Математическая модель эндогенного экономического роста Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Кирсанова-Евхута О.Н. // Докл. НАН Беларуси. 2004. Т. 48. № 2. С. 10-15.

4. Красносельский М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М., 1969.

Южно-Российский государственный технический университет,

Институт математики НАН Беларуси 7 сентября 2005 г.

УДК 330.115

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭНДОГЕННОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА

© 2005 г. М.А. Сумбатян, Н.А. Сайфутдинова

The paper is concerned with a mathematical model of economic growth, which is principally based upon the factor of the technological change. Mathematically, the criterion of the technological change is expressed by a respective growth of the elasticity coefficient with respect to the capital. It is shown that with this factor increasing there is possible an unbounded accumulation of capital. On the example of the USSR's 1961-1985 economy it is shown that it was possible to choose such distribution of investments to research sector during the considered period of time, which could significantly result in a higher capital accumulation.

Введение

Исследование внутренних механизмов влияния научно-технического прогресса на эндогенный экономический рост всё ещё остаётся одной из главных нерешённых проблем в моделировании экономических систем. Другими словами, до сих пор не раскрыта суть той движущей силы, той «пружины», которая, подобно пружине часового механизма, является первопричиной постоянного экономического роста и социального прогресса.

К теориям, ставшим уже классическими, можно отнести модели Лукаса [1], Ромера [2], Агитона - Ховитта [3]. Подробный сравнительный анализ этих моделей можно найти в [4].

В настоящей работе показывается, что рост эластичности производственной функции по фактору капитал в рамках неоклассической модели роста Солоу [5] может приводить к существенному росту накоплений. Мы предлагаем несколько моделей, которые затем тестируются на примере экономического развития СССР за период 1961-1985 гг. Показывается, что увеличение инвестиций в научно-технический сектор могло бы привести к увеличению темпов роста экономики на 10-15 %. Формулируется некоторая задача оптимизации, решение которой позволяет установить оптимальный уровень таких инвестиций, необходимый для достижения максимального темпа экономического роста.

Экономический рост в модели Солоу: неоклассическая теория

В 1956 г. Солоу, основываясь на некоторых более ранних неоклассических теориях, предложил модель экономического роста, в которой темп роста капитала определяется разностью между уровнем инвестиций в основные фонды и их амортизацией (т.е. естественным убыванием):

^ = sF(K, L) -MK(t). (1)

dt

Здесь 0 < s < 1 - уровень инвестиций в основные фонды; 0 < ¡г < 1 -коэффициент амортизации; K(t) - объём основных фондов; L(t) - объём трудовых ресурсов; t - время, год; F(K,L) - производственная функция [6] со следующими свойствами:

f(k, l) > 0,VK, l > 0,

dF dF d 2 F d 2 F -> 0,-> 0,-- < 0,—— < 0.

dK dL dK2 dL2

В неоклассической теории производственная функция считается однородной степени 1, тогда по теореме Эйлера

dF dF

F = K — + L— . (2)

dK dL

При этом величины

dF/dK dF/dL

aK = F/K ' aL = FL <aK ,aL <1) называются коэффициентами эластичности, соответственно, по фактору капитал (К) и фактору труд (L).

Пусть для простоты объём трудовых ресурсов постоянен во времени:

L = L(t) = const.

Тогда уравнение (1) является обыкновенным нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка. Если известно начальное значение K: K(t0) = K0, F0 = F(K0,L), то для (1) естественно возникает классическая задача Коши с начальными условиями.

Пусть в начальный момент времени t0 правая часть в (1) положительна, т.е. уровень инвестиций s в основные фонды настолько велик, что

sF(K0,L)-|K0 > 0.

Докажем тогда, что R(t) - монотонно-возрастающая функция. В самом деле, от обратного, если бы 3 ^:

dK/dt > 0, t0 < t < tj и dK/dt < 0, tj < t < t2 , то тогда по непрерывности

(dK/dt )(t = t1 ) = 0 .

Из (1) и (2) следует

dK (^ dF dF \

-= si K-+ L- 1-йK(t);

dt \ dK dL )

dK , „ dF , „ —>sK(t) — -ц K(t); dt dK

1 dK dF

--> s--ц. (3)

K dt dK

Умножим обе части (3) при ti <t < t2 на величину dK/dt < 0. Имеем

ч 2

1 (dK Г dF dK dK

< s---ц-=

K l dt I dK dt dt

dF dK d . . d2K ...

= ^--ц-=—( sF-цK)=——, (4)

dt dt dt dt

если L(t) = const. Последнее соотношение в (4) следует из (1). Поскольку (4) означает, что

d2 K 1 ( dK^2

>_l_| > 0

ж2 к у аг

то величина Ж/Л монотонно возрастает на отрезке г1 < г < г2. Но это противоречит тому, что с1к/с1г=о,г = г1 и ж/аг <о,г>г1, что и требовалось доказать.

Из доказанного следует, что если в начальный момент времени г = г0 ёКШг > 0, то и всё время У г > г0 йЮйг > 0, т.е. объём основных фондов К(г) монотонно возрастает.

Возникает довольно интересный и важный вопрос: является ли это возрастание ограниченным или неограниченным. То, что возможна первая ситуация, следует из примера, в котором F(K, Ь) - функция Кобба - Дугласа [6].

В самом деле, если F(К, Ь) = А Ка Ь, (а + р = 1), где А > 0 - некоторая постоянная, то легко видеть, что коэффициенты эластичности по факторам К и Ь равны соответственно аК = а, аЬ = Р, т.е. являются постоянными и не меняются ни с изменением К и Ь, ни с течением времени. В этом случае уравнение Солоу

ак

—= sAKаЬр-^к(г), г>г0,К(г0) = к0 ёг

допускает точное решение в виде

к Р(г ) = ^ ьрЦ - ^г ]+ к0в г. м-

Очевидно, что К(г) - действительно возрастающая функция, причём

1

к (г ^Р ь , г ,

т.е. накопление капитала стремится к некоторому конечному значению.

В этой связи любопытно исследование достаточных условий, при которых возможно к*) ^ да при t ^ да. Оказывается, что если аК ^ 1 при t ^ да, то неограниченное накопление капитала теоретически возможно. В самом деле асимптотически при t ^ да:

МдК и 1 ^ е « к ^,

Е/К дК

поэтому уравнение (1) принимает вид

dK „ дЕ 1 dK дЕ

-= sK--ц К , тогда--= 5--ц,

dt дК К dt дК

.1 С ^К)2 = d 2 К (5)

к I dt) = dt2 , )

причем последнее соотношение получено по аналогии с преобразованиями, произведенными выше.

Общее решение нелинейного однородного уравнения (5) может быть

К'

получено путём введения новой функции [7]: 2($) =—^ К' = К 2,

К

К" = К'2 + К 2что после подстановки в (5) и сокращения некоторых членов приводит к уравнению

2 ' О1) = 0 ^ 2(t) = С1,

К = С1 ^ К(0 = С2 еС *, t ^^. (6)

К

Поскольку К(t) > 0 ^ С2 > 0, кроме того, С\ > 0 в силу того, что К(*) должно монотонно возрастать (смотри выше). Очевидно, что при С1, С2 > 0 функция К(*) в (6) неограниченно возрастает при t ^ да.

Инвестиции в научно-технический сектор как основа эндогенного экономического роста

Из результатов предыдущего раздела следует, что при аК ^ 1, t ^ да функция К(*) теоретически может расти неограниченно. Легко показать, что вообще с любым ростом аК накопление К(*) возрастает. Поэтому одна из возможных трактовок эндогенного экономического роста может быть связана с тем, что научно-технический прогресс приводит к росту аК, т. е. росту эластичности по фактору капитал, другими словами, приводит к повышению эффективности отдачи в использовании основных фондов. Тогда ясно, что инвестиции в исследования и новые разработки в научно-исследовательский сектор будут приводить к росту аК и, как следствие, к росту К(*). Это и есть один из важнейших механизмов эндогенного экономического роста.

При такой экономической трактовке эндогенного роста рассматривается задача, в которой средства на инвестиции в научно-технический сек-

тор поступают не извне, а изымаются из средств, ранее выделяемых на инвестирование в производство. В рамках данной модели это повышает эластичность по К, т.е. приводит к увеличению эффективности основных фондов, что при определённых условиях не только компенсирует уменьшение средств, идущих на восполнение фондов старого типа, но и приводит к росту производства за счёт внедрения новых технологий. Таким образом, можно считать, что для абстрактного производственного цикла можно получить некоторую функцию, аппроксимирующую значения коэффициента эластичности по фактору капитал аК от расходов на науку sн, т.е. от объёма инвестиций F. Тогда можно считать, что есть некоторая возрастающая функция аК = аК (• F).

Таким образом, можно получить для каждого объёма инвестиций в научно-исследовательский сектор ^ некоторую качественную оценку изменения коэффициента эластичности по фактору капитал аК и рассмотреть производственный цикл того же продукта, но уже с другими технологическими условиями.

Пусть первоначально (для г < г0) некоторый производственный процесс описывается уравнением Солоу, где в качестве производственной выступает функция Кобба - Дугласа

где 5 - доля выпуска, инвестируемая в старые основные фонды (будем считать, что это константа); А > 0 - числовой коэффициент; ц - коэффициент амортизации, причём А, ц - известные константы; а - коэффициент эластичности по фактору капитал.

Пусть для того же процесса в некоторый момент времени г0 известны объёмы капитала К0 и трудовых ресурсов Ь0, т.е. имеем начальные условия

Будем считать, что для данного производственного процесса известна функция аК = аК • F), причём величина 5н обладает следующими свойствами: 0 < 5'н < т.е. на инвестиции в научно-исследовательский сектор изымается часть средств, ранее инвестируемых в старые основные фонды, причём эта величина может быть задана произвольно из указанного промежутка. Обозначим фиксированное значение величины • через 50 и для этого значения получим фиксированный объём инвестиций в НИС ••(¥, следовательно, получим новое значение коэффициента эластичности по фактору капитал аК = аК • F0), где F0 - выпуск в момент времени г0, что приводит к новому уравнению, описывающему рассматриваемый производственный процесс для г0 < г < г1:

а L1-a-^ К (t),

dt

K (to ) = Ко, L (to ) = L

(7)

—=(5-s0)AKаоL1-aо-цК(t).

dt

(8)

Тогда (7) и (8) составляют классическую задачу Коши с начальными условиями, решая которую любым из известных численных методов (например, методом Эйлера или методом Рунге - Кутта) можно получить новое значение капитала в момент времени и, соответственно, можно вычислить новое значение выпуска Е для известных А, а,0 , Ь; - объема трудовых ресурсов в момент времени т.е.

к(^)=к1 , Е = АК;а° ь/-а°. (9)

Зададим новое значение 5н для промежутка которое обозначим

через Получим новый объём инвестиций в научно-исследовательский сектор si.F1, что порождает изменение коэффициента эластичности по фактору капитал а;. Производственный процесс для промежутка ^ < t < !2 может быть описан уравнением

—=( • - 51) А Ка; Ь1-а1 -ц К(*) (10)

dt

и новыми начальными условиями

К (^ ) = К;, Ь (tl ) = V (11)

Решая новую задачу Коши (10) и (11), получаем новое значение капитала К2 в момент времени 12, что приводит к новому значению выпуска

.2 = А К2а; Ь2; а;, где Ь2 - объём трудовых ресурсов в момент времени Продолжая процесс далее и задавая новое значение 52, получаем новое значение а2 и можем решать уравнение, аналогичное (10) для ^ < t < *3. Таким образом, получим новые значения К3 и Е3 - соответственно объёмы основных фондов и выпуска в момент времени *3.

В общем виде имеем следующий алгоритм вычисления значений капитала и объёма выпуска в последующий момент времени tI■+1 в зависимости от известных значений тех же величин в момент времени ti. Пусть в момент времени ^ нам известны величины

К ^ ) = К,, Ь ) = Ь, Е (^ ) = .. (12)

Фиксируем значение величины = т.е. долю выпуска, инвестируемую в научно-исследовательский сектор, причём 0 < < где • - доля выпуска, выделяемая для поддержания старых основных фондов до начала нашего инвестиционного процесса. Получаем - некоторый объём инвестиций на науку, который позволяет увеличить эффективность капитала, т.е. повысить коэффициент эластичности по фактору капитал до значения а,=аК(5,- Е,). Для ^ < t < t+1 получим следующее дифференциальное уравнение:

— =(• -) АКа'Ь1~а'-цК^). (13)

dt

Решая задачу Коши, состоящую из уравнения (13) и начальных условий (12), получаем К+\ = К(г+) и, соответственно, можем вычислить

Fi+1 = Ак'+1"' Ц+11-а', где Ьм - объём трудовых ресурсов при г = гм.

Очевидно, что при фиксированных значениях правых частей (12) решение (13) зависит только от величины Таким образом, можно, меняя значение • и решая задачу (12), (13), получать различные значения капитала (или выпуска) в момент времени гм.

Меняя можем получить описание инвестиционного процесса, непрерывного по времени. При ' = 0 получаем из (12), (13) задачу Коши (7), (8) и, решая ее, находим новые значения (9). Считаем значения (9) начальными для решения задачи Коши при ' = 1. При ' = 1 получим уравнение (10) с начальными условиями (11). Отметим, что значения Ц могут быть взяты либо из статистических данных, либо могут вычисляться по какой-либо аппроксимирующей формуле. Рассматривая далее i = 2, получим из (12), (13) задачу Коши, в которой можно найти значения К3, F3, т.е. объём капитала и выпуска в момент времени 13. Продолжая процесс далее и рассматривая значения от ' = 3 до ' = п - 1, получим итоговые значения Кп, Fn. Отметим, что величина значений К, Fi напрямую зависит от выбора величины • на соответствующем временном промежутке [г„ г^]. Естественно, что значения итоговых величин Кп, Fn зависят от всего набора значений ' = 0,..., п - 1. Тогда можно поставить следующую задачу: как выбрать оптимальное по годам распределение инвестиций в научно-

исследовательский сектор, т.е. последовательность (• )=0 так, чтобы получить максимальный экономический эффект, т.е. максимальную величину Кп.

Сформулируем эту оптимизационную задачу более конкретно:

К (г, )=К, ц (г, )=ц , F () = F1

а =а к (sгFг)

—= (• - ) АК а'1)-а■ -цК (г),' = 0,..., п - Г (14)

ёг

тах Кп - ?

(• )'=0

где К0, F0, Ц0,..., Ьп - статистические данные; К, для i > 0 - решение (' - 1)-й задачи Коши; Fi вычисляется по формуле Fi = АК,а'-1 Ц1"™'-1 для ' > 0.

Полученную оптимизационную задачу можно решать разными способами, например, методом покоординатного или градиентного спуска. В

/ \п-1

результате решения получаем некоторую последовательность (• )=0 , т.е.

план инвестиционных вложений в научные исследования и разработки на период времени [г0, гп]. При этом критерием выбора элементов этой по-

следовательности является максимальность величины основных фондов в момент времени 4, т.е. максимальный темп экономического роста. Нужно отметить, что в качестве ^ можно рассмотреть годы, кварталы, месяцы в зависимости от экономического объекта и наличия необходимых статистических данных.

Рассмотренный нами подход тестируется на примере экономики СССР за период 1961-1985 гг.

Пример. Пусть известны: К,, , = 0,..., п - 1 - основные фонды за каждый год, млрд руб.; Ь,, I = 0,., п - 1 - объем трудовых ресурсов (пересчитанный через среднюю зарплату, млрд руб.); Е, , = 0,., п - 1 - валовой продукт, млрд руб.; V, , = 0,., п - 1 - расходы на науку из госбюджета и других источников, млрд руб.; п = 25. Считаем, что коэффициент эластичности а меняется за указанный период с 0,3 до 0,5. Тогда удаётся составить функцию, аппроксимирующую а в зависимости от инвестиций в науку:

0,6 V + 0,615

а, =-!-. (15)

г V, + 6,95

Будем ее использовать для оценки значений а при новых (изменённых) значениях ¥1 = 5,Е.

Из анализа статистических данных за указанный временной промежуток получаем, что доля выпуска, инвестируемого в старые основные фонды, - • = 0,165, величина инвестиций в научно-исследовательский сектор не превышала 1,5 % от валового продукта, т.е. 50 = 0,015. Ставится задача: какую часть • нужно было инвестировать ежегодно в научно-исследовательский сектор, чтобы добиться наилучшего экономического эффекта?

Рассмотрим К0 = 441 млрд руб., Е0 = 324 млрд руб., Ь0 = 65,97 млрд руб. Тогда при , = 0 можно выбрать величину 50, 50: 0,015 < 50 < 0,165 . Далее вычисляем V, = 50 • Е0 , о находим по формуле (15) при , = 0.

Получаем задачу Коши:

^ = (5 - 50) • А • Ка0 • ¿-а° -ц-К dt , (16)

К О1 = 0) = К0, Ь(* = 0) = Ь0, Е ^ = 0) = Е0

где ц = 0,05.

Решая уравнение (16) любым подходящим численным методом, получаем некоторое значение К;. Для новых значений К; и а0 можно вычислить новое значение Е; = А • К;а0 • Ь;1 а0, т.е. получили новые значения

основных фондов и валового продукта для второго года из рассматриваемого временного промежутка, иначе говоря, при , = 1. Обозначим Е0 = Е;, К0 = К;, Ь0 = Ь;, и, выбирая следующее 1 = 1, считаем а0 по (15) и решаем новую задачу (16). Проводим аналогичные рассуждения для

i = 2,..., n - 1. В нашем случае n = 25. Таким образом, можно составить

i \n-1

последовательность (s^)_0 , и для каждой такой последовательности получить свои значения Kn, Fn.

Отметим, что на основе имеющихся статистических данных для указанного временного промежутка удалось подобрать функцию, аппроксимирующую величину L в зависимости от времени. Эта функция не является константой и имеет вид: L(t) = 61 + 5t + 0,1st2 - 0,0015t3. Используем это соотношение для подсчёта Li, i = 0,., n - 1. Отметим, что для лучшей аппроксимации статистических данных величину А лучше вычислять по формуле А = 2,99 - 0,0363t, где t = 0,., n - 1.

Легко показать, что рассуждения, сделанные выше, будут верны и в этом случае.

При сделанных выше пояснениях задача (14) решена методами покоординатного и градиентного спуска.

Остановимся подробнее на реализации метода градиентного спуска, как более эффективного.

Следуя логике изложенного выше алгоритма, можно составить подпрограмму, которая вычисляет итоговое значение K25 в зависимости от

значений (s^ )=0 , т.е. можно сказать, что нам известна некоторая функция K25= K25( (i) :0 ). Для простоты обозначим ее через K. Напомним, что

л

значение K - это результат решения 25 задач Коши при указанных выше условиях и статистических данных, поэтому вычисление градиента указанной функции в явном виде не представляется возможным. Опишем процедуру нахождения градиента подробнее. В качестве начального знал

чения K0 рассмотрим значение, соответствующее ситуации, когда все

л

i = 0,., n - 1 фиксированы, т.е. s) = si,i = 0,..., n -1. Тогда величина частной производной K по i-й компоненте последовательности )=0 в

точке

А

Si

V

n—1

может быть приближённо вычислена по следующей конеч-

i=0

но-разностной формуле:

л л л л л

д K = K (so,..., Si—i, Si + h, Si+iSn—i) — K о dsi h

л

л

л

где И - некоторое малое число. Отметим, что процедуру градиентного спуска начинаем с точки = 0,015, / = 0,..., п - 1.

В таблице, приведённой ниже, указаны реальные значения )П_0 в 1961-1985 гг. и значения тех же величин, полученных методом градиентного спуска.

Изменение основного капитала в зависимости от инвестиционной политики

Год st, i — 0,..., n - 1, по стат. данным Основной фонд, по стат. данным, млрд руб. st, i — 0,., n - 1, полученный методом градиентного спуска Основной фонд, полученный методом градиентного спуска, млрд руб.

1961 0,015 442 0,0373 475

1962 0,015 477 0,0348 513

1963 0,015 515 0,0337 555

1964 0,015 557 0,0329 602

1965 0,015 601 0,0323 652

1966 0,015 649 0,0315 706

1967 0,015 700 0,0309 764

1968 0,015 757 0,0303 827

1969 0,015 814 0,0297 894

1970 0,015 860 0,0290 966

1971 0,015 914 0,0254 1043

1972 0,015 972 0,0280 1124

1973 0,015 1082 0,0275 1210

1974 0,015 1150 0,0270 1301

1975 0,015 1256 0,0266 1396

1976 0,015 1345 0,0262 1496

1977 0,015 1437 0,0257 1600

1978 0,015 1537 0,0254 1709

1979 0,015 1638 0,0250 1822

1980 0,015 1742 0,0246 1939

1981 0,015 1851 0,0243 2060

1982 0,015 1968 0,0240 2184

1983 0,015 2092 0,0237 2312

1984 0,015 2234 0,0232 2443

1985 0,015 2333 0,0213 2576

Для дополнительного тестирования эффективности предложенных алгоритмов применили один из вариантов глобального случайного поиска [8] при решении сформулированной выше оптимизационной задачи. Основанием для этого послужило то, что описанные выше два метода носят локальный характер и в оптимизационных задачах со сложным поведением целевой функции могут приводить к нахождению лишь локальных максимумов, которые часто не совпадают с глобальным. Алгоритм, описанный в [8], представляет из себя пошаговый итерационный процесс. На каждом шаге при нахождении максимума многомерной целевой функции

F(x), которая для простоты считается положительной, происходит вычисление ее значений в M случайных точках:

Fm = F ( xm ), m = 1,..., M. Далее подсчитываются вероятности

Fm

Pm = -Mm-, m = 1,...,M.

Z F, i=1

На следующем шаге итерации число новых случайных точек в окрестности «хороших» пробных точек предыдущих итераций выбирается пропорционально этим вероятностям. Таким образом, пробные точки следующих шагов выбираются в окрестности самых лучших пробных точек предыдущих шагов. Кроме того, области, в которых выбираются случайные точки последующих итераций, постепенно стягиваются к малым окрестностям «хороших» точек предыдущих итераций.

Реализация данного алгоритма на рассматриваемой тестовой задаче из экономики СССР привела к тем же числовым результатам, что и два вышеописанных локальных метода. При этом при найденных приведенных

в таблице данных (s, )=0 мы получаем K25 = 2576 млрд руб. (этот результат получен во всех трех методах). Таким образом, управляя инвестиционным процессом и выделяя на научные исследования и разработки указанные доли валового продукта, можно получить значение, на 10,4 % превышающее реальное значение капитала в 1985 г., которое составило 2333 млрд руб.

Литература

1. Lucas R.E. // J. Monetary Econ. 1988. Vol. 22. № 7.

2. Romer P.M. // J. Polit. Econ. 1990. Vol. 95. № 5.

3. Aghiton P., HowittP.A. // NBER Working Paper. № 3223. Cambridge. Mass., 1990.

4. Голиченко О.Г. // Экономика и математические методы. 1998. Т. 34. Вып. 2. С. 134-159.

5. SolowR. // Quart. J. Econ. 1956. Vol. 70.

6. Баркалов Н.Б. Производственные функции в моделях экономического роста. М., 1981.

7. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1967.

8. Жиглявский А.А. Математическая теория глобального случайного поиска. Л., 1985.

Ростовский государственный университет

Ростовский государственный строительный университет 14 сентября 2005 г.