CC BY
102
серия Аэромеханика и прочность
УДК 553.65
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДАЛЬНЕГО ВИХРЕВОГО СЛЕДА ЗА САМОЛЕТАМИ С ВОЗДУШНЫМИ ВИНТАМИ
Описывается математическая модель дальнего вихревого следа за магистральными самолетами с воздушными винтами, базирующаяся на методе дискретных вихрей и на дисковой теории винта. Приводятся результаты исследований характеристик дальнего следа за некоторыми самолетами с воздушными винтами.
Вопрос о влиянии воздушных винтов на характеристики дальнего вихревого следа до настоящего момента остается открытым. Анализ работ в этом направлении показывает, что таких исследований очень мало. В основном это разрозненные исследования вихревых следов за самолетами с воздушными винтами в летном эксперименте по программе Department of transportation USA. Практически отсутствуют математические модели для исследования такого влияния.
В последнее время возрос интерес к самолетам с воздушными винтами, как более дешевым, по сравнению с турбореактивными самолетами, с точки зрения перевозки пассажиров и грузов на одинаковые расстояния. Появление новых магистральных самолетов с воздушными винтами потребовало изучения и исследования за ними дальних вихревых следов. В связи с этим понадобились простые и эффективные методы для расчета характеристик вихревого следа. В настоящее время вихревыми и спутными следами занимаются в ЦАГИ им. Н.Е. Жуковского, в ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского и в ЛИИ им. М.М. Громова [1 - 11]. Кроме того, в части, касающейся воздушных судов гражданской авиации (ГА), вихревыми и спутны-ми следами занимаются в С.-Пб. УГА и ГосНИИ ГА [12, 13]. В данной статье делается попытка создать математическую модель дальнего вихревого следа за самолетами с воздушными винтами. Такая математическая модель успешно может работать в блок-схеме методики расчета дальнего вихревого следа работы [7].
Введем следующие обозначения: d - диаметр винта; w - угловая скорость вращения винта; V0 - скорость набегающего потока; V, = V0 + v, - осевая скорость в плоскости диска винта (v, - соответствующая индуктивная скорость); V2 = V0 + v2 - осевая скорость в струе за винтом (v2 - соответствующая индуктивная скорость); v2 = 2v,; r0 - радиус втулки винта; rd
Х=—, где R =— - относительный радиус втулки винта; P - тяга винта; M - крутящий мо-R 2
мент на валу винта.
Тогда тяга винта dP = dmV2 - dmV1 = dmv2. Здесь dP - элемент тяги на радиусе r, dm = 2prdrpV1 - массовый расход на радиусе r. Таким образом, dP = 2ppV1v2rdr.
Предположив, что распределение индуктивных осевых скоростей по диску винта равномерно, будем иметь:
В.В. ГУЛЯЕВ, А.И. ЖЕЛАННИКОВ, Д.В. МОРОШКИН, С.А. УШАКОВ
r0
С учетом равенств V, = V0 + v, и v2 = 2v, получим
P = pR2p(1 - X2)(V0 + vi)2vi = 2pR2p(1 - X2)(V0vi + v?).
— v,
Введем относительную индуктивную осевую скорость V=--------------. Тогда
wR
Р=2—я2р(і—X2 )уо шяУ+ш2я2У2
г
Имея в виду, что Р = арп2ё4, ю = 2—п (а - коэффициент тяги винта, п - обороты винта),
получим: арп
н4 / \ґ
---2ё4 = 2——р(і—X2)
н-
н2_ ^
2 2а ,,2
Уо2—п—V+4— 2п2—V
2
4
, или, сократив на рё2
ап2^2
Н2 =—(——X 2 ]'(Уо РпёУ+— 2п2ё2У2 ].
Отсюда а=—(і—X2) 2
п2ё2
-V+-
п2ё2
-V2
у
Выполняя сокращения и имея в виду, что —0=1 - коэффициент скорости винта, полу-
пё
чим а=—(1-X2)(—1У+—2У2). Из этого выражения найдем V: —2У2 + —1У —/2а ^ = О, 2 —(1-Х )
2а
I2
8а —
—2 1— -•
у +—У—Р31—І2]=0> п“+—Цч2], у
і
—+ —
12
—2 +—3 (і—х2 ]
8а
или
V =-*+.
12
2— У 4—2 —3(1-Х2),
где из двух корней квадратного уравнения выбран положительный.
Для крутящего момента выражение выглядит следующим образом: ёМ ёши2г, где и2(г) -распределение окружной индуктивной скорости по диску винта далеко за ним. С учетом соотношения ёш = 2—гёгрУ1 получим ёМ = 2—рУ1и2г2ёг. Отсюда:
я
М=2—рУ11и2 (г)г2ёг .
2а
Потребляемая винтом мощность N =Мш, т.е.
N=Мш=2рршУ11и2 (г]г2ёг .
Г
В силу принятой вихревой схематизации винта можно считать, что и2 (г )=-----, где Г -
2—г
циркуляция порожденного винтом осевого вихря. Тогда
я я Г 2 Г я
я и2 (г ]г2ёг=Ї—г2ёг =— Г гёг =—1 (я2 — го2 ]=— я2 (і—X2 ].
г г 2—г 2—Г 2—2V ! 4— ' '
Г0 го го
Таким образом, N=Мш=2—рюУ— —Я2(і—X2)=—ршУ1ГЯ2(і—X2]. Имея в виду, что
4— 2
3 5 35 — { 2 \ 2
N=Мш=Ьрп Н , где Ь - коэффициент мощности винта, найдем Ьрп Н =—р(1—X ^шУ—Гя . Поскольку ш = 2—п, У— = Уо + у—, у— = Ушя = 2—пяУ, я = ё/2, получим после сокращения на рпё2: Ь п2ё3 =—(і—X2 ]-(уо +рпёУ ]г .
2
Г
0
Г
0
- г
Введем безразмерную циркуляцию Г
тогда Ьп2ё3 =Р(і-Х2 )-(у0 +япёУ)Г2яп— .
Сокращая на пё2, получим Ь пё =Р-(і-Х 2 )(у0 +япёУ )Г. Отсюда Р=—(і-Х2 )—+яУ )Г и Г=---------------------4Ь------
4 р3 (і-х2 )Г-+у
. Используя выражение, получен-
я
тг „ — — — —
ное для У выше, найдем —+ У =---------------------+
я я 2р I
—2
4я2 + я3 (1-Х2) 2я^ 4р^ я3 (1-Х2).
2а
=—+
—2
2а
Тогда окончательно:
Г
4Ь
я3 (1-Х2)
4я
2а
2 +р3(Т-Х21
Таким образом:
1. Если задан режим работы винта - —, а, Ь и известен относительный диаметр втулки Х, то определить интенсивность генерируемого винтом осевого вихря можно по формуле
Г=-
4Р
я3 (1-Х2 )
4я
2а
2 +р3(Т-Х21
2. Если ввести в рассмотрение безразмерную циркуляцию осевого вихря по формулам,
* Г
принятым для ЛА в целом, Г =------, где Ь - некото-
_У,Ь
рый характерный размер, то Г и Г* будут связаны
соотношением
ГюЯё = Г*У0Ь.
Откуда
_* -юЯё -2япё ё -к- _* -ят _
Г =Г------=Г--------------=Г—а, те. Г = Г—а. Здесь
У0Ь У0 2Ь 1 1
ё = ё/Ь - относительный диаметр винта.
, . 3. Вихревая схема струи винта (в плоскости
"у 7 Треффтца) будет иметь вид, показанный на рис. 1: п вихрей, расположенных равномерно по окружности диаметром, равным диаметру винта, моделируют поверхность струи винта. Циркуляция каждого из этих вихрей равна Г*/п, а направление вращения - противоположно направлению вращения осевого вихря. Осевой вихрь при этом создает вращение, совпадающее по направлению с вращением винта.
Для подтверждения работоспособности математической модели и достоверности получаемых по ней результатов были выполнены расчеты. На рис. 2 показаны результаты сравнения расчета вертикальной скорости в ядре самолета С-130 (ромбики) с результатами летного эксперимента (квадратики) на удалении 1,4 км, взятые из работы [6]. Видим удовлетворительное согласование расчетных и экспериментальных данных.
'■«. —
Рис. 1. Вихревая схема
С-130, Н=100 м, V=184 км/ч
л
е;
ге
а)
т
Расчёт
Эксперимент
Р
ис. 2. Распределение вертикальной скорости в ядре вихря самолета С-130
Были также исследованы характеристики вихревого следа за самолетом С-130 при других условиях полета. На рис. 3 показано распределение вертикальных скоростей в ядре вихря самолета С-130, летящего на высоте Н = 1000 м со скоростью V = 750 км/ч в момент времени Т = 5 с и Т = 60 с. Видим, что с течением времени величина скоростей в ядре вихря уменьшается, что связано с диффузией вихрей и влиянием вязкости, которые учитываются в данной математической модели.
С-130, Н=1000 м, V=750 км/ч
л
н
о
о
а
о
о £ £ 5? 5
л
с
га
ІС
£
I-
О.
а»
т
Т=5с
Т=60с
Р
ис. 3. Распределение вертикальных скоростей в ядре вихря самолета С-130
На рис. 4 представлены траектории движения концевых крыльевых вихрей и вихрей от винтов самолета С-130, летящего на высоте Н = 1000 м со скоростью V = 750 км/ч. Расчеты показывают, что вихри от винта слабо влияют на траектории концевых крыльевых вихрей. В свою очередь крыльевые вихри заметно влияют на траектории вихрей от винтов. Расчеты показывают, что циркуляции вихрей от винтов более чем на порядок меньше
циркуляций крыльевых вихрей. Траектории вихрей, показанные на рис. 4, рассчитаны для промежутка времени 0 с - 72 с. Режим работы силовой установки - крейсерский.
С-130
1 ии " , ▲ А АП -
▼ 1 00 \ * * X + пс а Ф ♦ ♦ ♦ і *
/ І ♦ ♦ Ж ^ 90 ■ ♦ : ♦ ♦ ♦ ♦ \
( ♦ ♦ ♦ \ )
ч <05 ♦♦ ♦ щ ♦ ^Я0 • ♦ ^ ♦ * ✓
Я 7е, . \
/ 7П . \
65
-40 -20 0 20 40
Расстояние,м
Рис. 4. Траектории концевых крыльевых вихрей и вихрей от
винтов
ЛИТЕРАТУРА
1. Аубакиров Т.О., Желанников А.И., Иванов П.Е., Ништ М.И. Спутные следы и их воздействие на летательные аппараты. Моделирование на ЭВМ. - Алматы: Гылым, 1999.
2. Белоцерковский А.С., Гиневский А.С. Численное моделирование дальнего вихревого следа самолета на взлетно-посадочных режимах // Доклады Академии наук. - М., 2001. Т. 380. №6.
3. Белоцерковский С.М., Гиневский А.С. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей. - М.: Изд. "Физматлит", 1995.
4. Вышинский В.В., Судаков Г.Г. Вихревой след самолета в турбулентной атмосфере. - М., ЦАГИ, 2005.
5. Вышинский В.В. Вихревой след самолета, безопасность полета и кризис аэропортов. - М.: Полет, ЦАГИ, 1998.
6. Вышинский В.В. Исследование эволюции вихревого следа за самолетом и безопасность полета. - М.: Полет, ЦАГИ, 1998.
7. Желанников А.И. Упрощенная методика расчета дальнего вихревого следа за магистральными самолетами // Статья в данном Научном Вестнике.
8. Желанников А.И. Вихревая опасность // Вестник академии наук авиации и воздухоплавания. - М., 2003. № 2.
9. Желанников А.И. Система "Прогноз вихревой обстановки" // Вестник академии наук авиации и воздухоплавания. - М., 2002. № 2.
10. Замятин А.Н., Завершнев Ю.А. Натурные исследования структуры и развития вихревого следа среднемагистрального самолета в приземном слое атмосферы // Научно-технический сборник ЛИИ. - Жуковский, 1984. № 163.
11. Крицкий Б. С. Моделирование ближнего следа за несущим винтом // Научный Вестник МГТУ ГА. Сер. Аэромеханика и прочность. 2001. № 37. С. 81 - 86.
12. Филатов Г.А., Пуменова Г.С., Сильвестров П.И. Безопасность полетов в возмущенной атмосфере. -М.: Транспорт, 1992.
13. Ципенко В.Г. Применение математического моделирования и теоретических методов при анализе особых случаев взлета и посадки воздушных судов: Дисс. на соискание уч. степ. д-р техн. наук. - М., 1987.
THE MATHEMATICAL MODEL OF A DISTANT VORTICAL TRACE BEHIND THE
AIRLINERS WITH PROPELLERS
Gulyaev V.V., Zhelannikov A.I., Moroshkin D.V., Ushakov S.A.
The mathematical model of a distant vortical trace behind the airliners, basing on a method of discrete vortices and on N.E. Zhukovsky's theorem of lifting force is described. Results of researches of characteristics of a distant trace behind some airliners are presented.
Сведения об авторах
Гуляев Вячеслав Валерьевич, 1963 г.р., окончил Харьковское ВВАИУ (1986), кандидат технических наук, старший научный сотрудник, преподаватель кафедры аэродинамики ВВИА им. Н.Е. Жуковского, автор более 100 научных работ, область научных интересов - численные методы механики жидкости и газа, аэродинамика ЛА.
Желанников Александр Иванович, 1948 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (1979), доктор технических наук, профессор, Заслуженный работник высшей школы РФ, действительный член (академик) Академии наук авиации и воздухоплавания, начальник кафедры аэродинамики ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор более 150 научных трудов, область научных интересов - аэрогидродинамика, численные методы в аэрогидродинамике и вихревые следы.
Морошкин Дмитрий Владимирович, 1965 г.р., окончил Тамбовское ВВАУЛ (1988) и ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (1993), преподаватель кафедры аэродинамики ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор 11 научных работ, область научных интересов - численные методы в аэрогидродинамике и вихревые следы.
Ушаков Сергей Александрович, 1971 г.р., окончил Иркутское ВВАИУ (1994), преподаватель кафедры аэродинамики ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор 15 научных работ, область научных интересов - численные методы в аэрогидродинамике и вихревые следы.
