Малые колебания нагруженной вращающейся шины Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 1 (3), с. 92-101

УДК 531/534:534.1

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ НАГРУЖЕННОЙ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ШИНЫ © 2013 г. И.Ф. Кожевников

Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, Москва

[email protected]

Поступила в редакцию 10.12.2012

Исследуются малые колебания вращающейся с постоянной угловой скоростью ненагруженной и нагруженной шины в окрестности стационарного режима качения. За основу взята аналитическая модель армированной шины, предложенная ранее. Определяются собственные частоты (СЧ) и собственные формы колебаний. Для нагруженной шины увеличение угловой скорости вращения приводит к уменьшению собственных частот. Изучен эффект «взаимного разбегания» частот.

Ключевые слова: радиальная шина, аналитическая модель, вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, малые колебания, собственные частоты, собственные формы.

Введение

Малые колебания шин исследовались многими авторами. Явление прецессии стоячих волн в тонком упругом кольце, вращающемся с постоянной угловой скоростью, впервые было отмечено в работе [1]. Было показано, что если в кольце возбуждены стоячие волны, то на вращение кольца с постоянной угловой скоростью волна отвечает поворотом на некоторый другой угол, зависящий от номера собственной формы (СФ), относительно инерциального пространства. Инертные свойства упругих волн обсуждались в [2] при вращении нерастяжимого кольца с переменной угловой скоростью и в [3] при вращении осесимметричной оболочки с постоянной угловой скоростью. Колебания гибкого растяжимого вращающегося кольца рассматривались в [4] с учётом геометрической нелинейности. Влияние вращения на собственные частоты (СЧ) нагруженной шины изучались в [5] с использованием конечно-элементной модели армированной шины, состоящей из бандажа без протектора и двух боковых поверхностей. В частности, рассматривался эффект «взаимного разбегания» частот, вызванный апериодичностью формы нагруженной шины. Модель армированной шины была предложена в работе [6]. В случае качения колеса без проскальзывания в заранее неизвестной зоне контакта была получена полная система уравнений движения. Был изучен стационарный режим качения по прямой с постоянной скоростью. В настоящей работе изучаются малые колебания ненагру-женной и нагруженной шины, вращающейся с постоянной угловой скоростью. Предложенная

модель использовалась при изучении малых колебаний невращающейся ненагруженной или нагруженной шины в окрестности положения равновесия [7].

1. Моделирование колеса с армированной шиной

Предположим, что колесо с армированной шиной состоит из диска 0, сочленённого с боковыми поверхностями шины 1, 2, и бандажа 3 (рис. 1а). Диск колеса представляется абсолютно твёрдым телом. Боковые поверхности шины представлены в недеформированном состоянии частями двух торов. Боковины обладают упругими свойствами, их материал описывается в рамках модели несжимаемой резины Муни-Ривлина [8]. Бандаж шины, армированный нерастяжимыми нитями (кордом), в недеформи-рованном состоянии представлен круговым цилиндром радиусом г и высотой 21 (ширина бандажа).

Введём неподвижную систему координат ОХгХ2Х3 таким образом, что шина контактирует по части бандажа с опорной плоскостью ОХ Х , и подвижную систему координат СххХ с началом в центре масс диска точке С (рис. 1б). Обозначим через (Х1,Х2,Х3) координаты точки С в неподвижной системе координат. Положение бандажа определяется двумя углами поворотов Д, в относительно осей ОХ3 и Сх соответственно. Радиус-вектор точки бандажа для фиксированных Див

Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (мероприятие 1.4 Поддержка развития внутрирос-сийской мобильности молодых учёных, контракты 14.B37.21.0225, 14.B37.21.0231, 14.B37.21.0159, соглашение № 8221).

определяется в виде:

г3(ф,£, і ) = '£ХІ \ + Гз(Д)Г2(5) :

І=1

ге^е, +г]Гиі (ф,£, г )Єі

І=1

ф той 2п,

[—1;1],

008 З 0 8ІП З

0 1 0

— 8ІпЗ 0 008 З

008 Д — 8ІП Д 0

8ІП Д 008 Д 0

0 0 1

(1.1)

Г2(З) =

Гз(А) =

З = в + ф,

где 1(, е - орты осей 0Х1 и Сх соответственно; значение параметра £ = 1 (£ = -1) соответствует линии сопряжения бандажа и первой (второй) боковины, значение £ = 0 соответствует

срединной линии бандажа /0; ги1 (ф,£, t) -компоненты вектора перемещения точки бандажа в подвижной цилиндрической системе координат. Деформации бандажа рассматриваются с учётом точных нелинейных условий не-растяжимости армирующих волокон [6]:

дг3 = 1, дг3

1 д£ г дф

дг дг

= 1, .^1 = 0 .

д£ дф

(1.2)

Из этих связей получаются формулы

и = и(ф, t), и2 = ^(0, ^3 = -у(ф,t),

выражающие зависимость функций и\ от ра-

диальной ги, касательной ту и боковой тм> компонент вектора перемещений

ги(ф,^ + г^)е2 - гу(ф, ^е3 точек / в подвижной системе координат Сх^х2х3 (см. рис. 1б). Полученный результат выражает тот факт, что цилиндрическая поверхность при условии нерастяжимости и ортогональности волокон, соответствующих изменению координат £ и ф, изометрична цилиндрической поверхности с образующей, заданной деформированной плоской срединной линией / бандажа, и семейством ортогональных к ней прямых. Из уравнений (1.2) следует условие нерастяжимости / :

2^ = (1 + и + у')2 + (у - и')2 =1«

« 2(и + V ) + (и + у')2 + (у - и )2 = 0, (1.3)

, ди , Эу и = —, у =-----.

дф дф

Предполагалось [6], что площадка контакта шины с плоскостью 0Х Х представляется прямоугольником постоянной ширины 2/, равной ширине бандажа, и переменной длины г(ф2 (1:) - ф ($)), определяемой двумя функциями времени <ф^),ф2^) (рис. 1б), которые заранее неизвестны и находятся из уравнений движения. При этом значения угла из промежутка фе Ц = [ф(^,ф2 (t)] соответствуют зоне контакта, а значения из промежутка ф е Ц = = [ф2 (? ),2^ + ф(?)] соответствуют свободной поверхности шины. В зоне контакта Ц спра-

ведлива голономная связь

п

Г3= -г 11 + /£12’ фе А- (1-4)

Не нарушая общности, примем соглашение о качении колеса вдоль оси 0Х , когда срединная линия / бандажа совпадает с этой осью (угол Д, =0). Условия (1.1) и (1.4) позволяют определить перемещения точек / в зоне контакта:

и=[--ф- cos$+ Хзsm5-1,

^ 2 г ) г

у=-{—-ф- — 1 sm5 + — cos5, (1.5)

^ 2 г ) г

X2

^ =---2.

г

Будем считать, что Х2 =0 и, следовательно, согласно последнему соотношению (1.5) ^ = 0, т.е. центр масс диска не смещается в боковом направлении.

2. Уравнения движения

Спроектируем поле скоростей точек бандажа г3 на первую и третью оси неподвижной

Кинетическая энергия колеса Т складывается из кинетической энергии диска и кинетической энергии шины в предположении, что вся масса шины равномерно распределена по /0 с линейной плотностью р :

г = 1шДх12+х32) + Ъ2^2 +

1 2п +-Рг\(г12+гг2уф,

^ о

где т и 32й - масса и момент инерции диска относительно оси Сх2. Работа сил 8 А на возможных перемещениях имеет следующую структуру

8 А = 8 А + 8 А + 8N + 8N + 8М6.

Здесь 8Ар - работа продольной силы ^, вертикальной нагрузки Р и крутящего момента М2, приложенных к диску колеса,

8А = Ъ8Хг - Р8Х3 + М28в.

8А - работа потенциальных сил, состоящая из работы давления на возможных перемещениях и вариации потенциальной энергии растяжения резины согласно модели Муни-Ривлина при деформациях боковых поверхностей шины и бандажа,

системы координат. Его проекции 8АР = - ^ [п08и + пт8и2 /2+пп8и'2 /2+

(2Х,22,23) =г3 представляются следующими выражениями:

2Х =Х1 -г6,[(1 + м)8ІпЗ + УС08 5] +

+гм сое 3 — гувіп 3.

2Ъ = Хъ -г6,[(1 + м)с08 5-У8ІпЗ]-

(2.1)

-гй втЗ- гусов 3.

Пусть колесо катится без проскальзывания и без подпрыгивания. Это означает, что скорости точек /0 в зоне контакта /., равны нулю, т.е.

Z1 = Zз = 0. Возможные перемещения удовлетворяют равенствам 82х = 82г = 0, полученным из (2.1) путём замены производных по времени на вариации соответствующих функций.

Уравнения движения, описывающие поведение механической системы, и условия на границе заранее неизвестной зоны контакта были получены [6] из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского для неконсерва-

+п028у2 / 2+ п2^у'2 /2 + '8п + (2.2)

+т12и 8у + т20у8и' + т02и8у' ] dф. Замечание 1. Постоянные коэффициенты и0,

определяются аналитически в элементарных функциях в результате вычислений определенных интегралов (интегрирование проводится по боковинам и бандажу шины) и зависят от геометрических параметров шины и величины внутреннего давления в шине р (выражения для коэффициентов не приводятся ввиду их громоздкости). Обычно при

феноменологическом подходе коэффициенты неизвестны и определяются из эксперимента.

8^, 8Щ, 8К6 - работа реакций связей:

8М1=| ^ (ф, і )82х dф + і\$2п + ілп82п,

тивных систем

2

| (8Т + 8А^і = 0.

8#3 = ^/иъ (ф, і )823 dф,

ч.

8М6 = {Я(ф, і )826dф.

(2.3)

Неопределённый множитель Лагранжа

2п

0

П01 , П11 , П02 , П12

т21, ти, т20, т02

2

(ф, ^ описывает продольную компоненту реакции, а /ип, ,ц2, 82и, 82п - продольные компоненты реакций связей и возможные перемещения в граничных точках (при ф = ф, ф = ф) зоны контакта. Множитель Лагранжа ^ ^ (ф, ^ представляет собой нормальную

компоненту реакции связей, приведённую к единице длины бандажа в зоне контакта. Во втором соотношении в (2.3) отсутствуют члены, содержащие , ^2, так как предполагается, что в граничных точках зоны контакта составляющие реакций связей по оси 0Х равны нулю. Множитель Лагранжа 2 = Л(ф, t) определяет натяжение /0; ^ было определено в (1.3).

Полная система четырнадцати уравнений относительно четырнадцати неизвестных имеет следующую структуру: три уравнения Лагранжа второго рода с неопределёнными множителями Лагранжа (особенность этих уравнений -наличие интегральных членов от функций и, у и их производных)

d_

dt

^ xj1 + ^1 + + Mi + Мг — О,

h

-|у^з Т-Р + ^ф = 0,

Li

VgT-—VeT+M2 +

в dt в 2

(2.4)

ГI dzi

+ДМ дв+МЗ дв ;

+Mndb + Ml2dZ^ = 0;

11 дв дв

четыре уравнения движения в частных

производных

N (u, v) + far cos 3 - far sin 5 = 0,

N (u, v) - far sin3 - far cos3 = 0, ф E L,

V T-—V T + N,(u,v) +

и dt и , J

+2(1 + u + v) - [2(u' - v)] ' = 0, Ф E L2

VT-—VvT + N2(u,v)~ v dt v

-[2(1 + u + v)] ' - 2(u' - v) = 0, Ф E L,

N (u, v)=- n0 -n01u+nnu''-(mi -m2o )v ',

N (u, v)=- n02v+n12v"-(m12 -m02 )u;

три уравнения связей: (1.3) для ф e L2 и первые два уравнения из (1.5) для фЕ L, и четыре

32..

\

dф +

условия, налагаемые на скачки функций в концевых точках зоны контакта (динамические граничные условия)

рЛй\А -{-l)k[X{u -v)\Uk) +Пп[и\ +

+г/л1к cos^=0, Зк=в + фк, ргъЩкФк — (—1)* [-^(1 + м + v')]/(A) + +ni2[v ']k - rfaksin 3k =0, k = 1,2-

(2.6)

(2.5)

Здесь [h(3)]k = h(3k + 0) - h(3k - 0) - скачок функции в концевой точке зоны контакта. Индекс l(к) понимается следующим образом:

[h(3)]i(i) = h(3 - 0), [h(3)]i(2) = h(32 + 0).

Замечание 2. При определении функций u, v следует также учитывать условия их непрерывности в граничных точках зоны контакта (кинематические граничные условия) [u]к = [v]k =0 , к = 1,2, вытекающие из условия существования функционала потенциальной энергии давления.

3. Ненагруженная вращающаяся шина

Пусть колесо не нагружено и вращается с постоянной угловой скоростью Q . Тогда Хг = const, Х3 = const, 0 = 0.. Уравнения движения (третье и четвёртое уравнения системы (2.5)) и условие нерастяжимости l0 (1.3) имеют вид

-рг3 ( м - Q2 (1 + м) - 2Qv ^ + ппи”-п01и +

+ (m20- m2l )v - n0 +2(1 + u + v) - [2(u'- v)] '= 0

- ргг (^v -Q?v + 2Qii^ + {m02 -ml2)u' + (3.1)

+nl2v" - n02v - [2(1 + u + v')]' - 2(m' - v) = 0,

2(u + v’) + (u + v’ )2 + (v - u' )2 =0 ^ u = -v'.

В случае ненагруженной шины граничные условия для функций u (ф, t) , у(ф, t), 2(ф, t) переходят в условия периодичности этих функций:

u(0) = u(2w), v(0) = v(2^), 2(0) = 2(2ж) Представим множитель Лагранжа в виде 2(Ф t) = n0 - g0 + 2 (Ф, t), g0 = ^r:3q2 , где 2 - величина первого порядка малости. Заметим, что натяжение вращающегося бандажа увеличивается (по сравнению со статическим случаем) за счёт центробежных сил инерции, добавляемых к внутреннему давлению. Взяв производную от обеих частей первого уравнения (3.1) и складывая его со вторым, используя линеаризованное условие нерастяжимости l , приходим к уравнению относительно функции у(ф, t) и условию её

периодичности:

ргъ\” + Apr

+(д - 3g0 )г>" + a^v = 0, г’(0) = v(2к)

pr3v" + 4pr3Qv - pr3v + (a0 - g0)v(4) +

a=n -n і, a =2n0+n і+n 2+

(3.2)

Собственные колебания шины, описываемые уравнением (3.2), найдём в виде

у = ela,Х (ф), и = -V = -е1аГ (ф), где а - циклическая частота. Тогда

(а0 - §0)Х(4) + (а1 - 3§0 -рг3®2)Х" +

+4рг 3Оа1Х' + (а + рг3®2) X = 0.

Решение этого уравнения представим в форме

X (ф) = О е рф + в2 е Р2ф + О3 е Рзф + О4 еР4ф, (3.3) где р ,] = 1,...,4, - корни характеристического

(3.4)

ненагруженной невращающейся шины оп 2n ~

Входные данные модели

Таблица 1

Размер шины m (кг) p (МПа)

Входные I 205 / 55R16 9.37 0.25

Входные II 205 / 60R15 8.5 0.16

уравнения

(а0 — §0) Р4 + (а1 — З^с —Рг 3®2) Р2 +

+4рг З0юір + (а2 + ргът2) = 0.

Так как функция Х(ф) должна быть 2п -периодической, в соотношении (3.3) следует оставить только экспоненты с чисто мнимыми показателями, т.е. р = іп , п є 2 . Характеристическое уравнение (3.4) представляется в следующем виде:

у(а) = А(п2)а2 + В(п, П)а + С(п2,О2) = 0, А(п2)=рг3(1+п2), В(п,0) = — 4ргъп0, (3.5)

С (п2,02) = (а0—§0 )п4 — (а!— Зgс)n2 + а2.

Бесконечный спектр частот находится аналитически из характеристического уравнения

(3.5). Таким образом, СЧ ненагруженной вращающейся шины ап выражаются через СЧ

<tottticvul wlocty Cud.'i;

о = -

= ±.

-Q±J(°)

-a0n4 + an2 - a2

(n2 +1)2 n є Z

(3.6)

рг 3(1 + п2)

что совпадает с результатами работ [9, 10], где шина моделировалась нерастяжимым кольцом.

График зависимости СЧ уп = ап / (2п) от угловой скорости вращения колеса представлен на рис. 2а для Входных I1 (табл.).

1 205/55R16 : первое число означает ширину профиля, т.е. выраженное в миллиметрах линейное расстояние между наружными сторонами боковин накачанной шины; второе число означает отношение высоты профиля к его ширине, выраженное в процентах; буква R означает радиальную (RADIAL) конструкцию шины; третье число соответствует диаметру диска в дюймах.

Яоыидо! мвкссу (г лЬЧ;

Рис. 2. СЧ ненагруженной вращающейся шины (Входные I), как функции угловой скорости вращения:

(а) лагранжево описание, (б) эйлерово описание.

Экспериментальные СЧ [11], соответствующие ненагруженной невращающейся шине, нанесены в виде чёрных квадратов. На оси ординат из каждой точки, соответствующей СЧ ненагруженной невращающейся шины, выходит две ветви (для верхней ветви а > 0 , для нижней ветви а > 0, где п >0), т.е. каждой СЧ невращающейся шины соответствуют две СЧ вращающейся шины. Заметим, что если п = 1, то верхней ветви соответствует о\ = О + а>°, а нижней - а_х = -О + аа0. При этом со_х обращается в ноль при О = а0= 2—= 637.74 рад • с -1.

Если перейти от переменной ф к переменной а = ф + ОХ - — / 2, что означает переход от лагранжева описания к эйлерову, то вместо характеристического уравнения (3.4) следует использовать уравнение (4.3) (в этом мы убедимся

+m20 -m2, -m02 +m12, a =n0 -n02.

в дальнейшем). В этом случае бесконечный спектр СЧ представляется в виде

-n(n2 - 1)(

о = -

1 + n1

-Q±

2 n (n - l)2

Q2, n є Z.

(n2 +1)2

График зависимости СЧ от угловой скорости вращения колеса представлен на рис. 2б. Для верхней ветви <э_л > 0, для нижней ветви о >0, где n >0 Заметим, что если n = 1, то

n ? ^ ? ?

2 / 0\2

О = О ) и не зависит от угловой скорости

вращения колеса. Ни одна из частот не обращается в ноль, что согласуется с работой [12], где изучались свободные нелинейные колебания тонкого вращающегося кольца, и с работой [13], где с помощью теоретических и экспериментальных исследований было установлено, что для плоских изгибных колебаний вращающегося кольца ни одна из частот не обращается в ноль во всем диапазоне угловых скоростей вращения.

4. Нагруженная вращающаяся шина

Рассмотрим задачу о малых колебаниях шины в окрестности стационарного режима качения без проскальзывания с постоянной угловой скоростью. Стационарный режим качения нагруженной шины был изучен в работе [6]. Предположим, что

Хг = гО. Х3 = const, 9 = 0..

Перейдём от переменной ф к переменной а = ф + Ot -л / 2, то есть от лагранжева описания к эйлерову. Представим функции, определяющие деформации срединной линии бандажа, функции, определяющие зону контакта, и множители Лагранжа в следующем виде: u(^t ) = и(а) + иvibC^t), vGM) = V(a) + Vnb(a,t),

Л(ф,0 = Л\а) + ЛщЪ(а, t),

м* (0 = м* + Mribi* (0,

ак(0 = оск + anbk(t),

71

а'к = фк (?) + Ot - — = const,

Фк(0 = ~&-

Границы зоны контакта теперь описываются двумя функциями а (t) , а (t) (см. рис. 1б), которые заранее неизвестны. Учтём правила дифференцирования

й(ф, 0 = и\а)0 + и'пЪ (а, 00 + йпЪ (а, ?) и(ф,1) = и\а)02 +^"ь(а,?)02 + +2й11Ъ(сс,0О + итЪ(а,0,

■ =_Э ,= _д_

Эх ’ да

Тогда решение, описывающее стационарный режим качения II(а), V(а), X (а), /и^к, ак и удовлетворяющее уравнениям и граничным условиям, находится [6] из следующей системы: § (1 + и - и’’ + 2У) - п0 - %и + пи" -

~(т21 - т20 )Г + 2° - [Г (С/' - V)]’ = О, ёо(у-Г"-2и’)-п02У + ппГ’-~{тп - т02 )и’ - (X)' - X (V - V) = О,

2(1/ + У) + (11 + У)2 +(Г-и')2 = 0=>Е/ = -Г,

-ИцР/']* +/-МЛ =0,

+(-1)*[^1(*)-«.гП =0,

[^]*=[П*=0, к = 1,2.

Здесь /Г = «0 - £0 + 2, , где Л) - член первого порядка малости. Переменные и^ь, ,

определяющие малые колебания шины в окрестности стационарного режима, удовлетворяют следующей системе:

-2рг3ОйГъ + 2р/-3ПК*ь -/7г3^ь +

+£о (ДиЪ +Кй, ) + (ПП ~ «О ХСъ “ “«(И^Ъ+Ко ~т21 +По)Къ+Къ=®,

-2рг30г;ь-2рг30йпь-рг%ъ-

-§0 (^Ъ + и^1Ъ ) + (т02 - т12 - п0 )и'шЪ +

+п12Къ +(п0 - п02 )КтЪ-ЛлЪ=0,

2(иУ1ъ + О + (иУ1Ъ + С)2 + (4.1)

+(^ъ-^'ъ)2=0^ь=-^ь,

(-1)*[/7Г3О^ь-(«0-Я0)ГиЬ +

+(и0 -Иц)С/^ь]/(*) +гКкашЬк = О,

(-1 У1Рг3ОГщЪ-(п12-§0)У^ь +

+ЛЪ]/(к) + Г^1Ъ1к = 0,

[ииЪ]к = [К^ъ ]к =0, к = 1,2.

Необходимо учитывать, что множители Лагранжа Л^ъ, ^ьи., а также а^Ък, имеют первый

порядок малости. Также было использовано

св°йств° [и^ъ]к =(-1)к [и^]/(к), связанное с

тем, что функции, определяющие малые колебания в зоне контакта, равны нулю. Взяв производную от обеих частей первого

уравнения и складывая его со вторым, используя линеаризованное условие нерастяжи-мости / , получим уравнение и граничные условия:

рг3Кь-рг3ГпЬ+2рг3ПГ^ +

+2 рг3ПКъ + а0Кл + «1^ь + «2^ь = О, ГтЪ(а;+2ж+атЫ) = 0,Г¥'ь(а1+2я-+аиЫ) = О,

(а2+ашЪ2 ) = О, (а2+ашЪ2 ) = О-

Из динамических граничных условий (четвёртое соотношение в (4.1)) можно определить атЪк:

(-1)*

(п0 -ип)[г;ь

Множители Лагранжа

^УІЬ1* ,

(4.3)

(4.2)

г' "" "

Таким образом, границы зоны контакта колеблются на той же частоте, что и функция ^'ь . Однако при определении частоты колебаний шины величину зоны контакта можно принять постоянной, поскольку её изменение определяет поправки в частоту второго порядка малости в рамках принятой модели. Таким образом, граничные условия в задаче (4.2) эквивалентны следующим:

Ка, К + 2я_) + С К + 2я0аиы ~

~Кїь(аі +2ж) = 0,

УшЪ (а2 ) + Къ (а2 )ашЪ2 ~ КпЪ («2 ) = 0,

Кь(аі + 2я0 + Кь К + 2я_Кы ~ *К1Ъ(а1+2ж) = 0,

с(«г)+с(«;ки^;к')=о.

В дальнейшем для простоты будем писать

а, вместо а, .

определяющие, соответственно, добавку к натяжению и добавки к реакциям в продольном направлении в граничных точках зоны контакта в процессе малых колебаний, выражаются из системы (4.1) через функцию 1\.-и:

4* = -РггКъ - 1рггПУ:ъ - 2рг3ПУтЪ +

+(Иц -и0)К® - 0т20 -т21 + п0 + п01)ГГъ,

ГМПЫк = (~1)*[2ргъПКъ +(и0 -«„)^];да.

Представим функции, определяющие малые колебания, в виде

V* = е1 “Х(а), ииъ = Х = -е1 “Х'(а).

Подставив выражение для функции в уравнение (4.2), получим уравнение

а0Х(4) + 2ргъОа\Х(3) + (а -ргъа2)Х" + +2рг3ОаХ ' + (а2 + рг 3а2)Х = 0

с решением, имеющим вид (3.3) (с заменой ф на а ) и характеристическим уравнением

а0рА + 2рг3О“р3 + (а - рг3®2)р2 +

+2рг 3О“р + (а2 + ргЗа2) = 0.

Коэффициенты О в решении (3.3) определяются из граничных условий

О е Р1(а1+ 2—) + О е Р2 (а1 +2—) +

+О еРз(а1+2- + О е Р4(а‘+2- =0, о ера2 + о еРЛ + О еРЛ + О еРЛ = 0,

Ор еР1(а1+2— + в2р2 е Р2(а1+2— + (4.4)

+Ор3 е Рз(а+2—) + ОРа е Р4(а‘+2—) =0,

е Р1а2 + Ор е Р2а2 +

+Ор е Рза2 + ОРа е Р4а2 =0.

Однородная система (4.4) имеет ненулевое решение, если её определитель равен нулю:

у(®) = е(р1+ р2 + р3 + Р4)(а1+2—) х

х[(Рз - Р1)(Ра - Р2) х

/ (Р2 + Р4)(Ла-2—) (р1 + р3)(Да-2—) \

XI е + е I

-(Рз - Р2)(Р4 - Р1) Х (4.5)

/ (р1 + Р4)(Да-2—) (р2 + р3)(Да-2—)\

XIе + е I

-(Р2 - Р1)(Ра - Рз) х

(Р3+Р4)(Да-2—) ^ ^(р1 +р2)(Да-2—) ^

Здесь Да = а2 - а определяет длину зоны контакта.

Бесконечный спектр СЧ определяется из уравнения (4.5), где р1, р2, р3, р4 - корни характеристического уравнения (4.3). Это алгебраическое уравнение четвёртой степени можно разрешить аналитическим методом Феррари:

Р1,2(®) = 1 (л/2^±

V

,, ч 2А2 рг30ю.

—2 (70 +А1 )—^ -------------і

/2Г0

Л,4(®)=т(-л/2^'+

^ \ 2А рг3С1т. -2(г0+А1)+-^=~------1

270

7 ^“+ С1+ С2 ,

(4.6)

С12 = ■у

—В2 ±.|В2+В1

4 27

0

0

В = — А — —, В =—— — — —,

1 3 12 2 3 8 108

А1 = т1у[2а0(а1 —рг 3.2) + 3§0рг 3®2]

2а„

А,- [2а2 .

а0

—а0(а1 — рг V) — §0рг Зю2]і,

а, = 1 |[16а3 (а + рг3®2) +

16а04

+4а^ рг 3®2(4а0 — а + рг .2) —

-3§ 02(ргз®2)2].

Так как кубичный радикал имеет в поле комплексных чисел три значения, то третье соотношение в (4.6) даёт три значения для уа. Можно взять любое из этих трёх значений, однако нельзя комбинировать произвольное значение первого радикала третьей степени С с произвольным значением второго радикала третьей степени С . Если взято какое-то значение для первого радикала, то из трёх значений второго радикала выбирается то, которое удовлетворяет условию СС = -Д / 3 .

%эацдо1 <гж№

140 160 160 ЭД> )Х> )*> ш 380 КЮ

ЧсоїіомІ міосчу Сг«1|Ч)

Рис. 3. Нагруженная вращающаяся шина (Входные I, Да = 0.3 рад): СЧ, как функции угловой скорости вращения при эйлеровом описании

Зависимость первых двадцати СЧ от угловой скорости вращения для Входных I, Да = 0.3 рад проиллюстрирована на рис. 3 а. Из рисунка видно, что увеличение угловой скорости вращения приводит к уменьшению величин СЧ, что согласуется с результатами [14], где использовался конечно-элементный подход.

Ранее наблюдавшееся раздвоение СЧ ненагруженной вращающейся шины вследствие вращения в случае нагруженной вращающейся шины не наблюдается вследствие нарушения круговой симметрии, вызванной наличием зоны контакта, что также согласуется с результатами работы [14]. Помимо этого, наблюдается интересный эффект «взаимного разбегания» частот (рис. 3б): СЧ, как функции угловой скорости вращения, приближаются друг к другу, а затем неожиданно «разбегаются», вместо того, чтобы пересечься [5]. Соответствующие СФ имеют вид

X (а) = Оера + О2еР2-а + ОеРза + О4вР4а где постоянные О находятся из граничных условий (4.4):

О = е-*(а+2- ((р4 -Р3)ер2(Да-2—) -

-(Ра - р2)еРз(Да-2—) + (Рз - Р2)еР4(Да-2—) )О5,

О = е-Р2(а+2—) (-(р4 - р3)еР1(Да-2—) +

+(Ра - Р1)еРз(Да-2—) - (Рз - Р1)еР4(Да-2—))О*,

О = е~рз(а+2—) ((р4 - р2)ер(Да-2-) --(Ра -р1)еР2(Да-2—) + (р2 -р1)еР4(Да-2—))О5,

О = е-р4(а+2- (-(р3 - Р2)ер1(Да-2—) +

+(Рз - Р1)еР2(Да-2—) - (р2 - р1)еРз(Да-2-))О*, УО*.

Функция (а, Х) представляется линейной

комбинацией

КпЬ (а, Х) = (cos(®t)Ш(X (а)) - sin(®t)3(X (а))) + +1 (cos(®t)3(X (а)) + sin(®t)Ш(X (а))) действительной (а)) и мнимой 3^(а))

СФ, соответствующих одной и той же СЧ. В конечном счёте, действительная СФ переходит в мнимую СФ и наоборот

ГуЛ (а,0) = И( X (а)) + /3( X (а)),

К‘ъ [а, —) = -3(X(а)) + /И(X(а))

Таким образом, речь идёт об одной и той же СФ, которая вращается на плоскости. Вращение диска колеса происходит по часовой стрелке. Действительные СФ представлены на рис. 4 для Входных I, Да = 0.з рад, О = 175 рад • с 1 (угловая скорость вращения до «области разбегания» 180 -190 рад • с 1) и на рис. 5 для О = 200 рад • с 1 (угловая скорость вращения после «области разбегания»). Можно заметить, что третья и четвёртая СФ взаимодействуют в «области разбегания» и, в конечном итоге, меняются местами.

б

вращающейся шины (Входные I, Да = 0.3 рад,

O = 175 рад • с -1): а) Vj =90.13 Гц, б) v2 =94.93 Гц, в) v3 =100.46Гц, г) V =102.72 Гц, д) V =112.78 Гц, е) v = 124.47 Гц.

вращающейся шины (Входные I, Да = 0.3 рад,

O = 200 рад • с -1):

а) V =85.89 Гц, б) v2 =90.49 Гц, в) v3 =97.53 Гц,

г) у4 =100.54 Гц, д) у5 =106.92 Гц, е) у6 = 117.77 Гц.

За эволюцией третьей действительной СФ нагруженной вращающейся шины (Входные I, Да = 0.з рад) можно проследить на рис. 6. Для О = з, 100, 130 рад • с 1 третья СФ

нагруженной вращающейся шины имеет, соответственно, три, четыре, пять узлов и подобна третьей, четвёртой, пятой СФ нагруженной невращающейся шины. Таким образом, третья СФ эволюционирует из трёхузловой в пятиузловую форму, в то время как СЧ уменьшается с 116.91 Гц до 102.81 Гц.

№(Х (а)) нагруженной вращающейся шины (Входные I, Да = 0.3 рад): а) O = 3 рад • с -1, v3 =116.91 Гц,

б) O = 100 рад • с -1, V = 107.71 Гц,

в) O = 130 рад • с -1, V = 102.81 Гц.

Список литературы

1. Bryan G.H. On the beats in the vibrations of a revolving cylinder or bell // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Mathematical and Physical Sciences. 1890. V. 7. P. 101-111.

2. Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. О динамических эффектах в упругом вращающемся кольце // Изв. АН СССР. Мех. твёрд. тела. 1983. № 5. С. 17-23.

3. Егармин Н.Е. О прецессии стоячих волн колебаний вращающейся осесимметричной оболочки // Изв. АН СССР. Мех. твёрд. тела. 1986. № 1. С. 142-148.

4. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. Ч. 2. М.: Изд-во Мех.-мат. факультета МГУ, 1997. 160 с.

5. Lopez I., van Doorn R.R.J.J., van der Steen R., Roozen N.B., Nijmeijer H. Frequency loci veering due to deformation in rotating tyres // Journal of Sound and Vibration. 2009. V. 324, № 3-5. P. 622-639.

6. Вильке В.Г., Кожевников И.Ф. Об одной модели колеса с армированной шиной // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2004. № 4. C. 37-45.

7. Кожевников И.Ф. Колебания свободной и нагруженной шины // ПММ. 2006. T. 70, № 2. C. 250256. = Kozhevnikov I.F. The vibrations of a free and loaded tyre // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2006. V. 70, № 2. P. 223-228.

8. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. 464 с.

9. Huang S.C., Soedel W. Response of rotating rings to harmonic and periodic loading and comparison with the inverted problem // Journal of Sound and Vibration. 1987. V. 118, № 2. P. 253-270.

10. Huang S.C., Soedel W. Effects of coriolis acceleration on the free and forced in-plane vibrations of rotating rings on elastic foundation // Journal of Sound

and Vibration. 1987. V. 115, № 2. P. 253-274.

11. http://tmpt.tuwien.ac.at/m-docu-1.pdf; http://tmpt.tuwien.ac.at/m-docu-2.pdf (дата обращения: 09.06.2011)

12. Kim W., Chung J. Free non-linear vibration of a rotating thin ring with the in-plane and out-of-plane motions // Journal of Sound and Vibration. 2002. V. 258, № 1. P. 167-178.

13. Endo M., Hatamura K., Sakata M., Taniguchi O. Flexural vibration of a thin rotating ring // Journal of Sound and Vibration. 1984. V. 92, № 2. P. 261-272.

14. Brinkmeier M., Nackenhorst U. An approach for large-scale gyroscopic eigenvalue problems with application to high-frequency response of rolling tyres // Computational Mechanics. 2008. V. 41, № 4. P. 503515.

VIBRATIONS OF A LOADED ROTATING TYRE I.F. Kozhevnikov

We investigate vibrations of an unloaded and loaded tyre rolling at constant speed. A previously proposed analytical model of a reinforced tyre is considered. The natural frequencies (NF) and mode shapes (MS) are determined. In the case of loaded rotating tyre, the increasing of the angular velocity of rotation implies that NF decrease. A phenomenon of frequency loci veering is investigated.

Keywords: radial tyre, analytical model, variational principle of Hamilton, modal analysis, vibrations.