CC BY
32
УДК 519.2
А. Ф. Терпугов, Н.П. Щирова
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО ВЛОЖЕНИЯ СРЕДСТВ
В РЕКЛАМНУЮ КОМПАНИЮ
С использованием принципа максимума Понтрягина находится оптимальное распределение средств при проведении рекламной кампании.
Описание модели
Рассмотрим математическую модель компании, осуществляющей продажу однородного товара. Для описания компании (фирмы, магазина) будем использовать следующие параметры: £ - величина покупки, которая является случайной величиной с функцией распределения S(t) - капитал, которым обладает компания в момент времени t. Будем считать, что за промежуток времени [/, /+Д/] компания несет расходы в размере cS(t)Дt Величина с показывает расходы, связанные с текущей деятельностью, например заработная плата работникам, оплата аренды, затраты на свет, тепло и т.д. Кроме того, будем считать, что компания в своей деятельности использует рекламу, на которую выделяется a(t)S(t)Дt за промежуток времени [/, /+Д/].
Для оценивания эффективности рекламы введем величину Яф, влияние которой проявляется в следующем: будем считать, что поток покупателей является пуассоновским потоком с интенсивностью Хо+Х/^, где Х1 - коэффициент и отражает влияние рекламы, а Х0 определяет интенсивность потока без всякой рекламы.
Расчет математических ожиданий
Так как процесс покупок случаен, то и величина капитала компании S(t) есть случайный процесс. Поскольку на рекламу компания выделяет долю а(/^(0Д, то и степень влияния рекламы становится случайным процессом. Найдем величины S1(f)=M{S(f)} и Я1(()=М{Я(()}.
Рассмотрим изменение капитала за промежуток времени t+Дt] при Д^-0, в течение которого за покупкой может прийти покупатель с вероятностью (Х0 +Х1Я(0)ДД Изменение капитала за Дt составит величину
'§-((( )+ с ) (/ )м
Перенося S1(t)=M{S(t)} влево и деля обе части последнего выражения на Д^ получим дифференциальное уравнение для S1(t):
^^ = -(а(()+с) (()+ а1Х1Я1 (() + а1Х0.
Л
Выведем теперь уравнение для влияния рекламы Я(0. Предположим, что на степень влияния рекламы действует процесс увеличения рекламы Я(0, обусловленный вложением в рекламу капитала а(/^(()Д, и процесс забывания рекламы, пропорциональный самой Я(^. Поэтому
Я^+Д)= Я(О-0Я(С^ + ),
где 0 определяет скорость забывания рекламы, а в -степень влияния денег, вкладываемых в рекламу. При усреднении получим
м +Аt)}=м {я(( )}- ем {я(()}+
+ ва(( ) (( )Аt + o(Аt). После обычных преобразований
Я '(t ) = -е/ (()+PаS1 (().
Итак, для средних значений капитала и степени капитала мы имеем систему дифференциальных уравнений
dS (t)
dt dЯ(t)
dt
= а^Х 0 Я,(0) - (а(t)+c)S1 (t), = -еЯ; (t)+pаS1(t).
(3)
АS (( )=
Уравнения для ковариационной матрицы величин и
Обозначим
Css=D{S(t)}, СХЯ=СОУ т, Я(t)), Сяя=В{Я^)} и выведем дифференциальные уравнения для их определения. Из (2) имеем
S2 ^+Аt )= S2 ^)+ 2S (()Аt(())2. (4) Усредняем по величинам покупки
S 2 ^ + Аt) = S 2 (t)+ 2S (()[а1 (Х 0 + Х^ ))-
с ве
-(а1
тоятшсгью (Х0 +Х1 Я(())+o(Аt), (^ -(а^)+ с)S)]Аt + а2 (Х0 + Х1 /(())Аt + о^)
(()+ фуШ, где а„=М{£2} Обозначим
1-(Х 0 +Х1 я(( )).Аt+о().
Поэтому
S(t+Дt)=S(t)+ДS(t). (2)
Найдем математическое ожидание этого выражения. Усредним по возможному факту покупки
м ((Яs ((), я(( )}= а1 (Х 0 + Х1 /(()) -
- (а(()+ с)) (()Аt + о(Аt), где а1=М{£} - средняя величина покупки. Усредним еще и по S(t) и Я(0:
М {S (( + Аt)} = М { (t)}+ а1 (Х 0 + Х1 Я(t ))Аt -- (а(() + с)М {S(()} + о(Аt) .
где а2=М{£ }. Обозначим
S2(t)=M{£2} и ^Я>=М^(0Я(0}. Тогда получим
^^^ = 2аХ 0 S1 (t) + 2а1Х1^Я) - 2 (а + с))2 (() + dt
+ а 2 (Х 0 +Х1Я1 (()) . (5)
С другой стороны,
(t) = 2^ (()S1' (() = -2(а(() + с))2 + + 2а1Х1 Я1 (t)S1 (t)+2а1Х 0 S1 ((). (6)
Так как С ж (t) = S2 (t)- S12 ((), то, вычитая (5) из (6), получим
= -2(а(()+с) + 1а1Х1СК8 +
ёг
+а 2 (X 0 +Х, Я, (()). (7)
Выведем уравнение для Сж.. Так как
Я(г+Дг)= Щ)-№(1)М + Ра(г)Б(г) Д+ о(Дг ),
то
Я2 ((+Аг )=Я2 (()+ 2 Я(( )(|3а (г) £ (( )-0Я(( ))+0(Д/), и поэтому для Я2 () = М {я 2 (/)} получаем
Я2' (() = 2а(()р(БЯ) - 20Я2 (() . (8)
Но, с другой стороны,
Я,' (() = 2Я, (()Я,' (() = 2а(()ря, (() (() - 20Я,2 ((), и поэтому для СЯЯ (() = Я2 (()-Я2 (() имеем
ёСЯЯ (() .
ёг
■ = 2аР СЯБ - 20СЯЯ .
Теперь выведем дифференциальное уравнение для еоу(Б(0,Я(0). Рассмотрим
Я(( + Аг )Б ((+ Аг) = [[(() + (а(( )рБ (() - 0Я(( ))А/] х х [[(() + [а, (X0 + X,Я(())- (а(() + с))(()]] =
= Я(()б (()+ (ра(( )б 2 (()- 0Я(г )б (г)+а, (х 0 + Х, Я(г ))-
- (а(() + с)БЯ) . Усредняя и преобразуя это выражение, получим
^^ = арБ2 (() - 0 БЯ) + а,Х 0 Я, (() + а,Х, Я2 (() -ёг х '
- (а(()+ с)БЯ) . (9)
С другой стороны,
' I I
(БЯ) = ЗД + Я, Б, = а()рБ,2 О-0Б (я, ()-
- (а() + с) Б, + а,Х, Я,2 + а,Х 0 Я, (). (10) Вычитая (,0) из (9), получим
= а(()рСж - (а()+с + 0) + а^^ .(11)
ёС
БЯ
ёг
Итак, для ковариаций СББ ,СЯЯ ,СЯБ система дифференциальных уравнений имеет вид
" ёС
= -2(а() + с) + 2а1Х1С5Я + а2 (Х0 +Х,Я, ()),
ёг
ёСя
■ = а(/)рСББ -(а()+с + 0) + а1Х1СЯ
■ = 2а()рСйЯ - 20Сяя ,
^ = ■
тах.
(13)
р = -Б ({(Б} тт. (14)
МБ (т)}
Базовой системой дифференциальных уравнений будет система, состоящая из систем (3) и (12), т.е.
— = -(а(()+с)Б, (()+а,Х, Я, (()+ а,Х 0,
ёг
ёЯ
аЯL = -0Я, ()+а()рБ, ((), (15)
ёг
ёСБ
ёг
ёСБ
ёг
■ = -2(а()+с)схх + ^{^бя + а2 (х0 +х!я! (())
= а(/)рСББ -(а()+ с+0)СЖ + а1Х1СЯЯ + а,Х0Я, ((),
'ББ
ёС
ёг
- = 2а()рС5Я -20Ся
Введем вектор ¥=(¥ь ¥2, ¥3, ¥4, ¥5) и построим функцию Гамильтона:
Н(г, ^ я1, С33 , С3я , СЯЯ , а(г)) =
= Т, [- (а(г) + с)Б, (г) + а1Х1 Я, (() + а,Х0 ] +
+ ^2[-0Я, (г )+а(г )рБ, (г)]+
+ Тз[- 2[а(г) + с]Сбб + + а2 (Х 0 +Х,Я1 (г))] +
+Т4 [а(г)С33 - (а (г)+с+0)СЖ +
+а^С^Я + а,Х 0 Я, (г)]+ + Т5 [2а(г)РСЖ - 20Сяя ]. (16)
Используя принцип максимума, получим, что существует такой вектор ¥ =(¥, , , , , ), что
* * * * * / \ Н(¿Д , я1 , С33 , Ся , Сяя , а()) =
= тах Н (/, S1, Я1, Сбб , Сбя , Сяя ) ,
0<а<а0
где (б* (г),Я* (г), С*Б (г), С"зя (г), Сяк ()) - оптимальный процесс. Тогда для любого г из [0,Т] выполняются условия:
ёг
дН ёТ2
дБ, ёг
дН дЯ,
ёТ3 _ дН ёТ4
дН ёТ5
ёг
которая является неоднородной системой трех линейных уравнений.
Исследование деятельности компании при заданном критерии эффективности
Для оценивания деятельности компании введем следующий критерий:
Б, (Т)- Б 0
к«
При решении задачи используем максимум Ла-гранжа-Понтрягина. Функционал примет вид
=_________ = дН
ёг дСББ ёг дСЯ ёг дСЯЯ Следовательно,
Т,' ()=-[(сх()+с )Т, +Ра()*Т2 + 2а,Х 0 Т3 ], Т2' ()=-[а1Х1Т1 -0Т2 + а2 Х 0 Т3 + а,Х 0 Т4 ], ■Тз'()=-[2(а()+ с)Тз +арТ4 ], Т4' ()=-[2а1Х1Т3 -(а()+ с+0)Т4 + 2а()|^Т5 Т5'()=-[а1Х1Т4 - 20Т5 ].
(17)
Допустим, что 0<а<а0. Тогда с учетом вида функции Гамильтона
а * (г) = тах Н(г, Б, (г), я, (г), Сбб ((), Сбя (), Сяя (г)) =
0<а<а0
а0, при Б,(г)[РТ2 -Т,] + Сбб[4 -2Т,] +
+ Сяб [2 РТ5 -Т4]> 0,
0, при Б, (г) [РТ, - Т, ] + Сбб [4 - 2Т, ]+ + Сяб [2 РТ5-Т4 ]< 0. Предположим, что управление рекламой будет иметь следующий вид:
|о, о<t<T1,
а(()=<!а0, T1 <t<T2, [0, T2 < t < T,
где Т - момент включения рекламы; T2 - выключения рекламы. Поэтому ход решения задачи разобьем на III этапа:
I. С нулевого момента времени, с начала деятельности компании, на рекламу затрачивается а=0, а следовательно, и функция влияния рекламы R(t)=0.
II. В момент времени t=T1 фирма начинает в своей деятельности использовать рекламу, т.е. а^0, а следовательно, R(t)^0.
III. В момент времени t=T2 вложение средств в рекламу прекращается, но функция влияния рекламы позволяет оценить эффективность рекламы.
Базовая система уравнений для решения задачи состоит из систем (12) и (17): ' dS1 (()
dt, ч dR, (()
= -(а+с+9) (()+ a,X, R, (()+ a,X 0
dt
dCss (()
dt dCSR (()
dt
dCRR (()
= -9R1 (()+aßSJ ((), = -2(a+c)CSS + 2a,X1CRS + a2 (X 0 +X, Rj (()), = aßCSS -(а+с+9)Crs + a1X1CRR + a,X, Rj ((),
dt
= 2aßCRS -29Cr
(18)
d^
= -[-(а+с )j +aßT2 ],
c№2 r
dt d¥3
dt d^4
dt
dt
= -[2(a+с) +aߥ4 ], = -[2a1X1T3 -(a+с+9)4 + 2aߥ5 = -[ajXj^4 - 29T5 ].
I этап
Rj (()=Dji Sj (()=
r9t, т.к. R(t)=0, то D1=0;
D,e-9t e-ct+D2e -ct + ^=
с-9
= D2e +■
aix 0
Найдем явный вид константы D2. Имеем
Sj (0)=d2
aix 0
= S0; D2 = S0 —■
a,X 0
Тогда
Sj (()=( S 0 - ^)
с ajX 0
e +—
(19)
T2 (()=P2 e9t -^P eP3 e2rt -с-9 2с-9
- ajx 0 T3 (t )=P3e ^4 (()= P4
(()=P5
p4 e(с+9)) - 2aix0 p e2ct
с с(2с-9) 3
,(с+9}) - 2ajX, p e2ot
с-9
.OlXl. P e(с+9)) +f ajXj
с-9
с-9
На этом решение первого этапа заканчивается.
II этап
В момент времени t=T1 фирма начинает вкладывать часть капитала в рекламу продаваемых товаров в размере аБ(0. Поэтому сейчас необходимо разрешить систему дифференциальных уравнений (18). Выпишем решение системы
^ (() = арк (е + У1 )eVlt + К 2 (е + у 2 )е ^ ]-
. Vj +V 2
- aix 0-:
(21)
R, (t) = K, (9 + v, )e Vit + K 2 (9 + v 2 )eV 2t -
a,X 0 , (22)
viv 2
где vä, v2 - характеристические числа вида
±^/(a+с+9)2 + 4[aÄXÄaß-9(a+с)] -(a+с+9)
V, 2 =-
(23)
В момент времени t=0 фирма обладает начальным капиталом S0 и в течение промежутка времени [0, Т1) не выделяет средств на рекламу а=0 и поэтому Я (0=0, а следовательно, дисперсия Д{Я(0}=0, cov(S(t), Я(0)=0. С учетом вышеуказанных условий разрешим систему (18):
Стоит отметить, что для эффективной рекламы один из корней
д/(а+c +б)2 + 4[а1Х1аР-б(а+ c)] -(а + c+б)
Vl = 2 должен быть положительным. Условие эффективности рекламы получается с помощью матрицы Гурвица [1]:
а + c + 8 1
0 8(а + c)- а1Х1аР
Поскольку (а+с+9)>0, то условием эффективности рекламы является 8(a+c)<a,1X1ap.
Далее
Си ((^^ (з (()+K3 +(4 (()+K 4 )2', а+c
CSR (() = а±^ (( (()+K3 + (4 (()+K 4 ) +
aß
-(K 5 (t)+ K 5 )e ,
Crr (()=—( 4 (()+ K 4 )e "2t +(( (()+K 5 ). (24) aß
Здесь ц, = 2v,; ц2 = 2v2; ц3 =-
Начальных условий для функции ¥3, ¥4,
задать мы не можем, поэтому выпишем решение:
^ (()= Р^е с,
2
Из-за громоздкости выражений К3(0, К4(0, К5(t) явный вид выписывать не будем.
Теперь выпишем явный вид функций ¥3,
^4, ^5.:
lot
2
4
3
2
с
с
с
Y, (()= С,
aß
a + c -ц,
-e™ + C2 ey^
Y2 (()=C, a(° )-(9-Y2 )e» + C2eY2' +
- öjXJ
+C3e Y3t +C 4eY4t,
aß
-eY3t + С 4eY4t,
Y3 (()=Сз +
a+c-у 3
Y4 (()=c32aß-(a+c+9-y 4 )e Y3t+c4 e y 4' + c5e Y*, - 2ajxJ
Y5 (()=C Y4t + c5e w.
V -LA'
Здесь y 1 = 2v,;y 2 = 2v 2; y 3 =-
(25)
2
■; y 4,5 =-vi
^2а(0)=^2о
Y4a (0) = Y40 (T),
Ti), Y3a(0)=Y30 (Ti),
S, (t )=^Д e -9' + D2e-c' +
Css (() = D
c-9
R, (()=D,e
a2X 2c-9
-2c'
D, e-
t + a2X 0 + 2c
+2a,X,
D
c-9
4 e-(+9> +
^ a,X0D, a,X,D5 ^ c(2c-9) + 2(c-9)2
Csr (()= D4e-(c+9> + Ä D,
c
Crr (' )=D5e-
e-9t + ÄD5e-29t, c-9 5
Y, (' )=Z ,ec
Y2 (()=Z 2e9t - ^ Z,ect -
a2 X,
c-9
2c-9
Z 3e -
- 0
Y3 (t )=Z 3
z4 e (c+9)) 2a,x 0
_z e2
(2c-9) 3e
Y4 (()=Z 4e (+9))
2a,X,
-Z 3e2
Поскольку II этап - переломный момент, когда фирма вложила часть своего капитала в рекламу, для дальнейшего хода решения задачи необходимо задать условия сшивания.
Разобьем временную ось на две области: первая - [0;Т1), где а=0, вторая - [ТьТ2), а^0. Тогда можно представить условия сшивания так:
Б1а(0) = Б,0 (Т, ), Я,а (0) = Я,0 (Т, ), СББа (0) = Сбб0 Т ), СБЯа (0) = Сбя0 (Т, ), | Сяяа (0) = Сяя0 (Т, ), Т1а(0)=Т10 (Т1),
Y5 (()=Z 5e29t -
c-9
OkZ e(c+9)) +f ajK, V 7 e2ct
c-9
c-9
Z 3e2
(28)
(26)
Т5а(0) = Т50 (Т,).
В левой части системы (26) находятся функции с индексом а, явными выражениями которых являются решения II этапа, т.е. а^0, а в правой части -решение I этапа, т.е. а=0. С помощью последней системы условий сшивания определим константы К\, К2, К3, К4, К5 в явном виде, а выражения с Сь С2, Сз, С4, С5 для функций ¥ь ¥2, ¥3, ¥4, ¥5 будут содержать Рь Р2, Р3, Р4, Р5.
Итак, решение II этапа найдено. Возвращаемся к единому времени, а следовательно, в решении II этапа переходим от .
III этап
На этом этапе вложение средств в рекламу заканчивается, но действие рекламы сразу не прекращается, покупатели приходят в фирму и после исчезновения рекламы из средств массовой информации.
Необходимо разрешить систему дифференциальных уравнений (18) с учетом следующих условий: рекламу а=0 и Я(г)^0. Решение имеет вид
Далее повторяем процедуру, аналогичную процедуре на II этапе, а именно: задаем условия сшивания для определения явного вида функций. Для этого опять разбиваем временную ось на две области: в первой - а^0, во второй - а=0 на [Т2,7].
'^10 (0)=Б1а(Т2), Я10 (0) = Я1ос(Г2 )
СББ0 (0) = СББа (Т2 ), СБЯ0 (0) = СБЯа (Т2 ),
RR0 (0) = CRRa(T2 ), Y,0 (0)=Y,a(T2 ),
C
Y20 (0) = Y2a(T2
Y40 (0) = Y4a (T2
Y30 (0) = Y3a(T2 ),
Y50 (0) = Y5a(T2 ).
(29)
Заметим, что в правой части системы (29) находятся выражения из (27) и (28), а в левой части -функции, полученные на II этапе. С помощью системы (29) определим явный вид констант. Затем перейдем к единому времени t—>t—T2.
Нужно отметить, что явный вид констант Z,, Z2, Z3, Z4, Z5 на III этапе для функций Yb Y2, Y3, Y4, Y5 будет зависеть от P,, P2, P3, P4, P5, которые остались неопределенными после I этапа. Определить их мы сможем с помощью условий трансверсальности
Y,0 (T )=-
Y20 ^ = 0,
dF (t) = -
= D{S, (T)}'
Y30 (0)=-
5F (()= S, (T)-Sp
dCss 23J D{S (T)} dF (()
Y40 (0) = -^ = 0,
dCSR
Y,0 (0)=-f« = 0.
Реализация этого алгоритма возможна лишь численно с применением ЭВМ.
ЛИТЕРАТУРА
L Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, ,986. 6,5 с.
Статья представлена кафедрой прикладной информатики факультета информатики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию номера 3 декабря 200! г.
c
c
e
