CC BY
9
УДК 621.311
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОСТОЯННОЙ СТРУКТУРЫ ВЕНТИЛЬНОГО ВОЗБУДИТЕЛЯ В НЕПРЕРЫВНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
А.И. ФЕДОТОВ *, А.Н. КРИВОВ *, С.В. БЕЗУГЛЫЙ **
* Казанский государственный энергетический университет ** ОАО «Уралтранснефтепродукт»
В статье описывается методика приведения математической модели переменной структуры к постоянной структуре вентильного возбудителя синхронной машины, построенная на последовательном переходе от непрерывных переменных к дискретным и возврате от дискретных к непрерывным переменным на основе эквивалентного моделирования. Полученная математическая модель синхронной машины — система уравнений относительно непрерывных переменных постоянной структуры — может быть внедрена в существующие программные комплексы в виде отдельного модуля.
Дискретные математические модели электромашинных вентильных систем, разработанные в работах [1-3] на основе локального преобразования Фурье (ЛПФ), показали, что за счет потери некоторой информации переход к отслеживанию токов только в коммутационных точках позволяет, во-первых, перейти от уравнений переменной структуры к уравнениям постоянной структуры и, во-вторых, от нелинейных уравнений с периодическими коэффициентами перейти к линейным конечно-разностным уравнениям. Переменная структура исходных уравнений в мгновенных значениях переменных обусловлена коммутационными процессами преобразователя, когда при переключении вентилей меняется число проводящих фаз возбудителя и соответственно изменяется число дифференциальных уравнений, а нелинейность связана с зависимостью длительности интервалов коммутации вентилей от величины выпрямленного тока.
Однако дискретные математические модели имеют и определенные ограничения в сфере их использования. Так, при исследованиях электромеханических переходных процессов, когда изменяется скорость вращения ротора, формальное применение ЛПФ к уравнениям обмотки статора синхронной машины и ее возбудителя уже невозможно. Если в пределах интервала интегрирования ЛПФ допустить, что скорость вращения ротора изменяется незначительно, то ее можно вынести за знак интеграла. Но и в этом случае нелинейное дифференциальное уравнения моментов в область ^-изображений можно преобразовать только весьма приближенно.
Дополнительно имеется проблема интеграции локальных дискретных моделей в общую математическую модель энергосистемы или системы электроснабжения. Необходимо либо целиком создавать полную математическую модель в конечноразностном виде, либо адаптировать уже разработанные локальные модели синхронных машин к существующим непрерывным моделям. Представляется, что второй путь более перспективен, так как не потребует полной смены уже принятых к использованию мощных программных продуктов с уже сформированными базами данных. Очевидно, что его реализация потребует перехода от дискретных к непрерывным моделям синхронных машин.
В качестве инструмента преобразования моделей воспользуемся методикой эквивалентных уравнений [5]. Идея метода основана замене уравнений в так
© А.И. Федотов, А.Н. Кривов, С.В. Безуглый Проблемы энергетики, 2008, № 3-4
называемых «ступенчатых изображениях», записываемых относительно конечных разностей и средних значениях переменных уравнениями в непрерывных переменных. Авторами [6] показано, что процедура перехода к «ступенчатым изображениям» однозначна, и обоснована методика решения данных уравнений. Очевидно, что обратная процедура не может дать однозначного решения. Поэтому в работе [5] предложено ограничиваться эквивалентными дифференциальными уравнениями в непрерывных переменных с постоянными коэффициентами и такого же порядка, что и исходные дискретные уравнения. Методика рассмотрена на примерах электрических цепей с вентильными преобразователями. Ниже предлагается распространить данную методику на электромашинно-вентильные системы. Поскольку вентильные преобразователи включены в цепи обмоток возбуждения (возбудитель и подвозбудитель), необходимо разработать методику преобразования дифференциальных уравнений переменной структуры,
описывающих цепи возбуждения, к эквивалентным дифференциальным уравнениям постоянной структуры.
Рассмотрим синхронную электрическую машину с системой независимого вентильного возбуждения. Примем все допущения, соответствующие математической модели, описываемой уравнениями Парка - Горева. Обозначения параметров и переменных соответствуют общепринятым для синхронных электрических машин (/ - обмотка возбуждения, 1й, 1# - продольная и поперечная демпферные обмотки). Верхний индекс «£» указывает параметры подвозбудителя, индекс «т» -номер рассматриваемого интервала; нижний индекс «я» относится к средним значениям переменных на интервале дискретизации, индекс «I.» относится к значениям переменных в точках начала коммутации вентилей (к отсчетам переменных).
Воспользуемся тем, что переход к дискретным переменным приводит к постоянной структуре уравнений электрических цепей, содержащих вентильные преобразователи [1, 2]. Поэтому запишем уравнение баланса напряжений для цепи возбуждения главного генератора, работающего на холостом ходу, со стороны его возбудителя и уравнения обмотки возбуждения и демпферных обмоток возбудителя, полученные на основе локального интегрального преобразования (ЛИП) исходных уравнений в мгновенных значениях переменных [3]:
0
+ x¡g )/2 + — xg )$т(2а — п/6
п 2
Необходимо сопоставить приведенной системе уравнений (1) относительно дискретных переменных систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Непосредственно сразу это сделать невозможно, так как в первое уравнение системы (1) вошли отсчеты переменных в коммутационных
точках вида 1(т ^, г = f,1d,1q. Для выполнения перехода от дискретных к
непрерывным переменным необходимо исключить соответствующие отсчеты токов из первого уравнения системы (1).
Согласно [1], уравнения подвозбудителя, полученные на основе ЛПФ, имеют следующий вид:
я г.г(т) я „я Ат) 2^3 „ .Ат) 3 я.тя(т) 3 я . *я(т)
и^, = г^ІЛ- '-г5.ВЧ.1\ ’-х6, 8іпаАІ> +— х^ АІ^' +—х*,АІу> ,
flf.fl ff.fl ай / / / ий 1й ’
п
3
п
0_гя Ія(т)_гя Вя І(т)-^хя ,1паА1 (т). £хя АІя(т). іхя АІя(т) 0 _ г1йі1Л1 ТиВи1А хий81паА^ + хий^ + х1йА 1й ,
0 _ гя Ія(т)_ гя ВяІ (т ). 0 _ %'ці %вч*а +
п
2уГ3хя
ео8аАІ(т) +— х? АІ,
f Ч 1Ч
я АІя(т)
(2)
пп
Сопоставляя соответствующие уравнения систем (1) и (2), находим, что
г я (т )_ и_Л ^ _
я
_ и
я(т )
А
+ Вя І(т) + Ія(т)
+ ва^ + ^ ,
7
Ія(т) _ Вя І(т) , Ія(т) 1ійі ~вміа ,
Ія(т) _ Вя І(т) , Ія(т) Іці _ ВЧ^ + Іfs ■
(3)
Коэффициенты Б?, г = /,1d,1# зависят от угла коммутации у и
параметров подвозбудителя и могут определяться по параметрам установившегося режима [1].
Без заметной погрешности можно положить, что н? и и?£-т^. Теперь на
основании выражений (3) можно исключить из уравнений (1) отсчеты токов подвозбудителя. Также необходимо исключить и ток отсчет тока возбуждения
I?>. Расчеты показывают [1], что на интервале интегрирования ЛИП можно
принять аппроксимацию тока возбуждения линейной, из чего следует, что
.(т) .(т) п _ А .(т)
1А _ 7* _0,5 Аі/ •
(4)
Подставляя выражения (3) и (4) в первое уравнение системы (1) и приводя подобные, получаем следующее уравнение:
п
п
0 =
с? + Х? у(т
9 У г
+ (х^? — х? )з1п(2а — я/6) — л/3х??Б? сов(а — я/6) —
— ■'/3х??Б?? со«(а — я/6) — '/‘ЗхщБ?# з1п(а — я/6)]}/^^----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------х?а сов(а — я/6)/?^т) —
Зл/З
ха? сов(а — я/6)/
19
3л/3
я
,? „„„/■-----/<Ч !•? (т )— х? «¡п(а — я/6)/? (т ) +
1?$
я
—(х?— х9)
+— | х/ — — хЦ )со«2а + 0,5
хщ «т(а — я/ 6 )/19§
у (т )г? х? + х9?
— (х? — х? )
х? — х9 Ь1п(2а — я/6)
2
2
уМ (т) — (5)
3Л^ х? „:п аД/?(т) 3^ х? „:п аД/?(т) . 3^ х? со„ аД/?(т) ------ха? «ШаД//---------------------------ха? «ШаД/ 1d +-хац со*аД/19 •
я я
г/Г = г/ + 2 г?, х/£ = х/ + х? + х?.
я
Анализ каталожных параметров возбудителя и синхронной машины показывает, что в одной системе относительных единиц, в какой и записано полученное уравнение, выполняется неравенство
х/2 >> (х? — х9? )со«2а + 0,5
х? + х? х^х9
+(х? — х?)!
1зт(2а — я/6) —
у (т )г?
22 Аналогично можно пренебречь и слагаемыми, содержащими коэффициенты Б?. Таким образом, уравнение (5) может быть сведено к следующему:
х? + х9 ут Г?
2 2
— х9 )й
«1п(2а — я/6)
Т(т) 3л^3 ? //г\т§(т)
//^ у-------------х^? со«(а — я/6)1|Г ■
я
-----х?? со*(а — я/6)/?(т)-х?9 «1п(а — я/6)/19т) + -х/А//)— ( )
я
я
343
я
? «¡па\т?(т)--------х?? «¡паД/??т) +-----х?^ со«аД/).
-х® , «¡паД/ ,
а? /
яяя
Уравнению (6) в ступенчатых изображениях может быть сопоставлено эквивалентное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
3
2
2
я
я
я
3
я
xg + xg
xd ^xq
Y rg
+
sin(2a — п/6)
i f —
if
Эл/3
xgd cos(a — я/6)ig
3л/3 g g 3V3
------x^d cos(a — я/ 6)iJd
xgq sin(a — п/6)І^ +
(7)
di t dig dig, dif
. f гч g • f гч g • id , ri g lq n
+ Xf------V 3 x®d sin a----V 3 x"d sin a-----l-V 3 x^ cosa----= 0.
d0 d0 d0 d0
Соответственно, эквивалентные дифференциальные уравнения обмоток ротора подвозбудителя в мгновенных значениях переменных:
ug = rgig -uf rflf
243
dis dig dlg,
aif_ +„g f + xg dild_ + xad
ad Sina----------+ xf
3 243
d0
d0
d0
'1dl 1d
.g
ad
di
di.
0=rfjifj------------x°. sina—:—+ x°.—:—+ x
f + g di f + g di1 d ad
1d
3
d0
g g 2V3
0=rflif +-------x
iq iq
ad
cosa
dif + g diiq
+x
3
d0
iq
d0
(8)
Уравнения (7) и (8) позволяют рассчитывать электромагнитные переходные процессы в вентильном возбудителе синхронной машины.
Пример. Рассмотрим режим включения возбудительного генератора без демпферных обмоток на обмотку возбуждения главного генератора. Параметры возбудительного генератора и обмотки возбуждения главного генератора в
относительных
единицах
.g = і
следующие:
xg = 0,526;
xg = 0,356;
х1й = 0,473; х* = 0,473; г* = 0,00675; г* = 0,000642; и* = 0,00271; Ху = 9;
Гу = 0,000642. Начальное значение тока возбуждения і* (0) = 4,221.
Предварительно, по исходным дифференциальным уравнениям переменной структуры с учетом коммутационных процессов, был рассчитан методом припасовывания переходный процесс.
Угол коммутации, рассчитанный из установившегося режима, равен у = 0,23. Угол управления вентилями преобразователя положен равным а = 1 радиан. Подставляя числовые значения в (7) и (8), получаем
9,74704 -0,70117
-0,46744 0,642
d " if "
х— 1 1 +
d0
3,42223 -0,66957
0 0,000642
" if" ' 0 "
х 1 1 _0,00271_
(9)
Решение системы (9) и эталонные кривые токов возбуждения главного генератора и возбудителя, полученные методами припасовывания, показаны на рис. 1 и рис. 2. Анализ результатов расчета показывает, что расхождение результатов, по сравнению с эталоном, не превышает 2%.
3
2
2
п
п
п
п
Рис. 1. Ток возбуждения главного генератора
Рис. 2. Ток возбуждения возбудителя
Дискретные математические модели, разработанные на основе метода локального интегрального преобразования, который позволяет вывести из рассмотрения переходные процессы, вызванные переключениями вентилей преобразователя, предоставляют возможность описывать переходные и установившиеся процессы в нагрузке управляемых вентилей. Но существует
проблема интеграции таких дискретных моделей в общую математическую модель энергосистемы или системы электроснабжения.
Как показал анализ результатов расчета, расхождение результатов, по сравнению с эталонной моделью, в которой по мгновенным значениям переменным отслеживается работа каждого вентиля управляемого преобразователя в системе возбуждения, не превышает 2%. Разработанная математическая модель представляет собой систему дифференциальных уравнений постоянной структуры и обеспечивает корректное отображение переходных процессов в обмотке возбуждения генератора и его возбудителе.
Summary
The Abstract. In article is described methods of the adduction to mathematical model of the variable structure to constant structure of the valve incitant of the synchronous machine, built on consequent transition from unceasing variable to discrete and return from discrete to unceasing variable on base of equivalent modeling. Got mathematical model of the synchronous machine - a system of the equations for unceasing variable constant structure - can be introduced in existing programme complexes in the manner of separate module.
Литература
1. Федотов А.И. Расчет переходных процессов в синхронных машинах с независимым тиристорным возбуждением дискретным операционным методом // Электричество. - 2001. - № 5.
2. Федотов А.И., Каримов Р.Р. Расчет электромагнитных переходных процессов в синхронной машине с вентильным возбудителем // Электричество. -2001. - № 10.
3. Федотов А.И., Каримов Р.Р., Федотов Е.А., Абдуллазянов Э.Ю. Теоретические основы дискретного моделирования электромашинно-вентильных систем. - Казань: Казан.гос.энерг.ун-т, 2003.
4. Кривов А.Н., Федотов А.И. Дискретная математическая модель ЭЭС.-Труды V международного симпозиума «Ресурсоэффективность и
энергосбережение» - Казань: Казан.гос.ун-т, 2005.
5. Федотов А.И., Каримов Р.Р., Кузнецов А.В. Расчет переходных процессов в выпрямительной нагрузке по эквивалентным уравнениям // Электричество. -2001. - № 3.
6. Береговенко Г.Я., Пухов Г.Е., Саух С.Е. Численные операторные методы решения дифференциальных уравнений и анализа динамических систем. - Киев: Наукова думка, 1993.
Поступила 17.01.2008
