Математическая модель манипулятора экскаватора с обратной лопатой Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.8:681.5

математическая мoдEль манипулятора экскаватора

с обратной лопатой

А.Г. Гурко, доцент, к.т.н., ХНАДУ

Аннотация. Рабomа посвящена вопросу автоматизации гидравлического экскаватора. Рассматривая систему стрела-рукоять-ковш как звенья манипулятора промышленного робота, при помощи процедуры Денавита-Хартенберга, записаны уравнения кинематики экскаватора. На основании метода Ньютона-Эйлера получены уравнения динамики звеньев манипулятора экскаватора в форме, удобной для работы в реальном времени при решении задач управления.

Ключевые слова: гидравлический экскаватор, система управления, уравнения кинематики, динамическая модель.

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ МАНІПУЛЯТОРА ЕКСКАВАТОРА ЗІ ЗВОРОТНОЮ ЛОПАТОЮ

О.Г. Гурко, доцент, к.т.н., ХНАДУ

Анотація. Робота присвячена питанню автоматизації гідравлічного екскаватора. Розглядаючи систему стріла-рукоять-ківш як ланки маніпулятора промислового робота, за допомогою процедури Денавіта-Хартенберга, записано рівняння кінематики екскаватора. На підставі методу Ньютона-Ейлера отримано рівняння динаміки ланок маніпулятора екскаватора у зручній для роботи в реальному часі при вирішенні завдань керування формі.

Ключові слова: гідравлічний екскаватор, система керування, рівняння кінематики, динамічна модель.

MATHEMATICAL MODEL OF BACKHOE SHOVEL MANIPULATOR

A. Gurko, Associate Professor, Candidate of Technical Science, KhNAHU

Abstract. This paper deals with the problem of hydraulic excavator automation. Considering the arm-handle-bucket system as links of a robotic industrial manipulator and using the Denavit-Hartenberg procedure, the kinematics equations of the excavator are obtained. Based on the Newton-Euler equations, a dynamic model for excavator manipulator links in the form suitable for real-time control tasks solution is obtained.

Key words: hydraulic excavator, control system, kinematics equation, dynamic model.

Введение

Около половины всех земляных работ производится с помощью экскаватора, поэтому повышение эффективности, производительности использования экскаваторов является одной из актуальных задач развития машин для земляных работ (МЗР). До недавнего времени решение этих задач осуществлялось в основном традиционными средствами - за

счет усовершенствования конструкций узлов и механизмов МЗР. Это обусловлено тем, что экскаватор, да и все МЗР, являются сложными динамическими системами, которые к тому же должны работать в неоднородной, изменяющейся среде, часто в неблагоприятных погодных условиях. Тем не менее для дальнейшего усовершенствования экскаваторов необходимо развитие систем автоматического управления.

Кроме промышленного применения, где автоматизация МЗР мотивируется, главным образом, экономическими соображениями, развитие систем управления такими машинами стимулируется и другими сферами деятельности, например, космическими исследованиями, ликвидацией чрезвычайных ситуаций, переработкой химических и ядерных отходов [1-3]. Все это, а также значительные достижения в теории управления и технических средств автоматизации, привело к интенсификации работ по созданию систем автоматического управления МЗР и, в частности, экскаваторами.

Анализ публикаций

Многие работы по управлению экскаваторами с гидроприводом сфокусированы на дистанционном управлении работой машины, когда оператор удаляется из машины, например, по соображениям безопасности [3-5]. Более высокий уровень автономности достигается при совместном использовании оператора и системы управления. В этом случае оператор выбирает положение ковша, а система управления берет на себя непосредственно процесс копания грунта и его доставки на транспортные средства для дальнейшей перевозки [6-14].

На следующем уровне автономности расположены системы, автоматически определяющие место копания. Такие системы измеряют топологию местности, используя локационные датчики, и вычисляют траекторию копания [15, 16]. На самом высоком уровне автономности находятся системы, которые выполняют всю последовательность процедуры копания в течение длительного периода [17-20].

Один из подходов при проектировании систем управления непосредственно процессом копания связан с рассмотрением системы стрела-рукоять-ковш как манипулятора промышленного робота. Такой подход оправдан, т.к. очевидны параллели между «классическими» роботами и роботизированными экскаваторами. Однако при этом необходимо учитывать и ряд принципиальных отличий. В частности экскаватор не зафиксирован жестко относительно рабочей поверхности, он перемещается по поверхности, при этом активно изменяя её [15]. Более того, непостоянство свойств грунта делает работу экскава-

тора намного более сложной, чем задачи обычного робота [17]. Поэтому проблема создания систем управления рабочим процессом экскаватора является актуальной.

Цель и постановка задачи

Целью данной работы и ряда последующих работ является разработка системы управления экскаватором с гидравлическим приводом и рабочим оборудованием «обратная лопата». Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи:

- анализ рабочего процесса экскаватора как объекта автоматизации;

- получение моделей, позволяющих решить прямую и обратную задачи кинематики манипулятора экскаватора;

- получение модели динамики манипулятора экскаватора в форме, удобной для работы с ней в реальном времени при решении задач управления.

Рабочий процесс экскаватора

Для автоматизации работы экскаватора необходимо проанализировать рабочий процесс копания, методы и приёмы копания различных грунтов.

Рабочий процесс одноковшового экскаватора является циклическим и состоит из разработки и перемещения грунта и передвижения экскаватора к забою, после того как с места стоянки экскаватора станет неудобно или невозможно продолжать дальнейшую разработку грунта [21]. Во время передвижения экскаватора работа не производится, поэтому время, затрачиваемое на передвижение, следует максимально сокращать. Нас интересует процесс разработки и перемещения грунта, состоящий из следующих операций:

- позиционирование стрелы рукояти и ковша под углами, обеспечивающими копание выбранным методом;

- собственно копание грунта (загрузка ковша);

- выведение ковша с грунтом из забоя;

- перемещение заполненного грунтом ковша к месту разгрузки;

- разгрузка грунта из ковша в отвал или в транспортное средство;

- перемещение ковша к забою.

Каждая из указанных операций характеризуется разными показателями - усилиями, скоростями, изменением их величины и направ-

Рис. 1. Звенья манипулятора экскаватора и соответствующие системы координат

ления, точностью и т.д. Изменение всех этих показателей в основном зависит от рабочей среды и неоднородности условий работы, конструкции машины и в целом определяет нагрузку рабочих механизмов, конструкций и двигателя или режим работы машины.

Важно отметить, что физические свойства разрабатываемого грунта имеют прямое влияние на метод копания. Они существенно определяют силы, действующие на ковш, а значит, и на полезную мощность машины.

элементы манипулятора робота. Рассмотрим сначала кинематику экскаватора для аналитического описания изменения с течением времени пространственного положения элементов его манипулятора. Для этого воспользуемся векторно-матричным методом преобразования координат манипулятора, предложенным Ж. Денавитом и Р.С. Хартен-бергом [22]. Этот метод позволяет последовательно преобразовать координаты ковша из связанной с ним системы координат в базовую систему координат.

Для управления указанными операциями требуются соответствующие контуры системы управления, которые учитывают особенности каждой операции. Таким образом, система управления экскаватора имеет

сложную многоуровневую структуру [17]. Она включает в себя подсистемы планирования траектории движения рукояти и ковша; позиционирования рабочего оборудования; контроля за выполнением запланированного движения оборудования и возврата на заданную траекторию при отклонении от неё; обеспечения требуемой точности и производительности процесса копания; изменения запланированной траектории или прекращения процесса копания в случае необходимости. При этом выполнение рабочего цикла должно осуществляться за минимальное время, с наименьшей загруженностью и энергетическими затратами.

Прямая задача кинематики манипулятора экскаватора

Получим математическую модель экскаватора, рассматривая стрелу, рукоять и ковш как

Свяжем с базовой частью экскаватора базовую систему декартовых координат (х0, у0, ,г0), направив ось z0 вдоль оси поворота базовой части экскаватора (рис. 1). Каждую последующую 7-ю систему координат i = 1,4 для стрелы, рукояти, ковша и его зубьев соответственно сформируем на основе следующих трех правил [22]:

1) ось z7.1 направлена вдоль оси 7-го сочленения;

2) ось х7 перпендикулярна оси z7.1 и направлена от неё;

3) ось у7 дополняет оси х7 и Zi до правой декартовой системы координат.

Однородная матрица преобразования (7-1)-й в 7-ю систему координат имеет вид

СЄі _ cai Sei Sai Sei ai cei

sei Cai СЄі _ Sai СЄі ai Sei

0 Sai c i di

0 0 0 1

где c = cos, s = sin, Qi - такой угол поворота вокруг оси zi-1, чтобы ось xi-1 стала сонаправ-

ленной с осью хг-; di - величина сдвига вдоль оси хі до совмещения осей хі-1 и хг-; аі - расстояние между соседними началами координат; аі - такой угол поворота вокруг оси хг-, в результате которого достигается совпадение систем координат.

Значения параметров систем координат звеньев манипулятора приведены в табл. 1.

Таблица 1 Параметры систем координат звеньев экскаватора

Звено і 0, аі аі di

1 (база) 01 -л/2 І1 0

2 (стрела) 02 0 І2 0

3 (рукоять) 03 0 І3 0

4 (ковш) 04 0 І4 0

Следует отметить, что в процессе копания угол поворота 01 базовой части экскаватора относительно вертикальной оси z0, как правило, остаётся постоянным, в то время как углы 02, 03 и 04 изменяются.

При помощи матрицы А*1 можно связать однородные координаты произвольной точки Рі с однородными координатами этой точки относительно (і - 1)-й системы отсчета, связанной с (і - 1)-м звеном манипулятора экскаватора

Рі-1 = А-1р,

(2)

где Рі_1 = (Хі_1, Уі-1, Zi-1, 1)т И Рі = (Хі, Уі, Zi, 1)т, верхний индекс Т - символ транспонирования.

Например, связь точек 04 и О0, представляющих собой начала координат, связанных с зубьями ковша и базовой частью экскаватора, описывается следующим образом

Р01 = А Ра4

(3)

где А40 = АО а! Аз2 А43, а Р0л = [0 0 0 1]г .

Рассмотренный выше подход применительно к экскаватору был использован в [23].

Получим координаты Р0 , 7 = 1,4 в явном виде. Для нашего случая матрица АО0 равна

А0 =

С01 0 •% 11С01

% 0 -С01 І1501

0 1 0 0

0 0 0 1

(4)

а однородные матрицы А^ 1 при Р0{, 7 = 2,4 можно получить следующим образом

Аі 1 =

с0і - 50і 0 1іС0і

•0і с0і 0 Іг^

0 0 1 0

0 0 0 1

і = 2,4. (5)

Тогда

РоО = А1 Ра1 = [АС01 1^0

0 1]т;

(6)

ра = А10А2Ра2 = [І1 + І2С02 0 І2S02 1]т ; (7)

а2^ О2

ра0 = а0 А1 А2Р =

ГОз ~ Л\/^2Л-ЪГОз ~

11 + І2С02 + І3С023 0

12 •02 +І35023

(8)

р00 = а0 А1 А2 А3 Р = о4 ~ л\л2лзл4го4 ~

11 + 12Се2 + 13С023 + 14С0234

0 (9)

12 5е2 + 135е23 + 14 5е234

1

где е23 = е2 + ез, а е234 = е2 + ез + е4 .

Обратная задача кинематики

Полученная модель (9) экскаватора является решением так называемой прямой задачи кинематики манипулятора. При управлении процессом копания необходимо также уметь решать и обратную задачу кинематики, которая заключается в обеспечении заданного положения ковша экскаватора относительно базовой системы координат на основе информации о геометрических параметрах звеньев манипулятора. Иными словами, задача заключается в определении таких углов 0 = [еО е2 е3 е4]г, которые бы обеспечили заданную ориентацию ковша.

1

Известны различные методы решения обратной задачи кинематики [22]. В [24] дано решение обратной задачи кинематики манипулятора экскаватора на основе геометрического подхода. Для этого рассматривается проекция звеньев манипулятора экскаватора на вертикальную плоскость (рис. 2). Выполняя несложные тригонометрические преобразования, имеем

Ч(Гь - і1)2 + z2b ;

гь - l1

h = ^Jhl + і4 - 2^l4 cos(^1 - у)

^2 = arcsin

zь -14 sin у

(10)

(11)

(12)

(13)

Рис. 2. Кинематическая схема манипулятора экскаватора

Теперь найдем углы ©

01 =6*,

02 = ^2 + arccos

(l22 + h2 -132 ^

2l2 h

V 2 У

(14)

; (15)

03 = arccos

(l22 +132 - h2 ^ V 2l2l3 j

04 =У-02

-я; (16) (17)

где индекс Ь характеризует отношение соответствующей координаты к базовой части экскаватора.

По известным углам 0 = [01 02 03 04]г можно найти длины Li выдвижения соответствующих исполнительных гидроцилиндров. Выражения, связывающие углы поворотов звеньев манипулятора с величинами Li для экскаватора с кинематической схемой, изображенной на рис. 1, получены в [20].

Уравнения динамики манипулятора

Для синтеза системы управления процессом копания необходимо также иметь уравнения динамики манипулятора экскаватора. Динамическая модель манипулятора может быть построена при помощи традиционных методов Лагранжа-Эйлера или Ньютона-Эйлера. Метод Лагранжа-Эйлера позволяет получить уравнения в удобной для анализа форме. Однако решение в реальном времени полученных уравнений может быть затруднительно с вычислительной точки зрения. Поэтому предпочтительнее использовать подходы, основанные на применении метода Ньютона-Эйлера. В работах [7, 25, 26] получены прямые и обратные уравнения, описывающие динамику манипулятора экскаватора на основе различных подходов к реализации метода Ньютона-Эйлера. Недостаток указанных уравнений движения состоит в том, что матрицы инерции звеньев, а также некоторые их геометрические параметры выражены относительно базовой системы координат, поэтому меняются в процессе движения манипулятора. Поэтому при составлении уравнений динамики манипулятора экскаватора будем использовать подход, описанный в [27] и являющийся усовершенствованием метода Ньютона-Эйлера. Предложенный в [27] переход в уравнениях движения к параметрам, выраженным относительно систем координат соответствующих звеньев, позволяет существенно упростить вычисления.

Для удобства будем рассматривать режим копания, когда угол поворота первого звена 01 = const и 01 = 01 = 0, т.е. движение механизмов экскаватора осуществляется в вертикальной плоскости. Будем также считать, что звенья манипулятора экскаватора являются жесткими свободными телами.

Рассмотрим еще раз матрицу A'~l (1). Выделим в ней подматрицу R*1 поворота размерности 3x3, преобразующую произвольный

z

ь

h

трехмерный вектор из системы координат (Xi, yi, zi) в систему координат (хм, ум, zM)

RT1 =

0 1 - Cai S0i S ai S 0i

S0i C i C i - Sai C0i

O S i Cai

(18)

Рассмотрим также обратную матрицу, такую что

Rl-1 = (R.-1)-1 = (R.-1)T ,

" C0i S0i O

і - Cai S0i Cai C0i Sai

1 S i S i 1 S i C i Cai

(19)

(2O)

Рассмотрим 7-е звено. Пренебрегая силами трения в сочленениях, применив принцип д’Адамбера, получим

d (т^г)

F = = тгаг

(21)

N = hоо +o x(I.Ші), (22)

где Fi - суммарная внешняя сила, приложенная к центру масс i-го звена; Ni - суммарный момент внешних сил, приложенных к i-му звену; mi - масса i-го звена; vi - линейная скорость центра масс i-го звена; ai - линейное ускорение центра масс i-го звена; Ii -матрица инерции i-го звена относительно его центра масс в системе координат (х., y., zi); оо. - угловая скорость вращения i-й системы координат; со . - угловое ускорение i-й системы координат.

Будем вычислять Rо., R0соi, R0i>., R’0ai,

KFr , R0Ni , R0f, R0n. и R0X, заданные в системе координат i-го звена (х., y., zi). Здесь fi - сила, с которой (i - 1)-е звено действует на i-e звено в системе координат (xi-1, yi-1, zi-1); ni - момент, вызванный действием (i - 1)-го звена на i-e звено в системе координат (xi-1, yi-1, zi-1); х. - момент, создаваемый гидроцилиндрами i-го звена. Поскольку в процессе копания угол поворота 01 базовой части экскаватора постоянный, то для первого звена

ю1 = O, со 1 = O,

(23)

V = O, v>1 = [O g Of, где g = 9,81 м/с2.

(24)

Запишем прямые уравнения динамики для остальных звеньев манипулятора (рис. 3). Уравнения динамики стрелы описываются выражениями (25) - (28).

R2®2 = [O O (3 2]T,

Rj^cb 2 = [O O 02]T,

RO V2 =

-l202 + gS012 l202 + gC012 O

(25)

(26)

(27)

RO a2 =

Г2 Sa202 (l2 + r2Ca2)02 + gS012

(l2 + r2Ca2) 02 + Г2 Sa202 + gC012

O

, (28)

где Ca2 = CoS ^2 , sa2 = Sin ^ CT2 = 01 + 02 - Ф2 .

Рис. 3. К определению уравнений динамики манипулятора экскаватора

Для руки экскаватора

R0o3 = [О О 023]т

R(3 о 3 = [О О 023]т

ROV3 =

l2 (s0302 С0302) l3023 + gS0123

l2 (c030 2 + S0302 ) + l3 023 + gC0123

O

(29)

(30)

, (31)

R0a3 =

l2 (S0302 С0302) Г3Sa3023

l2 (c0302 + S030 2 ) + (l3 + Г3Са3 ) 0 2

О

(l3 + r3ca3 )023 gs0123

r3Sa3 023 — gC0123

О

где c3 = 01 + 02 + Ф3 , 0123 = 01 + 02 + 03. Для ковша

r3<B3 =[О О 0234 ] ,

RQ4ffl4 =[3 3 0234 Г,

(32)

(33)

(34)

R4 V4 =

+

l2(S0340 2 С0340г)

l2 (C034 0 2 + S0340 2 )

l3(s04 0 23 C04 0 23 )

l3 (c04023 + S04023 )

О

+

+

+

2

4'“'234

gS01234 l40

gC01234 + l40 234

О

(35)

R4 a4 =

l2(s034 02 C03402) + l3(s04 023 C04023) l2 (c034 0 2 + S03402 ) + l3 (c04 0 23 + S04023 )

+

+

Г4 Sa40234 (l4 + Г4Са4 )0234 + gS01234

(l4 + r4Ca4 ) 0234 + Г4 Sa40234 + gC01234

О

, (36)

где с4 =01 +02 +03 +04 -ф4 .

При помощи полученных соотношений (25)-(36) получим обратные уравнения динамики, позволяющие по известным обобщенным координатам, скоростям и ускорениям определить силы и моменты, действующие в сочленениях манипулятора экскаватора. При этом для простоты будем считать, что ковш экскаватора не нагружен, т.е. решается задача перемещения порожнего

ковша к забою. В этом случае f = = n5 = [О О 0]г Для расчета сил, действующих на i-e звено, воспользуемся следующим равенством

Rif = R+1 (R0+1fi+1) + R.F., (37)

где

Тогда

R0oFi = miR0ai .

R4f4 = m4 R4a4

(38)

(39)

(m3 + m4) (l2 (s0302 C0302) l30 23 + gS0123 )

(m3 + m4) (l2 (c0302 + S0302) + l3 0 23 + gC0123 )

О

m3r3 (sa3 023 + ca3 023 ) 3Г3 (Sa3023 — Ca30 23 )

+

m

m,

m,

+

(4О)

(0234(r4 Sy 4 l4S04 ) 0234(r4Cy 4 + l4C04) )

(0234(r4Cy4 + l4C04) +0234(Г4Sy4 — l4S04))

Rif2 =

(m2 + m3 + m4) (gS012 — ^ )

(m2 + m3 + m4) (gc012 + l202 )

(m3 + m4)l3 (s030 23 + c03023 ) (m3 + m4)l3 (s03 0 23 — c03023 )

+

+

m

r2 (Sa202 Ca202 )

m

2Г2 (Ca202 + Sa202 ) 0

О

0

0

О

0

0

m3r3 (Sy3023 + Cy3023 ) т3Г3 (Sy30 23 - Cy3023 )

+ (41)

+

Rlf =

m4l4 ( S034 0 234 + С0340234 ) m4l4 (S0340234 - С0340234 )

m4r4 (SY20234 Cy20234 )

m4r4 (Cy20234 - SY20234 )

gs01 (m1 + m2 + m3 + m4) gc01 (m1 + m2 + m3 + m4)

0

(m2 + m3 + m4)l2 (02c02 +02s02 )

(m2 + m3 + m4)l2 (02S02 - 02С02 )

(m3 + m4)l3 (s023 023 + С023023 )

(m3 + m4)l3 (s023 0 23 - С023 0 23 )

+

+

m

m

m

2r2 (Sa102 Са102 ) r2 (Са102 + Sa102 )

r3 (Sa5023 + Са5 023 ) r3 (Sa5 023 - ca5 0 23 )

4l4 (S0234 0234 + С02340 234 ) 4l4 (S02340 234 - С0234 0 234 )

m4r4 (Sy10234 Cy10234 )

m4r4 (Cy1 0234 + Sy10234 ) 0

+

В уравнениях (40)-(42): y1 = 01 - ф4, y2 = 01 +

+02 - ф4, y3 = 01 +02 + 03 + ф3, y4 = 01 +02 + 03 -- ф4, с1 = 01 - ф2, с5 = 01 + 202 + 03 + Ф3.

Теперь с помощью равенств (43) и (44) вычислим моменты Rn, действующие на звенья.

R0n = Ri+1 [ R0+4+1 + (R0+1 Pi) х (R+f+1) ] +

+(R0Pi + ROSi) х (R^F) + RON., (43)

где

RON. = (R0IiRo)(R0 б..) +

+(RO о і ) x[(R0Ii^°)(R0®i)] , (44)

Р0+1 р7 - вектор относительного положения начал систем координат Ху^г) и ^у^ч), выраженный относительно системы координат (х7, у7, z7), - центр масс 7-го звена в

системе координат (х7, у7, z7), R0I7■R7O - матрица 7-го звена относительно его центра масс, выраженная в системе координат (х7, у7, z7).

С учетом того, что n5 = 0, имеем R4n4 = [0 0 D4 ]T ,

где

D4 = (14z + m4 (l4 + 2l4 r4 ca4 + r42) +

+m4l3(l4c0124 + r4ca6))0234 +

(45)

+m4l3 ((l4C04 + r4CY4 )0 23 + (l4S04 Г4Sf4 )023 ) +

+m4l2 ((

l4C034 + Г4Cf 2 ) 02 + (l4S034 Г4Sf 2 )02 ) +

+gm4(l4C

01234 + r4Ca 4 ),

a6 =03 Ф4 .

R3n = [0 0 D3]T,

(46)

где

D3 = (14z + m4 (l4 + 2l4 r4Са4 + Г42) + +m4l3(l4c0124 + r4ca6))0234 + +(I3z + m3 (l3 + ИзГзСаз + Г32 ) +

0

0

0

0

0

O

O

O

+т41з(14 С04 + Г4 Су4 + 1зС

012 ))023 +

+ (m4lз(l4s04 — Г45у4) — т413-%2 ) 023 +

+( т312 (13с03 + г3су3) + т41213са 7 ) 02 +

+(«3/2(4 S03 + Г3 Sy 2) +

+т412(14 s034 — г4 5у 2 — 13 Sа7))02 +

+(т3(13С

0123 + Г3Су 6) +

+т4 (14С01234 + Г4Са4 + 13С03))ё,

У6 = 201 + 202 +03 + Ф3 , ^7 =01 + 02 — 03 .

Я2п2 = [0 0 D2]T , (47)

где

А = (/4 г + т4 (/4 + 2/4 Г4Са4 + Г42 ) +

+т413(14С0124 + Г4Саб) + т412(14С0134 + Г4Су5 )) 0234 + +(т313(14 %24 — Г4 О + т412(Г45 у5 14 %34))0 234 +

+(/3г + т3(13 + 213Г3Са3 + г3 ) + т312Г3Су7 +

+т44(14С04 + г4Су 4 + 13С

012 ))023 +

+ (т413(14504 — ГА5у4 — 45012 ) (т3 + т4)1213%3 —

—т3Г3125у7 )0 23 + (/2г + т2 (/2 + 2/2Г2Са2 + Г2 ) +

+т3/2(/3с03 + г3су 3) + (т3 + т4)/^с01 + т4/2/3са7) 0 2 +

+ (т312 (13503 + г35у2 ) + т412 (145034 — Г45у2 — 45а7 ) —

—(т3 + т4 )1^ 501 )02 + (т4(14С01234 + Г4Са4 + /3С03) +

+т3 (13С0123 + Г3Су6) + т2 (12С012 + Г2Са2))ё,

У5 = 02 — ф4 , У7 = 201 + 02 + 03 + ф3 .

Д1«1 = [0 0 Д]Т , (48)

где

А = (14г + т4 (/4 + 214Г4Са4 + ^ ) +

+т413 (14С0124 + Г4Саб ) + т412 (14С0134 + Г4Су5 ) + +т411(14С01234 + Г4Са4))0234 +

+(/3 (Г45аб — 1450124) + 12 (Г45у5 — 145134) —

—1,(14 501234 + Г4 5а 4))т4 0234 —

—(/32 + т3 (13 + 213Г3Са3 + Г32) +

—^4(45012 —14504 + Г4 5у 4 ) + «3^^ + 1^) +

+1113(т3 + т4)(5123 + 513 ))023 +

+(+ т412 (13Са7 + 12С01 ) + т312 (12С01 + 13С03 ) +

+т2 (122 + 2/2Г2Са2 + Г2) + т2Г211Са2 +

+ (т2 + т3 + т4)1112С012) 0 2 +

+ (т412(145034 —Г45у2 —135а7) + т312(13503 + Г35у2)—

—(т3 + от4)/2501 — (т2 + т3 + от4)/1/2512 —

—т2Г2115а 2)02 + (т4(/4С 01234 + Г4Са 4 + 13С03 + /2С01) + +т3 (/3 (с01 23 + С01) + Г3Суб) + т2 (/2С012 + Г2Са2) —

—(т2 + т3 + т4)/1 + т1с01 (/1 + г1)) я.

Наконец, в соответствии с выражением (49)

Ъ = (КП, )Т (Л,7—1г0 ) + ЬгЧг , (49)

где Ь7 - коэффициент вязкого трения в 7-м сочленении, определим моменты, которые должны быть реализованы силовыми гидроцилиндрами звеньев манипулятора экскаватора.

Ъ4 = (/4 г + т4(/4 + 2/4Г4Са4))0234 +

+т414(с01234ё + 13 (с04 0 23 + 504023)) +

+т4Г4 (са4ё + 13 (Су4 0 23 — 5у40223 )) +

+т412 (/4 (503402 + С03402 ) +

+Г4 (су202 — 5у202 )) + Ь404 .

Ъ3 = (/4г + т4(/4 + 2/4Г4Са4 + Г4 ))0234 +

+т41413 (с04 0 23 + 504 023 + С01240 234 — 501240 234) + +т4Г413(су 4023 — 5у40 23 + Саб 0234 + 5аб 0234) + +т413 (/2 (са70 2 — 5а702 ) + ёС3 ) +

+(/3г + «3 (/32 + 2/3 Г,Са3 + Г32))0 23 +

+т313(/2(с0302 + 50302) + ёС0123 ) +

+т3Г3 (/2 (су302 + 5у202 ) + ёСуб ) + Ь303.

Ъ2 = (/4г + т4(/4 + 2/4Г4Са4 + Г4 ))0234 +

+(/3г + «3(4 + 2/3Г3Са3 + Г3 ))023 +

+(/2г + т2(/2 + 2/2Г2Са2 + Г2 )) 02 +

+т413 (с012023 — 5012023) +

+т412 (с01 02 — 50102) +

+«4((/4 504 — Г4 5у 4 )023 + ё (/4С 01234 + Г4 Са 4 )) + +т41412(с01340234 — 501340 234 + 5034 0 2) +

+т41413 (с01240 234 + С04023 ) + т4ёС03 (/2 + 13 ) + +т4Г413 (саб0234 + Су4 0 23 ) +

+т4Г412(су50234 + 5у50234 — 5у202) +

+m4l3l2(ca702 Sa702 + С013 0 23 S013 0 23) + +m3^ (/3 (С302 + ^02 + S13023 ) +

+m3l2 (s0102 + c0102) +

+m3l3(/4 S124 — r4 Sa6)0234 +

+m3r3/2(cy7 0 23 — Sy7023 + Cy30 2 + Sy202) + m3 g (/2C3 + l3C123 + r3Cy6) +

+m2g(/2C012 + Г2Са2 ) + 6202.

Полученные уравнения динамики манипулятора экскаватора эффективны с вычислительной точки зрения, т.к. позволяют вычислить параметры движения каждого звена в системе координат, связанной с этим звеном, и поэтому неизменные при движении манипулятора.

Выводы

Дальнейшее совершенствование экскаваторов связано с их роботизацией. Представленные уравнения кинематики, описывающие пространственное положение звеньев манипулятора экскаватора, необходимы как для исследования поведения манипулятора, так и для определения траектории его движения, обеспечивающей требуемое позиционирование ковша. Полученные уравнения динамики манипулятора необходимы для синтеза системы управления и имеют форму, удобную для реализации вычислений в реальном времени.

Литература

1. Lever P.A. Intelligent excavation control sys-

tem for lunar mining system / P.A. Lever, F.Y. Wang // Journal of Aerospace Engineering. - 1995. - Vol. 8(1). -P. 16-24.

2. Гурко А.Г. Управление мобильным робо-

том для земляных работ /А.Г. Гурко // Технология приборостроения. - 2010. -Вып. 1. - С. 21 - 25.

3. Wohlford W.P. New capability for remotely

controlled excavation / W.P. Wohlford, B.D. Bode, F.D. Griswold // Proc. Winter Meeting of the American Nuclear Society, American Nuclear Society. - November, 1990. - P. 628-629.

4. Burks B.L. Remote excavation using the tel-

erobotic small emplacement excavator /

B.L. Burks, S.M. Killough, D.H. Thompson // Proc. Winter Meeting. International

Conference on Fifty Years of Controlled Nuclear Chain Reaction: Past, Present and Future, American Nuclear Society. - November, 1992. - P. 559-60.

5. Le Q.H. Study on the architecture of the re-

mote control system for hydraulic excavator / Le Quang Hoan, Yang Soon-Yong // Proc. on 11th International Conference on Control, Automation and Systems, Gyeonggi-do, Korea (South), 26-29 Oct., 2011. - P. 941-945.

6. Chang P.H. A straight-line motion tracking

control of hydraulic excavator system / P.H. Chang, Soo-Jin Lee // Mechatronics. -2002. - Vol. 12, № 1. - P. 119-138.

7. Koivo A.J. Modeling and Control of Excava-

tor Dynamics During Digging Operation /

A.J. Koivo, M. Thoma, E. Kocaoglan, J. Andrade-Cetto // Journal of Aerospace Engineering. - 1996. - Vol. 9, № 1. -P. 10-18.

8. Koivo A.J. Controller for Excavator During

Digging Operations / A.J. Koivo, J. An-drade-Cetto, // Proc. second Latinamerican Seminar Adv. Control, 1995. - P. 126-129.

9. Stentz A.A. Robotic Excavator for Autono-

mous Truck Loading / A. Stentz, J. Bares, S. Singh, P. Rowe // Autonomous Robots. -1999. - Vol. 7, № 2. - P. 157-186.

10. Bradley D.A. Artificial intelligence in the

control and operation of construction plant-the autonomous robot excavator / D.A. Bradley, D.W. Seward, J.E. Mann, M.R. Goodwin // Automation in Construction. - 1993. - Vol. 2(3). - P. 217 - 228.

11. Bullock D.M. A Laboratory Study of Force-

Cognitive Excavation / D.M. Bullock, I.J. Oppenheim // Proc. Sixth International Symposium on Automation and Robotics in Construction. - June, 1989. - P. 64-72.

12. Salcudean S.E. Impedance control of a tele-

operated mini excavator / S.E. Salcudean, S. Tafazoli, P.D. Lawrence, I. Chau // Proc. of the eighth IEEE International Conference on Advanced Robotics, Monterey, CA, USA. - July, 1997. - P. 19-25.

13. Sameshima M. Development of Auto Digging Controller for Construction Machine by Fuzzy Logic Control / M. Sameshima, S. Tozawa // Proc. of Conference Japanese Society of Mechanical Engineers, 1992. -P.271-287.

14. Seward D. Controlling an Intelligent Exca-

vator for Autonomous Digging in Difficult Ground / D. Seward, D. Bradley, J. Mann, M. Goodwin // Proc. ninth International

Symposium on Automation and Construction, Tokyo. - June, 1992. - P. 743-750.

15. Feng, P. Research on Control Method of Planning Level for Excavation Robot / P. Feng, Y. Yang, Z. Qi, S. Sun // Proc. ninth International Symposium on Automation and Robotics in Construction. - Tokyo, 1992.

16. Takahashi H. Autonomous shoveling of rocks by using image vision system on LHD / H. Takahashi, H. Kamata, T. Ma-suyama, S. Sarata // Proc. International Symposium on Mine Mechanization and Automation, Golden, Colorado, USA. -June, 1995. - P. 33-44.

17. Ha Q.P. A Control Architecture for Robotic

Excavation in Construction / Q.P. Ha // Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering. - 2004. - Vol. 19. - P. 28-41.

18. Seward D.W. Safety analysis of autonomous

excavator functionality / D.W. Seward,

C. Pace, R. Morrey, I. Sommerville // Reliability Engineering & System Safety. -2000. - Vol. 70 (1). - P. 29-39.

19. Schmidt D. Simulation and Control of an Autonomous Bucket Excavator for Landscaping Tasks / D. Schmidt, M. Proetzsch, K. Berns // Proc. IEEE International Conference on Robotics and Automation Anchorage Convention District Anchorage, Alaska, USA. - May 3-8, 2010. -P. 55108-5113.

20. Nguyen Hong Quang. Robust low level con-

trol of robotic excavation: PhD dissertation / Nguyen Hong Quang. - Australian Centre for Field Robotics The University of Sydney, 2000. - 234 p.

21. Беркман И.Л. Универсальные одноковшовые строительные экскаваторы / И.Л. Беркман, А.В. Раннев, А.К. Рейш. -М.: Высшая школа, 1977. - 384 с.

22. Фу К. Робототехника / К. Фу, Р. Гонсалес,

К. Ли; пер. с англ. - М.: Мир, 1989. -624 с.

23. Koivo A.J. Kinematics of excavators (back-

hoes) for transferring surface material /

A.J. Koivo // Journal of Aerospace Engineering. - 1994. - Vol. 7(1). - P. 17-32.

24. Tafazoli S. Identification of frictional effects

and structural dynamics for improved control of hydraulic manipulator: PhD dissertation / S. Tafazoli; Dept. Elect. Comput. Eng. Univ. British Columbia, Vancouver,

B.C., Canada, 1997.

25. Vaha P.K. Dynamic Model of Excavator /

P.K. Vaha, M.J. Skibniewski // Journal of Aerospace Engineering. - 1993. - Vol. 6, № 2. - P. 148-158.

26. Frimpong S. Dynamic modeling of hydraulic

shovel excavators for geomaterials /

S. Frimpong, Y. Hu, H. Inyang // International Journal of Geomechanics. - 2009. -Vol. 8, № 1. - P. 20-29.

27. Luh J.Y.S. On Line-Computational Scheme

for Mechanical Manipulators / J.Y.S. Luh, M.W. Walker, R.P. Paul // Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. - 1980. - Vol. 102, Issue 2. - P. 69-76.

Рецензент: Е.С. Венцель, профессор, д.т.н., ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 15 ноября 2011 г.