CC BY
29
ПРОМЫШЛЕННОЕ РЫБОЛОВСТВО. АКУСТИКА
УДК 539.3
С.М. Балабаев, Н.Ф. Ивина
Дальневосточный государственный технический рыбохозяйственный университет,
690087, г. Владивосток, ул. Луговая, 52б
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОАКУСТИЧЕСКОГО ПЬЕЗОПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ В ФОРМЕ ПОЛОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО
ЦИЛИНДРА
Получена система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая собственные колебания пьезопреобразователя в форме полого эллиптического цилиндра. Для решения поставленной задачи применена теория электромагнитного поля, теория упругости и электроупругости, уравнения математической физики, элементы тензорного анализа и ортогональные криволинейные координаты.
Ключевые слова: пьезопреобразователь, ортогональные криволинейные координаты, собственные колебания.
S.M. Balabaev, N.F. Ivina MATHEMATICAL MODEL OF HYDROACOUSTIC PIEZOTRANSDUCER IN THE FORM OF A HOLLOW ELLIPTIC CYLINDER
The system of partial differential equations describing the natural oscillations of the piezoelectric transducer in the form of a hollow elliptic cylinder is obtained. Electromagnetic field theory, theory of elasticity and electro-elasticity, equations of mathematical physics, elements of tensor analysis and orthogonal curvilinear coordinates applied to the solution of this problem.
Key words: piezoelectric transducer, orthogonal curvilinear coordinates, natural oscillations.
Введение
Пьезокерамические преобразователи (пьезопреобразователи) являются одним из основных типов гидроакустических излучателей и приемников, применяемых на практике. Одним из достоинств пьезокерамики является возможность изготовления преобразователей различных геометрических форм. К настоящему времени разработана в основном классическая одномерная теория расчета пьезопреобразователей простейших геометрических форм: длинных стержней, коротких и длинных полых круговых цилиндров, тонких пластин. Эта теория не охватывает другие типы преобразователей, представляющих практический интерес с точки зрения получения широкой полосы излучения и формирования заданных характеристик направленности.
Для анализа математических моделей пьезопреобразователей классических типов применяются самые простые системы координат: прямоугольная и цилиндрическая. Это связано с тем, что их одномерные математические модели описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые в этих системах имеют наиболее простой вид. Кроме того, в применяемом математическом аппарате необходимо, чтобы пьезопреобразо-ватель был ограничен координатными поверхностями соответствующей системы координат, на которых задаются необходимые краевые условия.
Применение других известных систем ортогональных криволинейных координат позволит разработать математические модели пьезопреобразователей неклассических форм, например, в виде эллиптического цилиндра, эллипсоида вращения и некоторых других. Эти преобразователи могут обладать и определенными преимуществами при использовании их в качестве гидроакустических излучателей с точки зрения расположения в корпусе обтекателя подводного аппарата и формирования определенной характеристики направленности.
Целью настоящей работы является разработка математической модели преобразователя неклассического типа в виде эллиптического полого цилиндра.
Объекты и методы исследований
Объектом исследования является гидроакустический излучатель неклассического типа в форме полого эллиптического цилиндра, ограниченный координатными поверхностями эллиптической цилиндрической системы криволинейных ортогональных координат. Для решения поставленной задачи применена теория электромагнитного поля, теория упругости и электроупругости, уравнения математической физики, элементы тензорного анализа и ортогональные криволинейные координаты.
Результаты и их обсуждение
Предварительно рассмотрим систему эллиптических цилиндрических координат [1-3]. Координатными линиями этой системы в плоскости хОу являются два взаимно ортогональных семейства софокусных эллипсов и гипербол. При параллельном переносе по перпендикуляру к плоскости хОу рассматриваемые эллипсы и гиперболы опишут эллиптические и гиперболические цилиндры, образующие две системы взаимно ортогональных поверхностей. Третья система координатных поверхностей состоит из плоскостей, параллельных плоскости хОу. Уравнения координатных поверхностей в прямоугольной
(х, у, г) и эллиптической цилиндрической системах (V, Т], г) имеют вид
X
У
d 2ch 2v d 2 sh 2v
= 1,
X
У
j2 2 il ■ 2
d cos г/ d sin /
z = const.
=1,
v = const, / = const, z = const.
Эллиптические цилиндрические координаты связаны с прямоугольными координатами соотношениями
x = dchv cos/, y = dshv sin z = z.
Так как поляризация рассматриваемого цилиндра предполагается перпендикулярной к цилиндрическим эллиптическим поверхностям (частным случаем является хорошо известный радиально поляризованный круговой пьезоцилиндр), то криволинейные эллиптические координаты должны быть пронумерованы следующим образом: Oty = z, Oj = 1,
а3 = v.
Тогда коэффициенты Ляме [4] равны hy = 1, hj = h3 = dh, где
/2 -2 \1/2 h = í sh v + sin 1] I , 2d - расстояние между фокусами.
Векторные дифференциальные операторы Градиент
gradФ = — dh
дФ e дФ e
ev + e1
dv д1
+ ■
дФ_
dz
■ez.,
(1)
где ev е^, ez - единичные векторы, касательные к соответствующим координатным
линиям и направленные в сторону возрастания этих параметров. Дивергенция
divu
Ротор
= —^т-ísh2vuv + sin 2m]) + — +—1 ' ии3\ v ' 1' ли
2dh
rotu
1 duz duv
dh д1] dz
ev +
dh ^ ди
дU диТ uuv +__1
дv д1
'
диz
дz
1 диz
V
дz dh дv
1 +
+
—1 г-ísh2vu„ - sin2iuv I + — 2dh 1 v d
dh
ди1 диу дv дц
z
(2)
(3)
Теперь можно приступить к разработке математической модели пьезопреобразователя в виде полого эллиптического цилиндра. Пьезопреобразователь выполнен из пьезокерами-ки и ограничен двумя эллиптическими цилиндрами, на которых нанесены серебряные электроды. Большая полуось внутреннего эллипса равна а, большая полуось внешнего эллипса равна Ь . Преобразователь может быть акустически нагружен по внешней поверхности и иметь внутреннее заполнение. В режиме излучения на пьезопреобразователь подается электрическое напряжение Vехр(—1Ш) (V - амплитуда электрического напряжения; ( - круговая частота; ? - время; / - мнимая единица). В режиме приема упругая волна, падающая на преобразователь, генерирует в нем электрическое напряжение, которое снимается с его электродов и подается на электронный блок.
В основу решения задачи о колебаниях пьезопреобразователя должны быть положены дифференциальные уравнения движения, уравнения Максвелла для электромагнитного поля, система электромеханических уравнений состояния и граничные условия для упругих и электрических полевых тензоров.
Поскольку в интересующем нас диапазоне частот размеры преобразователя значительно меньше длины электромагнитной волны, уравнения Максвелла можно заменить уравнениями электростатики, которые при отсутствии свободных зарядов имеют вид
divD = 0, (4)
rot E = 0, (5)
где D - вектор электрической индукции; E - напряженность электрического поля. Дифференциальные уравнения движения в тензорной записи имеют вид [5]
2
В uk Bak!
Р—^Т = -ВГ , (6)
Bt2 Вщ
где р - плотность пьезокерамики; u^ - компонента смещения, - тензор напряжений. Систему электромеханических уравнений состояния запишем в виде
7kl = cklijsij - eklmEm,
(7)
D = e -s- + fs E
^n mj^ij ^ ^nm^m? E
где cklij - тензор модулей упругости при постоянном электрическом поле; eklm - тензор
s
пьезоэлектрических постоянных; sj - тензор деформации; Snm - тензор диэлектрической
проницаемости при постоянной деформации. Перепишем систему (7) в матричных обозначениях
7 = cfj sj - eimEm, (К j = 1 - 6Х (8)
Dn = enjsj + sSnmEm, Кn = 1 - 3). (9)
В дальнейшем анизотропией пьезокерамики и прямым пьезоэффектом будем пренебрегать, поскольку такое же допущение принимается и в большинстве работ, в которых рассматривается классическая одномерная теория для пьезопреобразователей известных типов. Тогда упругие постоянные керамики будут описываться только двумя упругими постоянными Ламе: X и ц. Также предполагаем, что у индукции и напряженности
электрического поля отлична от нуля только одна компонента (Dv, Ev ), перпендикулярная координатным поверхностям, на которых нанесены электроды. Тогда уравнение (9) запишем в виде
Dv =sEv. (10)
Ограничимся анализом работы пьезопреобразователя в режиме излучения при гармонической зависимости от времени exp(-ifflt), временной множитель в дальнейших выкладках опускается.
Из уравнения (4) с учетом (10) находим напряженность Ev = C / h. Проинтегрировав напряженность, определим C. В результате получим
Ev = V /
dh ln
b W b 2 - d2
V? 2 a - d
Введем обозначение V = V /
V
b W b 2 - d 2
ln
a - d j
,тогда
Ev = V1/ (dh).
Условие (5) также выполняется:
rotE =
1 ( . „ V, ^ 1 д (
2dh3
- sin 2/—
dh
dh д /
v dh j
ez =
V, sin 2/ + V, sin 2/
2d2h4
2d2h4 j
ёг = 0.
В статье [4] для описания колебаний пьезопреобразователя в произвольной ортогональной системе криволинейных координат получено неоднородное векторное дифференциальное уравнение
_ _ 2_ —
(Л + 2¡и)grad(divu) - ¡urot(rotu) + po u = -F, (11)
где F - возбуждающая сила, обусловленная электрическим полем.
Распишем векторное уравнение движения (11) для компонент смещения, используя выражения для векторных дифференциальных операторов (1-3), в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных для пьезопреобразователя рассматриваемого типа:
2 2 д uv д u
д 2u
(Л + 2j)^2v + U^f + Л + u)-- -(Л + 3U¡
дv
д/
д—v
sh2v дщ 2h2 д/
• +
+
(Л + 3ju)
sin 2/ <^uг
__/ + uv
2h2 дv 4h4
[л(4h2ch2v - 3sh22v) + 4juh2 (2ch2v + cos2/7) -
/ 2 2 \n 3u/(^ + ju)sh2vsin2/ 2 2 2 2 2
-3j(2sh 22v + sin2 2// ]--^-^- + P®2d 2h 2uv = - d 2h 2 Fv,
2 2 д u/ д u
д 2uv
(л + 2j)^f+ + (л + и)^ -(л + + (12)
V J д/2 дУ2 v }дф K *J 2 - V '
2h2 дv
. 4s h2v дuv u/
+(л + 3j)—2—v+—4
V 2h2 д/ 4h4
[л( 4h 2 cos2/ - 3sin2 2/) + 4jh 2 (2cos2/ + ch2v)
-3u(2sin22/ + sh22v)]- 3uv(л + и)42vsin2/ + poOd2h2u/ = -d2h2F^
4h
Выражения для компонент возбуждающей электрической силы для общего случая получены в статье [4], приведем их окончательные выражения для рассматриваемого типа пьезопреобразователя:
1
ц
d 2h 2
^33
V1 д (dh) а
dh дц дц
Г V Л dhe3i~
V
dh
у
Ve33 sin 2ц 2d 2h 4 :
Fv
d 2h 2
e31
Vi д (dh)__
dh dv dv
d(h VP
dhe33 —-
dh у
Vie3is h2v 2d 2h 4
Если пьезопреобразователь нагружен с акустической стороны, то уравнения движения пассивной среды получаются из (12) при ^ = 0. Также будем полагать, что пьезопостоянные не зависят от координат, такое допущение будет справедливо, если поляризация всех участков пьезокерамики достигла насыщения.
На свободных поверхностях пьезопреобразователя должны выполняться следующие граничные условия: отсутствие касательных и нормальных механических напряжений. На нагруженных на жидкость поверхностях преобразователя должны выполняться граничные условия: отсутствие касательных напряжений, непрерывность нормальных смещений и нормальных напряжений.
Компоненты тензора напряжений (закон Гука с учетом обратного пьезоэффекта: уравнение (8)), которые понадобятся при решении краевых задач для выполнения граничных условий, равны
avv =
_ (Л + 2ju)
а
2dh3 (Л + 2jj
2h
duv
dv
цц
2dh3
2h2
du
ц
sin2цu
ц
дц
sh2vuv
Л
2dh3
Л
2dh3
sh2vuv + 2h
sin2цuц + 2h
2д^
дц
2 дИу
дv
- e
33
Vi dh
31
Vi dh
ац
j
2dh3
2h2
дuv дм
ц
дц дv
- sin2цмv - sh2vu
ц
Выводы
На основе теории электромагнитного поля, теории упругости и электроупругости, уравнений математической физики и элементов тензорного анализа получена математическая модель пьзопреобразователя в форме полого эллиптического цилиндра в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных (12). Решение полученной системы дифференциальных уравнений при соответствующих граничных условиях существующими аналитическими методами представляет значительные (и, вероятно, непреодолимые в настоящее время) математические трудности. Именно поэтому аналитическими методами решены только простейшие одномерные задачи для преобразователей классических типов. Более перспективными и реальными методами анализа пьезопреобра-зователей нетрадиционных типов являются численные методы. Для анализа собственных колебаний преобразователей - метод конечных элементов. Для анализа акустического излучения - комбинированный метод конечных и граничных элементов и комбинированные
численно-аналитические методы. Достаточно подробно все эти методы рассмотрены в монографиях авторов [6-8] для анализа неодномерных моделей преобразователей классических типов.
Список литературы
1. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М. : Наука, 1967. 780 с.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М. : Наука, 1973. 832 с.
3. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М. : Наука, 1968. 620 с.
4. Балабаев С.М., Ивина Н.Ф. Гидроакустические преобразователи нетрадиционных типов и их математические модели // Науч. тр. Дальрыбвтуза. Владивосток : Дальрыбвтуз, 2016. Т. 39. С. 81-88.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 7. Теория упругости. М. : Наука, 1987. 248 с.
6. Балабаев С.М., Ивина Н.Ф. Компьютерное моделирование колебаний и излучения тел конечных размеров (методы конечных и граничных элементов). Владивосток : Даль-наука, 1996. 213 с.
7. Балабаев С.М., Ивина Н.Ф. Компьютерное моделирование и анализ собственных колебаний пьезопреобразователей методом конечных элементов. Владивосток : Дальрыб-втуз, 2007. 242 с.
8. Балабаев С.М., Ивина Н.Ф. Компьютерное моделирование и анализ излучения гидроакустических пьезопреобразователей и антенн. Владивосток : Дальрыбвтуз, 2013. 196 с.
Сведения об авторах: Балабаев Сергей Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: [email protected];
Ивина Наталья Федоровна, доктор технических наук, доцент, e-mail: [email protected].
