Математическая модель интеллектуальной информационной системы поддержки принятия управленческих решений Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Вестник Омского университета. Серия «Экономика». 2012. № 2. С. 146-155.

УДК 658.5

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ*

MATHEMATICAL MODEL OF INTELLECTUAL INFORMATION SYSTEM FOR SUPPORT OF ACCEPTANCE ADMINISTRATIVE DECISIONS

Е.Ю. Виноградова E.Y. Vinogradova

Уральский государственный экономический университет, Екатеринбург

Обоснованы основные принципы построения математических моделей для проектирования информационных систем для реализации поддержки принятия решений руководством хозяйствующих субъектов.

In article describes main principles of mathematical models construction for designing the information systems to realization of decision-making support by management of managing subjects.

Ключевые слова: интеллектуальные информационные технологии, разработка программного обеспечения, аналитические методы обработки информации.

Key words: intellectual information technologies, software development, analytical methods of processing the information.

В современных условиях российской экономики предприятие должно с помощью планирования приспосабливать свои ресурсные возможности к внешним и внутренним условиям, учитывая неопределенность будущего, связанного с нестабильностью и усложнением социально-экономической жизни страны.

Опыт многих процветающих зарубежных и отечественных предприятий показывает, что в рыночных условиях хозяйствования планирование производственно-хозяйственной деятельности является главнейшим условием их функционирования, экономического роста и развития.

Именно планирование может стать тем действенным инструментом эффективного менеджмента, благодаря которому предприятия смогут подняться, стабилизироваться и получить необходимый импульс для дальнейшего развития.

Российским предприятиям нужен свой модифицированный подход к стратегическому планированию, учитывающий весь громадный опыт советской школы планирования. Нужна новая парадигма идеологии мышления в области стратегического планирования, связанная и с ориентацией на маркетинг, и с переориентацией на внешние проблемы, и с формированием новой организационной культуры производст-

ва, и с пониманием планирования как постоянного творческого и гибкого процесса, призванного обеспечить эффективное хозяйствование.

Вместе с тем многие предприятия этот вопрос решают с помощью так называемого метода «проб и ошибок», что дорого обходится как предприятию, так и обществу. Поэтому перед наукой и практикой стоит важнейшая задача разработки необходимого методического и информационного обеспечения в области планирования деятельности предприятий.

Сегодняшнее планирование не учитывает в полной мере предпринимательского риска, слабо прорабатываются (или вообще не прорабатываются) альтернативные варианты различных плановых решений, и самое главное - предприятия перестали верить в планирование как в «компас», который подскажет соответствующее направление.

На большинстве российских предприятий практически произошла подмена процесса планирования производственно-хозяйственной деятельности разработкой бизнес-планов, при этом под бизнес-планом стал пониматься план текущей деятельности, что противоречит как сущности процесса планирования производственно-хозяйственной деятельности, так и сущности бизнес-планирования.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда (грант № 09-03-83306а/У).

© Е.Ю. Виноградова, 2012

В планировании деятельности отдельных производственных подразделений не просматривается увязки с общей стратегией всего предприятия в целом. Планирование идет, с одной стороны, по старой проторенной дорожке, с другой - каждое подразделение пытается найти свой бизнес. Нет общей стратегии развития, нет единого плана с маркетинговой ориентацией, т. е. каждое подразделение - само по себе. В результате растут убытки, растет задолженность в бюджеты всех уровней.

Более того, все плановые решения принимают только с учетом внутренней среды и почти не учитывают окружающую внешнюю. Предприятия не знают в должной мере рыночных подходов и методов стратегического планирования и не могут не только влиять на рынок, но и адаптировать свои возможности к постоянно меняющейся обстановке.

Если раньше, даже при устоявшейся системе планирования, выходили различные методические рекомендации и типовые методики разработки планов экономического и социального развития, то в настоящее время специальная литература по стратегическому планированию в основном переводная, а российская действительность имеет свою специфику, которую необходимо учитывать. Сегодня в России принято значительное количество законодательных актов, которые формируют предпринимательскую среду, а функционирование в ней должно быть увязано с планированием. Возникает вопрос о совмещении преемственности применяемой ранее системы планирования, в том числе средне- и долгосрочного планирования, с его новой идеологией.

Даже в условиях переходного периода необходимо разрабатывать планы и моделировать свою деятельность с учетом внешней и внутренней среды, рассматривая любое предприятие как «открытую систему».

Рассмотрим концепцию предприятия как «открытой системы» с точки зрения взаимосвязи с внешним окружением.

Знание среды имеет очень большое значение. Важно, чтобы каждое предприятие не только представляло свое окружение, но и могло реагировать на меняющуюся обстановку.

Любое предприятие имеет собственную внешнюю среду, охватывающую большое количество различных факторов, воздействующих на его работу. Успех предприятия обеспечивается тем, насколько удачно оно приспосабливается к внешнему окружению, оказывающему влияние на внутреннюю среду предприятия. Жизнеспособность и успешная деятельность предприятия определяются его способностью

обратить свое внимание на новые тенденции развития, опасности и новые возможности.

Классификация факторов внешней среды различна. Придерживаясь принятой классификации на факторы прямого и косвенного воздействия, представляется целесообразным рассмотреть окружающую среду предприятия в двух аспектах: общая (среда косвенного воздействия) и заданная (среда прямого воздействия).

Общая среда (среда косвенного воздействия) включает экономические, политические, правовые и другие факторы, а также научнотехнические характеристики экономики страны в целом.

Внешняя среда предприятия оказывает непосредственное влияние на внутреннюю среду, которая охватывает всю производственнохозяйственную деятельность предприятия.

Внутренние факторы развития предприятия можно условно разделить на основные группы:

1. Факторы ресурсного обеспечения производства. К ним относятся производственные факторы (основные фонды, трудовые, финансовые, материальные, энергетические и другие ресурсы), т. е. все, без чего немыслимо производство продукции и оказание услуг в количестве и качестве, требуемых рынком.

2. Факторы, обеспечивающие желаемый уровень экономического и технического развития предприятия. Во главу угла ставятся организационная и производственная структуры управления, профессиональный и квалификационный уровень управленческих кадров. В этом аспекте представляется целесообразным в организационной структуре управления предприятием предусмотреть центры стратегического планирования, которые и смогут, вырабатывая соответствующую стратегию, обеспечить выживание, стабилизацию и дальнейшее развитие предприятия.

3. Важную роль играет технико-технологическое оснащение производства, использование прогрессивных технологий, что позволит снизить издержки производства и соответственно повысить прибыль предприятия. Обновление оборудования и применяемых технологий способствует повышению гибкости производства и обеспечению выпуска конкурентоспособной продукции.

4. Факторы, обеспечивающие коммерческую эффективность производственно-хозяйственной деятельности предприятия, в первую очередь маркетинг. Эти факторы оказывают серьезное влияние на повышение конкурентоспособности предприятия. Предприятие стремится осуществить наиболее эффективные спо-

собы производства, снабжения, сбыта продукции, требуемой рынку, завоевать новые рынки сбыта, стимулировать увеличение объемов продаж, отследить новые, более дешевые и качественные в изготовлении комплектующие и т. д.

Таким образом, основной философией предприятия становится маркетинговая ориентация его деятельности.

Резко очерченной грани между этими факторами внутренней среды предприятия нет. Так, например, большая часть средств производства является не только необходимым условием производства товаров и оказания услуг, но и определяет его технический уровень.

Первая группа факторов определяет ресурсы предприятия, его возможности, а степень реализации этих возможностей зависит уже от использования второй и третьей групп факторов. Возникновение четвертой группы факторов связано непосредственно с рыночными отношениями.

Реализация факторов внутренней среды предприятия направлена на

- обеспечение гибкости производства, т. е. его способности к обновлению и адаптации к рынку, возможности переориентации без существенного изменения основных производственных фондов;

- получение прибыли в объеме, обеспечивающем техническое и экономическое развитие, что достигается путем проведения комплекса маркетинга (товарная, ценовая, сбытовая и сервисная политика);

- снижение издержек производства или их удержание на определенном уровне путем проведения эффективной коммерческой работы (отслеживание более дешевых комплектующих, использование новейших ресурсосберегающих технологий и др.);

- обеспечение ритмичности производства посредством определенной организации обеспечения предприятия всеми необходимыми ресурсами для производства товаров в количестве, удовлетворяющем требованиям рынка.

Отечественные предприятия имеют небольшой опыт разработки планов в рыночных условиях хозяйствования. Нужны новые подходы и принципы планирования, учитывающие российскую специфику.

Планирование является той важнейшей функцией управления, которая должна обеспечить предприятию нормальное функционирование. Перестройка системы хозяйствования, отказ от административно-командных методов управления и преимущественное использование экономических методов требуют новых подходов к самому процессу планирования. Оп-

тимального и научного сценария перехода к рыночной экономике не существует, и каждая страна идет своим путем, опираясь лишь на варианты перехода к рынку, правовые основы которого должно гарантировать государство. Новые подходы, как нам представляется, заключаются в следующем.

Предприятие должно рассматриваться как «открытая система». Если предприятие рассчитывает выжить в столь тяжелых для него условиях, то ему следует приспособить всю свою внутреннюю деятельность к изменениям в окружающей среде: в политике, экономике, обществе, технологии, экологии.

Дискретные процессы управления приобретают все большее значение в теории и практике оптимального управления и планирования. Это связано с тем, что в экономике многие явления имеют дискретный характер, так как на практике чаще всего и информация о состоянии процесса, и управление осуществляется в дискретные моменты времени, т. е. по шагам. Описание динамики экономической системы на основе дифференциальных уравнений основано на очень грубой аппроксимации реальных явлений и не дает преимущества по сравнению с использованием многошаговых моделей. В итоге уравнения динамики системы часто с самого начала формулируются в многошаговом виде. Время в таких моделях считается принимающим конечный ряд значений с заданными начальными моментом 1;0, промежутком между двумя любыми соседними моментами времени т и конечным моментом времени ^. Обычно для удобства полагают ^ = 0, т = 1. В этом случае используют многошаговое уравнение, имеющее, например, вид

х(^+1) = x(t) + ^(О, и(0,0, t = 0,..., ^ - 1. (1) Время принимает дискретные значения

^, ^ + 1, ^ + 2, ... , Ц. (2)

Вместе с начальным условием и ограничением на управления и состояния, имеющим следующий вид

{x(i), u(i)}еY(i), t = 0, ... , Ь - 1, (3)

а также с ограничением на конечное состояние системы

х(^) е Х(^) (4)

соотношение (1) дает динамическое описание экономической системы. Наиболее просто выглядят линейные модели, в которых дифференциальное уравнение заменяется на многошаговое:

х^+1) = x(i) + А^)х(^ + А2(0и(0 + а(0,

i = 0,., i1 - 1. (5)

Начальное условие = 0), ограничение на конечное состояние (4), в котором множество х(^) должно быть многогранным.

Для решения таких многошаговых задач возможны два подхода.

Первый основан на принципе оптимальности Р. Беллмана и приводит к необходимости решать функциональные уравнения специального вида. Достоинства и возможности динамического программирования, развитого на основе этого подхода, хорошо известны, и он достаточно полно отражен в литературе и будет рассмотрен ниже.

Второй - вариационный - подход основан на распространении идей и методов математического программирования на многошаговые задачи и смыкается с аппаратом принципа максимума Л. С. Понтрягина, развитого для решения задач оптимального непрерывного управления. Этот подход иногда называют «дискретный принцип максимума».

Математическое программирование связано с задачами эффективного использования и распределения ограниченных ресурсов, которые сводятся к нахождению экстремумов функций многих переменных при ограничениях в виде равенств и неравенств. В математическом программировании созданы эффективные вычислительные методы, позволяющие решать экстремальные задачи с большим числом переменных и ограничений на них. В особенности это относится к задачам линейного программирования.

Как для самой теории математического программирования, так и для основного круга ее приложений характерен одноразовый, одношаговый выбор оптимального решения (распределение программы выпуска нужной продукции между несколькими производственными участками, определение наилучшего плана перевозок, выбор оптимального варианта технологии, расчет различного рода сетей, планирование размещения промышленных предприятий и т. п.). Такие задачи являются статистическими задачами оптимизации.

Однако как только возникает вопрос о развитии системы (и не только во времени, но и в пространстве), об управлении системой, одношаговое решение становится непригодным. В этом случае решение должно быть принято на определенное число шагов вперед, и задача оптимизации становится многошаговой, динамической. К задачам такого рода относятся задачи перспективного и оперативного планирования, составления программ развития различных систем, задачи планирования боевых операций, расчет многоступенчатых технологических комплексов и т. п.

С изменением характера задачи меняется и ее проблематика. Если для одношаговой задачи основное значение имело нахождение опти-

мального решения, то для многошаговой задачи наряду с определением самой программы оптимального развития системы не меньшее значение имеет и ее практическая реализация, т. е. собственно задача управления.

Таким образом, теория многошаговых задач оптимизации должна базироваться как на теории математического программирования, так и на теории оптимального управления.

Конечно, любая многошаговая задача может рассматриваться и как статистическая, а для ее решения возможно привлечение методов математического программирования. Однако непосредственное применение этих методов для решения многошаговых задач обычно не приводит к цели: получающиеся при этом задачи линейного или нелинейного программирования часто имеют настолько большой размер, что их невозможно решить даже с помощью современной вычислительной техники. Поэтому здесь нужна разработка специальных методов, учитывающих динамический характер этих задач.

Система оптимального функционирования многогранна, она включает в себя организацию самого процесса оптимального управления и планирования, контроль и оперативное руководство ходом выполнения планов, экономические рычаги оптимального развития хозяйственного процесса, методы осуществления вертикальных и горизонтальных связей в системе и т. п. Однако отправным пунктом оптимального функционирования экономики является, безусловно, научно организованный процесс разработки и идентификации оптимальных моделей. Основные черты этого процесса могут быть выявлены на основе общих принципов оптимальности с учетом иерархической структуры экономики, понятий глобального и локального критериев оптимальности и системы оптимальных цен.

В случае прямой зависимости между качеством и затратами на производство товара производитель стремится к максимизации отношения «цена - качество».

Постановка задачи расчета цены продукции и построение экономико-математической модели включают следующие моменты: описание переменных, определение целевой функции с учетом используемых переменных и формирование ограничений.

Введем следующие обозначения: п - вид продукции;

т - количество технологических способов (модификаций) организации производства продукции п;

каждый _)-й способ (] е 1, т) в период времени Ь е 0,Т-1 (Т > 1) ( - например, ме-

сяц, квартал, год) характеризуется вектором

{МО, МО, •••, Ь/О};

если Ьу(0 < 0, то величина Ь7() определяет затраты 7-го ингредиента (/ е1,п) при у-м

способе производства в период времени ^

если Ь7() > 0, то величина Ь7() определяет выпуск 7-го ингредиента при у-ом способе производства в период времени ^

5 - вид издержек производства и затрат на реализацию продукции;

7 - количество видов издержек;

Qn - предполагаемое количество производственной продукции п-го вида;

Qnmax - максимальный объем выпуска п-го вида продукции при фиксированных производственных мощностях;

ЕС5 - постоянные издержки 8-го вида;

Вп - доля п-го вида продукции в валовых постоянных издержках (ТБС);

Рп - расчетная базовая цена п-го вида продукции;

Y - коэффициент изменения переменных издержек.

Определим следующие показатели:

т

IОп = 1,

п=1

5=1

где ТЕС - валовые постоянные издержки производства и реализации.

ТЕСп = ТЕС хОп, п = 1,т, где ТЕСп - валовые постоянные издержки п-го вида продукции.

ЦУСп =1иУСт, п = 1т,

5=1

где ЦУСп5 - переменные издержки 5-го вида для производства единицы продукции п-го вида; иУС7 - переменные издержки на единицу продукции п-го вида.

Производство каждого их видов продукции воздействует на прибыль предприятия. Отсюда целевая функция, максимизирующая прибыль предприятия, примет следующий вид:

F(Q) = X Pnх Qn , F(Q) ^ max

(6)

n=1

где Q = (Q 1,Q2,...,Qm) - вектор переменных.

Наложим на функционирование предприятия следующие ограничения:

объем выпуска продукции п-го вида не может быть отрицательным:

Qn ^ 0, п = 1, т;

величина валовых переменных издержек меняется в зависимости от изменения объемов производства.

При этом следует отметить, что прирост суммы переменных издержек, связанный с увеличением объема производства на одну единицу, не является постоянным. Предположим, что переменные издержки увеличиваются нарастающим темпом. Это объясняется тем, что фиксированы постоянные ресурсы, а в процессе роста производства увеличиваются переменные ресурсы. Таким образом, предельная производительность падает и, следовательно, переменные издержки увеличиваются нарастающим темпом.

Для расчета переменных издержек будем использовать формулу (5), причем по результатам статистического анализа установлено

Y е [1;1,5].

При Y = 1 переменные издержки растут линейно:

ТУСп = ПУСп х QYn , п = 1т, (7)

где ТУСп - переменные издержки на производство продукции п-го вида.

ТСп = ТЕСп + иУСп,

где ТС7 - валовые издержки на производство продукции п-го вида.

Себестоимость единицы продукции п-го вида (иТСп) рассчитывается по формуле:

ТС

ЦТС = —п

Qn

Если задан процент прибыли на себестоимость n-го вида продукции (MUPn), тогда расчетная базовая цена на единицу продукции n-го вида (Pn) будет определена следующим образом:

MUP MUP

Pn = UTCn + UTCn х------^ = UTCn (1 +------n).

n n n 100 100

Затем необходимо при заданной цене определить минимальный объем выпуска продукции, при котором предприятие не понесет убытков, но и не получит прибыли. После определения этого минимального объема производства предприятие, учитывая свои производственные мощности, решает либо произвести продукции свыше этого объема, чтобы обеспечить целевую прибыль, либо отказаться от данного вида продукции в случае, если нет возможности произвести этот минимальный объем продукции. Графически контрольная точка определяется пересечением линий валовых издержек и валового дохода.

Вычислим валовой доход от реализации n-го вида продукции (TRn):

TRn = PMn х Qn, (8)

где PMn - рыночная цена n-го вида продукции.

Затем вычисляем критерий безубыточности при реализации n-го вида продукции (Rn):

Rn = TRn - TCt. (9)

Контрольная точка, т. е. объем производства Qn, при котором предприятие не имеет ни прибыли ни убытка, определяется путем минимизации критерия безубыточности R (Qn) ^ mtn.

Объем производства Qn может быть определен следующим образом:

Qn =-

TFCn

(PMn - UVCn)

С учетом вышеизложенного сформируем следующую систему неравенств:

Qn ^ 0, n = 1,m, [Q < Q P = PM •

| z^n — Ä^nmax ’ n n ’

[Qn > Qnmax , Pn > PMn ';

R(Qn) ^ min.

Qn

(10)

То есть необходимо определить оптимальное количество выпускаемой продукции Q,

заданное вектором Q(е) = (Qle\Q2,e\ ..., Q(e)

)

целевой функцией (6) и удовлетворяющее системе (10).

В таком виде задача оптимального планирования и управления представляет собой статическую задачу дискретного программирования, решение которой находится симплекс-методом.

Для оценки динамики и прогнозирования будущих состояний системы необходимо перейти к динамической модели планирования и управления.

На заданном целочисленном промежутке времени 0,Т = {0,1, ..., Т} (Т > 0) рассматривается многошаговая динамическая система, которая состоит из одного управляемого объекта - объекта I (управляемого игроком Р).

Обозначим:

и;(0 - интенсивность использования у-го технологического способа (у е 1, т) в период времени ^

5() (7 е 1, п) - величину спроса на 7-ю продукцию, выпускаемую в период времени i.

Предположим, что мощности производства таковы, что они могут удовлетворить возникающий спрос, т. е. всегда имеет место неравенство

Обозначим:

Q7(i+1) - количество 7-й продукции

(7 е 1, п), образовавшейся на складе к концу периода времени ^+1) (запасы в период ^+1)), которая формируется из запасов Q7(t) предыдущего периода и образовавшихся излишков в этот период времени по формуле

т

а, ^ +1) = а, ^) + 1 Ьу ^ )иу и) - 57 и)

у=1

(t е 0, Т-1; t е 1, n) или в векторной форме

Q(t + 1) = Q(i) + Б(^) - 5(i) (i е 0, Т -1), (11)

где В(0 - «технологическая матрица» производства.

Отметим, что если в начале периода времени ( + 1) на складе имелись запасы в количестве Q(i), то к концу этого периода для продажи будет годна только часть, равная А^^^), где А^) = ||а77 ^)||7е1“п - диагональная матрица,

характеризующая «старение» продукции за этот период. В этом случае уравнение, описывающее производственный процесс, будет иметь вид

Xby (t)uj(t) - si (t) - 0 (t є 0, T -1; i є 1,n).

j=1

Q(t + 1) = А^О + В(0и(0 - 5(t) (t е 0, Т -1). (12) Обозначим:

g(u(t), 0 - издержки от использования технологических способов с интенсивностями и(0 = {иДО, U2(t), ..., ит(0} в период времени t ^ е 0, Т-1);

f(Q(t), t) - затраты на хранение готовой продукции на складе в количестве Q(i) = = Ш^), Q2(i), •••, Qn(t)} в период времени t.

Тогда общие издержки производства за период планирования 0, Т определяются значением следующего функционала

Ф = 1[/Ш), t) + g (u(t), t)], (13)

i=0

который часто можно представить в виде линейной функции

ф 1 = І[{c(t)’Q(t))n+{d(t)’u(t))m ],(14)

i=0

где для любых векторов а, Ь е Як .

Решение задачи будет состоять в нахождении такого плана {и(0), и(1), ..., и(Т-1)} (последовательности интенсивностей), при котором значение величины общих затрат будет минимальным. При этом начальные запасы продукции х(0) = {х^0), х2(0), ..., хп(0)} считаются заданными и в последующие периоды времени для всех 7 е 1,п и t е 1,Т должно выпол-

няться неравенство xi(t) >0, а значения векторов интенсивностей должны выбираться из некоторой допустимой области Ц*(t) сКт , т. е. удовлетворять заданному ограничению и(t) = {щ(t),U2О), •••, Um(t)}еU*(t). (15)

При этом множество и*(t) формируется по имеющимся ограничениям на мощности производства.

Методы решения задач математического программирования с одним критерием интенсивно разрабатывались последние 40 лет. Изучение таких методов, однако, отражало самый ранний этап в развитии математического программирования. Сейчас становится ясно, что практически любая серьезная реальная задача характеризуется больше чем одним критерием. Лица, принимающие решения, в значительно большей степени, чем когда бы то ни было, ощущают необходимость оценивать альтернативные решения с точки зрения нескольких критериев.

Результаты исследования задач планирования и управления показывают, что в реальной постановке эти задачи являются многокритериальными. Оценка деятельности предприятий и планирования системы принятия решений производится на основе нескольких критериев: выполнение плана производства по объему, по номенклатуре, плана реализации, прибыли по показателям рентабельности, производительности труда и т. д.

Ранее, при исследовании проблемы мно-гокритериальности, часто все критерии, кроме одного, выбранного доминирующим, принимались в качестве ограничений, оптимизация проводилась по доминирующему критерию. Такой подход к решению практических задач значительно снижает эффективность принимаемых решений. В связи с этим в данном пункте будет сформирована общая постановка задачи многокритериальной (векторной) оптимизации планирования.

Усложним задачу планирования и управления вводом новых критериев, позволяющих более качественно оценить состояние системы и спрогнозировать ее развитие. Для этого сформулируем некоторые дополнения, касающиеся ее постановки.

Для решения задачи многоцелевой оптимизации планирования и управления должны быть обеспечены следующие условия. В частности, должна быть предоставлена возможность изменять в определенных пределах независимые переменные, влияющие на критерии качества.

Такую независимую переменную величину, которую можно изменять в некоторых пре-

делах и которая оказывает определенное влияние на все критерии качества или только на некоторые из них, принято называть управляемой переменной (или управлением).

Совокупность всех управляемых переменных необходимо рассматривать как вектор управления. Ему ставится в соответствие точка п-мерного пространства управлений.

Множество допустимых значений управляемых переменных назовем областью управления. Она характеризует ту часть пространства управлений, где находятся все реализуемые управления.

Пространство целей (или целевое пространство) - это пространство, координатами которого являются значения всех рассматриваемых критериев качества.

Областью целей (или целевой областью) называется множество точек в пространстве целей, где лежат все возможные значения векторов цели.

Зависимость критериев качества от управляемых переменных представляет собой некоторое отображение пространства управлений на пространство целей. При этом каждой точке области целей соответствует одна или несколько точек пространства управлений. Это значит, что один и тот же результат (одна и та же целевая точка) может быть достигнут с помощью различных комбинаций значений управляющих величин.

Эффективным множеством компромиссов называется множество всех целевых точек, которые нельзя далее равномерно (т. е. одновременно по всем критериям) улучшить в рамках имеющихся возможностей управления. Таким образом, к этому множеству относятся все точки, несравнимые друг с другом в смысле улучшения или ухудшения эффекта управления.

Усложним задачу необходимостью согласования объемов производства и спроса.

Введем следующие обозначения:

п - количество типов продукции, которые могут быть изготовлены на предприятии в планируемый период;

т - количество необходимых для изготовления продукции ресурсов;

Ху - план производства у-й продукции,

у = 1,п;

ау, Ьу - нижняя и верхняя границы возможного выпуска у-го вида продукции;

Т7 - количество 7-го ресурса, которым располагает в плановом периоде предприятие 7 = 1,т;

Су - цена у-й продукции;

С*,Су - соответственно нижняя и верхняя границы цены у-й продукции;

В(^ = (Ьу) - технологическая матрица производства, где элемент Ь7у есть норма расхода 7-го ресурса на изготовление единицы у-й продукции, 7 = 1,т , у = 1,п ;

- суммарные затраты на производство и реализацию у-й продукции;

Ру - прибыль от реализации у-й продукции;

Я7 - количество 7-го ресурса, дополнительно приобретаемого предприятием для увеличения выпуска товаров;

е7 - цена единицы 7-го ресурса;

В - объем денежных средств, которые предприятие может выделить для приобретения дополнительных ресурсов;

t - шаг моделирования.

Будем считать, что спрос на продукцию предприятия фиксирован и его колебания незначительны, но при этом технические характеристики продукции совершенствуются со временем. В модели совершенствование техпроцесса производства будет отражено в виде замены одого вида продукции другим, более техничным.

В этом случае предприятие заинтересовано в расширении рынка сбыта и оперативном внедрении новейших производственных технологий.

В формализованном виде эта ситуация будет описываться следующими соотношениями:

ау ^ Ху ^ Ьу;

ау > 0;

ьу > 0;

< Ьу,у е 3;

| ?

Х7 > а,;

а1 > 0,7 е I

0 ^ Ха ^ ¿а;

> 0,а е в

где ./ - множество видов продукции, спрос на которую стабильный; I - множество видов продукции с усовершенствованным техпроцессом; ¿у - верхняя граница выпуска устаревшей продукции; В - множество видов продукции, процесс производства которых может быть усовершенствован.

В этой ситуации предприятие заинтересовано в увеличении выпуска той продукции, спрос на которую повышен и в оперативном совершенствовании технологического процесса

производства этой продукции. Чтобы это осуществить предприятие должно иметь устойчивое финансовое положение, располагать требуемыми материальными и трудовыми ресурсами.

Одной из основных особенностей динамических оптимизационных задач является мно-гокритериальность. Эффективность стратегий в них оценивается не одним, а несколькими критериями. Считается, что во множестве векторных оценок у лиц, принимающих решения, существуют отношения предпочтения, безразличия и нестрогого предпочтения, на основе которых с учетом имеющейся информации о случайных и неопределенных факторах и надлежит выбрать оптимальную стратегию. В однокритериальных задачах эти отношения оказываются полностью известными, как только выбран критерий эффективности, отыскание оптимальной стратегии сводится к решению соответствующей задачи математического программирования. Однако в многокритериальных задачах критерии обычно противоречивы в том смысле, что не существует стратегии, наилучшей одновременно по каждому из них.

Задача представляет собой векторную задачу динамического программирования. Алгоритм решения задачи (16) приведен ниже.

i L(x) = I Xj ^ max;

jeIi

L (X) = I Xj ^ max;

jeI 2

Lr(x) =I Xj ^ max;

jeIr

\Z(x)=I PjXj ^ max; (16)

jeD

a, < x,- < b, , j e J;

J J J J

xt > at,i e It,l = 1,r;

Ial]x] < Ti,i =1,m;

jeJ

0 < xd < dd,d e D;

Большинство известных методов предусматривает использование информации о важности критериев. Одним из наиболее известных методов такого рода является метод обобщенного критерия.

Вначале все исходные критерии Ki приводят к сопоставимому безразмерному виду K, т. е. «нормализуют». Чаще всего исполь-

^ *

зуют такие преобразования: K = Ki/ai и

^ * *

K = (Kt - a*)/(ai - a*), где ai - некоторые

плановые значения критериев К,, а а,* - минимально возможные значения критериев К,. Далее все критерии Кі «сворачивают» в одну функцию - обобщенный критерий К’, учитывая их относительную важность при помощи специальных положительных чисел а, называемых коэффициентами важности или весовыми коэффициентами. Обычно требуется,

т

чтобы Еа =1. В итоге исходная многокри-

і=1

териальная задача сводится к обычной задаче оптимизации по одному критерию К’.

Применительно к задаче (16) метод свертывания критериев заменяет все целевые функции на одну следующего вида:

Цх} = ЕаЦ(х)■

■ тах,

і=1

где весовые коэффициенты а7 характеризуют степень зависимости 1-й продукции в части владения рынком сбыта. При этом выполняется условие:

Еа =1.

/=1

Задача (16) разрешима, т. е. существует оптимальный план X = (хх,х2, ...,хп), которому соответствует величина прибыли, равная

2о =Е(С, -ї1>хІ .

(17)

Общую схему решения задачи оптимального управления и планирования производства для каждого момента времени t е 1,Т

• тах;

р(х) = Еаі1і(х)-і=1

а ■ < х■ < Ь,, і є 3;

} } } х, > х]к+1,і є !;

Е аііхі < Т, + Д, і = 1,т;

і Ц і і і’

іє3

ЕР}х} > 2о( 1 + і);

ІєЄ

т

Е еД < 0,9 • V. і=1

Таким образом, в результате многошагового моделирования будет достигнуто увеличение плана выпуска продукции, пользующейся повышенным спросом, и повышение прибыли.

Весовые коэффициенты а7 характеризуют степень значимости для предприятия /-го вида продукции, к - номер итерации; Хук - количество продукции у'-го вида в оптимальном плане на к-й итерации; t - шаг моделирования.

Ограничения а у < Ху < Ьу, у е 3 свидетельствуют о возможности уменьшения нижней границы выпуска продукции, пользующейся относительно стабильным спросом. Ограничения Х{ > Хк +1, 7 е I требуют увеличения выпуска (как минимум на единицу) продукции неограниченного спроса при переходе от итерации к итерации и совершенствования технологического процесса. Ограничение Е а у Ху < Т i + Я7,7 = 1, т свидетельствует о воз-!е3

можности увеличения ресурсов. Ограничение

Е РуХу > Z0 (1 +1) требует увеличения прибы-

Зе

т

ли. И, наконец, ограничение Е е7Р7 < 0,9 •

7=1

говорит о том, что расходы на дополнительно приобретаемые ресурсы не должны, например, превышать 0,9 от дополнительно получаемой прибыли, так как в противном случае нет смысла приобретать ресурсы, затраты на которые равны или превосходят получаемую за счет этого прибыль.

В заключение следует отметить, что практическая реализация программного обеспечения на базе приведенной математической модели позволит оптимизировать процессы управления хозяйствующим субъектом.

1