Математическая модель деформационных свойств нефтенасыщенного пласта Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.87:550.832

© К.В. Халкечев, Р.К. Халкечев, 2014

К.В. Халкечев, Р.К. Халкечев

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМАЦИОННЫХ СВОЙСТВ НЕФТЕНАСЫЩЕННОГО ПЛАСТА

Посредством использования теоретических положений мультифрактального моделирования трудноформализуемых объектов в рамках метода аналогий разработана математическая модель, позволяющая определить эффективные упругие свойства нефтенасыщенного пласта. В рамках предложенной математической модели на основе теории обобщенных функций пригодной для описания физических полей появилась возможность адекватного описания сложных физических процессов в нефтенасыщенных пластах.

Ключевые слова: нефтенасыщенный пласт, деформационные свойства, природный мультифрактал, математическое моделирование, метод аналогий.

Известно, что большинство нефтяных месторождений в России характеризуются низкими значениями конечной нефтеотдачи. К такому состоянию с низкой нефтеотдачей приходят, в конце концов, почти все нефтяные месторождения, в том числе и за рубежом, по мере их эксплуатации. При этом предполагается, что нефтеотдача обусловлена следующими обстоятельствами: различием коллекторских свойств нефтесодержащих пластов, неоднородностью по проницаемости различных пропластков, различием пластовых температур, минерализацией пластовой воды, реологическими характеристиками нефти, не-фтенасыщенностью пласта и т.п. Отсюда является очевидным, что физический процесс, лежащий в основе изучаемого явления, зависит от многих факторов. И этот список факторов можно продолжить.

В рамках такого предположения существующие меры по увеличению нефтеотдачи могут быть разделены, с одной стороны, на способы, при которых объектом воздействия являются нефтевытесняющие агенты (проводится оптимизация параметров закачиваемой в пласт жидкости, а именно: изменение его реологических свойств). Оптимальными могут считаться составы, вязкость которых в обычных условиях (на поверхности и в процессе закачки) имеет низкие значения, они хорошо фильтруются в пористой среде; с другой - на способы, предполагающие воздействия на сам нефтесодержащий пласт, с целью обеспечения максимума фильтрации. Таким подходом обусловлен выбранный путь научного исследования физических процессов в нефтенасыщенных пластах, который направлен на решение отдельных частных задач, не допускающих обобщения, и тем самым не приводящий к желаемому результату при решении проблем нефтеотдачи.

В отличие от многих других физических процессов при научном исследовании физических процессов в нефтенасыщенных пластах, возможности проведения натурного эксперимента весьма ограничены, а часто и вообще отсутствуют. В результате модельный подход, то есть построение некоторой математической модели явления, остается практически основным методом исследования физических процессов в нефтенасыщенных пластах. Но при этом, необходимо осознавать, что до недавнего времени, с одной стороны не существовали, унифицированные рецепты построения, с другой - соответствую-

щих методов математического моделирования и подходящего математического аппарата. Это положение существенно изменилось после разработки теоретических положений мультифрактального моделирования трудноформализу-емых объектов [1]. В рамках методов математического моделирования и математического аппарата на основе теории обобщенных функций пригодной для описания физических полей, разработанных в данной работе, появилась возможность адекватного описания таких сложных физических процессов в нефтенасыщенных пластах.

Следуя традициям исследования многофакторных физических процессов, определены существенные факторы в виде деформационных свойств нефти, нефтенасыщенных пластов и нефтевытесняющих агентов, законы изменения которых, полностью ответственны за данные процессы. В данной работе ограничимся определением деформационных свойств нефтенасыщенных пластов. Для этого используем методы аналогий и мультифрактального моделирования, которые позволяют отнести нефтенасыщенный пласт к природным мультиф-ракталам того или иного порядка сложности в зависимости от структурно-текстурных особенностей пласта без нефти [1]. Если пласт имеет структуру минерала, в каждом из структурносоставляющих которого имеются пора наполненная нефтью, то мы имеем природный мультифрактал второго порядка сложности и соответствующую ей следующую математическую модель.

Согласно работе [1] и методу аналогий, нефтенасыщенный пласт будем рассматривать как фрактал, состоящий из вплотную прилегающих друг к другу фрактальных неоднородностей, каждая из которых содержит пору, наполненную нефтью. Разделим мультифрактальную сплошную среду, соответствующую нефтенасыщенному пласту, на две связанные между собой фрактальные среды. Первая из них - минерально-нефтяная фрактальная среда первого порядка, является трехмерной сплошной средой со случайными неоднородно-стями (природными фракталами). А вторая - минерально-нефтяная фрактальная среда второго порядка, представляет собой трехмерную сплошную среду с эффективными деформационными свойствами первой фрактальной среды со случайным полем эллипсоидальных неоднородностей (нефтенаполненных пор), разнесенных в пространстве. Разработаем для каждой из данных сред свою математическую модель. В результате получим мультифрактальную математическую модель нефтенасыщенного пласта относительно деформационных свойств.

Используя работу [2] в рамках метода аналогий, математическую модель минерально-нефтяной фрактальной среды первого порядка можно представить в следующем виде:

(е(шп1) (тп1) ( (тп1) (1шл1) V1 ( (тп1) (1шл1) V1

С =< с

1+ В ■ С >■< 1+ в ■ с

V / V /

>-1

(1) (е{шп1)

где С - эффективный тензор модулей упругости минерально-нефтяной фрактальной среды (здесь и далее, буквенно-числовое сочетание, заключенное в скобки над тензорной величиной, является пометой, а не индексом); I - еди-

(тп1) 1 (0тп1)

ничный четырехвалентный тензор; В =—— I К (Ак) ¿Б ; А - тензор, опре-

4п *

Б1

деляющий невырожденное аффинное преобразование трехмерного простра-

(0тп1) (0тп1>

ства; К (к) - преобразование Фурье-ядра К ум (х - X ) единичной сферы в Фурье-пространстве.

(0тп1) (0тп1) (0тп1) ( (тп1) Л

К ум(х - х') = -[Эд, в ук(х - х')](..)(И) ; в =

-У< С >У

тензорная

функция Грина матрицы (среды с упругими свойствами равными усредненным (т)

значениям < С > ), V - градиент по х.

Разработаем математическую модель минерально-нефтяной фрактальной среды второго порядка.

Используя содержательную модель и работу [3] в рамках метода аналогии, получим следующее уравнение для кусочно-непрерывного поля деформаций (тп2)

е (х) во фрактальной среде второго порядка: (тп2) (тп2) (1тп2) (тп2) (0тп2)

е (х) + | К (х - х') С е (х')^(x')dX'= е , (2)

(1тп2) (е/тп1)

где С = р01 - С ; р0 - первоначальное давление в поре, наполненной нефтью; Q(x) - характеристическая функция области V, т.е.

х) =|1 ПРИ х £ ^ (тп2) (тп1) (тп1)

[0 при х г V ; оператор К = -¿е/ в ; в - тензорная функция

Грина матрицы первого порядка (среды с упругими свойствами равными (е/тп1)

С ); ¿в{ - оператор, соответствующий симметризованному градиенту; (0тп2)

е (х) - непрерывное внешнее поле деформаций, которое существовало бы (1тп2)

при С = 0 в матрице первого порядка при заданных внешних силах.

(тп2)

Из (2) для поля деформаций е внутри эллипсоидальной неоднородности получим уравнение:

(тп2) (тп2) (1тп2) (тп2) (0тп2)

W(х) е (х) + | К (х - х') С е (х'Щ(х'Щх^х'= W(х) е . (3)

С другой стороны, согласно [4], поле деформаций внутри любого включения в рамках комплексного метода самосогласованного поля имеет следующий вид:

(тп2)

е =

( (mn2) (^п2) Л-1 (Emn2)

1+ H ■ С

(4)

(тп2) 1 (тп2) (тп2) (тп2)

где H =— I К (Ak) dБ , К ( М ) - преобразование Фурье-ядра Кш (х - х')

Лтг * у

4п Б!

(Emn2) (0mn2) (m"2) (m"2) (0mn2) (Nmn2) (Nmn2)

= S + S

s = s +

; е - поле, наведенное другими неоднородностями.

Решая совместно (3) и (4), окончательно для эффективного тензора модулей

(в{тп2)

упругости минерально-нефтяной фрактальной среды второго порядка С получим:

(efmn2) (efmnl)

C = C +<

(ELmn2) ч 1

V (1mn2) ( (mn2) (1mn2)Y1

~ 1 + H ■ C >

(BVmn2)

V

C

(0 mn2)

I - H ■<

(ELmn2) . -1

V (1mn2) ( (mn2) (1mn2) V

(Bvmn2) C I+ H ■ C

V

>

(5)

(mn2) (0mn2) 1 (mn2) (ELmn2) (BVmn2)

где H = H =—f K (Ak)dS, при Л = 1; V и V - соответ-4п г

ственно объем эллипсоида и объем блока Вороного в минерально-нефтяной фрактальной среде второго порядка.

х

_ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Халкечев Р.К. Теоретические основы мультифрактального моделирования труднофор-мализуемых объектов // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2013. - N° 9. Отдельные статьи (специальный выпуск). Прикладная и промышленная математика. - С. 8-16.

2. Халкечев К.В., Халкечев Р.К. О свойствах математической модели: эллипсоидальная неоднородность в упругой среде // Горный информационно-аналитический бюллетень. -2011. - N 12. Отдельные статьи (специальный выпуск). Методы математического моделирования в горной промышленности. - С. 18-22.

3. Халкечев Р.К. Разработка метода усреднения упругих свойств геоматериалов на основе теории мультифрактального моделирования // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. - 2012. - N 3. - С. 17-21.

4. Халкечев Р.К. Об одной распространенной ошибке при математическом моделировании трудноформализуемых объектов мультифрактальной структуры. Комплексный метод самосогласованного поля при исследовании мультифрактальных сред // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2013. - N 9. Отдельные статьи (специальный выпуск). Прикладная и промышленная математика. - С. 20-23. ЕИЭ

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ_

Халкечев Руслан Кемалович - кандидат физико-математических наук, Халкечев Кемал Владимирович - доктор физико-математических наук, доктор технических наук, профессор, МГИ НИТУ «МИСиС», e-mail: [email protected].

UDC 519.87:550.832

MATHEMATICAL MODEL OF DEFORMATION PROPERTIES OF AN OIL-SATURATED RESERVOIR

Khalkechev R.K., Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Khalkechev K.V., Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Doctor of Technical Sciences, Professor,

Moscow Mining Institute, National University of Science and Technology «MISiS», e-mail: [email protected].

In presented article by means of use of theoretical provisions of multifractal modeling of hardly formaliz-able objects within a method of analogies the mathematical model, allowing to define effective elastic properties of oil-saturated stratum is developed. Within the offered mathematical model on the basis of the theory of the generalized functions suitable for the description of physical fields there was a possibility of the adequate description of difficult physical processes in oil-saturated strata.

Key words: oil-saturated stratum, deformation behavior, natural multifractal, mathematical modeling, analog method.

REFERENCES

1. Khalkechev R.K. Gornyi informatsionno-analiticheskii byulleten'. 2013, no 9, special edition, Priklad-naya i promyshlennaya matematika (Applied and industrial mathematics), pp. 8-16.

2. Khalkechev K.V., Khalkechev R.K. Gornyi informatsionno-analiticheskii byulleten', 2011, no 12, special edition, Metody matematicheskogo modelirovaniya v gornoi promyshlennosti (Mathematical modeling methods in mining industry), pp. 18-22.

3. Khalkechev R.K. Izvestiya Kabardino-Balkarskogo nauchnogo tsentra RAN, 2012, no 3, pp. 17-21.

4. Khalkechev R.K. Gornyi informatsionno-analiticheskii byulleten', 2013, no 9, special edition, Priklad-naya i promyshlennaya matematika (Applied and industrial mathematics), pp. 20-23.

ТОРФЯНОЕ ПРОИЗВОДСТВО КАК ЭЛЕМЕНТ ГОРНОПРОМЫШЛЕННОЙ СИСТЕМЫ

(№ 1032-1034/11-14 от 28.08.14, 4 с.)

Жигульская Александра Ивановна - кандидат технических наук, доцент, e-mail: [email protected],

Яконовская Татьяна Борисовна - кандидат экономических наук, доцент, e-mail: [email protected], Корнильев Е.О. - студент,

Тверской государственный технический университет.

PEAT PRODUCTION AS AN ELEMENT OF MINING SYSTEM

Zhigulskaya A.I., Candidate of Engineering Sciences, Assistant Professor, e-mail: [email protected],

Yakonovskaya Т.В., Candidate of Economical Sciences, e-mail: [email protected],

Korniliev E.O., Student,

Tver State Technical University.

_ РУКОПИСИ,

ДЕПОНИРОВАННЫЕ В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «ГОРНАЯ КНИГА»