CC BY
10
УДК 621.314.5
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОМЕХАНОТРОННОЙ СИСТЕМЫ С АВТОГЕНЕРАТОРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ НА БАЗЕ ТРЕХФАЗНОГО СИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ
В.Г. МАКАРОВ, Г.Ф. КРОПАЧЕВ, И.Р. ХАЙРУЛЛИН Казанский государственный технологический университет
Для исследования электромеханотронных систем с автогенераторным управлением на базе трехфазных двигателей переменного тока предлагается математическая модель, построенная с использованием аппарата теории графов. Отличительной особенностью предлагаемой модели является то, что переключающие функции силовых элементов введены непосредственно в топологические матрицы.
Электромеханотронные системы (ЭМТС) малой мощности с
транзисторными преобразователями и двигателями переменного тока получают в последние годы все большее практическое применение в бытовой и специальной технике. Особое значение подобные ЭМТС приобретают при использовании их в установках с автономными источниками постоянного тока (аккумуляторы, солнечные батареи, топливные элементы) и в нестационарных объектах (электромобили, космические объекты, летательные аппараты, специальные робототехнические комплексы), в которых особенно остро стоит и сложно решается проблема минимизации расхода энергоресурсов и снижения массогабаритных показателей. Анализ таких систем показывает, что определенные преимущества имеет ЭМТС, выполненная на базе автономного инвертора напряжения (АИН). Один из вариантов построения АИН - создание самовозбуждающегося магнитно-транзисторного инвертора (МТИ). Здесь и далее условимся называть подобные ЭМТС автогенераторными. Структурная схема автогенераторной ЭМТС с асинхронным двигателем показана на рис. 1.
Рис. 1. Структурная схема автогенераторной ЭМТС
Проводились работы по созданию МТИ с автогенераторной схемой управления на базе группового и стержневого трехфазных трансформаторов. В работе [1] показано, что применение трехфазного стержневого трансформатора вместо группового позволяет обеспечить экономию активных материалов в следующих объемах: меди - 12%, стали - 27%. Более существенную экономию позволяет © В.Г. Макаров, Г. Ф. Кропачев, И.Р. Хайруллин Проблемы энергетики, 2007, № 3-4
обеспечить ЭМТС, в которой обмотки управления размещаются на статоре машины переменного тока. Такая конструкция получила название совмещенной [2] и была реализована на базе асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором [3]. Ведутся работы по созданию и исследованию совмещенной автогенераторной ЭМТС на базе синхронного двигателя с электромагнитным возбуждением. Предполагается, что применение подобной системы позволит не только обеспечить экономию активных материалов, но и существенно расширить диапазон регулирования за счет наличия канала управления током возбуждения синхронного двигателя.
В связи с разработкой таких систем возникает проблема их исследования. Очевидно, что создание математической модели автогенераторной ЭМТС является достаточно сложной задачей, поскольку одновременно приходится рассматривать коммутационную, магнитную и электромеханическую системы.
Поэтому предлагается рассмотреть сначала коммутационную систему с использованием математического аппарата теории графов, а затем учесть нелинейность магнитной системы. Первые работы по анализу электрических цепей с помощью топологических матриц относят еще к временам Кирхгофа и Максвелла. Теория графов для анализа электромеханических систем использовалась авторами работ [1, 3-5]. Отличительной особенностью предлагаемой модели является учет состояния силовых вентилей с помощью переключающих функций, которые введены непосредственно в топологические матрицы.
На рис. 2 показана схема замещения обобщенного трехфазного
преобразователя, которая может быть использована для анализа автогенераторных ЭМТС на базе машин переменного тока.
Для формирования уравнений и описания топологии электрической цепи с сосредоточенными параметрами удобно изобразить ее структурным графом, позволяющим в более простой форме представить схему замещения обобщенного трехфазного преобразователя. Структурный граф преобразователя, изображенный на рис. 3, является «геометрией» схемы замещения трехфазного обобщенного преобразователя. При этом ветви дерева показаны толстыми линиями, а хорды -тонкими. Следует отметить, что система внешних переменных преобразователя образована токами и напряжениями ветвей дерева, а система внутренних переменных - токами и напряжениями хорд.
При записи системы уравнений, описывающих электромагнитные процессы в преобразователе, используются следующие топологические матрицы: матрица инцидентности узел-ветвь [А], матрица сечений [Б] и
матрица главных контуров [В ].
Для структурного графа, изображенного на рис. 3, можно записать матрицу инцидентности при условии, что каждая ветвь характеризуется коэффициентом инцидентности И. Если ветвь направлена к узлу, то коэффициент инцидентности отрицателен (-И), если ветвь направлена от узла, то коэффициент инцидентности положителен (+И), если ветвь не инцидентна узлу, то коэффициент инцидентности равен нулю. В общем случае коэффициент инцидентности узел-ветвь является некоторой линейной или нелинейной функцией тока или напряжения ветви. Если в составе ветви имеется вентильный элемент с независимым управлением, то коэффициент инцидентности является некоторой функцией времени, которую часто называют переключающей (коммутационной) функцией, и только в частном случае, когда в ветви коммутатор отсутствует, коэффициент инцидентности И равен ±1.
Рис. 2. Схема замещения трехфазного обобщенного преобразователя
Рис. 3. Структурный граф обобщенного преобразователя
В зависимости от текущего состояния вентильного элемента переключающая (коммутационная) функция может принимать следующие значения:
Ні =
1, если вентиль открыт
0, если вентиль закрыт
где і - номер вентильного элемента.
Матрица инцидентности структурного графа может быть представлена в виде двух подматриц:
[ А] = [ Аі ¿2].
(1)
Подматрица [Аі] содержит коэффициенты инцидентности ветвей дерева, а подматрица [¿2] - хорд структурного графа. Так как в ветвях дерева
структурного графа преобразователя коммутирующие элементы отсутствуют, то подматрица [ Аі] имеет следующий вид:
Ь
[ ¿і] =
і -і -і -і
-і
і
і
і
і
Подматрица [ ¿2] содержит коэффициенты инцидентности хорд: 1 2 3 4 5 6
[ ¿2] =
-а; со Н5
-Н2 ТГ - - н а\
1 2
- Н4
- 40
Условная замкнутая линия вокруг одного из узлов графа определяет сечение. Эта линия пересекает хорды и одну ветвь дерева, которые входят в данный узел или выходят из него.
Матрицу сечений запишем в следующем виде:
[ Б] = [ Бі Л2].
(2)
При составлении матрицы сечений строки нумеруются согласно номерам ветвей дерева структурного графа. Поскольку каждая ветвь дерева входит только в одно, определяемое номером этой ветви сечение, то подматрица [Бі] содержит строки только с одним положительным ненулевым элементом, который
о
Ч
а
с
находится на главной диагонали. Так как ветви дерева графа преобразователя не содержат коммутирующих элементов, то подматрица [Б\] является единичной матрицей, порядок которой определяется числом независимых полюсов преобразователя.
Подматрицу [Б2] можно записать, используя известное в теории графов соотношение между топологическими матрицами:
1-1 г
[ А>] = [ ЛіГ[ ¿2],
где [ ¿і ]-1 - подматрица, обратная подматрице [ ¿і ].
Перемножив подматрицы [ ¿і ]-1 и [ ¿2 ], получим
1 2 3 4 5 6
(3)
[ А>] =
1 Г* со - ¿4 - й а\
-Й1 го - •л -
-Й2 - й 40 -
-Й1 2
-йз ¿4
-Й5 40
Матрицу главных контуров запишем также в виде двух подматриц
[В] = [В^]. (4)
Главными называют контуры, в каждый из которых входит только одна хорда. В матрице главных контуров номер каждой строки определяется номером хорды. Очевидно, что подматрица [В2] имеет следующий вид:
[В2] = йіац\Ь.1;Й2;¿3;Й4;йб],
где diag - означает, что элементы матрицы расположены на главной диагонали. Подматрицу [В1] определяют следующим образом [1, 5]:
[ В1] = -[ Б2]*;
о
2
3
4
5
6
(5)
Б
й
В
с
[ В1]=
Й1 Ну
-Й2 2 -й2
го йз йз
- й ¿4 - А4
Й5 Й5 й5
- й а\ й 0\ й -
Таким образом, соотношения (3) и (5) позволяют по известной матрице инцидентности (1) путем матричных преобразований записать матрицы сечений
(2) и главных контуров (4), что исключительно важно при использовании вычислительных машин.
Уравнение обобщенного преобразователя по второму закону Кирхгофа будет иметь вид
]=о. (6)
С целью получения матричного уравнения обобщенного преобразователя выполним следующие действия:
1) запишем уравнение (6) в виде
[В][и ] = [ В][2 ][ I ] - [В][Е ],
где [Е] - матрица ЭДС.
Матрицу ЭДС запишем в виде двух подматриц
[ Е ] = [ Е п Ех ],
где [ Е п ] - подматрица полюсных ЭДС; [ Ех ] - подматрица ЭДС хорд.
Так как хорды структурного графа не содержат источников ЭДС, то все элементы подматрицы [Ех ] равны нулю, поэтому можно записать [Е] = [Еп ]:
[ Е п ] =
ео ей еч еа еЬ ес
2) запишем матрицу полюсных напряжений как произведение матрицы полюсных сопротивлений и токов:
[и П ] = [ IП ][2 П ],
а матрицу напряжений хорд - как произведение матрицы сопротивления и токов хорд:
[их ] = [ 1х ][ %х ],
где [2х ] - матрица сопротивлений хорд структурного графа.
Матрица [ 2х ] является диагональной и имеет следующий вид:
[ 2х] = ¿а[ 21; 2 2; 23; 24; 25; 26].
Применив данные преобразования, можем записать матричное уравнение преобразователя по методу контурных токов:
[В1 ][ 2п ][В1 ]' [ 1х ] = [ В1][ Е п ] + [В2 ]([Ех ] - [ 2х ][1х ]).
Поскольку все элементы матрицы [Ех ] равны нулю, то матричное уравнение преобразователя примет вид
[В1][ 2 п ][В1 ] [ 1х ] = [ В1][ Е п ] - [ В2][2х ][1х ].
Полученное матричное уравнение преобразователя не позволяет в явной форме записать законы изменения напряжений иа, щ,ис,и0 во времени. Поэтому проведем ряд преобразований.
Рассмотрим матричное уравнение преобразователя (6), записанное по второму закону Кирхгофа.
Первое уравнение в (6) запишем в виде
¿1«0 + ¿1«^ + ¿1«а + ¿1« = 0 . (7)
Второе имеет вид
- Й2«о + ¿2«ц - Й2«а + ¿2«2 = 0. (8)
Сложив (7) и (8), получим
(¿1 + ¿2Х«0 - «а)+ ¿1«й - ¿2«ц + ¿1«1 - ¿2«2 = 0 . (9)
Пренебрегаем падением напряжения на силовых ключах, то есть считаем,
что
«1 = «2 = 0.
Поскольку «^ = «ц = ииу2, то уравнения (9) можем записать в виде
(1 + ¿2 )(«0 - «а) = (- ¿1 + ¿2 )иип/2 = 0. (10)
Аналогично получим:
(¿3 + ¿4Х«0 - «ЬХ= (- ¿3 + ¿4)ии/^2 = 0; (11)
(5 + ¿6)(«0 - «с)= (- ¿5 + ¿6)иип/2 = 0 . (12)
Условимся, что:
¿1 + ¿2 = 1 ¿3 + ¿4 = 1 ¿5 + ¿6 = 1
и система полностью симметрична, то есть «а + «Ь + «с = 0 .
На основании выражений (10), (11) и (12) получены законы изменения фазных и линейных напряжений, а также напряжения «0 :
«0 = (- ¿1 + ¿2 - ¿3 + ¿4 - ¿5 + ¿6)ииП/6;
«а = (¿1 - 2¿2 - ¿3 + ¿4 - ¿5 + ¿6 ; (13)
«Ь = (- ¿1 + ¿2 + 2¿з - 2¿4 - ¿5 + ¿6 )ии^6; (14)
«с = (- ¿1 + ¿2 - ¿3 + ¿4 + 2¿5 - 2¿6 )ии^6; (15)
«аЬ = (¿1 - ¿2 - ¿3 + ¿4 ;
«Ьс = (¿3 - ¿4 - ¿5 + ¿6 ^/2;
© Проблемы энергетики, 2007, № 3-4
иса = (- ( + Н2 + к5 - к6 ))/2.
Переключающие функции Н\ — к6 в общем случае могут быть как функциями времени, так и функциями напряжения или тока. Применительно к ЭМТС с автогенераторным управлением переключающие функции являются функциями тока, значения которых определяются состоянием магнитной цепи. При этом управление силовыми ключами осуществляется по 180-градусному закону. Временные диаграммы переключающих функций показаны на рис. 4, а временные диаграммы напряжений преобразователя - на рис. 5.
Рис. 4. Переключающие функции при 180-градусном законе управления
Система дифференциальных уравнений трехфазного синхронного двигателя, пространственная модель которого показана на рис. 6, в нормальной форме имеет вид
= [ х]-1
йі
[ и] - [ Я ][ і ] - ш Ш [ і ]
59
йі
й9
йі
ш
где [и],[і],[Я],[Ь] - матрицы напряжений, токов, активных сопротивлений и индуктивностей синхронного двигателя; ш - частота вращения ротора; 9 - угол
поворота ротора; Мэ - электромагнитный момент синхронного двигателя; Мс -момент статических сопротивлений, приведенный к валу двигателя; -
суммарный момент инерции подвижных частей.
Уравнение электромагнитного момента
М э = ±[ і ]і [ і ].
2 59
Следует отметить, что элементы матрицы [Ь] являются функциями тока намагничивания, а напряжения иа, иь, ис, являющиеся элементами матрицы [ и], изменяются в соответствии с выражениями (13, 14, 15).
*
і,
и0
~01
иа
і
ё
о
üb
(Г
ис
о'
ивЬ
Ubc
и
и са
О
Рис. 5. Временные диаграммы выходных напряжений преобразователя © Проблемы энергетики, 2007, № 3-4
В d
СГ
Рис. 6. Пространственная модель трехфазного синхронного двигателя: Wa , Wb , Wc - обмотки фаз статора A, B, C; Wf - обмотка возбуждения; Wkd,Wkq - обмотки демпферных контуров
Выводы
1. С помощью аппарата теории графов и матрично-топологических соотношений на основании матрицы инцидентности записаны матрицы сечений и главных контуров, а также уравнение трехфазного обобщенного преобразователя по методу контурных токов.
2. Введение переключающих функций непосредственно в топологические матрицы позволяет учитывать состояние вентильных цепей, а наложение условий коммутации - рассматривать электрическую, магнитную и коммутационную системы автогенераторной ЭМТС в совокупности.
3. Известная система дифференциальных уравнений трехфазного синхронного двигателя, работающего в составе ЭМТС, должна учитывать зависимость элементов матрицы индуктивности от тока намагничивания.
Summary
The mathematical model using the graphs theory has been developed to investigate electromechanotronical systems with autogenerating control of three-phase synchronous motors. The distinctive feature of the model is that the switching functions of power elements are included directly into topological matrixes.
Литература
1. Макаров В.Г. Влияние третьих гармоник напряжения, тока и магнитного потока на электромагнитные процессы в автогенераторных электромеханотронных системах: Дис. ... канд. тех. наук: 05.09.03: защищена 24.12.98: утв. 8.07.99. - Казань, 1998. - 212 с.
2. Константинов В.Г. Многофазные преобразователи на транзисторах. -М.: Энергия, 1972. - 96 с.
3. Газизов Р.М. Электромеханическая система с асинхронным вентильным двигателем: Дис. ... канд. тех. наук: 05.09.03: защищена 28.06.00: утв. 15.03.01. -Казань, 2000. - 201 с.
4. Кениг Г., Блекуэлл В. Теория электромеханических систем. - М.: Энергия, 1965. - 424 с.
5. Плахтына Е.Г. Математическое моделирование электромашинно-вентильных систем. - Львов: Высш. шк., 1986. - 164 с.
Поступила 03.11.2006
