CC BY
30
if. 4, 2003
яіерату-
ляюіцих
ІЛГ ПТ'ПГ' -
іравило, инейно-аые ис-імер ем-,ше Lmm есса са-перату-
опромиз-
массопе-
Ы. Кри-
вратуры
гревания оретиче-1981. -
деления ,1973. -
"И и из-Дис. ...
lins and Muir. -
during Muir. -
юфизи-M.: Аг-
аракте-
ищевая
синер-
-2002.
само-
ИВКОВ
:ов при Кссов, дунар.
porous ; Publ.
Muir
l grain
Muir
lei of 990,-
e for ilks of
ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. ПИЩЕВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ, № 4, 2003
19. Xu Yongfu, Burfoot D. Simulating the bulk storage of foodstuffs // J. Food Eng. - 1999. -39. -№ 1. - P. 23-29.
20. Mhimidi A., Nasrallah S.B., Fohr J.P. Heat and mass transfer during drying of granular products — simulation with convective and conductive boundary // Int. J. Heat and Mass Transfer. - 2000. - 43. -P. 2779-2791.
21. Yaciuk G., Muir W.E., Sinha R.N. A simulation model of temperatures in stored grain // J. Agric. Eng, Res. - 1975. - 20. -P. 245-258.
63
22. Jayas D.S., Alagusundaram K., Shumugaiu G., Muir W.E., White N.D.G. Simulated temperatures of stored grain bulks // Can. Agric. Eng. 1994. - 36(4). - P. 239-245.
23. Win-Jin Chang, Cheng-I Weng. An analytical solution to coupled heat and moisture diffusion transfer in porous materials // Int. J. Heat and Mass Transfer. - 2000. - 43. - P. 3621-3632.
Кафедра общей математики
Кафедра технологии переработки зерна и комбикормов
Поступила 19.02.03 г.
664.762.002.28.517.001.57
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НА ЧАЛЬНОЙ СТАДИИ ПРОЦЕССА ОБРАЗОВАНИЯ ПОРИСТОЙ МАКРОСТРУКТУРЫ [ ПОЛУФАБРИКАТА ЭКСТРУЗИОННЫХ КРУП '
А.Ф. БРЕХОВ, Г.О. МАГОМЕДОВ, В.Н. КОЛОДЕЖНОВ
Воронежская государственная технологическая академия
Одним из перспективных направлений в пищевой технологии является производство полуфабрикатов экструзионных круп. Многие вопросы, касающиеся особенностей технологии, процессов и оборудования для их производства, рассмотрены в [1, 2]. Вместе с тем представляет интерес разработка математических моделей и получение на их основе условий, накладываемых на основные параметры системы и теплофизические характеристики продукта, при выполнении которых осуществляется устойчивая реализация процессов такого рода.
На начальной стадии крупа размельчается до состояния однородной массы. При этом происходит разогрев массы в общем случае за счет как внешнего подвода тепла, так и диссипации механической энергии. В итоге в предматричном пространстве шнековой камеры пресса формируется разогретая до некоторой температуры однородная вязкопластическая среда, которая поступает затем в цилиндрический канал матрицы. Исходные характеристики процесса и габариты канала зависят от состава сырья, а также параметров шнекового пресса.
Течение однородной вязкопластической среды в канале матрицы описывается хорошо известными гидродинамическими соотношениями [3].
Допу стим, что в первом приближении температура фазового перехода (парообразования, т. е. образования паровых пузырьков) жидкости в вязкопластическом материале при некотором давлении равняется температуре фазового перехода для свободной жидкости при том же давлении. Момент образования паровых полостей предлагается интерпретировать как начало процесса образования пористой макроструктуры крахмалсодержащего сырья.
Рассмотрим математическую модель начальной стадии образования пористой макроструктуры.
Точное нахождение распределения температуры массы внутри канала затруднительно в связи с наличи-
ем двух зон течения: вязкой и пластической. Поэтому рассмотрим приближенный подход, основанный на определении средней по сечению канала температуры среды. При этом стенки канала в первом приближении считаем теплоизолированными.
Предположим, что молекулярным теплопереносом в канале можно пренебречь по сравнению с конвективным. Тогда уравнение установившегося конвективного теплопереноса для нахождения распределения температуры может быть представлено следующим образом:
dT
(і)
где с, р - теплоемкость и плотность вязкопластической среды; Т(х) -средняя по сечению канала температура среды, представляющая собой неизвестную функцию продольной координаты х; ддис - удельная (по объему) мощность диссипативного тепловыделения; -средняя скорость движения вязкопластического материала.
Решение будем проводить с учетом граничного условия для температуры
при х = 0; Т- Г0>
(2)
где То - начальная температура вязкопластической среды на входе в канал.
Поскольку диссипативное тепловыделение имеет место лишь в зоне вязкого течения, значение qma может быть определено процедурой усреднения по поперечному сечению канала -
2р.
R;
if <1-1
dr )
R Р=Р0 -Р
р А Р 0 1
(3)
(4)
где Лк, йр - радиусы канала и центральной жесткой зоны пластического течения [3]; и коэффициент динамической вязкости среды; I - длина канала; АР - перепад давления между' входным и выходным сечениями канала, давление в которых принимает, соответственно, значения Р0 и Р^, тр - предельное напряжение сдвига, при превышении уровня которого начинается вязкое сдвиговое течение; г -радиальная координата, отсчитываемая от оси канала.
■ ,s:. ■ /">01.
ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. ПИЩЕВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ, № 4,2003
С учетом хорошо известного распределения скорости [3] в поперечном сечении канала для течения вязкопластического материала из (3) после некоторых преобразований получаем
АР "(К -К ) , .
■+' • -*’*■}■(5) Величина средней скорости течения вязко-пластического материала в канале при заданном перепаде давления АР может быть определена с учетом формулы Букингема [3] из выражения > •., ■. . .
APRI
(6)
T(x) = T0+-^-x. PcVc
(7)
Полученное решение (7) представим в безразмерном виде, для чего введем следующие безразмерные переменные
Г (*) =
х.
Т
и безразмерные комплексы
, _ Ri> _ 2ЛТР . = Л R. APR’
2Lx,
pcRk(;T0-rs0)
(8)
(9)
где - температура кипения воды при атмосферном давлении.
После некоторых преобразований с учетом (8), (9) выражение (7) для распределения средней температуры вдоль оси канала в безразмерной форме записи принимает вид
Г(*) = 1+4Ял*. (10)
Здесь для краткости записи принято обозначение (1--П)[3 + Г13 +г]2 -5г>]
/Сп) = -
г|(3 + 4гі +г|4 )
(И)
Анализируя (10) с учетом (8), (9) можно видеть, что влияние такого параметра системы, как перепад давления АР, на распределение температуры проявляется через посредство безразмерного комплекса г|.
Для проведения оценочных расчетов за основу примем,роотнощение (10), в соответствий с которым средняя по сечению канала температура возрастает линейным образом (в связи с процессом диссипации) в зависимости от продольной координаты х\
’ В соответствии с известными гидродинамическими моделями [3] зависимость давления в канале от продольной координаты описывается следующим образом:
Fix' ) = AP'(l-xl )-Р' (х1)
_P(x)-PL
АР
;ДР'=—. (12) Р,
При этом массовый расход М материала через канал будет, очевидно, определяться с учетом (5) по формуле 'Сі.'-' г,чТ і:/луї ■ ■■■•.і.? . '.>•-.]*>:~
" M=pnRX. :
Распределение температуры вдоль оси канала для такого частного случая после решения дифференциального уравнения (1) с учетом (2) может быть представлено следующим образом:
Одйако описанный режим течения может иметь место лишь до определенных пределов.
Как известно, температура фазового перехода для свободной жидкости (в рассматриваемом случае - воды) зависит от давления. С привлечением известных экспериментальных данных [4] эту зависимость в интервале значений 0 < Р' < 25 после обработки с привлечением ПЭВМ приближенно можно представить в виде регрессионного уравнения
Ts(P’)-TS0=Y.a,(P'y-
P~PL
Pr
Р\ (13)
где коэффициенты а-, принимают следующие значения: ,
0,848; я, = 22,227; ,а2 = - 3,497; аъ = 0,372; ' я4 = -0,022; <75= 6,523 ■ 10'4; а6=-7,603 • 10'6,
где Тя-температура кипения (фазового перехода) дня данного избыточного давления (Р -Р£у, зависимость (13) носит монотонно убывающий характер.
Формула (13) является справедливой для «объемной^ жидкости. Предположим, что в первом приближении эта зависимость имеет место и для влажного вязкопластического материала, протекающего через канал матрицы. Если теперь подставить выражение (12) для распределения давления в (13), получим зависимость температуры Тц (Р'{х)), требуемой для вскипания жидкости, от продольной координаты рассматриваемого сечения канала.
Для того чтобы этот процесс парообразования имел место, по крайней мере, внутри канала, необходимо потребовать одновременного выполнения с учетом (7), (12), (13) следующих условий:
TS(P' (0))>Г0; Ts(0)<T(L).
(14)
(15)
Эго будет означать, что в некоторой промежуточной критической точке х = хкр канала монотонно возрастающая зависимость (7) и монотонно убывающая зависимость (13) с учетом (12) обеспечат равные значения температуры (графики кривых Тт(х!) и Т$(х’) будут иметь точку пересечения). В этом поперечном сечении канала при некотором значении Р’(х'кр) температура вязкопластической среды будет иметь значение, соответствующее вскипанию жидкости (образованию паровых пузырьков).
1
-.(12)
(13)
(14)
(15)
Выполнение неравенства (14) означает, что температура в предматричной зоне должна быть ниже температуры фазового перехода при создаваемом здесь шнеком давлении Р'ф). Следовательно, такое условие дает гарантию, что процесс парообразования, а значит и “разбухания” массы, не начнется в предматричной зоне. Иначе говоря, соотношение (14) накладывает ограничение на выбор параметров шнековой камеры и вязкопластической массы, обеспечивающих по своей совокупности требуемое значение температуры Г0 на входе в канал матрицы.
Выполнение неравенства (15) предполагает, что на выходе из рабочего канала матрицы температура массы будет превышать температуру парообразования при давлении Рь. Следовательно, такое условие даст гарантию того, что начало процесса парообразования (“разбухания” массы) будет непосредственно предшествовать выходу массы из канала матрицы. В частном случае, когда давление на выходе из канала матрицы равняется атмосферному, имеем 7^(0) = Т5>0 и условие (15) принимает вид
г
‘5,0
Тогда уравнение для нахождения значения х'кр принимает вид
Х«, [АР'(1-^кр )]' =<То Дл)}.(16)
1=0
Решение этого уравнения следует проводить численно с привлечением ПЭВМ.
Найденное из решения (16) значение х = хкр определяет собой границу', за пределами которой начинается процесс фазового перехода в соответствующих центрах парообразования.
В завершение укажем на приближенное определение некоторых тепло физических характеристик вязк-пластической массы в зависимости от ее влажности И/0.
В первом грубом приближении будем полагать, что вязкопластическая масса состоит из двух компонент: твердого (сухого) вещества и жидкости (воды), которые будем отмечать соответствующими нижними индексами «т» и «ж». Сразу же оговоримся, что реальная масса по своему составу и структуре сложнее. Тогда в первом приближении для плотности и теплоемкости вязкопластической массы могут быть использованы следующие соотношения:
Р =
РжРт
Рт^О +Рж(]-^о)
;с = Ж0сж+(1-И/а)с7.
Полученные неравенства (14), (15), накладывающие ограничения на основные параметры рассматриваемой системы, позволяют определять область их рациональных значений, обеспечивающих, по крайней мере, необходимые условия начала процесса зарождения центров парообразования как первопричины дальнейшего формирования пористой макроструктуры. При этом уравнение (16) позволяет определять месторасположение того поперечного сечения канала матрицы, в котором начинается процесс фазового перехода.
Однако следует иметь в виду, что они носят, естественно, оценочный характер. Во-первых, это обусловлено тем, что температура парообразования воды в вязкопластической массе может отличаться от значений, рассчитываемых по формуле (13), полученной на основе обработки известных экспериментальных данных из [4] для воды в свободном объеме. Во-вторых, необходимо учесть следующее обстоятельство. За основу расчета принята средняя по сечению температура массы. Поскольку же интенсивное тепловыделение за счет диссипации сосредоточено у стенок канала матрицы (здесь имеет место максимальный градиент скорости), в его центральной части температура массы может быть ниже требуемой для начала процесса парообразования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Термопластическая экструзия: научные основы, технология, оборудование. / Под ред. А.Н.Богатырева, В.П.Юрьева. - М.: Ступени, 1994. -196 с.
2. Карпов В.Г., Витюк Л.А., Юрьев В.П. Некоторые представления о механизме образования экструзионных продуктов пористой макроструктуры, полученных термической обработкой пеллет // Хранение и переработка сельхозсырья. - 1998. - № 9. -С. 1-23.
3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1973. - 848 с.
4. Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент: Справочник / Е.В. Аметистов, В. А. Григорьев, Б.Т. Емцев и др.; Под общ. ред. В. А. Григорьева и В.М. Зорина. - М.: Энергоиздат, 1982. - 512 с.
Кафедра процессов и аппаратов пищевых п химических производств
Кафедра технологии хлебопекарного, макаронного и кондитерского производств Кафедра теоретической механики
Поступила 27.12.02 г.
