CC BY
35
УДК 621.82
Е.Н. Бирюков, Е.В. Ершов ГОУ ВПО «Череповецкий государственный университет»
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДШИПНИКА СКОЛЬЖЕНИЯ
Для решения задач по синтезу параметров, оптимальных алгоритмов при создании устройств диагностирования целесообразно использование математической модели, описывающей происходящие в рассматриваемом объекте процессы и их взаимосвязь с используемым диагностическим признаком. В данной статье приводится математическое описание электрического сопротивления среднескоростных крупногабаритных гидродинамических подшипников скольжения при наличии различных макрогеометрических отклонений рабочих поверхностей от нормальной формы, локальных дефектов шейки вала и вкладыша, нарушений условий смазки и при потере динамической устойчивости вращения вала.
Основное влияние на электрическое сопротивление подшипника оказывает флуктуирующая толщина смазочной пленки в зоне трения. Для упрощения вычислений выделим основные факторы, влияющие на ее формирование. К ним относятся макрогеометрические характеристики рабочих поверхностей, скорости их относительного перемещения, конструктивные и реологические свойства смазочных материалов и нагрузка в контакте. Для построения математической модели необходимо совместное решение двух задач:
- описание движения вала в подшипнике скольжения (расчет равновесного положения цапфы во вкладыше и флуктуаций радиального перемещения вала и положения линии центров) в зависимости от конструктивных параметров и влияющих факторов;
- расчет электрического сопротивления подшипника скольжения при известной функции движения вала.
Математическая модель процессов, определяющая закономерности поведения электрического сопротивления опор скольжения, может быть создана с применением положений теорий нестационарных процессов в гидродинамических подшипниках скольжения (в исследуемых подшипниках, кроме собственного веса вала, нагружение осуществляется центробежными силами, связанными с несбалансированностью вала, вызывая движение вала по замкнутой траектории), контакта реальных поверхностей и электропроводности контакта двух тел.
Модель динамического поведения ротора
Рассмотрим первую задачу - определение траектории движений шейки вала в подшипнике скольжения в зависимости от конструктивных параметров и влияющих факторов. Значительная нелинейность гидродинамических реакций рассматриваемых подшипников, обусловленная режимами
работы последних с большими относительными эксцентриситетами (е>0,1), делает невозможным использование методов, основанных на линейном приближении. Эффективным средством моделирования, учитывающим нелинейные особенности и удовлетворяющим условиям поставленной задачи, является метод траекторий [1]. Он основан на совместном численном интегрировании системы уравнений гидродинамики несущего слоя и уравнений движения ротора. Траектории движения шейки вала представляют собой геометрическое место точек, определяющих положение центра опорной части ротора, движущегося под действием системы внешних возмущающих сил и реакций смазочного слоя в определенный момент времени. Местонахождение каждой точки характеризуется эксцентриситетом e и углом положения линии центров ср в полярной системе координат. Сложность исследуемых процессов не позволяет выполнить их строгое описание аналитическими зависимостями, поэтому с учетом
применяемых уровней моделирования в работе используется ряд ограничений, предположений и допущений:
- геометрическая ось жесткого ротора агрегата совершает только перемещения, параллельные поверхности вкладыша (т.е. возможна только цилиндрическая прецессия вала как твердого тела), а поверхности, образующие смазочный зазор, недеформируемы и имеют в случае отсутствия дефектов круглоцилиндрическую форму;
- смазочный материал является несжимаемой ньютоновской жидкостью, так как неньютоновские свойства слабо влияют на рассчитываемую толщину слоя [2];
- теплофизические параметры среды (температура и вязкость) по толщине смазочного слоя изменяются несущественно;
- возможно только ламинарное течение смазочного материала;
- отсутствует перемещение вала в осевом направлении.
Действующие на подшипник нагрузки можно разделить на условно-постоянные и зависящие от движения ротора. К первой группе относятся силы тяжести, колебания фундамента и т.д. Вторую группу составляют силы от неуравновешенности, реакции опор и уплотнений, силы электромагнитного происхождения и др. К основным силам, действующим на вал, относятся реакция подшипников (гидродинамическая реакция подшипников и силы трения смазочного материала), вес ротора и центробежные силы, определяющиеся дисбалансом. Действующую распределенную нагрузку заменим на эквивалентную сосредоточенную силу P, величина и направление которой определяются по принципу суперпозиции векторной суммой центробежной силы и силы тяжести, точка приложения находится в центре масс ротора, при этом плоскость вращения перпендикулярна оси, соединяющей геометрические центры подшипников. Действующая на каждую в отдельности опору сила P определяется из уравнений квазистатического равновесия ротора. Так, для двухопорного симметричного механизма P = 0,5Ро, где Ро -общий вес ротора. Введем системы координат xyz и XY. Плоскость xz совместим с плоскостью, касательной к опорной поверхности подшипника в точке, относительно которой будем рассматривать движение смазочного материала, при этом координаты х и а (окружная переменная) связаны зависимостью х = а R, где R - радиус вкладыша подшипника. С учетом принятой системы координат система уравнений движения жесткого ротора будет иметь вид:
о
mX = Fx+mAсо sin coi;
о
mY = FY+mAсо coscot + mg,
где т и А - масса ротора, приходящегося на одну опору, и удельная неуравновешенность вала; X и Y -координаты положения центра цапфы в радиальном зазоре подшипника; со - частота вращения ротора; t - время; t0 - время одного оборота; FX , FY - проекции реакции смазочного слоя подшипников F на
соответствующие оси. Они включают две составляющие: силу трения смазочного слоя FT и
равнодействующую гидродинамического давления R, т.е. FX=FX+RX, FY=FY+RY• Реакция гидродинамического давления определяется численным интегрированием поля давлений p:
L жЛ L %D
Rx = J J p sin a dx dz ; RY = J j p cos a dxdz.
0 0 0 0
Поле давлений определяется численным решением уравнения Рейнольдса:
i. + д [j? * }
дх V V-дх j & 1 Vdz)
= 6-(Uh)-\2V, (1)
дх
где V - скорость движения точки на поверхности шейки вала в радиальном направлении. Уравнение (1) относится к уравнениям эллиптического типа и требует задания граничных условий:
а) р = 0 - на торцах подшипника;
б) р = рн ~ в маслораспределительных устройствах (смазочные канавки и карманы);
др
в) р = 0; — = 0 - в месте окончания смазочного слоя,
дх
где рн - давление подачи смазки в камере (жиклере).
Условие в) получается из условия непрерывности потоков смазки и соответствует максимальной протяженности эпюры положительных давлений, что эквивалентно условию p > 0 в области существования избыточных давлений. Оно может определяться как конструктивными особенностями (например, границей рабочей поверхности в неполноохватных подшипниках) и, следовательно, считаться известным, так и находиться в результате итерационного процесса, заключающегося в последовательном передвижении границ до получения решения, не имеющего отрицательных значений давления. Для точного определения рн следует включить в математическую модель уравнение баланса расходов, что сильно усложнит последнюю. Большинство рассматриваемых подшипников имеют фронтальную подачу смазочного материала, причем жиклеры находятся вне зоны существования избыточных давлений, что позволяет вовсе отказаться от данного условия. В случаях положения питающих камер в зоне несущего смазочного слоя будем считать рн постоянным и априорно определенным. Выражение радиального зазора и, следовательно, толщины смазочного слоя в области его существования в случае идеальной цилиндрической формы поверхностей шейки вала и вкладыша будет выглядеть следующим образом:
h = h0 - X • sin а - Y ■ cos а ,
где к - номинальный радиальный зазор. Наибольшее распространение для решения уравнения Рейнольдса (1) получили численные методы, основанные на методах конечных разностей (МКР) и конечных элементов (МКЭ). При расчете используется неструктурированная адаптивная конечно-элементная сетка. На рис. 1 представлен пример рассчитанного нормированного поля давлений гидродинамического подшипника скольжения (угол охвата 180°, О = £ = 350 мм).
Рис. 1. Поле давлений гидродинамического подшипника скольжения, полученного по предложенному алгоритму МКЭ
Для определения силы трения необходимо знать касательное напряжение в смазочном слое. Согласно
¡гдр \111
[3], т=--1--. Тогда проекции сил трения равны:
2дх Ъ
т ь по Ь по
Рх = | _[ т эта сЬссЬ) Ру =\ { х сое а ёх ёг .
0 0 0 0
_ — X — 7 - ? отДсо те После ввода безразмерных параметров и переменных X = — , 7 = —, ? = —, -, О =-,
К К к РоПЬ р()1)Г
Рх = —-—, Рт — —-—, Л =-- уравнения движения примут вид:
РоОЬ Р()1)г Ровщ
\hr-Fx =0яп(2тгО; (2)
[АГ'-Рг =<2С(№(2п}) + 0,
где знак «'» означает дифференцирование по безразмерному параметру /. Решение системы уравнений (2) аналитически не представляется возможным, поскольку отсутствуют аналитические зависимости для реакций смазочного слоя и их производные. Анализ возможных решений численными методами подробно изложен в [4]. По результатам расчетов [4] наиболее оптимальным по показателю «время расчета - точность вычислений» является применение метода Рунге-Кутта.
Определим зону проводимости - участок смазочной пленки, в котором выделяется основная часть электрической мощности приложенного тока. Пренебрегая краевыми эффектами, границей зоны
др др
проводимости будем считать место обрыва смазочного слоя (изобару р = 0, — = 0, — = 0). Основными
дх дг
оставляющими электрического сопротивления подшипника Яэ считаются сопротивление стягивания ЯСТ и сопротивление смазочной пленки ЯСП.
К , = ^ст + ^сп •
В условиях жидкостной смазки, характерной для большинства рассматриваемых подшипников, влияние сопротивления стягивания на общее сопротивление незначительно. Схему замещения смазочного слоя можно представить в виде параллельного соединения идеальных активного
2 г*
„ n-J(йn С,
сопротивления г1 и емкости Съ а комплексное сопротивление можно записать так: Z] =--.
^(юг^)2
Считая, что через узел протекает постоянный ток, обеспечивающийся стабилизированным источником, можно пренебречь влиянием емкости смазочного слоя подшипника. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать обобщенную схему, содержащую одну ячейку - активное сопротивление.
Активное сопротивление смазочного слоя определяется толщиной гидродинамической пленки, разделяющей рабочие поверхности, и удельным электрическим сопротивлением смазочного материала. Согласно теоретическим данным, при уменьшении толщины слоя жидкого диэлектрика его удельное сопротивление и электрическая прочность должны возрастать, поскольку количество примесей, способных образовывать проводящие мостики, уменьшается. Однако экспериментальные испытания
подтвердили данную гипотезу только для толщин слоя 10-5 - 10-3 м, для более тонких пленок удельное сопротивление существенно не изменяется [4], а величина активного сопротивления имеет близкую к линейной, монотонную зависимость от толщины [5]:
_ А "СП - Рем ' ТГ '
где /? - толщина смазочной пленки; Рем - удельное сопротивление смазочного материала (105-1013 Ом • м для наиболее часто применяемых синтетических и турбинных масел); БИ - площадь, на которой толщина смазочной пленки равна И.
При разделении поверхностей только граничным слоем смазочного материала (толщина превышает значение, соответствующее началу туннельного эффекта и составляет 0Д...1 мкм) наблюдается уменьшение удельного сопротивления смазочной пленки на несколько порядков. Активное сопротивление смазочной пленки определяется так:
_ А "СП - Ргп ' ТГ '
где ргп - удельное сопротивление граничной смазочной пленки.
Если толщина смазочного слоя, разделяющего движущиеся поверхности, составляет менее 10 нм, пленка имеет туннельную проводимость и очень низкое сопротивление, которое в рамках разрабатываемой модели условно будем считать равным нулю. Таким образом, в разрабатываемой модели предполагается, что при разрыве контакта между шейкой вала и вкладышем проводимость промежутка резко падает и при дальнейшем увеличении зазора существенно не изменяется, что не противоречит экспериментальным данным и выводам, полученным в [3].
Моделирование геометрических характеристик рабочих поверхностей подшипников
скольжения
М«) 150 ^
Рис. 2. График функции радиального зазора с эллипсностью вкладыша (И0 = 1; ф = 0,3п; /0 = 0,1; т0 = 2; е = 0,15)
Для оценки влияния различных отклонений от идеальных геометрических форм на функцию изменения электрического сопротивления необходимо составить математическое описание поверхности вкладыша и шейки вала подшипника. Для анализа влияния волнистости и макроотклонений на общее
электрическое сопротивление подшипника функцию радиального зазора h, с учетом принятого допущения о параллельности осей ротора и подшипника, удобно представить в виде
h = h0 (1 - ё cos (а - ф)) + /0 cos (т0 а)),
где f0 и m0 - амплитуда и частота волнистости. На рис. 2 приведен пример графика функции радиального зазора с эллипсностью вкладыша в полярной системе координат.
Для синтеза функции радиального зазора подшипника, имеющего локальные дефекты, необходимо сформировать основные требования к ней. Данная функция должна иметь участок с одинаковой (максимальной) амплитудой и границей в форме окружности или прямоугольника, а также спадающие до нуля симметричные боковые участки также с внешней границей в виде прямоугольника либо окружности. Геометрию локальных дефектов можно моделировать различными способами. Для решения поставленной задачи наиболее приемлемым будет использование аппроксимации кубическими B-сплайнами 4-го порядка. Сплайн в B-форме является суммой базисных сплайнов, каждый из которых отличен от нуля на некотором небольшом интервале. Он определяется последовательностью узлов, среди которых могут быть повторяющиеся. Число повторений узла определяет гладкость сплайна в точках разрыва. Во внутренних точках разрыва порядок сплайна равен сумме числа повторений узлов в последовательности и числа условий непрерывности в точке разрыва. Метод удобен для реализации на персональном компьютере и удовлетворяет поставленным требованиям. Сначала форма дефекта задается опорными плоскими гранями, а затем аппроксимируется с помощью аппарата функций Безье (рис. 3).
В основу предпосылок использования электрорезистивного метода для поиска локальных дефектов заложена гипотеза о том, что при попадании дефекта в зону трения, вследствие релаксации гидродинамического давления, происходит снижение толщины смазочного слоя и соответственно уменьшение среднего сопротивления смазочного слоя. Поскольку локальные дефекты не предполагают регулярный характер геометрии поверхности, невозможно применение интегральных параметров. Однако это же ограничение позволяет использовать в местоположении дефекта адаптивный шаг сетки, равный расстоянию между узлами моделирующего кубического сплайна.
Разработанная математическая модель позволяет учитывать влияние макроотклонений, волнистости и локальных дефектов на динамическое изменение положения шейки вала в подшипнике скольжения, на функцию изменения толщины смазочной пленки и в итоге - на функцию изменения электрического сопротивления. Для проверки адекватности разработанной математической модели выполнялись замеры электрического сопротивления подшипников скольжения типа КПК-350 электродвигателя постоянного тока привода пятиклетьевого стана. Во всех случаях после вскрытия подшипников (аварийного или во время планового ремонта) результаты, полученные с помощью математической модели, соответствовали экспериментальным.
Список литературы
1. СавинЛ.А., Соломин О.В. Моделирование роторных систем с опорами жидкостного трения. - М.: Машиностроение-1, 2006. - 444 с.
2. Коднир Д.С. Контактная гидродинамика смазки деталей машин. - М.: Машиностроение, 1976. - 304 с. 3. Пугачев А.О. Динамика переходных режимов работы роторов на радиальных подшипниках скольжения: Дис. ... канд. техн. наук. - Орел, 2004. - 180 с4. Кончиц В.В., Мешков В.В., Мышкин Н.К. Триботехника электрических контактов. - Минск: Наука и техника, 1986. - 256 с. 5. Корндорф С.Ф. Контроль повышения температуры в зоне трения при наличии смазочной пленки // Контроль. Диагностика. - 2004. - № 9. - C. 27-30.
