Математическая модель ошибок оператора первого и второго рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

2009

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Эксплуатация воздушного транспорта. Безопасность полетов

№149

УДК 656.7.071.13:519.234

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОШИБОК ОПЕРАТОРА ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА

А.М. ЛЕБЕДЕВ, С.М. СТЕПАНОВ, Р.А. ХАЙДАРОВ Статья представлена доктором технических наук, профессором Зубковым Б.В.

В статье даны допущения для решения системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся параметром и предложена математическая модель ошибок оператора первого и второго рода.

Ключевые слова: математическая модель, система дифференциальных уравнений.

В процессе всего развития гражданской авиации наблюдается стремление сделать полеты безопасными и регулярными. Для этого непрерывно совершенствуются авиационная техника, методы ее эксплуатации, что позволило достигнуть высокого уровня безопасности полетов. Однако повышение технической сложности воздушных судов влечет за собой усложнение правил их эксплуатации в полете. К увеличению и усложнению правил использования воздушного пространства приводит рост объема воздушных перевозок и все большее насыщение воздушного пространства. Это накладывает свой отпечаток на профессиональную деятельность всего авиационного персонала, но в большей степени на деятельность летного состава и специалистов УВД, тесно взаимодействующих в процессе выполнения полета.

Увеличение и усложнение различных правил, совершенствование авиационной техники, автоматизация многих процессов управления этой техникой и усложнение функций контроля, повышение сложности решаемых задач и ответственность; за результаты видоизменяют профессиональную деятельность летного и диспетчерского состава. При этом в ней все большее значение приобретают широта профессиональной эрудиции, аналитические способности соответствующих специалистов, более значимыми становятся вопросы принятия решений.

Подобные вопросы особенно остро могут стоять при возникновении особой ситуации в полете, когда необходим быстрый анализ, адекватные ситуации, решение и его четкая реализация. Однако экипаж, осуществляющий прямое управление полетом, и диспетчер, управляющий полетом опосредованно через экипаж, испытывают не только прямые профессиональные трудности полетной ситуации, но и косвенные воздействия различных факторов, обусловленных авиационной средой и всем социальным окружением. При этом зачастую сложно выделить и проследить пути косвенного воздействия некоторых факторов, в особенности таких, которые на первый взгляд являются далекими от полета. Это подтверждается анализом причинности авиационных происшествий в практике мировой гражданской авиации, на это обращается внимание в Руководстве по управлению безопасностью полетов (ИКАО, 2006 г.).

Ошибочные действия оператора в виде двух основных категорий: истинно ошибочные и действия, вызванные переходом к десинхронизированным видам психической деятельности.

Профилактика истинно ошибочных действий, обусловленных такими факторами, как, например, эргономическое несовершенство компоновки оборудования кабины или низкой профессиональной подготовкой, требует значительных материальных затрат, что маловероятно в ближайшие годы.

Ошибки оператора - нарушение установленных предельных значений параметров, вызывающих сбои в нормальном функционировании эргатической системы, которые могут быть первого или второго рода.

Ошибки первого рода (англ. type I errors, a errors, false positives) и ошибки второго рода (англ. type II errors, в errors, false negatives) в математической статистике — это ключевые по-

нятия задач проверки статистических гипотез. Тем не менее, данные понятия часто используются и в других областях, когда речь идёт о принятии «бинарного» решения (да/нет) на основе критерия (теста, проверки, измерения), который с некоторой вероятностью может давать ложный результат.

Пусть дана выборка С^11 ■ ■ ■ I Хп) из неизвестного совместного распределения

Я0

и поставлена бинарная задача проверки статистических гипотез: ■

где Н0 — нулевая гипотеза, а Н1 — альтернативная гипотеза. Предположим, что задан статистический критерий

/ : Ж" —» {По, #1}

сопоставляющий каждой реализации выборки X = X одну из имеющихся гипотез. Тогда возможны следующие четыре ситуации:

1. Распределение РХ выборки X соответствует гипотезе Но и она точно определена статистическим критерием, то есть / (х) *0.

2. Распределение РХвыборки X соответствует гипотезе Но, но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть

/(х) = я1

3. Распределение РХ выборки X соответствует гипотезе Н\ и она точно определена статистическим критерием, то есть

/(х) = Ну

4. Распределение РХвыборки X соответствует гипотезе //], но она неверно отвергнута статистическим критерием, ТО есть / ( Х

Во втором и четвертом случаях говорят, что произошла статистическая ошибка и её называют ошибкой первого и второго рода соответственно.

Верная гипотеза

Но Н

Результат применения критерия Но Н0 верно принята Н1 неверно отвергнута (Ошибка второго рода)

Н Н0 неверно отвергнута (Ошибка первого рода) Н1 верно принята

Как видно из вышеприведённого определения, ошибки первого и второго рода являются взаимно-симметричными, то есть если поменять местами гипотезы Но и Н\, то ошибки первого рода превратятся в ошибки второго рода и наоборот. Тем не менее, в большинстве практических ситуаций путаницы не происходит, поскольку принято считать, что нулевая гипотеза Н0 соответствует состоянию «по умолчанию» (естественному, наиболее ожидаемому положению вещей) — например, что обследуемый человек здоров, или, что проходящий через рамку ме-таллодетектора пассажир не имеет запрещённых металлических предметов. Соответственно, альтернативная гипотеза Н\ обозначает противоположную ситуацию, которая обычно трактуется как менее вероятная, неординарная, требующая какой-либо реакции (рис. 1).

С учётом этого ошибку первого рода часто называют ложной тревогой, например, анализ крови показал наличие заболевания, хотя на самом деле человек здоров, или металлодетектор выдал сигнал тревоги, сработав на металлическую пряжку ремня. Соответственно, ошибку второго рода иногда называют пропуском события (необнаруженная ошибка) — человек болен, но анализ крови этого не показал, или у пассажира имеется холодное оружие, но рамка метал-лодетектора его не обнаружила (например, из-за того, что чувствительность рамки отрегулирована на обнаружение только очень массивных металлических предметов).

Ошибка V не обнаружил

0

Особая ситуация

системой

контроля

Ошибка

обнаружена

системой

контроля

0/П' тревога

Необнаруженная

Необходимо выдать команду

Нормальные условия полета

Рис. 1. Граф развития особой ситуации

Для решения системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся параметром необходимо сделать допущения.

Допущения:

1. Операция управления включает одну команду (разовая команда) или группу команд, для нас она воспринимается как одна операция.

2. Исправление неверного действия оператора выполняется повторным выполнением этой же операции.

3. Время выполнения операции, время реакции ВС-т.

4. Оператор не может сделать заключение об О или С сразу после исполнения команды

5. Время выполнения операции (действия) оператором =0.

6.

Г

7. Система контроля идеальна и не имеет ошибок первого и второго рода.

8. Потоки ошибок на направлении ¡1^ и ¡1^ идут на повторное (исправление операции) действие от системы контроля.

Система дифференциальных уравнений с отклоняющимся параметром есть решение через характеристический паленом. Для чего необходимо разбить область определения времени на две области:

О < Г < т н £ > г

Первое исследование системы при 0 < Г < Г

ГйРо

СІТ

аъ

гіГ

— КР*

- ХР,,

гіг

гіРЛ-

— О

гіг

О < г < Т

— АЛ-РЛ-

АС'

= 0. РАС(ї) = С07151 = 0

Л’

Решение:

“ = —{¿а + Лр + Я+Я^)Р0 + ЯдгЄ А;їі

Р0 = с

/V =

г„е-Л»' =

1-й + + Я+Як) Ле-/‘л'г + Але Аи*

Яя + = Л$е А

Л = -____________-____А" __________________

“Ь Л о “1“ / Ч~ / ^ Я ^

“%£

РЛ о = 0 . 0 = с +

л*

Яа + Яд + А+Ак — Ял-

А*

л ¡у

Лд + Ад + А+А^ / N)

Яд + Яд + А+Ак - Ял.

-А.\ ? _ є-(Ая+Л^+Л+ЯА:)*г^

Лу

Ля + Ад + л+Л^ Ял-

)

ЛАн

1а + ¿0 +

+ С

ад \Яд

+ Яр + Я+А&

,-(ай +Л.р+Л+Ль)і

/Лл.

1

“ ^ ^ (Я* + Ад + Я+Я* - Ял) \Я„ + Ад + Я+Я* ЯV

_гкс

л/л.

1<г + Яр + Я+Як - Ак) \АЛ- Ха + Ар + ^(Я(г Яр "Ь л+лк Ял-)

(Яя + Яд + Я+Я^ — Ал) (Я„ + Я^ + А+Як)х Ял. (Яа + Яр + Я~Як)

/Ял-

(Яя ^ Яр + -

и) \я»

е~А^ -

-(Аа+Ая+Я.+Лк)і

Яя + Яр + я+я^

1я + Яр - Я+Ак)

— Я*Р0

= О

Таким образом, получена формула оценки вероятности авиационного события

Рлс =

Аг +

Как показано в работе [1], оценка вероятности авиационного события имеет следующий

вид:

ЛАС

X Ю-" = 0,0001011 = 1,011 X

Вероятность ошибочного действия (единичного действия) от (1-0,9995) до (1-0,9999), т.е. от 0,0005 до 0,0001, т.е. от s х ю-4 до 1 х 10-1*

ЛИТЕРАТУРА

1. Лебедев А.М. Метод расчета ожидаемого предотвращенного ущерба от авиационных происшествий: монография. - Ульяновск: УВАУ ГА, 2007.

MATHEMATICAL MODEL OF TYPE I AND II HUMAN ERRORS

Lebedev A.M., Stepanov S.M., Haidarov R.A.

Assumptions for solving system of differential equations with deviating parameter and mathematical model of type I and II human errors are considered in the paper.

Сведения об авторах

Лебедев Алексей Михайлович, 1947 г.р., окончил КАИ (1971), кандидат технических наук, доцент УВАУ ГА (И), автор более 80 научных работ, область научных интересов - безопасность полетов, математическое моделирование испытаний.

Степанов Сергей Михайлович, 1959 г.р., окончил Рижский Краснознаменный институт инженеров ГА (1972), кандидат технических наук, заведующий кафедрой КиЭВС УВАУ ГА(И), автор более 40 научных работ, область научных интересов - система качества, управление, подготовка и управление персоналом.

Хайдаров Равшанджан Абдурабиевич, 1985 г.р., окончил МГТУ ГА (2008), авиатехник авиакомпании «Таджик Эйр», область научных интересов - безопасность полетов, летная годность ВС.