CC BY
49
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Социальные науки, 2016, № 2 (42), с. 57-62 57
УДК 33
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СРЕДСТВ НА УПРАВЛЕНИЕ РИСКАМИ В СИСТЕМЕ «ЦЕНТР - АГЕНТЫ» С ПОМОЩЬЮ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
© 2016 г. Е.П. Ростова
Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)
Статья псутупила в ридакцию 11.04.2016 Статья принята к публикации 27.04.2016
В целях оптимизации процесса управления рисками в системе «центр - агенты» разработана математическая модель, основанная на минимизации ущерба от реализации непредвиденных ситуаций. Описана система «центр - агенты», для которой разработана модель. Задача распределения средств решена с помощью методов динамического программирования. Разработанная математическая модель может быть применима в рамках одного предприятия или организации, включающих в себя структурные единицы, а также в масштабах группы предприятий, объединенных одним управляющим органом, распределяющим ресурсы на управление рисками в системе. Представленная математическая модель позволяет снизить ущерб системы путем оптимального распределения средств на управление рисками.
Ключивыи улсва: ущерб, риск, управление рисками, центр, агенты, динамическое программирование.
Управление рисками всегда является весьма актуальной задачей в любой отрасли экономики. Каждое производство имеет свои специфические риски как в хозяйственной сфере, так и в любой другой, связанной с его деятельностью. Пренебрежение данным аспектом управления предприятием влечет за собой увеличение частоты инцидентов и аварий, а также возрастание размера ущерба от непредвиденных ситуаций. Однако различные составляющие производства вносят различный вклад в общий уровень риска, в различной степени зависят друг от друга, имеют различные структурные связи. Рациональное распределение средств между элементами системы, вносящими различный вклад в объем производства, имеющими различные уровни риска, отличающимися размерами ожидаемого ущерба и пр., является важной задачей.
Управление рисками подразумевает несколько различных направлений: передача, сохранение и снижение риска [1]. Примером передачи риска может быть страхование, при котором весь риск или его часть передаются страховщику за определенную страховую премию. При этом сам риск страхователя не снижается. Страхователь может рассчитывать на компенсацию части ущерба при наступлении страхового случая. Сохранение риска можно проиллюстрировать на примере создания резервного фонда, предназначенного на покрытие убытков
от инцидента или аварии. Данная мера не влияет на размер вероятности наступления нештатной ситуации и ущерба от нее. Снижение риска может быть достигнуто за счет проведения предупредительных мероприятий, среди которых: установка систем оповещения, диагностики, обслуживания по текущему состоянию, обучение и повышение квалификации персонала, обновление основных производственных фондов и замена устаревшего оборудования на более надежное и т.д. Любое направление управления рисками требует определенных ресурсов. При этом возникает задача оптимального распределения средств между различными способами управления рисками и между объектами, входящими в систему, чьи риски рассматриваются. При распределении средств необходимо учитывать различный уровень ущерба, приносимый элементами системы, а также различную эффективность вложения средств в управление рисками [2].
В настоящее время проблема управления рисками рассматривается как с позиций риск-менеджмента [3-6], так и с позиций технологии производственного процесса [7-10]. В первом случае доминирует анализ проблемы с точки зрения экономики и менеджмента, организации систем управления, целью процесса управления рисками становится увеличение прибыли предприятия. Во втором случае анализ основывается на технологических особенностях отраслей и отдельных предприятий, управление рисками
рассматривается с позиции организации производственного процесса, усовершенствования технологий и т.д. Можно сказать, что во втором случае целью управления риском становится снижение риска как показателя аварийности, возможно, за счет экономически неэффективных мер. Решение проблемы управления рисками с учетом увеличения прибыли и снижения риска позволит учесть как экономические аспекты, так и производственные особенности предприятия.
Каждое предприятие можно рассматривать как систему, в которой взаимодействуют ее подразделения - цеха, отделы, службы и т.д. В то же время само предприятие может являться элементом некоторой системы, в которой оно связано производственным процессом с другими предприятиями и организациями. Риски системы в целом зависят от каждого ее элемента и от характера связи между ними. В этой связи рассматривать проблему управления рисками каждого отдельного элемента следует в совокупности всей системы.
Рассмотрим систему с центром и т агентами [11-13]. Пусть средства на управление рисками в размере Е распределяются центром между агентами. При этом агенты самостоятельно осуществляют мероприятия по управлению рисками в рамках тех средств / , которые им распределил центр. Следует отметить, что центр должен распределять средства таким образом, чтобы размер ущерба от непредвиденных ситуаций не увеличивался в каждом последующем периоде планирования по сравнению с предыдущим. В случае перераспределения средств в пользу одного или нескольких агентов за счет других возможно наступление критической ситуации, при которой повлиять на уровень риска недофинансированных агентов будет весьма сложно. Одной из особенностей проблемы управления рисками является необходимость постоянного выделения средств на ее решение, поскольку бездействие в одном временном периоде повлечет за собой значительное увеличение риска на следующем этапе. Например, отсутствие предупредительных мероприятий и ремонтно-профилактических работ в текущем году в следующем году повлечет за собой траты, связанные с ущербом от возможных аварий и/или инцидентов, а также затраты на устранение их последствий, значительно превосходящие сэкономленные средства предыдущего периода. Таким образом, управление рисками должно осуществляться с учетом не только текущего периода планирования, но и последующих временных интервалов.
Рассмотрим систему «центр - агенты». В качестве системы может выступать предприятие или организация, имеющее в своей структуре отдельные элементы. Промышленное предприятие включает в себя цеха, отделы, службы и т.д. Каждый цех характеризуется своими производственными мощностями, оборудованием, установками. При этом уровень риска данного цеха, являющегося агентом системы, зависит от мероприятий, направленных на повышение его безопасности. Отделы и службы промышленного предприятия, не работающие с производственными мощностями напрямую, также влияют на уровень безопасности системы. Своевременно проведенный контроль оборудования и выявленные неисправности, правильное поведение работников во время нештатных ситуаций, соблюдение правил и норм промышленной безопасности - все это также влияет на уровень риска.
Предприятия и организации, в свою очередь, могут выступать в качестве агентов системы. Тогда центром может быть орган, руководящий деятельностью группы предприятий. При этом сами предприятия могут быть взаимосвязаны некоторой производственной технологической цепочкой, а могут быть и независимы. Для рассматриваемой математической модели это не имеет значения, поскольку в задаче учитывается ущерб от происшествия, независимо от его причин. Ущерб системы будет являться суммой ущербов агентов, и руководящий орган распределяет средства на управление рисками между агентами, при этом сами агенты формируют мероприятия по управлению рисками. Также в качестве центра для предприятий-агентов может служить некий административный орган, контролирующий их деятельность в сфере промышленной безопасности. В данном случае центр может использовать механизмы премий и штрафов, а также компенсации затрат на снижение уровня риска.
Таким образом, разработанная математическая модель оптимизации распределения затрат на управление рисками может быть применима как в рамках одного предприятия, так и на региональном уровне, на уровне промышленных групп. При этом на ход решения данной задачи не влияет степень взаимосвязи агентов системы и степень их влияния друг на друга.
Итак, в системе с т агентами центр распределяет между агентами средства на управление рисками в размере Е. При этом будем считать, что чем больше затрачено средств на управление рисками, тем меньше ущерб от реализации непредвиденных ситуаций. То есть если на управление рисками /-го агента затрачены средства в размере /, то он может иметь ущерб Х(/),
Матиматичиукая мсдиль сптимальнсес раупридилиния уридутв
59
г=1,т . При этом V Л, /2| / < /2 выполняется
X/) >Х-(/2) для V г = 1,т .
Требуется выбрать оптимальное распределение средств на управление рисками между агентами, обеспечивающее минимальный ущерб У всей системы, причем
т
У = £ Xг (/).
г =1
Ущерб измеряется в денежных единицах и зависит от вероятности наступления инцидента и/или аварии и от особенностей агента. В свою очередь, вероятность реализации непредвиденного события является показателем промышленной безопасности производства, подготовленности персонала, надежности оборудования, соблюдения правил техники безопасности и т.д. Величина вероятности инцидента и/или аварии говорит о технических характеристиках агента.
Выигрышем в данной задаче является общий ущерб У, нанесенный т агентами, то есть всей системой.
Следует отметить особенность определения выигрыша в данной задаче. Как правило, в подобных задачах в качестве выигрыша принимают прибыль или доход от некоторой деятельности [14, 15]. В данном случае целью распределения средств, предназначенных на управление риском, является снижение ущерба. Именно этим объясняется выбор целевой функции. Ущерб У от реализации производственных рисков должен быть минимальным при оптимальном распределении средств Е на управление риском. Под производственным (промышленным) риском будем понимать вероятность наступления события, повлекшего снижение дохода предприятия в результате нарушения производственного процесса.
Построим математическую модель данной задачи, реализуя следующие этапы:
1. Определение числа шагов. Число шагов т равно числу агентов, между которыми распределяются средства на управление риском Е.
2. Определение состояний системы. Состояние системы на каждом шаге характеризуется
количеством средств ф, имеющихся в наличии перед данным шагом ф < Е.
3. Выбор шаговых управлений. Управлением
на г-м шаге /г, г=1, т, является количество средств, направляемых для управления риском г-го агента.
4. Функция выигрыша на г-м шаге
X/). (1)
Это ущерб, который приносит г-й агент при вложении в его безопасность средств /.
т
Пусть У =2 X, (/).
г=1
5. Определение функции перехода в новое состояние
^(ф, /)= Ф - / (2)
Если на г-м шаге система находилась в состоянии ф, а выбрано управление / то на следующем (г+1)-м шаге система будет находиться в состоянии ф — /. Другими словами, если в наличии имеются средства в размере ф и в повышение безопасности г-го агента вкладываются средства в объеме /, то для дальнейшего управления риском оставшихся агентов остаются средства в размере ф — /.
6. Составление функционального уравнения для г=т:
Ут/)=Хт/), /т(ф)= ф. (3)
На последнем шаге, то есть перед вложением средств в снижение риска последнего т-го агента, условное оптимальное управление соответствует количеству средств, имеющихся в наличии; то есть все средства, которые остались, следует вложить в последнего агента. Условный оптимальный выигрыш равен ущербу, приносимому деятельностью последнего т-го агента.
7. Составление основного функционального уравнения.
Используя определенные выше соотношения, получаем следующее функциональное уравнение:
т = 3. Для простоты будем считать, что распре-
Таблица 1
Исходные данные к примеру 1
/, X1(f), X/ X3(f),
тыс. усл. ед. тыс. усл. ед. тыс. усл. ед. тыс. усл. ед.
0 2.2 3.1 2
1 2.1 3 1.9
2 1.9 2.8 1.5
3 1.5 2.5 1.3
4 1.2 2.3 1.1
5 1 2.1 0.8
Таблица 2
Результат решения примера 1
ф i=3 i=2 i=1
/3(Ф) Yto) /2(ф) Y2M /1(ф)
0 0 2 0 5.1
1 1 1.9 0/1 5
2 2 1.5 0 4.6
3 3 1.3 0 4.4
4 4 1.1 0 4.2
5 5 0.8 0 3.9 0/3/5 6.1
Таблица 3 Варианты распределения средств
__ Вариант
Цех ~~~^~~распределения 1 2 3
1 0 3 5
2 0 0 0
3 5 2 0
Yi (Ф) = min f <ф{X (f) + Y+1(ф - /)}. (4)
Поясним данное уравнение. Пусть перед i-м шагом для дальнейшего управления риском остались средства в размере ф. Тогда средства в объеме f центр может потратить на управление риском i-го агента, при этом ущерб от деятельности i-го агента составит Xi(f), а оставшиеся средства в размере (ф - f) вложить в безопасность остальных агентов с (i+1)-ro до т-го. Условный оптимальный выигрыш от такого распределения средств - это ущерб 7г+1(ф - f), который принесут агенты с (i+1)-ro до т-го. Оптимальным будет то условное управление f при котором сумма Xi(f) и Y+ 1(ф — f) минимальна. То есть на i-м шаге следует распределить средства так, чтобы минимизировать ущерб от деятельности i-го агента и всех последующих до т-го.
Составленная модель позволяет решить задачу распределения средств на управление рисками внутри системы. Построение математической модели с использованием приемов динамического программирования позволяет рассмотреть различные варианты распределения средств между агентами и выявить оптимальный способ распределения средств, позволяющий минимизировать общий риск.
Рассмотрим варианты применения представленного метода решения поставленной задачи.
Пример 1. Пусть на управление риском некоторого предприятия, включающего в себя три цеха, выделено 5 000 усл. ед. То есть F = 5 000,
деляются только суммы, кратные 1 тыс. усл. ед.
Значения Х(/), 1 = 1, 2, 3, заданы в таблице 1.
Для/1 >/2 X/) <ХШ, 1 =13 .
Проведем условную оптимизацию и по ее результатам постепенно будем заполнять таблицу 2.
Охарактеризуем один из вариантов. Ячейки таблицы 2, соответствующие рассматриваемому результату безусловной оптимизации, выделены серым цветом. В начале распределения средств ф =F=5. Наиболее оптимальным при данных начальных условиях будет потратить на управление рисками первого подразделения средства в размере /1(5)=3 тыс. усл. ед. Тогда перед вторым шагом, соответствующим определению объема средств на управление риском второго подразделения, руководство предприятия располагает 2 тыс. усл. ед. Исходя из проведенной условной оптимизации, видно, что производить затраты на управление риском второго объекта нецелесообразно, и оставшиеся средства в размере 2 тыс. усл. ед. распределяются на управление риском третьего подразделения.
Пример 2
В данном примере изменим значения ущербов X/), 1 = 1, 2, 3. Пусть, как и ранее, на управление риском некоторого предприятия, включающего в себя три цеха, выделено 5 000 усл. ед. Также будем считать, что распределяются только суммы, кратные 1 тыс. усл. ед.
Значения X/), 1 = 1, 2, 3, заданы в таблице 4.
Математическая модель оптимального распределения средств
61
Проведем условную оптимизацию и по ее результатам постепенно будем заполнять таблицу 5.
Охарактеризуем полученный результат. При тех же начальных средствах на управление риском, как и в примере 1, за счет изменения
Разработанная математическая модель может применяться как для предприятий, так и для промышленных групп. В первом случае центром системы будет руководство предприятия, а агентами - его подразделения. В случае группы предприятий центром является руководящий орган, распределяющий средства на Таблица 4
Исходные данные к примеру 2
/, ХМ ад ад,
тыс. усл. ед. тыс. усл. ед. тыс. усл. ед. тыс. усл. ед.
0 2.3 2.5 2
1 2.1 2 1.9
2 2 1.8 1.7
3 1.7 1.6 1.4
4 1.4 1.5 1.2
5 1.2 1.2 1.1
Результат решения примера 2
Таблица 5
Ф 1=3 1=2 =1
/3(Ф) Гэ(Ф) ,/2(Ф) Ъ(Ф) ,/1(Ф) Г1(Ф)
0 0 2 0 4.5
1 1 1.9 1 4
2 2 1.7 2 3.8
3 3 1.4 3 3.6
4 4 1.2 1 3.4
5 5 1.1 1/2/5 3.2 4 5.4
размеров ущерба получили следующее распределение: в первое подразделение -4 тыс. усл. ед., во второе - 1 тыс. усл. ед.
Математическая модель распределения средств на управление рисками в системе «центр - агенты» позволяет оптимизировать данный процесс при условии минимизации общего риска системы. Особенностью предложенного метода является выбор его целевой функции и ее минимизация, что обусловлено постановкой задачи. Поскольку в качестве целевой функции рассматривается общий ущерб всей системы, то распределение средств должно происходить таким образом, чтобы не только улучшить показатели каждого агента, но и минимизировать целевую функцию. Решение задачи минимизации ущерба для каждого отдельно взятого агента не позволило бы улучшить результат всей системы.
Также следует отметить, что преимуществом разработанного метода решения задачи является независимость от характера взаимосвязи между агентами системы. Модель распределения средств на управление рисками применима как для системы с агентами, оказывающими влияние на уровень риска друг друга, так и для системы независимых агентов. Это достигается путем учета в модели размера ущерба, а не уровня риска.
управление рисками агентов, которыми, в свою очередь, будут сами предприятия. Рассмотренные в статье числовые примеры являются иллюстрацией метода и рассчитаны для случайных исходных данных. Они показывают различные варианты распределения средств Е на управление рисками в системе «центр - агенты». В зависимости от величины ущерба и средств, затраченных на его снижение, варьируются результаты решений.
С точки зрения экономической эффективности разработанная модель позволяет, оставаясь в рамках ограничения средств на управление рисками, добиться снижения ущерба. Затраты на управление риском не возрастают по сравнению с традиционным способом распределения средств. Результатом применения модели является снижение ущерба от оптимального распределения на управление рисками в системе. В качестве традиционных способов распределения средств на управление рисками можно назвать деление ресурсов на равные части и распределение по сложившейся схеме - как в прошлом году, так и в этом. Зачастую на предприятиях используют именно последний вариант и из года в год мероприятия по управлению риском финансируются в одинаковом размере независимо от уровня риска и меняющихся ха-
рактеристик агентов. Применение разработанной математической модели оптимального распределения средств на управление рисками позволит снизить ущерб от непредвиденных ситуаций на 10-13%. Соответственно вырастет и прибыль системы. Кроме непосредственного снижения ущерба за счет оптимального распределения средств на управление рисками, агенты и система в целом получают ряд преимуществ. Снижение ущерба системы говорит об уменьшении риска системы и агентов. Данный факт позволяет снизить расходы на страхование -как обязательное (обязательное страхование гражданской ответственности владельца опасного объекта), так и добровольное - за счет снижения страховой премии, размер которой зависит от уровня риска страхователя. Также снижение риска отражается на экологической ситуации. Следует отметить, что ущербы от экологических катастроф наиболее масштабные и трудно прогнозируемые. Поэтому оптимальное распределение средств на управление рисками агентов системы с учетом их уровня риска и эффективности от вложений в безопасность позволит снизить не только ущерб системы, но и вероятность реализации непредвиденных ситуаций, последствия от которых могут отразиться на природной среде. Снижение уровня риска системы и агентов свидетельствует об их устойчивости и надежности, что положительно отражается на деловых отношениях с партнерами. Таким образом, можно сказать, что разработанная модель оптимального распределения средств на управление рисками в системе «центр - агенты» позволяет не только снизить ущерб от непредвиденных ситуаций, но и получить преимущества в виде снижения уровня риска, скидки при страховании, повышения экологической устойчивости, повышения надежности системы в целом и агентов в частности.
Список литературы
1. Хохлов Н.В. Управление риском: Учебн. пособие для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. 239 с.
2. Ростова Е.П. Показатели оценки эффективности вложений в безопасность предприятия // Организатор производства. 2013. №3 (58) С. 68-72.
3. Досугова А.В. Контроллинг рисков в системе риск-менеджмента организации // Контроллинг. 2011. № 3. С. 60-63.
4. Авдийский В.И. Риск-менеджмент как составная часть корпоративной системы управления // Бухгалтерский учет. 2012. № 8. С. 98-101.
5. Волкова Т.А., Волкова С.А., Тинякова В.И. Концептуальные основы формирования системы упреждающего риск-менеджмента // Вестник Алтайской академии экономики и права. 2013. № S1. С. 40-45.
6. Запруднова Я.А. Риск-менеджмент на предприятии // Современные наукоемкие технологии. 2013. № 8(1). С. 14.
7. Белозерский А. Ю. Методика выбора мероприятий по управлению рисками на металлургических предприятиях // Журнал правовых и экономических исследований. 2011. № 1. С. 171-175.
8. Андриевских М.В., Любочская О.К. Передовой опыт предприятий по управлению рисками на рабочих местах // Охрана и экономика труда. 2011. № 3. С. 40-42.
9. Быков А.А. Макроструктура национальной экономики и энергетические риски // Белорусский экономический журнал. 2012. № 2. С. 48-60.
10. Качалов Р. М. Управление хозяйственным риском производственных систем // Экономика и математические методы. 1997. № 4.
11. Бурков В.Н., Новиков Д. А., Щепкин А.В. Механизмы управления эколого-экономическими системами. М.: ИПУ РАН, 2008. 244 с.
12. Бурков В.Н., Грищенко А.Ф., Кулик О.С. Задачи оптимального управления промышленной безопасностью. М.: ИПУ РАН, 2000. 70 с.
13. Ростова Е. П. Модель стимулирования при управлении рисками в системе промышленных предприятий // Проблемы управления. 2015. № 1. С.73-80.
14. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике: Учебник МГУ. М.: Дело и Сервис, 1999. 366 с.
15. Шапкин А.С., Мазаев Н.П. Математические методы и модели исследования операций. М.: Издательский дом «Дашков и К», 2007. 400 с.
MATHEMATICAL MODEL OF OPTIMAL ALLOCATION OF FUNDS FOR RISK MANAGEMENT IN THE «CENTER-AGENTS» SYSTEM USING DYNAMIC PROGRAMMING
E.P. Rostova
Samara State Aerospace University named after Academician S.P. Korolyov (National Research University)
In order to optimize the process of risk management in the «center-agents» system, we have developed a mathematical model based on minimizing the damages from the implementation of contingencies in the system. A description is given of the «center-agents» system, for which the model was developed. The task of resources allocation is solved using dynamic programming methods. The mathematical model can be applied within one company or organization that includes a number of business units or in a group of companies managed by a governing body that distributes resources for risk management in
the system. The mathematical model presented in the article allows one to reduce the damage to the system by optimal allocation of resources for risk management.
Keywords: damage, risk, risk management, center, agents, dynamic programming.
