Математическая модель движения наноспутника на солнечно-синхронной круговой орбите Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

^^^ Журнал «Инновации в науке» www.sibac.info_№3 (64), 2017г.

РУБРИКА

«ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ НАНОСПУТНИКА НА СОЛНЕЧНО-СИНХРОННОЙ КРУГОВОЙ ОРБИТЕ

Чеботарев Виктор Евдокимович

д-р техн. наук, доц., Сибирский федеральный университет, РФ, Красноярский край, г.Железногорск

Кузьмина Надежда Александровна

магистрант, Сибирский федеральный университет, РФ, Красноярский край, г.Железногорск E-mail: [email protected]

MATHEMATICAL MODEL OF MOTION NANO-SATELLITES INTO SUN-SYNCHRONOUS CIRCULAR ORBIT

Viktor Chebotarev

Doctor of Engineering Sciences, associate Professor, Siberian Federal University

Russia, Krasnoyarsk region, Zheleznogorsk

Nadezhda Kuzmina

Undergraduate, Siberian Federal University, Russia, Krasnoyarsk region, Zheleznogorsk

АННОТАЦИЯ

В статье приведена уточненная математическая модель движения нано-спутника на солнечно-синхронной круговой орбите, представленная как движение его центра масс и движение относительно центра масс, смоделированное с помощью углов Эйлера; матрицы направляющих косинусов; кватернионов.

ABSTRACT

The article presents the refined mathematical model of the motion of nano-satellites into sun-synchronous circular orbit, represented as the motion of its center of mass and motion about center of mass, described using Euler angles; matrix of direction cosines; quaternions.

Ключевые слова: наноспутник, модель движения, солнечно-синхронная орбита, стартовая система координат, координаты наноспутника; кватернион.

Keywords: nanosatellite, the motion model, sun-synchronous orbit, the starting coordinate system, the coordinates of the nanosatellite; quaternion.

Солнечно-синхронная орбита представляет собой орбиту с такими параметрами, что спутник проходит над любой точкой земной поверхности приблизительно в одно и то же местное солнечное время [1, 2].

Движение наноспутника на орбите можно рассматривать как движение его центра масс и движение относительно центра масс.

Рассмотрим движение центра масс наноспутника. Предположим, что наноспутник движется в абсолютной декартовой системе координат OXYZ с

началом в произвольной неподвижной точке O и неизменным направлением осей по солнечно-синхронной орбите.

Т.к. орбита круговая и эксцентриситет e = 0, то положение перицентра не определено. Поэтому можно сказать, что аргумент перигея со= 0 и круговая орбита будет характеризоваться следующими элементами (рисунок 1): радиусом (г), наклонением (/'), долготой восходящего узла (Ц), средней аномалией в эпоху^).

Нормаль к

Направление на перигелий

Плоскость орбиты

Рисунок 1. Движение наноспутника по солнечно-синхронной орбите

Так как движение круговое, то [1, 2]:

где u - аргумент широты; v - угловая скорость; E - эксцентрическая аномалия; M - средняя аномалия.

M = n(t -to ) + Mo

(1)

(2)

где М0 - средняя аномалия в эпоху; /0 - начальный момент времени; / - заданный момент времени Тогда координаты наноспутника можно вычислить по формуле:

х = г(саиМсояЛ -япМял/ЭсокЕО!

V = :■'! :о; Л/ ;т.': - ;т.'; го; :о;_: :_ (3) г = г

где г - радиус;

0 - долгота узла;

1 - наклонение.

Движение космического аппарата относительно центра масс можно моделировать с помощью:

• углов Эйлера;

• матрицы направляющих косинусов;

• кватернионов.

Углы Эйлера в, определяют положение прямоугольной декартовой системы координат ОХ-12 относительно другой прямоугольной декартовой системы координат Оху2 с той же ориентацией (рис. 2).

Рисунок 2. К определению углов Эйлера

Пусть ОК - ось, совпадающая с линией пересечения координатной плоскости Oxyz первой системы координатной плоскостью OXYZ второй системы и направленная так, что оси Oz, OZ, OK образуют тройку той же ориентации.

Матрица направляющих косинусов представляет собой прямоугольную таблицу 3x3, элементами которой являются косинусы углов между осями исходной и подвижной систем координат (направляющие косинусы):

cos ^ cos $ cos д sin ^ sin у — cos у sin $ cos д sin ^ cos у + sin y sin $

где a1J - направляющие косинусы, представляют собой тригонометрические функции углов Эйлера.

Матрицу, определяющую переход от стартовой системы координат к связанной, можно найти, используя матрицы элементарных поворотов (рис. 3):

sin $ cos ^ — sin ^

sin д sin ^ sin у + cos у cos д cos ^ sin у (5)

sin д sin ^ cos у — sin у cos д cos ^ cos у

где у - угол собственного вращения, в - угол нутации, ц- угол прецессии.

Рисунок 3. Повороты при получении матрицы направляющих косинусов

Кватернионы предоставляют удобное математическое обозначение положения и вращения объектов в пространстве. В сравнении с углами Эйлера, кватернионы позволяют проще комбинировать вращения, а также избежать проблемы, связанной с невозможностью поворота вокруг оси, независимо от совершенного вращения по другим осям. В сравнении с матрицами они обладают большей вычислительной устойчивостью и могут быть более эффективными [3].

Кватернион задает поворот не вокруг осей x, у, z, а вокруг любой, произвольной оси. Если повернуть космический аппарат на некоторый вектор с координатами у, z) на угол р, то кватернион, осуществляющий такой поворот, можно вычислить так:

_ . <р (}х = X

Ь-У^ (6)

где р - угол поворота КА, относительно заданной оси поворота;

x, у, z - косинусы углов между осью поворота и осями исходной системы координат.

Тогда кватернион поворота на угол р примет

вид:

где - Q кватернион поворота на угол р.

Допустим космический аппарат нужно повернуть вокруг оси x на угол р. Тогда кватернион задающий вращение можно представить в виде:

Аналогично можно представить поворот космического аппарата вокруг осей у и z.

Кватернион поворота космического аппарата вокруг оси х в зависимости от времени t можно представить в виде:

(11)

В завершении можно отметить, что в работе были показаны различные подходы к моделированию движения космического аппарата.

Усовершенствованная модель расчета движения наноспутника может быть использована при изучении особенностей функционирования источников электроэнергии космического назначения, при моделировании различных источников энергии космического аппарата, а также при составлении алгоритма расчете энергобаланса космического аппарата.

Список литературы:

1. Алексеев К.Б, Бебенин Г.Г. Управление космическими летательными аппаратами. - М.: Машиностроение. 1974. - 340 с.

2. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников земли. - М.: Наука. 1977. - 360 с.

3. Петровичев М.А. Система энергоснабжения бортового комплекса космических аппаратов: учеб. пособие / М.А. Петровичев, А.С. Гуртов. - Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та. - 88 с.