Математическая модель грозовых перенапряжений в линии передач с учетом зависимости тока молнии от времени Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 53.072

Ю.М. Григорьев, М.Н. Орлова

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГРОЗОВЫХ ПЕРЕНАПРЯЖЕНИЙ В ЛИНИИ ПЕРЕДАЧ С УЧЕТОМ ЗАВИСИМОСТИ ТОКА МОЛНИИ ОТ ВРЕМЕНИ

Аналитически и численно решены задачи о волне тока и напряжения в линии передачи, возникающей при разряде молнии вблизи линии. Построенная модель учитывает зависимость тока молнии от времени.

В наших предыдущих работах аналитически и численно решены задачи о волне тока и напряжения (ВТН) в предположении о мгновенном характере разряда молнии, рассмотрены случаи разряда молнии в землю и между двумя облаками [1, 2]. В нашей работе [3] представлена математическая модель ВТН, учитывающая зависимость тока молнии от времени и аналитически решена задача о ВТН. В этой статье приведены другой вид решения для случая произвольных погонных параметров Я, С, Ь, в и результаты новых численных расчетов. Напомним, что волной тока и напряжения мы называем явление возникновения электрических токов и напряжений в проводниках линий передач при ближнем разряде молнии [1]. Причиной возникновения ВТН является «разбегание» по линии передачи зарядов, подтянутых электростатическим полем грозового облака. Наши модели существенно отличаются от общепринятых моделей расчетов индуцированных пере-

напряжений [4], в которых принято вычислять горизонтальную составляющую электрического поля излучения канала молнии вблизи линии передачи.

1. Математическая модель

Рассмотрим линию передач с одним проводником. Ось х направим вдоль этого бесконечного проводника. Проводник характеризуется распределенными параметрами Я, С, Ь, О - сопротивлением, емкостью, индуктивностью и коэффициентом утечки, рассчитанными на единицу длины. Грозовое облако моделируем точечным зарядом Q, расположенным на высоте И над кабелем и на высоте к + I над проводящим полупространством (проводящий слой земли). Следовательно, проводник находится в поле заряда и его электрического изображения (рис. 1).

Рис. 1. Геометрия модели

Проводник считаем заземленным в бесконечно удаленной точке, потенциал Земли у=0, т.е. индуцированные на проводнике заряды создают такой потенциал, который компенсирует потенциал, создаваемый двумя точечными зарядами Q и ^.

Пусть в момент времени 1=0 облако начинает разряжаться, и зависимость заряда облака от времени выражается функцией Q(t), Х>0, тогда ток молнии равняется dQ(t)/ йХ. При уменьшении заряда облака на dQ за время & те заряды на линии, которые компенсировали потенциал этого заряда dQ (и его изображение -dQ), становятся свободными и начнут «разбегаться», возбуждая ВТН в линии. Другими словами, разряд грозового облака эквивалентен действию некоторого источника зарядов в линии. За время dt на элементе dx этот источник вырабатывает количество зарядов dq1, равное

йд1 = Сйхйи = С/ (х)йхй^),

где

/ (х) =

4пєп

7(2/ + К)

22 2 + х

(1)

(2)

- ийх = іЯйх + Ьі,йх.

(3)

их + Ьі( + Яі = 0, - да > х > да, і > 0,

іх + Си, + Ои = С/ (х) ^, йі

и( х,0) = 0, і( х,0) = 0.

(4)

2. Решение задачи Коши для неоднородной системы телеграфных уравнений

Решим задачу Коши для неоднородной системы телеграфных уравнений в общем виде:

их + Ьі( + Яі = g(х, і), - да > х > да,

іх + Си( + Ои = у/( х, і), і( х,0) = 0, и (х,0) = 0.

і > 0,

(5)

такой вид функции соответствует тому, что заряд находится над началом координат.

Выведем систему телеграфных уравнений с учетом действия такого источника зарядов. Применяя закон Ома к участку длиной йх, получаем:

Следуя стандартной процедуре [5, 6] введем новые искомые функции у(х, Х) и](х, Х):

и (х, t) = е "V (х, t) , /(х,t) = х,t) , (6) ЯС + ЬО

где Х--:

2 ЬС

телеграфные уравнения вида

^ - а - к 2у = р (x, 1X

где введены обозначения

для этих функций получаем

(7)

Количество зарядов, притекающих в элемент проводника йх за время dt, равно

dq2 = (/(х, Х) - ¡(х + йх, Х ))йХ = -¡хйхйХ,

за это время dt на участке йх за счет действия указанного выше «генератора» дополнительно образуется количество зарядов dq1. Количество заряда dq3, которое идет на зарядку элемента йх за счет электроемкости, равно:

dq3 = С (и (х, Х + й) - и( х, Х ))йх = Си(йхЛ,

количество заряда dq4, теряющегося за счет несовершенства изоляции:

йq4 = ОийхйХ

Согласно закону сохранения заряда: йq1 + йq2 = йq3 + йq4.

Подставляя сюда выражения для зарядов, получаем

С/ (х)йхйQ - 1хйхй = Си(йхй + ОийхЖ.

Из этого соотношения и из уравнения (3) получаем искомую неоднородную систему телеграфных уравнений и, добавляя нулевые начальные условия, получаем задачу Коши, описывающую ВТН в линии передачи, с учетом зависимости тока молнии от времени:

ЬС

2ЬС

р(хХ) = ь~Се Ь(хХ)"^(хХ)+Я^(хХ)1

Для постановки задачи Коши определим начальные условия и(х, 0)=у(х, 0)=0. Из формулы (6) находим

Ух (х,0) = и, (х,0), из второго уравнения системы (5) при 1=0 получаем ¡х ( х,0) + СиХ (х,0) + Ои( х,0) = у/( х,0),

отсюда найдем и1 (х, 0) и подставим ее в (8), с учетом того, что и(х, 0)=0 и I (х, 0)=0, находим

¥( х,0) С '

Таким образом, для функции у(х, і) получили задачу Коши:

^ - а2ухх - к^ Р(x, і),

у( х,0) = 0,

¥( х,0)

- да > х > -да, і > 0 (9)

V (х,0) = ■

С

1

1

1

Аналогично получаем задачу Коши и для функцииу(х, і):

и -а2іх -к= ¥(х-да> х і > 0

у( х,0) = ^

и (х,0) = * (х,0)

(10)

Ь

где

^(х Х)=т<Се ~ЯХ ^С8{ (х Х)+08 (х Х) - ¥х (х Х ^

Решим задачу Коши для телеграфного уравнения в следующих обозначениях:

(Оп - а 2®хх - к 2ю = Р (х, Х), -да> х >-го, Х > 0

ю(х,0) = 0, (11)

щ (х,0) = ^( х,0),

(12)

решение данной задачи ищем в виде:

Ю = Ю1 +ю2.

В этом случае задача Коши (11) разделяется на две за -дачи:

- аЧхх - кЧ = Р(^ ХX

«1( х,0) = 0, (13)

со1{ (х,0) = 0,

®2,і - а ®2хх - к ®2 = 0

<^2( х,0) = 0, со21 (х,0) = (р( х,0),

(14)

Решения задач (13) и (14) даны в работе [6] и имеют

вид:

* ґ х+ а (і-г)

1(^і) = 2а ^ йТ ^ Р(^,Т) 1

ю.

0 х-а (і-т)

К (і-*)

2 (х "С)2

йС,

<15)

л х+аі

(х’і) = 2а ^ ^,0)7°

2 (х-С)2

й£, (16)

где /0(г) - модифицированная функция Бесселя.

Подставляя формулы (15) и (16) в (12), получаем решение задачи (11). Используя это решение, находим решения задач (9) и (10), а затем и решение нашей задачи для неоднородной системы телеграфных уравнений (5) в виде:

и і х+а(і-т)

0 х-а(і-т)

п і х+а (і-т)

кА (і-т)2 -

(х-О2

2аЬС

0 х-а (і-т)

кЛ (і-О2

(х-С)2

й£-

йС +

Хі і х+а(і-т)

- 0 х-а (і-т)

х+аі Ґ

2аС ^^ к1

х—аі V «

К (і-о2-

(х-О2

+

і2 _ (х -С)2

й£

йС + (17)

Аі і А™',1 '■І

і(х, і)=—Ій І

„Яі і х+а (і-т)

^ 0 х-а (і-т)

и і х+а (і-т )

К (і -тґ -

2 (х-О' Л

Є

2аЬС

0 х-а (і-т)

Хі і х+а(і-г)

0 х—а(і-т)

ґ

К (і-^)2 -

(х -С)2

+-

2аЬ

І g (С,0)/ 0

2 (х "О2

йС

йс-йс +

йс + (18)

Имея в виду необходимость численной реализации, избавимся в первом интеграле в (17) от производной. Перепишем его отдельно:

і х+а (і-т)

I йт | у/т(С,т) 10

Ы(і -т)2

(х-О2

а

¿С (19)

0 х-а(Х-т)

Поменяем в этом интеграле порядок интегрирования. Для этого выясним, что область интегрирования является характеристическим треугольником на фазовой плоскости (рис. 2). При этом для каждого фиксированного момента времени Х берутся интегралы по горизонтальным отрезкам в пределах этого треугольника. При перемене порядка интегрирования необходимо для каждого фиксированного х интегрировать по вертикальным отрезкам в пределах треугольника.

0 х+аі £ х х-аґ

Рис. 2. Область интегрирования

2

а

а

2

а

а

2

а

Є

2

а

х—аі

и

2

а

2

а

Найдем пределы во внутреннем интеграле после перестановки. В области ^ < х уравнение характеристики имеетвид £ = х — а (і — т), отсюда находим верхний

С-х

предел Т = і + -

области С > х уравнение характеристики имеет вид

С = х + а( і - т),

С-х

х- аі С

Ч (і-о2 -

(х-С)2

ёт -

і-¿-х х+аі а

к, (і-т)2 -

(х-С)

а

ёт

| е-ХС,г)/с Ц(і-г)2 -

х-аі

С~х і+--

х а п

- Iё£ { ^(С,т)—е-ХЧ

х-аі С

х+аі

+ | е^ХС,-г)/,

(х-С):

“Л

ё£

дт

(

к А (і -г) -

2 (х-С)'

ёт +

к-і(і-г)2 -((х-Р-

ёС

/

С-х

і

х+ аі а

IёС | ^(С,т)—е

к А (і -г) -

2 (х -С)'

| + 1(і+ а )ё^- } у(С,с)/с

х-аі

г

(х-С)2

(х - >0

а

ёС | НС,і)е

х-аі С

к(т- і)

(х - У)

к(т - і)

нижний предел равен С. В

(і-г)2 -

(х -О2

К\(і -г) -

(х -О2

ас

(2С)

поэтому верхнии предел равен

^ — і • Таким образом, интеграл (19) принимает

вид:

Здесь использованы свойства модифицированных

д10( х) т . .

функций Бесселя: /0(0)=1, —0----= 11 (х).

дх

Далее интегрированием по частям преобразуем и второй интеграл из (17):

і х+а(і-т)

(

С х-а(і-г)

і

к

(і -О2 -

(х-а

Л

ёС =

| е Ят(&(х + а(і - т), т) - ^(х - а(і - т), т))ёт

Теперь, интегрируя по частям, получим следующие выражения:

і х+а(і-г)

-Іё І <

С х-а(і-г) 2

к (х-О

а\1( ~*)2 - (х 2^)

& (£,т)/і

к,/(, -Г)2 - ^ Л

а

ёС

(21)

С учетом полученных формул (20) и (21) решение нашей задачи (17) принимает следующий вид:

С-х

е а +

ёт =

л х+аі ґ

1с I ^

2аС

і ]е_^~а ёС +

а )

2аС

| ёС | ¥(С,т)е-Ят

х-аі С

г Ґ

Х/с V 1 )

V

(-Я)/с

и (і -г) -

(і-.)■ - (х#

а

клІ(і-г)2 -^-Р-

ёС-

+ аі Ґ /-• \ .ґ х х+аі ( I

| тд-Iе і а ё^~ К,С)/с 4і2 ~

хх

(х-С)2

а

(х-С)

а

к (т - і)

(і-т)2 -

(х-С)2

кл (і-О2 -

Л

е

С-х

М х-аі ' а

ёт+|ёС \ ^(С,^)е

2аС ,і і

-Ят

(х-СУ

і

х+аі а

(-А)/0

г (

X/ с

V V

к.

(і-г)2 -

а

к (т - і)

(і-т)2 -

(х-С)2

а

2

а

а

2

а

2

а

2

а

и

2

а

С

2

а

а

а

С

С

2

а

х-аі

2

а

/

2

а

а

2

а

к

(г-т)2 -

(х-С)2

а

кег

-м г

ёт~ а~ [ е^(8(х' 2 -1

+ а(г -т),т) -щ( х - а(г - г), т))<1т +----------Г ёт

2а -1

х+ а(-г)

' 1 е

ке ^ ^ х+ а(1_т) х-а(г-г)

а(г-т),т) - 8(х - а(г-т),т))ётн------------------Г ёт Г .

2а • •, ,

0 х- а(г-т) __________

(

х-С

Ч (г-т)2 -

-Ят

х-С

(х-О

(г -т)2 -

2 ^

к

а

(х -о!

~М г х+а(г-т)

(х-С)2

(г-О2 -

а

-М г х+ а(г-т)

0 х-а(г-т)

2

а —ае

к-

(х-С)2

а

ё£.

0 х-а(г-т)

Ч (г -О2 -

(х -С)2

а

ё£.

3. Аналитическое решение

(22) В данном разделе, используя результаты раздела 2, найдем аналитическое решение задачи (4), описывающей ВТН. Для этого в формулы (22) и (23) подставляем значения

ё0(г)

Аналогичными преобразованиями из формулы (18) и„ ,, г) = 0,щ(х, г) = С/ (х) иполучаем

гпгиом! тлтпгтг ттттсг г>тт -гит тт-о • А*' О \ “ / •> т ^ \ у т. ^

получаем формулу для силы тока:

-я-

С-х

г+-—- е а ё£, +■ а

ёг

следующие выражения для величин ВТН:

5^-х

а(х-г)=2ас I лс-‘+^тх

$ 8$, 1 л а ё(+

,£-х

2аЬ

х

С-хVя— ^ е* х-

С~х

Яг х+аг ' ' а

г+

2аЬ

|ёС { 8(СдХ

■Ят

( ( XI0

V V

х—аг 0

Ч (г -^)2 -

(х -С)2

а

(х -С)2

а

к (т - г)

(г -О2 -

(х -С)2

к.

Г Г

у(С,т)е XI0 ч V

(г-О2 -

(х-С)

(г -т)2 -

к(т - г)

а

М х а

х-аг 0

(г-т)2 -

(х-С)2

(-АУ,

С~х

0 к х-аг

Ч (г-О2 -

( (

2 (х-С)2

ёт -

к.

(г -г)2 -

а

к (т- г)

+2аС II ^,т)е

х 0

к (т- г)

ИГ

0

V V

N (г -т)2 - ^

(г -т)2 -

(х -С)2

а2

(г-т)2 -

(х-С)2

Ч (г-^)2 -

ёт -

к.

(г -г)2 -

а

ёт -

ае

-М г

2

е~1т(¥( х

+ а

п.у0-^ г х+а(1-т) (

+-----2— } ёт } е-А1^(С,т)/(

0 х-а(г-х)

к л (г -т) -

(х-С)2

ёС,

(24)

и 49

2

а

е

х-аг

1

1

а

2

а

I

I

2

а

2

а

I

2

а

2

а

2

а

„-Лі і

і(х, і) = - —— Ге Ят(щ(х + а(і -т),т)-9 *

ке ~М Г х+а (р_Т)

-щ(х - а(і-т),т))ёт + —— І ёт | е

С х-а (і-т)

х-С

(і-т)2 -

2 (х-О2

¥(С,^)/і

( ' 2 (х-О2 ^

Ц (і-г)2--

и( х, і) =

2аС

I у/| С,і+ -—— Іе а йС, +

х—аі ^ а У

л х+аі ґ

С і ^

2аС

, Ул£? *

а )

-Лі і

Тогда = _ Ос. ^( іС _ і ).

ёі іп

откуда у(х, і) - С/(х)

ёб(0 СОс

ёі

і

/(хШс - і).

вид:

и( хі)=_ 2С 1/ (0,,(

іс - і -

-А-

2аС

Л.-І-иі

I / (Ол

іС - і +

С-х'

-А-

С-х

а

е а ё£-

6се

2аі

а

ІёС І /(С)е-

( ( X/,

ёС.

(25)

С х-а С

к (і - т)

к'1 а "Т)2 “ {(ЧР~

Рассмотрим неискажаюшую линию передачи, т.е когда погонные параметры удовлетворяют соотношению —С=Ь(. В этом случае:

А = - —, к = 0,

Ь

и формулы для величин ВТН существенно упрощаются:

(і-О2 -

(х -С)2

=/1

кл!(і -т)2 -

а

ц(іс -т)ёт -

ҐЛ А

0Се

2аі,

IёС | /(С)е-

( ( (-Л) / с

к (і - г)

клІ(і -*? -

/1

ц(іс -Оёт -

ЯСОсс ае

-и і х+ а (і-т)

(26)

2і

{ ёт { е"*/ (С)/с

(х -о

(27)

/(х,г) = -—— Ге Ят(у(х + а(г-т),т)-

2 о

-у( х - а(г - т), т))ёт.

4. Прямоугольный импульс тока молнии

Рассмотрим случай, когда ток молнии имеет вид прямоугольного импульса с длительностью !0, с амплитудой I0=Q0/t0, где Q0 - первоначальный заряд облака, в этом случае заряд облака выражается функцией

Q(г) = Qо(l - г Ш» - г),

г0

Г1, при г > 0 , V

где г}=\ - — единичная функция Хевисаида.

[0, при г < 0

С С х-а(і-г)

2 1

л(іс> -т)ёс.

Ч (і-о2 -

(28)

Аналогично получаем решение для силы тока (27):

і(х, і) = ОсСае— |е Ят(щ(х + а(і - г)) -

-М і

2

с с

-у(х-а(і -т)))т](іс -т)ёт -

кОссСе

2аі,

-М і х+а (і-т)

} ёт } .

С С х-а (і-т)

-Лт

х-С

^(С,т)/1

к.

( і -^)2 -

( х -С)

Л

а

ёС.

(29)

В случае неискажающей линии передач решение (28), (29) будет иметь вид:

Таким образом, решение (24) задачи (4) будет иметь

и(х,і) = - Ос

2аі,

] /Юп

С х-а і

С-х

а

е а -

(3С)

Ж

2а іп

х-\-ш

| Ж)ч

іс ~і~

С-х |е а ё^,

2

а

2

а

а

1

2

а

е

а

а

Г'Ч —ÀJ t

i(x, t) = Qo üe— fe~AT(^(x + a(t -z)) -щ(x -2t0 0

(31)

- a(t - t))) 77(t0 - z)dz.

5. Численное решение

Численные расчеты проведены для случая прямоугольного импульса тока молнии с длительностью t0=50 мкс и амплитудой J0=20kA, Q0=1Клприй=1500м, 1=250м (сухой грунт над вечной мерзлотой или скальных грунтов, воздушнаялиния надущельем), r _ ю_3 Ом/

/ж’

C = 10~10 Ф/ L = 10~7 Гн/ , G = 10~6—1—.

/ж’ /м QM. м

На рис. 3 и рис. 4 приведены результаты расчетов в разные моменты времени для безразмерной силы тока и напряжения при разряде молнии в землю.

і гйї

Рис. 3. Волна силы тока для прямоугольного импульса тока молнии

T1 [к

0 . 0£

0 . С17 5,

ч о

н о о

\ p.Ütbi

" '=■ о

ш ■=' о о _.1 ■> !

-эо -го -10 io го го

Рис. 4. Волна напряжения для прямоугольного импульса тока молнии

Расчеты показывают, что максимальное значение силы тока в линии при приведенных выше параметрах достигается в точках, расположенных на значительном расстоянии. Сравним полученные результаты с результатами рас-

четов по модели с мгновенным разрядом молнии [7]. На рис. 5 приведены распределения силы тока в линии при достижении ее максимального значения, рассчитанные по этим двум моделям при одинаковых параметрах.

Рис. 5. Волны тока для двух математических моделей при достижении максимальных значений силы тока

Видно, что максимум тока в модели с мгновенным разрядом молнии в несколько раз больше, чем в модели с учетом зависимости тока молнии от времени. Видны и различия в крутизне переднего фронта волны. Максимальные значения силы тока достигаются в разные моменты времени.

На рис. 6 приведены распределения напряжения в линии при достижении ее максимального значения, рассчитанные по этим двум моделям при одинаковых параметрах.

ї[Кгї]

Рис. 6. Волны напряжения для двух математических моделей при достижении максимальных значений

Ясно, что модель с учетом мгновенного разряда молнии более адекватно описывает изучаемое явление.

Литература

1. Григорьев Ю.М., Наумов В.В., Николаев П.И. Исследование влияние электромагнитного воздействия на кабельные линии // Физика высокоширотной ионосферы и распространение электромагнитных волн. Якутск, 1988. С. 126-132.

2. Григорьев Ю.М., Орлова М.Н. Математическая модель грозового перенапряжения в линии передачи при разряде молнии между двумя облаками // Динамика спл. среды. Вып. 122. Новосибирск, 2004. С. 53-56.

3. ГригорьевЮ.М., Еремеев С.Н., НаумовВ.В. Семенов А.А. Расчет волны тока, индуцированной разрядом молнии, в кабельных линиях // Десятый международный Вроцлавский симпозиум по электромагнитной совместимости, 26-29 июня, 1990 г. Вроцлав, 1990. С. 247-252.

4. Rachidi F., Ianoz M., Nucci C.A., Mazzetti C. Calculation methods of the horizontal component of lightning return stroke electric fields / Eleventh International Wroclaw Symposium and

Exhibition on Electromagnetic compatibility September 2-4, 1992. Wroclaw, 1992. C. 452-456.

5. Тихонов A.H., СамарскийА.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.

6. БудакБ.М., Самарский АА., Тихонов А.Н. Сборникзадач по математической физике. М.: Наука, 1980. 688 с.

7. Григорьев Ю.М., Орлова М.Н. Математические модели грозовых перенапряжений в линиях передач // VII Лаврентьевские чтения. Научная конференция. Секция «Математика, механика и физика»: Сб. статей. T. I. 7-11 апреля 2003 г. Якутск, 2003. С. 29-33.

Работа выполнена по гранту № 06-08-96020 конкурса РФФИ-Дальний Восток.

Yu. M. Grigoriev M.N. Orlova

Mathematical model of lightning overvoltage in the transmission line taking into account a dependence between lightening current and time

The authors present analytical and numerical solution of tasks on wave of a current and voltage in transmission line that happens as a result of lightning near the line. The designed model takes into account dependence between lightening current and the time.

‘V‘V‘V