развития чрезвычайной ситуации на базах хранения боеприпасов за счет человеческого фактора
Марковские процессы (рис. 2) называются в теории вероятностей стохастическими ветвящимися процессами [2]. Стохастическая система ( ш1?ш2шп ) (в момент времени t в группе 1 находится ц(ґ) = ш сотрудников, в группе 2 - Ц(ґ) = т2 , — , в группе п - ц (ґ) = ш ; вероятность этого события - Р(ґ;ш1,ш2,...,шп) за время ґ + Дґ(Дґ ^ 0) переходит в одно из состояний, приведенных на рис. 2, или остается в прежнем состоянии.
Определим вероятность того, что за время ґ + Дґ стохастическая система ( ,...,ш ) не изменит своего
состояния. Используя методику, изложенную в [3], получаем:
Р (г + АГ; т, т,..., тп) =
= ^1 - Щтм ,.+1А + т,ДА^Р(Г;т!,т2,...,т) +
и-1 (1)
+Щ (т +ц«,., ,.+1Ар0; т1,..., т +1, т+1-1,..., т) +
,=1 и-1
+Щ (т+1) Д Агр(г; т1=...=т +1=т+1=...=ти)
=1
Из (1) при А? ^0 получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
и
Лтл
dP(г;т,т,..., т) п / \ , ^
—(---------------------------г-) = -Щ т (^,,+1 + Д)р (?; т1> т2=...=ти)-
л ,=1
-(т+1)(ам+1р(г; т1=...=т+1,т+1 -1,...=т) + (2)
+Др(Г; т1=...=т +1= т+1-!,...=ти))= т1 = 0,1,2,..., т2 = 0,1,2,..., ..., тп = 0,1,2,...
Начальные условия для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2) определим из начального
состояния стохастической системы (в момент времени t = 0 в группе 1 находятся А(0) = т10 сотрудников, в группе 2 - /и2(0) = т2 в группе п - ии(0) = т°; вероятность этого события равна единице):
(л 0 0 0 11, если т, = т, , т0 = т,...,т„ = ш„, р (0; ти т2,..., ти) = < 1 12 2 и и (3)
^ п} 1л 0 _ 0 ^0
[0, если т ^ т, т ^ т,..., т ^ т.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений (2) с начальными условиями (3) является математической моделью (вероятностной) возникновения ЧС на объекте хранения боеприпасов за счет нарушения правил их эксплуатации обслуживающим персоналом.
Сведем систему обыкновенных дифференциальных уравнений (2) к дифференциальному уравнению в частных производных относительно производящей функции. Если производящую функцию искать в виде р (Г; х1, х2,..., х,,..., хп) =
да да
= Щ Щ...Щ... Щ р(Г;ml,m2,...,т,...,ти)-хГхт2...х,т...-С,
т1 =0 т2 = 0 т, =0 ти =0
где х ,х ,...,х ,...,х - переменные величины, то дифференциальное уравнение в частных производных относительно производящей функции имеет вид
( о\ \дР дР г,
Щ(Д+«,-,,+л+1 -(^-,,+1 +Д‘)х‘)^г~^ = 0 • (4)
Дифференциальное уравнение (4) является линейным однородным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка. Задача его интегрирования равносильна задаче интегрирования так называемой характеристической системы [4]
Л%1 Лх2 Лх; Лх„ ЛГ
- = — , (5)
*1 х2 X хп -1
где х, =Д+аа+1хм-{аим +Д)х,, ,= 1,2,...,п •
Решая характеристическую систему (5) определяем первые интегралы (они линейно независимые)
^(Г; x2,..., хп ) =
=Г------1—;71п(Д+ац+1х,+1 -К,+1 +Д)х),г' = 1,2,...,п • (6)
«м+1+Д v , v , ’ ’
Общее решение линейного однородного уравнения (4) имеет вид
^(Г;xl,x2,...,х,...,хи)=ф(<Р1,ф2,...,щ,...,д>п) ,
где где ф - произвольная функция от п аргументов.
Функцию ф(^,^2 ,...,^,...,^) определим из начального условия (3) (вероятность р (0; т°, т°,..., т0,..., т°) = 1 ,
се остальные вероятности равны нулю): ф(й(0),^2(0),...,«(0),...,«1 (0)) = хт10^...х'”“...^"0 , (7)
где XI, Х2,..., х±,..., Хп находятся из решения следующей системы линейных алгебраических уравнений
x1 ~ „ «12 я x2 = 77^T (P ~exp (~ « + P ) ^ (0))),
«12 + Pi «12 + Pi
x0 ~
(p2 ~ exP (~(a23 + P2 )^2 (0))) =
2 /> 3 /> ^2 ^FV V^23^ Н2)Г2\
a23 + P2 a23 + P2
лі,і+1
-x.
Pi+1 a,i+1+P
(p ~ exp (~(a,i+1 + Д>,-(0)))
- Pn-1
n~ 1,n
^ (pn~1 ~ eXP (~(an~1,n +pn~1 )^n~1 (0))),
Pn~1
xn = -1 (pn ~ eXP (~PnVn (0))).
Pn
Вероятность того, что в момент времени t в группе 1 находятся И (Г) = т сотрудников, в группе 2 -И (Г) = т ,., в группе Ип (Г) = т определяется через производящую функцию следующим образом р (Г; ml, ^..^ тп) = р(Г;И1(Г) = т1,...,Ии(Г) =
= ти |и(0) = т10,...,Ии(0) = т° = (9)
_ 1 дт +щ +..+т»р (Г; 0,0,...,0)
т1! т2! ...ти! дхт1 дхт2 ...дх^*
Математическое ожидание случайной величины И (Г) = т, :
, ч др (г; 1,1,...,1)
М(и(Г)) =-------- --------- , 1 = 1,2,...,и • (10)
дх
Дисперсия случайной величины И (Г) = Щ :
. д V (г;1,1,...,1) др (г;1,1,...,1) с (И(Г))- а,?
(11)
др (г;1,1,...,1)1
-----1 ’ , , = 1,2,...,п.
дх, ^
Рассмотрим типовой объект хранения боеприпасов, обслуживающий персонал которого разделен на три группы: группа 1 - сотрудники, практически не нарушающие правил эксплуатации боеприпасов; группа 2 -
сотрудники, нарушающие правила эксплуатации боеприпасов, которые не приводят к возникновению ЧС; 3 -сотрудники, грубо нарушающие правила эксплуатации боеприпасов, которые могут привести к возникновению ЧС. Решая систему линейных алгебраических уравнений (8) получаем аналитическое выражение для определения производящей функции
F (t; x1, x2, x) =
a I a
a12 + P1 V «23 + P2
-(1 ~(1 ~ x) exp (~p3t)) +
+ n (P2 (P2 + «23x3 («23 + P2 )x2 )eXp( («23 + P2 )t)) +
«23 + P2
+-— (P1 ~ (P1 + «12x2 ~ («12 + P1 )x1 )eXP(~(«12 + P1 )t))
(12)
«23 + P2 1
«12 + P1
(1 ~(1 ~x3 )exp(~P3t)) +
(P2 ~ (P2 +«23x3 ~ («23 + P2 )x2 )'
«23 + P2
0 0 'eXP (~(«23 + P2 )t))] 2 'f1 ~(1 ~ x3 ) eXP (~P3t )]M3
Определим закон распределения случайных величин U1(t), U2(t) ' U3(t)' их математическое ожидание и
дисперсию для случая ш° Ф0, =0, =0 (обслуживающий персонал прошел соответствующую техническую
подготовку, инструктаж и готов к выполнению работ с боеприпасами). Из (9) и (12) определяем закон рас-
.„0,
m
пределения случайных величин U(t) = m , U(t) = m , U(t) = m : p\tm,m ™ ------------
«
«23 + P2
p
(1 - exp (-дз t))-
+ « l P (1 - exp(-(«23 + P2 )t)) «23 + д2
Pi
«12 + P1
«12 + P1
«10 «9«
•(1 - exp ( («12 +P1) O)]”1 ” 2 3 [eXP ( («"12 + P1) 0]”
(eXP ( («23 +P2 ) ?)-eXP (-(«12 +P1 ) °)
« +p « +Д (eXP (-P3 O-eXP (-(«23 +P2 ) ^))_ •
Из (10) и (12) определяем математическое ожидание случайных величин fa(t) = ” , fa(t) = m2 , fa(t) = m3 :
M(fa(t)) = ”1 eXP( («12 + p1 )0X
M fat)) = ”0
«12 + P1
M (fa(t)) = m0
0 «1;
(eXP( («23 + p2 )0 - eXP( («12 + P1 )0)=
(eXP (-P3 0 )-eXP ( («23 +P2 ) 0)-
(14)
«12 +" P1 «23 ^ P2
Из (11), (12) определяем дисперсию: Б(я(0) = М(^(0)-дМ2(Л(0), ! = 1,2,3. (15)
Экстремальные значения (тах) математического ожидания в группах 2 и 3 имеют следующие значения:
«23 + @2
M(fa2(tmaX )) =
«12 ”\ | «23 + Pi | «12 + P1 -«23-Д2
«12 + P1 V «12 + P1
1
-ln
«12 + P2 «12 P1 V «12 + P1
«23 + P2
M CfaiOmaX» =
(16)
P3
«12 + Pi «23 + Pi V «23 + Pi
1 ,i P3
P3
«23 +P2-P3
1--
P3
«23 + P2
ln
[ал л л л
«23 + @2 _ @3 V «23 + @2 @3 («23 +@2 («12 + @1
Рассмотрим возможность применение вероятностной математической модели для прогнозирования ЧС на объекте хранения боеприпасов из-за нарушения правил их эксплуатации обслуживающим персоналом в режиме функционирования «постановка задачи на определенный период времени - контроль за выполнением - подведение итогов - устранение недостатков и постановка задачи на следующий период времени».
Постановка задачи на определенный период времени. С точки зрения математической модели необходимо установить запланированные (критические) значения вероятностей возникновения ЧС на объекте от количества сотрудников, находящихся в группах риска 2 и 3. Например, при т2 =5, ш3 =3 значение вероятности
возникновения ЧС на объекте не превышает критического.
Контроль за выполнением. С точки зрения математической модели это накопление статистического материала. Например, за текущий период времени (неделя, месяц, квартал и т.д.) на объекте произошло 20 нарушений правил эксплуатации боеприпасов, из них: группой 1 - 12; группой 2 - 5; группой 3 - 3, причем
наибольшее число нарушений правил эксплуатации боеприпасов группой 2 приходится на время 0,5т (т -время функционирования объекта), группой 3 - на 0,75т .
Подведение итогов. С точки зрения математической модели это определение интенсивностей переходов «12, «23, @1, @2, @з из решения уравнений(14), (16) (можно использовать и (15)). Статистический материал, накопленный в п. 2, используется для оценок математического ожидания в (14) и (16) . Число уравнений в (14) и (16) семь, а число неизвестных пять, следовательно, существует множество вариантов решений этих уравнений, но все решения должны удовлетворить неравенству @3 («23 + @2 («12 + @1 . Например, можно взять четыре уравнения из (16) и дополнить их первым из (14); можно взять три уравнения из (14) и дополнить их первым и третьим из (16); можно (14) и (16) решать по способу наименьших квадратов. Выбор тех или иных вариантов определяется особенностями функционирования объекта. Получить аналитические решения уравнений (14)и (16) проблематично, необходимо использовать численные методы, например, метод Ньютона.
Устранение недостатков и постановка задачи на следующий период времени. С точки зрения математической модели это прогнозирование вероятности возникновения ЧС на объекте из закона распределения случайных величин (13) . Если полученная из (13) вероятность возникновения ЧС выше запланированной (критической), то необходимо изменить значения интенсивностей переходов «2, «23, @, @2, @з , полученных в п. 3, и добиться того, чтобы значения вероятности были не выше критической. Из значений интенсивностей «12, «23, @, @2, @3 переходов следует задача на следующий период времени. Например, увеличение значений параметра @2 означает, что необходимо усилить контроль по выявлению нарушений правил эксплуатации боеприпасов в группе риска 2; уменьшение значений параметра «12 означает, что необходимо провести дополнительный инструктаж по правилам эксплуатации боеприпасов с группой 1 и т.д.
ЛИТЕРАТУРА
«
12
«
23
t
о
«
1. Плющ А.А. Проблемы обеспечения безопасности арсеналов, баз и складов ракет и боеприпасов: сб.
науч. тр. XXXIV НТК / А.А.Плющ. - Пенза: ПАИИ, 2007. - С.3 - 15.
2. Севостьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. - М.: Наука, 1971.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Физ.-мат., 1962.
