Математическая модель нейрона и возможности его технической реализациии Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

КОД УДК:004.8

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕЙРОНА И ВОЗМОЖНОСТИ ЕГО ТЕХНИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗАЦИИИ

Поздняков Н.В., аспирант

Институт (филиал) ФГБОУВПО «МГОУимениВ.С. Черномырдина»

e-mail:[email protected]

Аннотация: В статье рассматриваются вопросы математического моделирования нейрона и возможности его технической реализации. В отличие от существующих технических устройств реализации нейрона, построенных на базе классических узлов, ориентированных на бинарную обработку, предлагаемый путь базирован на разрядно-параллельную обработку числовых данных (синапсов), с целью получения результата.

Ключевые слова: модель, нейрон, реализация.

MATHEMATICAL MODELS OF NEURONS AND THE POSSIBILITY OF TECHNICAL IMPLEMENTATION

Annotation:The article deals with the mathematical modeling of a neuron and the possibility of technical implementation. In contrast to the current technical implementation of the neuron devices built on the basis of classical knots oriented binary processing, the proposed route based on bit-parallel processing of numerical data (synapses) in order to obtain the result.

Keywords: model, neuron, implementation.

Математическая модель нейрона и его техническая реализация.

В статье рассматриваются вопросы математического моделирования нейрона и возможности его технической реализации. В отличие от существующих технических устройств реализации нейрона, построенных на базе классических узлов, ориентированных на бинарную обработку, предлагаемый путь базирован на разрядно-параллельную обработку числовых данных (синапсов), с целью получения результата. Предложенное устройство реализации нейрона, может служить новой элементарной базой построения нейрокомпьютеров с более высокой скоростью обработки биологической информации и хорошей живучестью.

Ключевые слова: нейрон, синапс, алгоритм, структура, модель, аксон, дендрит, сеть.

A mathematical model of a neuron and its technical implementation. In this paper, mathematical modeling of the neuron and the possibility of technical implementation. In contrast to the existing technical equipment implementing the neuron, constructed on the basis of classical knots, oriented binary processing, the proposed road base on the bit-parallel processing of numeric data (synapses) in order to obtain the result. The proposed device implementing a neuron, can serve as the basis of a new elementary building neurocomputers with a higher rate of processing of biological information and good survivability.

Key words: neuron, synapse, the algorithm structure, the model axon, dendrite, network.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время нет сомнения, что существует подобие между мозгом и цифровым компьютером: оба оперируют электронными сигналами, оба состоят из большого количества простых элементов, оба выполняют функции, являющиеся, грубо говоря, вычислительными. Тем не менее, существуют и фундаментальные отличия. по сравнению с микросекундными и даже наносекундными интервалами вычислений современных компьютеров нервные импульсы являются слишком медленными. Хотя каждый нейрон требует наличия миллисекундного интервала между передаваемыми сигналами, высокая скорость вычислений мозга обеспечивается огромным числом

Исмаилов Ш-М.А., д.т.н., проф.,

параллельных вычислительных блоков, причем количество их намного превышает доступное современным ЭВМ. Диапазон ошибок представляет другое фундаментальное отличие: ЭВМ присуща свобода от ошибок, если входные сигналы безупречно точны и ее аппаратное и программное обеспечение не повреждены.Мозг же часто производит лучшее угадывание и приближение при частично незавершенных и неточных входных сигналах. часто он ошибается, но величина ошибки должна гарантировать наше выживание в течение миллионов лет.

Первые цифровые вычислители часто рассматривались как «электронный мозг». С точки зрения наших текущих знаний о сложности мозга, такое заявление оптимистично, да и просто не соответствует истине. Эти две системы явно различаются в каждой своей части. они оптимизированы для решения различных типов проблем, имеют существенные различия в структуре и их работа оценивается различными критериями.

Некоторые ученые говорят, что искусственные нейронные сети когда-нибудь будут дублировать функции человеческого мозга. Прежде чем добиться этого, необходимо понять организацию и функции мозга. Эта задача, вероятно, не будет решена в ближайшем будущем. Надо отметить , что современные нейросети базируются на очень упрощенной модели, игнорирующей большинство тех знаний, которые мы имеем о детальном функционировании мозга. Поэтому необходимо разработать более точную модель, которая могла бы качественнее моделировать работу мозга.

Прорыв в области искусственных нейронных сетей будет требовать развития их теоретического фундамента. Теоретические выкладки, в свою очередь, должны предваряться улучшением математических методов, поскольку исследования серьезно тормозятся нашей неспособностью иметь дело с такими системами.

В действительности аналитические проблемы являются сверхтрудными, так как рассматриваемые системы являются очень сложными нелинейными динамическими системами. Возможно, для описания систем, имеющих сложность головного мозга, необходимы совершенно новые

математические методы. Может быть и так, что разработать полностью удовлетворяющий всем требованиям аппарат невозможно [1].

Несмотря на существующие проблемы, желание смоделировать человеческий мозг не угасает, а получение зачаровывающих результатов вдохновляет на дальнейшие усилия. Успешные модели, основанные на предположениях о структуре мозга, разрабатываются нейроанатомами и нейрофизиологами с целью их изучения для согласования структуры и функций этих моделей. с другой стороны, успехи в биологической науке ведут к модификации и тщательной разработке искусственных моделей.

Существующие математические модели нейронов либо очень просты, отражая лишь основные закономерности в переработке информации, присущие биологическому нейрону, либо рассматривают только отдельные этапы информационного преобразования сигналов, не давая целого представления о процессах, происходящих в реальном объекте.

Наиболее перспективным для технической реализации представляется моделирование нейрона на уровне описания информационных преобразований

импульсных потоков в нейроне, не спускаясь на уровень реализующих их физико-химических процессов, но и не абстрагируясь от понятия нейрона как объекта, осуществляющего нелинейные аналоговые преобразования потока импульсов [2].

Биологическая модель нейрона

Центральная нервная система имеет клеточное строение. единица - нервная клетка, нейрон. Нейрон проявляет следующие основные свойства:

1. участвует в обмене веществ и рассеивает энергию; меняет внутреннее состояние с течением времени, реагирует на входные сигналы и формирует выходные воздействия и поэтому является активной динамической системой;

2. имеет множество синапсов - контактов для передачи информации;

3. нейрон взаимодействует путем обмена электрохимическими сигналами двух видов: электротоническими (с затуханием) и нервными импульсами (спайками), распространяющимися без затухания [3].

Нейроны соединенные между собой нервными волокнами. Нервные волокна способны передавать электрические импульсы между нейронами. Все процессы передачи раздражений от нашей кожи, ушей и глаз к мозгу, процессы мышления и управления действиями - все это реализовано в живом организме как передача электрических импульсов между нейронами. Рассмотрим строение биологического нейрона: каждый нейрон имеет отростки нервных волокон двух типов - дендриты, по которым принимаются импульсы, и единственный аксон, по которому нейрон может передавать импульс. Аксон контактирует с дендритами других нейронов через специальные образования - синапсы, которые влияют на силу импульса.

Рис.1. Биологическая модель нейрона Можно считать, что при прохождении синапса сила импульса меняется в определенное число раз, которое мы будем называть весом синапса. Импульсы, поступившие к нейрону одновременно по нескольким дендритам, суммируются. Если суммарный импульс превышает некоторый порог, нейрон возбуждается, формирует собственный импульс и передает его далее по аксону. Важно отметить, что веса синапсов могут изменяться со временем, а значит, меняется и поведение соответствующего нейрона [4].

Математическая модель нейрона Искусственный нейрон имитирует в первом приближении свойства биологического нейрона. На вход искусственного нейрона поступает некоторое множество сигналов, каждый из которых является выходом другого нейрона. Несмотря на большое разнообразие вариантов нейронных сетей, все они имеют общие черты. Так, все они, так же, как и мозг человека, состоят из большого числа связанных между собой однотипных элементов - нейронов, которые имитируют нейроны головного мозга. На рис. 2 показана схема нейрона.

Рис.2 Математическая модель нейрона

Из рисунка видно, что искусственный нейрон, так же, как и живой, состоит из синапсов, связывающих входы нейрона с ядром; ядра нейрона, которое осуществляет обработку входных сигналов и аксона, который связывает нейрон с нейронами следующего слоя. Каждый синапс имеет вес, который определяет, насколько соответствующий вход нейрона влияет на его состояние. Состояние нейрона определяется по формуле

п

Б = , (1)

¿=1

где п - число входов нейрона , х, - значение /-го входа нейрона , Wi - вес /-го синапса . Затем определяется значение аксона нейрона по формуле

У =Д8), (2)

где / - некоторая функция, которая называется активационной. Наиболее часто в качестве активационной функции используется так называемый сигмоид, который имеет следующий вид:

/«=1+^ . (3)

Основное достоинство этой функции в том, что она дифференцируема на всей оси абсцисс и имеет очень простую производную[5]:

/(х) = аГ(х){1-Г(х)). (4)

Рассмотренная простая модель искусственного нейрона игнорирует многие свойства своего биологического двойника. Например, она не принимает во внимание задержки во времени, которые воздействуют на динамику системы. Входные сигналы сразу же порождают выходной сигнал. И, что более важно, она не учитывает воздействий функции частотной модуляции или синхронизирующей функции биологического нейрона, которые ряд исследователей считают решающими.

Несмотря на эти ограничения, сети, построенные из этих нейронов, обнаруживают свойства, сильно напоминающие свойства биологической системы. Только время и исследования смогут ответить на вопрос, являются ли подобные совпадения случайными или следствием того, что в модели верно схвачены важнейшие черты биологического нейрона.

Однослойные искусственные нейронные сети Хотя один нейрон и способен выполнять простейшие процедуры распознавания, сила нейронных вычислений проистекает от соединений нейронов в сетях. Простейшая сеть состоит из группы нейронов, образующих слой (рис. 3).

На изображениях нейронных сетей вершины-круги служат лишь для распределения входных сигналов. Они не выполняют каких-либо вычислений, и поэтому не считаются слоем. По этой причине они обозначены кругами, чтобы отличать их от вычисляющих нейронов, обозначенных квадратами. Каждый элемент из множества входов Х отдельным весом соединен с каждым искусственным нейроном. А каждый нейрон выдает взвешенную сумму входов в сеть. В искусственных и биологических сетях многие соединения могут отсутствовать, все соединения показываются в целях общности. Могут иметь место также соединения между выходами и входами элементов в слое.

Удобно считать веса элементами матрицы W. Матрица имеет т строк и п столбцов, где m - число входов, а n - число нейронов. Например, - это вес, связывающий третий вход со вторым нейроном. Таким образом, вычисление выходного вектора N, компонентами которого являются выходы OUT нейронов, сводится к матричному умножению N = XW, где N и Х - векторы-строки.

Многослойные искусственные нейронные сети Более крупные и сложные нейронные сети обладают, как правило, и большими вычислительными возможностями. Хотя созданы сети всех конфигураций, какие только можно себе представить, послойная организация нейронов копирует слоистые структуры определенных отделов мозга. Оказалось, что такие многослойные сети обладают большими возможностями, чем однослойные, и в последние годы были разработаны алгоритмы для их обучения.

Многослойные сети могут образовываться каскадами слоев. Выход одного слоя является входом для последующего слоя. Подобная сеть показана на рис. 4 и снова изображена со всеми соединениями.

Многослойные сети не могут привести к увеличению вычислительной мощности по сравнению с однослойной сетью лишь в том случае, если активационная функция между слоями будет нелинейной. Вычисление выхода слоя заключается в умножении входного вектора на первую весовую матрицу с последующим умножением (если отсутствует нелинейная активационная функция) результирующего вектора на вторую весовую матрицу:

(XWi)W2 .

Так как умножение матриц ассоциативно, то

(XWi)W2 = X(WiW2).

Рис. 4. Двухслойная нейронная сеть

Это показывает, что двухслойная линейная сеть эквивалентна одному слою с весовой матрицей, равной произведению двух весовых матриц. Следовательно, любая многослойная линейная сеть может быть заменена эквивалентной однослойной сетью. Однослойные сети весьма ограниченны по своим вычислительным возможностям. Таким образом, для расширения возможностей сетей по сравнению с однослойной сетью необходима нелинейная активационная функция [6].

Алгоритм и структура разрядно-параллельного процессорного элемента реализации нейроноподобных вычислительных структур Как известно состояние нейрона определяется по формуле(1),связывающей число входов п нейрона, х^значение ьго входа нейрона^ вес ьго синапса.

Рассмотрим реализацию выражения (1) в случае, если все синапсы имеют один вес. Различные веса синапсов, безусловно, приведут к другой реализации процессорного элемента, в которой необходимо наличие блока управления, задающего веса синапсов, а также наличие выходного порогового устройства. Указанные вопросы будут рассмотрены в дальнейших публикациях.

Пусть F-{f1,f2,...,fi,...,fn}-множество слагаемых, представленных в двоичной системе кодирования, по способу с фиксированной запятой, где

f 3 =(г 3 1, г^,..., г 3 г 3 п), г 3 i Е { 0,1 } - I двоичный разряд 3-го слагаемого, I = 1,..п, п - разрядность исходных суммируемых чисел.

Обозначим: 2-(Б1, Б2, ..., Бп, Б^ь^^+О - множество частичных сумм по модулю два по соответствующим разрядным срезам (РС) всех чисел с учетом межразрядных переносов из предыдущих РС, [Х]-целая часть выражения X. Очевидно, что результат S операции параллельного суммирования равен

N

Б = "

у,

(5)

,=1

Рассмотрим сумму С, элементов одного РС без учета переносов из предыдущих РС.

N

С i = ^ О ,=1

, i=1,... п, 1=1..., N .

(6)

Запись (6) указывает количество единиц, содержащихся в 1-ом РС . Тогда (5) с учетом (6) можно представить как

^ =

Ж * 2

I. — ■

(7)

п

Сумму элементов с одного РС без учета переносов из предыдущих РС можно записать в виде:

N

X г/ =&[1°ё2М] *2([1°^Н) +...+а1 *2 . (8)

j=i

N N

Обозначим : S * i - g1 i * 2o - ( ^ Г ) mod 2 ; P i = ^ rtJ - S * i .

j= 1 j=i

*

Значение S i является суммой по модулю два, а P i, - многоразрядным двоичным переносом, формируемым в I-ом PC. Главной особенностью процедуры реализации n-арной операции суммирования слагаемых является формирование, учет и обработка многоразрядного переноса Р, Для определения разрядности результата S и многоразрядного переноса Р запишем выражение для суммы S i с учетом распространения межразрядных переносов Р i , S * i = S i = r 1 i Фг 2 i Ф...Ф rj i Ф...Ф r N i , P o =0 P i =[(r i i, r 2i,..., r j i,.., r Ni+ p o )/2] S 2 = r i 2 ® r 2 2 Ф...Ф r j 2 Ф...+ r N 2 +mod 2Pi

P 2 =[(r i 2, r 22,..., r j 2,.., r N 2+ p i )/2] (9)

S n = r i n ф r 2 n Ф...Ф r j n Ф...Ф r N n +mod P n-i S n+i= mod 2Pn P n+i = [ P n /2]

S n+k= mod 2Pn+k-i .

Здесь К-число разрядов, необходимых для представления максимального значения переноса, ф- сумма по модулю два. Величина P i изменяется от 0 до некоторого максимального значения, которое определяет требуемое число двоичных разрядов, и находится на основании следующего правила.

Максимальное значение двоичного переноса может быть получено в том случае, если значение всех суммируемых чисел в нескольких последовательных PC равны единице. При этом

SS i = r i i + r 2 i +...+ r j i + ...+ r N i -N

P i=[ (S S i +P i.i )/2] (i0)

Предположим, что значение переноса достигло величины N-2, т.е.

P i-i=N-2. Предположение будет верным, если в ходе вычислений получается еще большее значение переноса. В соответствии с (10), Pi=[(N+N-2)/2]-N-l. Введенное предположение будет верным, поскольку P i > P i-i. Затем P i+i = [(N+ P i)/2] =[(N+N-l)/2] = N-i+[i/2] =N-l

и дальнейшее увеличение переноса невозможно. Для представления многоразрядного переноса требуется К битов:

К = [log 2 (N-i)]+i. (ii)

Поскольку перенос величиной N-1 может возникнуть в самом старшем из n числовых разрядов, то для представления конечного результата параллельного суммирования слагаемых необходимо К' битов,

К' =n + [log 2 (N-i)]+i. (i2)

Схема взаимодействия операторов параллельного суммирования потоков числовых данных с общей организацией обработки многоразрядного переноса приведена на рис.5. В общем случае алгоритм суммирования многих чисел можно представить в следующем виде.

Исходные данные:

F= { fj }, fз = (Г 3 1 + г 3 2 +...+ Г 3 п), 3=1,N, Гз ={ 0,1 }, i=1,n

N

Выходные данные: сумма Б = ^ fj , где Б представлена в двоичной системе

j=1

счисления в следующем виде

Б= (Б 1 , Б2 ,..., Бп , ..., Бк), Бi = { 0,1}, К= п + [^N-1].

АЛГОРИТМ 1.

1. Начало.

2.Установить начальные условия: общий перенос Р := 0.

3.Включить признак чтения разрядных срезов Ф := 1.

4. Цикл i=1,n + [log2 N-1]

4.1. Если Ф := 1, то чтение разрядных срезов r i j , j=1,N

N

и определение R s 2 = ( ^ rj ) mod 2.

j=1

4.2.Определить S = R s 2 +P

N

4.3.Подготовка к следующему циклу P= [( P + ^^rj )/2].

j=1

4.4.Если i > n, то R s 2 := Ф:= 0. Конец цикла.

5.Конец.

Структура устройства параллельной обработки данных

Рассмотрим принципы построения устройств параллельного суммирования массивов числовых данных в операционном базисе «поиск - выборка» с обработкой общего переноса, с разбиением общего переноса на основной и дополнительный и операционном базисе "поиск - выборка - запись - чтение" с конвейерным способом обработки многоразрядного переноса. Структура устройств параллельного суммирования чисел в базисе «поиск-выборка» с общим переносом приведена на рис.

6. Она содержит: блок памяти (БП), подразделенный на ассоциативную (АЧ) и информационную части (ИЧ); входной регистр ассоциативного признака (ВхРгАП); блок логических элементов (БЛЭ АЧ и БЛЭ ИЧ); блок логических элементов задержки (БЗ); шину синхронизации (ШС); входы и выходы устройства. АЧ блока памяти разделена на поле переносов и поле операндов, а ИЧ - на поле переносов и поле результата.

Суммирование чисел производится последовательно по разрядам и параллельно по словам. На вход АЧ блока памяти через ВхРг.АП по управляющему сигналу, подаваемому на ШС, поступают i разряды всех суммируемых чисел и разряды переносов, образованные на i-1-ом такте сложения i-1-ых разрядов слагаемых. Разрядные срезы (РС) суммируемых слов и разряды переносов совокупности представляют собой ассоциативный признак (АП) блока памяти. Количество разрядов, отводимых во Вх.Рг.АП, определяется выражением: K=N+[log2 N-1],

где N - количество одновременно суммируемых чисел.

Рассмотрим работу устройства на примере сложения трех чисел с разрядностью n-5 (рис 7). Допустим, необходимо найти сумму слагаемых: 01010, 11011, 01000, представленных в двоичной СС. Соответственно их РС будут иметь следующий вид: 010, 110, 000, 111, 010.

При подаче на ШС первого управляющего импульса на вход АЧ блока памяти (БП) поступает комбинация 01000. Последние два разряда 00 указанной кодовой комбинации указывают на отсутствие переноса на младшего обработанного РС, т.е.

начальные условия равны нулю. По указанному адресу (ассоциативному признаку) из ИЧ БП считывается слово 001, в котором младший разряд -1 является результатом суммирования первого (младшего) РС, а разряды 00 указывают на количество переносов, образованных при обработке первого РС и учитываемых при обработке следующего РС. При подаче на ШС второго управляющего импульса на входе АЧ БП сформируется комбинация 11000, по которой из ИЧ БП считывается слово 010, младший разряд которого 0 является результатом обработки второго РС, а разряды 01 показывают количество переносов, учитываемых при обработке третьего РС. Ведем обозначения: Si- результат обработки i-го РС, Pi- количество переносов, образованных при обработке i-го РС и передающихся в i+1-ый РС.

При переходе третьего управляющего импульса по ШС на входе АЧ БП сформируется комбинация 00001, а на выходе ИЧ БП - 011, в результате чего получим S3=1, Рз=00.

При переходе четвертого управляющего импульса по ШС на входе АЧ БП сформируется комбинация 11100, а на выходе ИЧ БП - 011, в результате чего получим S4=1, P4=01.

При переходе пятого управляющего импульса по ШС на входе АЧ БП сформируется комбинация 01001, а на выходе ИЧ БП 0 010, в результате чего получим S5=0, P5=01.

Таким образом, все РС уже обработаны и на поле операндов АЧ БП подаются

нули.

При переходе шестого управляющего импульса по ШС на входе АЧ БП сформируется комбинация 00001, а на выходе ИЧ БП - 001, в результате чего получим S6=1, P6=00. Сумма всех чисел равна S=101101(2).

Количество тактов, необходимых для получения полного результата, определяется как T = n + ] log2N [.

Затраты памяти в словах можно оценить следующим образом:

- в случае использования в качестве БП постоянного запоминающего устройства (ПЗУ): Уепзу = 22N-1 .

- в случае использования в качестве памяти БП программируемой логической матрицы (ПЛМ): Усплм = 2N N.

Затраты БП суммирующего устройства в битах составляют для ПЗУ и ПЛМ [7,8,9]: Убпзу = 22N-1N, Убплм =2nN(3N-1).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе написания статьи авторы неоднократно вступали в дискуссию с ведущими специалистами в области информатики и вычислительной техники как в Республике Дагестан так и за ее пределами по вопросу перспектив развития нейроподобных вычислительных структур в ближайшие 10 лет с различных точек зрения, например элементной базы , базы знаний и.т.д., но однозначного ответа не было. Это говорит о том, что в этой области имеется довольно широкий спектр нерешенных вопросов , которые не позволяют однократно трактовать тенденции их развития. Авторы преследовали главную цель при написании этой статьи - алгоритмическая и структурная организация нейрона и его техническая реализация на основе

использования таблично-алгоритмических принципов предствления данных в сочетании с разрядно-параллельными способами обработки информации.

Рассмотренный нами подход по нашему мнению позволит на 2 порядка повысить быстродействие искусственного нейрона по сравнению с существующими.

Список литературы:

1.Романов С.П. Модель нейрона // Некоторые проблемы биологической кибернетики. - Л.:Наука, 1972. - с.276-282.

2.Романов С.П., Нейросистемы и современные вычислительные среды.// Нейрокомпьютеры: разработка, применение. №6, 2007 г.

3.И. В. Заенцев "Нейронные сети: основные модели ." Воронеж 1999 г.

4. «Аналитические технологии для прогнозирования и анализа данных» Copyright © 2005 НейроПроект

5. Алексей Стариков "Нейронные сети - математический аппарат"

http://www.basegroup.ru

6.Уоссермен Ф. Нейрокомпьютерная техника. Теория и практика. 1992 г

7.Исмаилов Ш-М. А., Артамонов Е. И., Кокаев О. Г., Хачумов В. М. Специализированные алгоритмы и устройства обработки массивов данных. Махачкала, Дагестанское книжное издательство, 1993.- 304с.

8.Исмаилов Ш.-М.А. Вопросы организации вычислительных процессов в ЭВМ, функционирующих в комплексе систем счисления. МОНИТОРИНГ. Наука и технологии. №2, 2010 г. с. 49-56.

9.Исмаилов Ш.-М.А. Алгоритмы и устройства разрядно-параллельной обработки потоков числовых данных в недвоичных системах счисления. МОНИТОРИНГ. Наука и технологии. №3, 2010 г.с.59-66

Ш.Виноградов Н.М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1981.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОТАИВАНИЯ МЕРЗЛЫХ ГОРНЫХ ПОРОД ВОКРУГ ОДИНОЧНОЙ ДОБЫВАЮЩЕЙ СКВАЖИНЫ АбасовГ.М., к.ф.-м.н., проф.

Институт (филиал) ФГБОУВПО «МГОУимениВ.С. Черномырдина» Аннотация: Представлено точное решение задачи протаивания мерзлой породы вокруг одиночной скважины при фиксированном потоке тепла для бесконечного по протяженности горного массива без учета влияния дневной поверхности. Автомодельность решения позволяет выписать замкнутые формулы для температур через интегро - экспоненциальную функцию, а нахождение фронта протаивания сводится к отысканию корня трансцендентного алгебраического уравнения , решение которого табулировано.

Ключевые слова: модель, горные породы, скважины.

MATHEMATICAL MODEL THAW FROZEN ROCKS AROUND A SINGLE

PRODUCTION WELLS Abstract: The exact solution of problem of thawing frozen rock around a single well at a fixed flow of heat for an infinite length of the rock mass, excluding the effect of the surface. Self-similar solutions allows us to write the closed formulas for temperature through the integral - exponential function, and finding the front of thawing is reduced to finding the