Математическая модель колебаний пакета прямоугольных пластин с учетом точечных связей Текст научной статьи по специальности «Математика»

2010

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 1(9)

МЕХАНИКА

УДК 539.3

Г.Е. Берикханова, Б. Т. Жумагулов, Б.Е. Кангужин

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ПАКЕТА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН С УЧЕТОМ ТОЧЕЧНЫХ СВЯЗЕЙ

В работе предложена математическая модель о вынужденных колебаниях пакета плоских пластин с точечными упругими связями. Показана непротиворечивость предлагаемой математической модели. Предложен алгоритм расчета полученной математической модели и приведены иллюстративные примеры расчета о вынужденных колебаниях в случае кривой пластины.

Ключевые слова: математическая модель, колебание пластин, упругая задача, точечная связь, потенциалы нулевого радиуса, собственные колебания.

1. Постановка задачи и полученные результаты

В данной работе изучается упругая задача о вынужденных колебаниях пакета прямоугольных пластин. Подобная задача о собственных колебаниях изучалась в монографии [1, с. 42], где предлагалась вариационная постановка и учитывались упругие точечные опоры и сосредоточенные массы.

Рассмотрим пакет однородных упругих изотропных прямоугольных пластин, соединенных внутренними жесткими и упругими стойками (пружинами) и нагруженных сосредоточенными массами. Пластины имеют постоянную толщину И и внутренние точечные жесткие и упругие опоры шарнирного типа, которые могут, имеет защемления. Расположение точечных связей и присоединенных масс произвольно. Массы стоек можно рассматривать как сосредоточенные. Граничные условия для каждой стороны пластин одни из следующих: шарнирное опирание, защемление или свободный край. Требуется определить собственные частоты и формы поперечных колебаний пакета пластин.

При определении частот колебаний будем считать пластину тонкой (толщина мала по сравнению с остальными размерами).

Предполагая справедливость гипотез Кирхгофа - Лява, запишем известные из теории упругости зависимости между перемещениями и деформациями [2]:

д2 Ж. д2Ж, д2Ж,

8х =-^, 8 V =------Т-, 8XV = -2^--------------------L . (1)

х' г дх2 * г дv2 ' дхду

Здесь - координата точки в направлении, перпендикулярном к срединной по-

верхности, 8х, 8^, 8- компоненты тензора деформаций пакета пластин.

Компоненты напряжений соответственно равны

Ezi

Gx = --

Gy = --

1 -V Ezi

1 -V/

д2^ д 2Wi

----- + V-------

дх2 і дУ2

д2^ д 2W,

дУ 2

" +V,

дх2

(2)

Г = Г Е*<

х‘у‘ ух 1+уг дхду ’

где Е - модуль Юнга, а уг- - коэффициент Пуассона для г-й пластины. Нормальная компонента Ог при поперечном изгибе мала по сравнению с Гх и Гу , поэтому полагаем = 0.

Потенциальная энергия, накапливаемая пластиной при упругой деформации, согласно указанным выше допущениям имеет вид

(3)

,=1 у.

где V - объем г-й пластины. Подставляя в (3) значения компонент деформации и напряжений (1), (2) и учитывая потенциальную энергию упругих опор, получим

G = Ц Г; Г6

2 •'о •'о

д2^ д2Щ

дх2 + ду2

- 2 (1 -V,

д2W■ д2W■ ^ ^2и'

дх2 ду2

3%_

дхду

йхйу +

1 С>Щ2 (, у/) + 2 £с/ ( (, ( )-W■+1 (, у1). (5)

2 2 / =1

Здесь Ц = ЕИ,3 [12 (1 -V;2)

цилиндрическая жесткость пластины, а

С/ , х} , у/ - жесткость и координаты упругой опоры. Двойные интегралы в (5) берутся по поверхности нейтрального слоя / -й пластины.

Кинетическая энергия всей пластины с учетом присоединенных масс задается равенством

( ЯМ7 Л, ч уч Л V

ді

(6)

где р - плотность материала пластины, хгд, угч - координаты д-й присоединенной массы.

Рассмотрим функционал Остроградского - Гамильтона

Ь = ІІ (Г - G)Л

на совокупности главных колебаний. Они должны удовлетворять условиям шарнирного закрепления жестких опор пластины в £ точках:

Щ (X*,у*,г) = 0 (* = 1,...,5),

где х, , у - координаты *-й внутренней опоры. Если, кроме того, некоторые жесткие опоры защемлены в направлениях а * относительно оси 0 X, то к (7) добавляется условие

дЩ (х*, у*, г) / п

------1-------------' = 0 1* = 1,2,..., *а; 0 < а * <-

5а * I а * 2

(8)

причем число защемлений *а не обязательно равно числу опор 5. Таким образом, данная модель включает различные сочетания опор и защемлений.

Основным результатом работы является теорема 1.

Теорема 1. Колебание однородной упругой изотропной пластины пакета плоских пластин с постоянной толщиной И , ограниченной прямоугольным контуром с размерами а, Ь , к которой точечно присоединены массы Мд в Q внутренних

точках, и в I' внутренних точках она упруго оперта, а также во внутренних точках (х*, у*) жестко оперта или упруго защемлена, описывается дифференциальным уравнением

д2Щ 2

рИ—2- - БА Щ = 0 {0 < х, < а, 0 < у, < Ь, гн < г < гв, (д = 1,..., Q)} , (9)

дг

которое выполняется во всех точках пластины, где нет точечных связей, а в точечных связях справедливы многоточечные краевые условия:

М,

д2Щ

- 2В, (1 -V,)

Г д 2Щ д 2Щ д 2Щ д 2Щ + Л

дхду V х,д-0, уд-0 дхду х?-0, уд+0 дхду х?+0, у?-0 дхду х? +0, у?+0у!

= 0; (10)

С/Щ, (х/,у!',г)-2Б, (1 -V,)

( 9 д2Щ д 2Щ д 2Щ д2Щ Л

дхду V х/-0,у/-0 дхду х/ -0,у/ + 0 дхду х/+0,у/-0 дхду х/ + 0У, +0 у

= 0. (11)

Для единственности решения к указанным в теореме 1 многоточечным условиям надо добавить граничные условия

дЖ

дп,

= 0;

дО,-

(12)

(13)

В результате получаем краевую задачу для уравнения (9) в многосвязной области

е I' s

^ = и (, у? ) (, у! ' )и (, у! ).

q=\ I =1 5=1

Здесь , у ^) - внутренние точки к которым прикреплена точечная масса М q ,

(х/ ,у/ ) - внутренние точки, где наложены упругие точечные связи, (X*,у*) -внутренние точки, где пластина жестко оперта или упруго защемлена.

В каждой точке (х?, у ?), к которым прикреплена точечная масса М\q , добавляется условие

М

д2Щ

г 9 д/2

(, у? )

- 2А (1 -V,.)

( 2 д2Щ д 2Щ д 2Щ д 2Щ л

дхду V х?-0, у?-0 дхду х?-0, у? +0 дхду х?+0, у?-0 дхдУ х?+0, у?+0у1

= 0.

В каждой точке (X , у1 ), где наложена точечная упругая связь, добавляется условие

С,1 Щ (х‘',у/,/)-2А (1 -V,)

( 2 д2Щ д2Щ д2Щ д 2Щ л

дхду V х[-0,у!' -0 дхдУ х/-0,у/+0 дхдУ х[ +0, у [-0 ^ х1 +0,уі +0 У

= 0.

В точках , у ^), где пластина жестко оперта, ставится условие

Гд 2щ д 2Щ д 2Щ д 2Щ

дхду і у - о дхду х/-0, у/+0 дхду х,* + 0, у,*-0 &ду х, +0, у, +0

[Щ (х *, у,* )=0 =1

= 0;

2. Вспомогательные утверждения и обоснование теоремы

Соотношения (7), (8) представляют собой задачу на условный экстремум. Учитывая связи (7) и (8), с помощью множителей Лагранжа получим окончательное вариационное уравнение

дЩ-(

х, , у і

да*

= 0, (14)

в котором X 5- множители Лагранжа, 5 - вариация по перемещениям. Соотношение (14) представляет собой в некотором смысле аналог уравнения Рауса.

Выпишем соответствующую систему дифференциальных уравнений Эйлера -Лагранжа. Для удобства представим кинетическую Т и потенциальную энергию О в виде сумм

О = О, + О2 + Оз, Т = Т4 + Т5,

где

О2 = 2±с?ъ2 ((',у,1'), Оз =1 £с/ ( (,у!)-Щ+, (,у>)

21'=1 2 1=1

дх ду2

- 2 (1 -V)

2Ш я2г/л ( Я2П7 А

д2 Ж, д2 Ж, дх2 ду2

д2Щ

дхду

2

скс1у,

т4ухуу • т5 4|м?

дщ (щ • у,* • г )

дг

Тогда функционал Остроградского - Гамильтона разлагается следующим образом:

1В

ь = [‘В (т - о) уг = Ñ т4уг + Г'Вту - Ñ Оу - Ñ о2уг -Го3уг.

гн

Нам удобно ввести функционалы по формулам

г г гв г

I, = ГВ оу 12 = ГВ о2 уг, 13 = Г о3уг, /4 = ГВ т4 уг, 15 = ГВ т5 уг

и выписать отдельно для каждого функционала соответствующие уравнения Эйлера - Лагранжа.

Выпишем уравнение Эйлера - Лагранжа, соответствующее функционалу I,. Рассмотрим точку Щ из области определения функционала I и пусть и, произвольный элемент , -й области определения функционала I, подчиненный условию

и, | = 0, ^ | = °,

'дО< дп, ' д°

д

где О, - обозначает г-ю прямоугольную пластину, а дО, - ее границы. Здесь-------

дп

означает производную по нормали в граничной точке.

Функции и, (х,,у,,г) будем называть возмущениями. Сместимся из Щ в точку Wi +е и,, где е - малый параметр. Здесь функция и, задает «направление смещения» из точки Щ. Теперь находим выражение 1 (I [Щ + еи,]

-I [Щ ]) и, переходя

е

к пределу при е —— 0 , получим функцию

н

8/

ё [Щ+єи,] |є ^ = 1іп0_1(/ [цг +еиг ]-/[ ]) = | Ж.щЛёхёу,

ё є 11=0 єіо є г -1, ^ 8Ж

1 є=0 єі0 є

[н ]хЦ

которую называют производной функционала I в точке Ж по направлению П [3, с. 340].

Перейдем к аналитическому вычислению производной

8/±

8 Ж,

Вычислим её при ] = 1.

/, ж+ 2и ] - /1 [Ж ] = о, є} |£ £

-(1 -V,)

д2Ж 52Ж ЛГ я2

дх2

ду2

при ] = 1,2,3,4,5 .

2

д2и, д 2 и

—Г + '

дх

ду2

( д2Ж д2и, д2и, д2Ж

дх2 дУ2 дх2 ду2

- 2-

. д2 Ж д2 и, Л дхду дхду

ёхёу+ ++ + о (є),

(15)

о (е)

где пт = 0 .

е^0 е

Наша цель - избавиться от производных возмущения П (хг-, у, t). Для этого нам придется неоднократно применять формулу интегрирования по частям. Отметим, что функция Ж (X, у I, t) по переменным (х, у) при наложении точечных связей и масс может в этих точках терять гладкость. Поэтому при интегрировании по частям необходимо учесть, что функция Ж (X, у, t) или ее частные производные могут иметь разрывы первого рода в точках, где наложены точечные связи или массы. Допустим, что к внутренней точке (х^, у?) присоединена точечная масса Мд или она либо упруго, либо жестко оперта. Покажем как можно применять формулу интегрирования по частям, если функция Ж (X, У, t) или ее частные производные теряют гладкость в этой точке ( X?,у?) . Для наглядности рассмотрим один из интегралов, присутствующих в правой части соотношения (15).

К примеру, возьмем интеграл

А = В {[ [ д-Ж- ^-^ёхёу^ ’ Г ^ а ^ ь д Ж д П

41оо дхду дхду \ н

ёу

ёх Г & =

= 1 и

у,\ 0 д2 Ж д2 и, ,

I -------!-------^ёу

0 дхду дхду

ёх Г ё( +| Н

д 2Ж ди, О 1 у у,1-0 д3Ж ди,

дхду дх 0 0 дхду2 дх

1 2 ди, Ь Ь д3Ж ди,

дхду дх у?+0 у,»+0 дхду 2 дх

Ь д2Ж д2и, ,

I ------'■------ау

\+пдхду дхду

ёу

ёу

ёх ^ёt +

ёх Г.

Н

Согласно выбору, возмущение и, (х,, у,, t) удовлетворяет граничным услови-

ди

дх

ди

у=о

дх

равным нулю. В силу произвольности возмущение

и (х,, у,, t) можно считать достаточно гладким, то есть

ди

дх

ди

В результате

а=| (|

И \ 0

дхду

д 2 Ж,-

у?-о

дхду

у?-о

ди

дх

у,-9+0,

дх

И |0

Ь д3Щ ди■

1_0

дхду2 дх

<у

ёх}<=

^ Iхч-0

= 1П

И \ 0

Г 2 д 2Ж д 2Ж л ди,

дхду - 0 - ч у уЧ+0 у дх

<х\Ж |

\ И \хч+0

Г ? д 2Ж д 2Ж Л ди

дхду V 0 - ч у у Ч+0 дх

ёх}< -

-в и

И \ 0

д 2 Ж,-

дхду

д 2Ж

уЧ-0

д 2Ж

дхду

дхду

д 2Ж

хЧ —0 ■з

'г ^ди<

0 дхду2 дх

и у

у,4+0

I И |{

tв 1хЧ -

< -|| I

а д3Ж ди, ,

■ ■ ах

1

х ч+0

дхду2 дх

ёу>а=

^IV -0Г д3^.

дх2ду

д3Ж

у,4-0

дх2ду

у,4+0.

у,4-0

Г д3ж д3Ж Л

дх 2ду уЧ -0 дх 2ду у Ч+0у

и чах\ж+

у

и,| ч ах>ж -

и, ах

дх2 ду2 ^

и ,ёх

ау\ а -

<у> ж.

Учитывая нулевые граничные значения возмущения и его производных, получаем окончательное соотношение

в

А =1

1В ( - 1 (|

д 2 Ж,-

дхду

д 2 Ж,-

^1 ^,_у1

дхду

Л Г 2 д 2Ж д 2Ж Л

хЧ-0,у ч+0 у дхду V хЧ+0,уЧ- -0 дхду хЧ+0,угЧ+0 У

и|х

-

Г д3^- д3Щ Л

дхду2 х,Ч-0 дхду2 хЧ+0 у

tв I а

Г д3ж д3Ж

дх 2ду уЧ-0 дх2ду

у Ч+0.

и ч ах\<к+

у

^ (а [Ъ д4^

-Ш-

и ,<у

йх\<И.

ям

и

И

ит 0

И

И

Точно также с помощью формулы интегрирования по частям преобразуем оставшиеся в (15) интегралы:

В =

•52^ д2иг

дх2 ду2

ёу

йх\ йі =

у?-0 д2Ж д2П

дх2 ду2

ёу

ІВ I а

ёх\йі + | Н

д 2 Ж д 2 и

_у/+о дх2 ду2

ёу

ёх > йі =

д2^- дПг д3Щ и Л

дх2 ду дудх2 1

У? 0 у,'г 0 д4Ж

дх2 ду 2 1

и,ёу

д2Жг дПг д3Щ и Л

дх2 ду дудх2

+

у?+о у?+о

дх2 ду2

йх\йі +

ёх \йі =

Учитывая граничные значения возмущения

и А 0 = и А Ь = 0,

1 |у=0 11у=Ь ’

ди,

ду

ди,

у=0

ду

= 0,

у=Ь

а также гладкость функции V , (х,, у,, /) во внутренних точках, имеем

= В у

Н 1 0

2 СО 2 д 1 > диг Г д3ж д 3Ж

дх 2 V дх 2 у,?-0 ^ у?+0 У ду дудх 2 у‘-0 дудх2

>

у?+0 У

йх\йі +

Ь д4ж

дх2 ду 2

и,ёу

ёх > йі.

= 1П

ІН 1 0

с =

а д2Ж д2иг ,

—т-----------т~ёх

ду дх

ёу > йі =

Г д 2Ж 2 д 1 > ди Г д3ж д3Ж

2 хг‘ -0 ду2 х?+0 У дх х ‘ дхду2 хг‘-0 дхду2

>

‘ х и

+0 у

ёу >йі +

'Ь д% дх2 ду 2

и,ёу

ёх > йі.

Е =

Щ (I,.-0-4Чу..0)

Н 10

ди,

АЖ-

д2и

ду 2

ёу

ёх > йі =

ду

ІВ (а

Г д д >

- — АЖ АЖ иг| ?

\ду г у‘-0 ду у?+0 У г1уІ

ёх \йі +

+

Ь д2АЖ

ду

2

и гёу

ёх > йі.

+

+

Е =

(Д(-0 -AW1\x,+0)

ДЩ-

д2Ц

дх2

с1х

ёу + Л =

дх

Г д д >

- — ДЩ ДЩ и(| ,

хч ^дх х.,-0 дх хч+0 у (\хч

йу |с/ +

а д2Д Щ

дх'

2

и Сх

Су + Л.

Поскольку разность с точностью до о (е) имеет вид

I [ Щ + е и ] - II [ Щ ] = Де (Е + Е) - Де (1 - V,.) (5 + С - 2А), то, учитывая полученные представления А, В, С, Е, Е, её можно записать в виде

II [Щ +еи, ]-11 [Щ ]=Д е

IД Щ,и,Су

ёх+М -

- д е(1-^

-2-

д4Щ д4Щ д4Щ Л

0 ч дх2ду2 дх2ду2 дх2ду2

■ДЩ',1х, .0)

!в

+Де

г1*4-0

у

<х++

+Де|

И

- д е(1-^|Н

И [0

^ [г

- д е(1-^)|Ц

И 10

*В Га

В У

И |0

{В [а

В ||

И I 0

, 4-0 ДЩ|у,.4+0}

ди,

ду

ГдДЩ дДЩ

х? V дх 'дДЩ х - О дх дДЩ

у, V ду у,-0 ду

■ч+0

у?+0.

и,\х

Щу

Сх+-

Гд2Щ д 2Щ > ди, Г д3Щ д3Щ > и 1

дх2 Л у.,-0 дх у,+0 у ду у,9 дудх2 у,9-0 дудх2 у,9+0 у Чу,9

Г ? (д 2Щ д 2Щ > ди, Г д3Щ д3Щ > и 1

[ду2 х,, -0 ду2 хч+0 у дх хЧ дхду 2 хч-0 дхду2 хч+0 У иПх,Ч

Сх + -

Су + -

^ С гГ д3Щ -2Д е(1-^)|||

И I 0

дхду/

д3Щ

1.4-0

д3Щ

д3Щ

у я+0 у

и(1х , Суг С -

и,| ,сх>&+

+2Д е(1^,)|

‘В Гд 2Щ

дхду

д 2Щ

х,, -0,у,, -0

дхду

д 2Щ

х,4-0,у,+0

дхду

д 2Щ

+

х, +0,у,-0

дхду

хч+0,у,+0у

+

0

И

И

= п є

д 2шги Лу

Лх|лґ+

1В I О

+ 1 її (д^и*-0-д4'+0)є-)є(!-уі

гн [° _ ґв |а

+ 1 її ((->-дЧ.+0)є-)є(l-vI.

Г 2 д 2Щ д 2Щ Л дЧ

1ду 2 Г 2 д 2Щ х*-0 ду2 д 2Щ хі* +0 у Л дх диг

дх2 V у У -0 дх2 у*+0 у ду

Лу >Лґ+

йх\Л+

■ї і1

ґн І0 ^ |а

ї11

дДЩ

дх

дДЩ

ду

дДЩ .,-0 дх

дДЩ

у У-0 дУ

у,*+0.

(-п є)-п є(1-VI.)

(-п є)-п є(1-VI.)

Г д3Щ д3Щ л и 1

дхду2 х*-0 дхду2 Х*+0 у иіІх,*

Гд3Щ д3Щ Л и 1

дудх 2 у,,-0 дудх2 у,*+0 у иі\уН

д 2Щ д 2Щ д 2Щ д 2Щ Л х*+0, у*+0 У

дхду V х*-0,уі.*-0 дхду х*-0,уі.*+0 дхду + х*+0,уі.*-0 дхду

Лу\Лґ+

Лх>Лґ+

^1х,* ,у,* Л

I' гв

/2 [ +єиI]-/2 [] = -2]Гс/' | 2єЩ (',у1,ґ) (',у1,ґ)

2 ^ Н

і Ів

/з [ +єи, ] - /з [ ] = є£ С1- | ( (х1, ( ) - Щ+1 (, у1)) ( (х1, ( ) - и1і+1 (х1, у1)) Л ;

/4 [Щ +єи, ]-/4 [Щ ]=^

дЩ ди ,

2є—-—-Лу

дґ дґ

а I О

=рИ, єЩ

0 [0

д-Щи\в -ї -^илг

дґ '‘н 1 дґ2

Лх>Лґ=єркі И|

0 [0

Лу\Лх=

ї ——-Лґ

" дґ дґ

Лу> Лх=

Здесь рассматривается задача с неподвижными к°щами, т.е. Щ|=гн =ЩШ (х,у); =Щв (х,у),

поэтому = 0 м и! = О

а ІОдЩ. , 1 ґв (а

=рЬі є111_дт'иіІ^:Н лу л-рАіє

0 І0 ] ґн [0

0 д 2и

дґ

иіЛу

2

Лх> Лґ=-рЛ,є

0 д2 2

д ґ

иіЛу

2

Лх> Лґ;

/5 [Щ+єи ]-/5 [Щ ] = є£ м*

дЩ

дґ

и,

-ї

ґв д2Щ

дґ2

иі (у* ) )ґ

0

н

ґт 0

н

0

Учитывая найденные выражения производных функционалов 11, 12,13,14 , определим производную функционала Остроградского - Гамильтона:

8![Г] ‘в Г?ГЬГ , д2Щ ^

8W

-А Д2Щ

‘н 1о 1_о V д‘

и^у

йх\й‘ -

е ‘в Гь

-!Л II

«=1^^ 1о е ‘в (а

-I I {/

9=1‘н 1о

е ‘в Гь

-11 {1

9=1‘н 1о

е ‘в Га

-Ии

)-

ду 2

2

2

ГдДЩ дДЩ

V йх х9 -о дх

ГдДЩ дДЩ

_Ч ду у9-о ду

)£■ дх

х9+о

Л

у9+о у

е ‘в \„ д2Щ

-ХвМм<

9= ‘„

д 2Щ

2 "%9 -о , ^

чч

(- А в)-А в(1-у,.) (- А в)-А в(1-у,.)

- 2 А (1 -V)

д2' у ттг 1

ду 2 у Щх9+о У_

—Л у ТТ7 1

йх2 у Щ1у9+о У_

ди

дх

ди

дх

Г д3Щ д3Щ у и 1

чдхду2 х9 -о дхду2 х9+о У и,1х9

Г д3Щ д3Щ у и 1

дудх2 у9 -о дудх 2 у9+о У иг|у9

Су>С‘ -

Сх>С‘ -

Су>С‘ -

Сх>С‘ -

Г д2щ д 2Щ

дхду V х,9-о, у,9-о дхду х,9-0 у9+о

дхду

д 2Щ

с,9+о, у,9-о

дхду

■?+о, у,9+о

и,

(9, у,9)

С‘ -

V ‘в Гь

-П1/

г'=1‘н \о

V ‘в Га

-5,'\'

V ‘в

1'=1‘н |о

V ‘в Г а

-п\/

1 =1 ‘н \о

ди,

2

2

А вД-А в(1-уг)— ^|у/-о - А вД-А в(1-у,.)-т Щ

дх'

дх

2 Пу ■ +

дх

ди

дх

ГдДЩ дДЩ

V дх х/ -о дх

ГдДЩ дДЩ

[V ду у! '-о ду

х‘ +о

у/+о У

(- А в)-А в(1-у,.)

(- А в)-а в(1-у,.)

Г д3Щ д3Щ у

дхду2 х,.г-о дх5у2 х/ +о У

Г д3Щ д3Щ у

дудх2 уГ-о дудх2 у/'+о У

и1х

ик

Су>С‘ -

йх\й‘ -

Су>С‘ -

йх\й‘+

V ' ‘в

+Хв{{с/ Щ (,у/',‘)-2А (1 -V,

г '=1

Г2 д2Щ д 2Щ

дхду V х‘ -оуу,1 -о дхду

х/ -о,у/ +о

д 2Щ

дхду

д 2Щ

х/+о,у/-о дгду

х/ +°>у ! +о У

и

(')

С‘

9=1 ‘н 1о

н

,Уі )-2А (-V

* = 1 ін

( 2 д2№ д №

дхду V х‘-0, у/- -0 дхду

д№

дхду

д 2Щ

х,‘40,Уі -0

дхду

х/-0, у/ +0

Л

и

Хі +0,Уі +0 У

ж

В силу произвольности возмущения и г (хг, у, t) и значений и г (х?, У, t),

по основной лемме

и (х , Уг9 ,t ) )хи1. (хг9 , у , ^ )дУи ( , у9 ,t) и (хг9 , у.9 ,t)

вариационного исчисления [4, с. 295], запишем систему уравнений Эйлера - Лагранжа

д2^. 2

рйг- —- Д Д ^ = 0 {0 < х < а, 0 < у < Ь, tH < t < tB, (9 = 1,..., 2)} , (9)

дt

с многоточечными краевыми условиями

И,

д№

г 9 ді2

- 2А(1 -V,.))

I д2№ 2 д 1 2 д 1 2 д + Л

дхду V 0 - £ 0, - х дхду х9-0, у9+0 дхду Х,9+0,у,.9-0 дХду 0 + ,у 0, + х

= 0; (10)

С‘№, (х1,у/',і)-2А (1 -V,))

( 2 д2№ д № д № д № л

дхду V х/'-0,у/-0 дхду х/'-0, у [ +0 дхду х/+0,у/-0 дхду Х/ +0,у/ +0 У

= 0 (11)

и условиями вдоль отрезков

А Д-А (1 -V,)

д

дУ 2

2

((

№

і\х,9-0 '

А Д-А (1 -V,)

д

дУ 2

2

№

А Д-А (1 -V,)----------- |«;| 9 0

г г V д^ I * У' -0

№

-II АД-А(1 -V .0-дХт|№-1у+

= 0,

= 0;

(16)

f дД^ дД№

дх V х,9-0 дх

I дД№ дД^

V ду 0 - 9 у ду

у?+0,

(-А)- А (1 -V,)

(-а )- А (1 -V,)

I д3№ д3№ л

дхду 2 Х,9-0 дхду 2 х,9 +0 у

I д3№ д № л

дудх2 у,9 - 0 дудх2 у,9+0у

= 0,

= 0;

к которым надо добавить граничные условия

зщ

дп

= 0.

за,

а также

= Щ (х,у), щ| в = ж2 (х, у).

(12)

(13)

Итак, справедливо

Утверждение 1. Колебание однородной упругой изотропной пластины пакета плоских пластин с постоянной толщиной И, ограниченной прямоугольным контуром с размерами а, Ь, к которой точечно присоединены массы М] в Q внутренних точках, и в I' внутренних точках она упруго оперта, описывается дифференциальным уравнением (9) с многоточечными краевыми условиями (10) и (11) и граничными условиями (12) и (13).

Заметим, что функция (х, у, t) в точках, где прикреплена точечная масса

или пластина жестко или упруго оперта, либо упруго защемлена, теряет гладкость согласно условиям (9).

Обсуждение утверждения 1.

Каждой внутренней точке (х9, у 9), где присоединена точечная масса М {ч или где она либо упруго, либо жестко оперта или защемлена в направлении ад,

соответствует горизонтальный отрезок у = у9 и вертикальный отрезок х = хч . Вне, этих отрезков пластины для функции (х, у, t) справедливо дифференци-

альное соотношение (9), а на указанных отрезках должны выполняться условия «сшивания» (16) и (17). Покажем, что из условии (16) и (17) следует выполнение дифференциального соотношения (9) и на указанных отрезках, кроме точки

(, У* ).

Лемма 1. Пусть Ж (х, у, t) удовлетворяет условиям

Г Ж (х( - 0, у, t) - ) (х9 + 0, у, t) = 0, допустимых Уу, t, Ж (, у9 - 0, t) - ) (, у9 + 0, t) = 0, допустимых Ух, ^

(зщ зщ

Зх хЯ-0 Зх хЯ+0

зщ ЗЩ

^ Зу у,»-0 ЗУ у Я+0

= 0, допустимых Уу, t, = 0, допустимых Ух, t,

(18)

(19)

а также выполняется соотношения (16) и (17). Тогда на указанных отрезках справедливы равенства

[з 2щ з 2щ

Зх2 х?-0 зх2 0 + х

з 2Щ з 2Щ

зу2 0 - у зу2 у?+0

= 0, допустимых Уу, t, = 0, допустимых Ух, ^

[д3щ д3Щ

дх3 х,9-0 дх3 х9+0

д 3Щ д 3Щ

ду3 у9-0 ду3 у?+0

= 0, допустимых У у, , і, = 0, допустимых Ух,, І.

(21)

Доказательство леммы 1. Пусть X = х1 . Покажем, что из равенства (18) и (19) при выполнений (16) и (17) следуют соотношения (20) и (21). Дважды продифференцируем равенство (18) по у :

ду2

д 2Щ

ду2

= 0,

уу, і..

и подставим полученное соотношение в левую часть равенства (16). В результате имеем

2

д

Ц АЩ - Ц (1 -V,.)—Щ

і , , V , ' ^ 2 1

ду

2

-| Ц АЩ - Ц (1 ^,)^у Щ

ду 2

= Ц

д2Щ

г дх2

- Ц

д 2Щ

г йх2

= 0.

Поскольку Di Ф 0 , отсюда следует равенство (20).

Чтобы получить равенство (21), дважды продифференцируем (19) по у.

д 3Щ

дхду

д3Щ

х9-0

дхду

,9+0

и подставим полученное соотношение в левую часть равенства (17). Результат можно записать в виде

(

дАЩ

дх

(-Ц ^-Ц (1 - V, ) дхд 2

дхду

дАЩ

дх

(-Ц ^-Ц 11 2

ахбу

= - Ц

д3Щ

дх3

+ Ц

д3Щ

дх

= 0.

Тем самым равенство (21) полностью доказано.

Аналогичным образом доказываются требуемые соотношения на отрезке

у = у9.

В лемме 1 показана непрерывность (х, у, t) и её нормальных производных

вдоль линии х = х1 и yi = у/1. Из теории уравнений с частными производными [5, с. 249] вытекает выполнение дифференциального соотношения (9) вдоль указанных линии х = х1 и yi = у 1, кроме точки (х1, у ^).

ЛИТЕРАТУРА

1. Базаров М.Б., Сафаров И.И., Шокин Ю.И. Численное моделирование колебаний диссипативно однородных и неоднородных механических систем. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1996. 189 с.

2. ТреффцЕ. Математическая теория упругости. Л.; М.: Гостехиздат, 1934. 172 с.

3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фомин А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. 760 с.

4. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.

5. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977. 504 с. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

БЕРИКХАНОВА Гульназ Еженхановна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики преподавания математики Семипалатинского государственного педагогического института. E-mail: [email protected]

ЖУМАГУЛОВ Бакытжан Турсынович - доктор технических наук, профессор, академик НАН РК, ректор Казахского национального университета имени Аль-Фараби. КАНГУЖИН Балтабек Есматович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа Казахского национального университета имени Аль-Фараби.

Статья принята в печать 08.02.2010 г.