CC BY
28
УДК 621.313.33
В.И. Чабан, О.В. Чабан
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ АСИНХРОННОЇ МАШИНИ З НЕСИМЕТРІЄЮ СТАТОРА Й РОТОРА
Пропонується математична М-модель трифазної асинхронної машини при електричній несиметріїв копі статора й ротора. Диференціальні рівняння електромеханічного стану записано у фізичних координатах. Подаються результати розрахунку на ЕОМ.
Предлагается математическая М-модель трьохфазной синхронной машины при электрической несимметрии в цепи статора и ротора. Дифференциальные уравнения электромеханического состояния записаны в физических координатах. Приводятсярезультаты расчета на ЭВМ.
ВСТУП
Явище електричної несиметрії в колі статора а заодно й ротора асинхронної машини - достатньо частий випадок у практиці експлуатації електричних машин. Це зумовлює значні труднощі математичного моделювання, бо виключає можливість записати диференціальні рівняння стану в безпараметричній формі! У даній роботі буде показано як записати ці рівняння для випадку математичної ^-моделі, як найпростішої. Аналіз здійснюється у фізичних координатах, що забезпечує зручність у користуванні.
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ Математичну модель трифазної асинхронної машини з несимтрією в колі статора й ротора (передбачається несиметрія джерел живлення, опорів резисторів, ємностей конденсаторів, індуктивностей котушок) будуватимемо на підставі такої ж математичної моделі з симетричним статором і ротором [1]. За відсутності нульового провідника в обмотках статора й ротора можемо виключити залежні рівняння обох фаз С. Тоді рівняння контурів статора й ротора в матричній формі матимуть вигляд б¥к
бї
- = иг - ГА - иСГ - uLk - Ч, k = £, К (1)
Т біі-
uLk - ;
бї
(3)
би,
СГ
бї
= С
\;
би,
ССГ
іГА + ікВ
бї
С
(4)
СГ
причому, матриці опорів, ємностей і індуктивностей мають вигляд XГ(X=r,C,L)=бiag(XГА, ХГВ), звертаємо увагу, що в (6) фігурує додаткове рівняння конденсатора фази С, що зумовлено потребою у відповідній напрузі, що входить до (2).
Колонки основних потокозчеплень обмотки ротора щ визначатимемо через колонку % основних потокозчеплень статора як
УК = П V £ :
(5)
де
П=-
2 -єіп^ -120) єіпу
£ -Біпу єіп^+120)
; ¥£=(¥а,¥в)?;
П“1 =-
2 Біп(/+120) — Біпу
БІПу —Біп(у -120)
(6)
Кут повороту ротора у і кутову швидкість ю зна-ходимо за рівняннями механічного стану (штивністю і дисипацією механічних ланок в теорії електричних машин прийнято нехтувати)
де Хк(Х='¥,и,і,иС,иЬ; к=Б,Я)=(ХкА,ХкВ)І: - колонки фазних повних потокозчеплень, напруг, струмів, напруг конденсаторів, напруг котушок індуктивностей фаз статора (к = 5) і ротора (к = Я), причому індекси А, В вказують на причетність до однойменних фаз, ук - напруга зміщення нейтралей. Можна показати [2], що
гк = 3(икА + икВ + икС ~ (гкА ~ гкС)ікА ~ (гкВ ~ гкС)ікВ ~ икСА + (2)
_ икСВ ~ икСС ~ икЬ ); икЬ =^(ЬкА ~ ЬкС ) ——А + (ЬкВ ~ ЬкС )
деXкі(Х=г,у,Ь; к=5,Я; і=А,В,С)- значення сумарних фазних опорів, напруг конденсаторів і індуктивностей, причому, фазні опори включають і опори обмоток машини. Вирази (3) одержані сумуванням рівнянь напруг усіх трьох фазних контурів, що замикаються через напруги зміщення нейтралей ук за умови представлення зовнішніх фазних віток зосередженими послідовними ланками и-г-Ь-С і виключення струму фази С.
Рівняння конденсаторів і котушок індуктивностей очевидні
= р0(МЕ -М)/J; = ш,
бї 0 Е бї
(7)
де М(ю,ї) - механічний момент; J - момент інерції; р0 - число пар магнетних полюсів; МЕ - електромаг-нетний момент [2]
МЕ = V3Р0(У АіВ -'VВіА ). (8)
Колонки струмів знаходимо через потоки дисипації обмоток статора й ротора згідно з (6)
і£ = а£ (^£ _ V£ ); іК = аЯ -П V£ ), (9)
де а£=1//£; аК =1/1К - обернені індуктивності дисипації обмотки статора й ротора.
Для визначення поздовжнього у£ запишемо рівняння маґнетного стану
ашЧ£ - і£ +ПіК,
(10)
де ат=1//т- обернена основна індуктивність машини.
Підставляючи (9) у (10), одержимо рівняння для обчислення основних потокозчеплень машини
¥£ = 0$ ^ + ОяПТя (11)
де
0$ = $$0; Оя = аяО; О = ($т + $£ + $я ) (12)
Підставляючи (2), в (1) і беручи до уваги (3), одержимо проміжні рівняння
36
ISSN 2074-272Х. Електротехніка і Електромеханіка. 2012. №5
dt
* * * * dik Г1 ГЛ
= uk -rkik -uck -Lk~k> k = S>R (13)
dt
де
2ukA ~ ukB ~ ukC
~ UkA + 2ut
Lk — —
2LkA + LkC LkC ~ LkB
kA 1 kC 2LkB + LkC
2uCA ~ uCB ~ ucc
- ucA + 2uCB ~ uCC
; rk
2rkA + rkC rkC ~ rkB
rkC - rkA 2rkB + rkC
(14)
Підставляючи (9), (11) у (3), а одержаний результат після диференціювання в (13), одержимо остаточну систему рівнянь
A B d 4S Ys
D F dt ^R Yr
(15)
де
A -1 + аsls (1 _ Gs ); B -~аslsGrП;
* * ___________________ і
F =1 + 4rlr (1 - Gr ); D = -o.rlrП Gs ; * * * *
Yk = uk - rkik - uCk ~ uLk, k = S,R;
* T* ^ dn
uLS - ~a SLSGR—r ^R;
dt
(16)
uLR - ~aRLR
n_1GR—TR + — *
R dt R dt
V J
-V R
<№.
S
,, = "8 - 88; —¡г = Р-\тК - ^ - г5і5 )).(19) аґ аґ
У випадку відсутності несиметрії в колі обмоток статора й ротора запропонована модель зводиться до відомої математичної моделі з симетричним електричними колами статора й ротора [1].
Алгоритм обчислень на часовому кроці:
1. Володіючи поточними (на першому кроці початковими умовами) значеннями невідомих (повних потокозчеплень, напруг конденсаторів, кутової швидкості й кута повороту ротора, за тим чи іншим методом числового інтегрування згідно з (4), (7), (15) знаходимо їх часові прирости;
2. Згідно з (11) знаходимо колонку основних потокозчеплень обмотки статора;
3. За даними п. 1 і п. 2 згідно з (9) обчислюємо значення шуканих струмів.
РЕЗУЛЬТАТИ СИМУЛЯЦІЇ Показано стани запуску модельного мотора (ит=4900; 78=1.27; гг=1.31; 08=38.9; сг=37.0; ат=0.11; ,/=67.5; />о=4) до усталеної швидкості
Диференціальні рівняння (4), (7), (15) - шукана Ж-модель електромеханічного стану асинхронної машини з несиметричними електричними колами обмоток статора й ротора. Часові похідні матриць координатних перетворень (6) беруться аналітично.
Рівняння (15) значно спрощується, якщо в колі статора й ротора відсутні котушки індуктивносгі(Ьк=0), або вони є, але симетричні (Ь^=ЬкВ=ЬкС=Ьк)
— * * . *
= и— - г—і— - иС5. (17)
dt
В останньому випадку Ь к необхідно долучити до поля дисипації ак =1/(4+Ьк)
При односторонній несиметрії рівняння (15) теж спрощуються. При симетричному роторі вони будуть
d^ ж
-—— = А (7— - В{иК - гКіК)); = иК - гКіК. (18)
dt dt
Навпаки, при симетричному статорі
Рис. 1. Залежність ro=ro(t): 1 - натуральнакрива,
2 - з симетричним ідеальним дроселем 0.01 Гн,
3 - з несиметричним ідеальним: 0.01, 0.02, 0.03 Гн
Перехідний процес засвідчує успішний запуск мотора до усталеної робочої швидкості.
ВИСНОВОК Запропонована математична модель дає можливість аналізувати перехідні процеси неявнополюс-них асинхронних машин з електричною несиметрією обмоток статора й ротора. Аналіз здійснюється у фізичних координатах, що спрощує врахування несиметрії.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Чабан В. И. Методы анализа электромеханических систем. - Львов: Вища школа, 1985, 190 с.
2. Чабан В. Математичне моделювання електромеханічних процесів. - Львів, 1997, 344 с.
Bibliography (transliterated): 1. Chaban V. I. Metody analiza 'elektromehanicheskih sis-tem. - L'vov: Vischa shkola, 1985, 190 s. 2. Chaban V. Matematichne modelyuvannya elektromehanichnih proce-siv. - L'viv, 1997, 344 s.
Надійшла 16.06.2012
Чабан Василь Йосипович, д.т.н., проф.
Національний університет "Львівська політехніка" й Ряшівський університет 79021, Львів, вул. Кульпарківська, 142, кв. 33. тел: (067) 7202181, e-mail: [email protected]
Чабан ОстапВасильович, к.т.н., доц.
Національний університет "Львівська політехніка"
79021, Львів, вул. Лазаренка, 38, кв. 14 тел: (067) 6734482
Tchaban V.Y., Tchaban O.V.
A mathematical model of an induction motor with the stator and rotor unsymmetry.
In the paper, a mathematical model of a three-phase induction motor with the stator and rotor unsymmetry is introduced. Differential equations of the electromechanical state are given in real coordinates. Results of computation are presented.
Key words - induction motor, stator and rotor unsymmetrical, mathematical model.
3
u
kC
u
ISSN 2074-272X. Електротехніка і Електромеханіка. 2012. №5
37
