CC BY
12СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Formaggia L, Lamponi D., Quarteroni A. One-dimensional models for blood flow in arteries //J. Eng. Math. 2003. 47, N 3-4. 251-276.
2. Conrad W.A. Pressure-flow relationship in collapsible tubes // IEEE Trans. Bio-Med. Eng. 1969. 16. 284-295.
3. Bertram C.D., Pedley T.J. A mathematical model of unsteady collapsible tube behaviour //J. Biotech. 1982. 15. 39-50.
4. Kamm R.D., Shapiro A.H. Unsteady flow in a collapsible tube subjected to external pressure or body forces // J. Fluid Mech. 1979. 95. 1-78.
5. Grotberg J.B., Davis S.H. Fluid-dynamic flapping of a collapsible channel: sound generation and flow limitation // J. Biotech. 1980. 13. 219-230.
6. Георгиевский Д.В. Об эффективном пределе текучести в определяющих соотношениях крови in vivo // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 5. 51-54.
7. Nobile F., Vergara C. An effective fluid-structure interaction formulation for vascular dynamics by generalized Robin conditions // SIAM J. Sci. Comp. 2008. 30, N 2. 731-763.
8. Brower R. W., Scholten C. Experimental evidence on the mechanism for the instability of flow in collapsible vessels // Med. and Biol. Eng. 1975. 13. 839-845.
9. Bonis M., Ribreau C. Etude de quelques proprietes de l'ecolement dans une conduite collabable // Houille blanche. 1978. 3, N 4. 165-173.
10. Юшутин В.С. Вязкопластические течения по каналам с переменным по длине сечением и деформируемыми стенками // Изв. РАН. Сер. физ. 2011. 75, № 1. 139-143.
Поступила в редакцию 14.09.2011
УДК 531.01
МАКСИМАЛЬНОСТЬ ДЕЙСТВИЯ ПО ГАМИЛЬТОНУ ДЛЯ СИСТЕМ С ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ
Л. С. Отраднова1
Рассматривается вариационный принцип Гамильтона для механических систем с односторонними связями. Показывается, что функционал действие достигает локального максимума на классе вариаций, лежащих внутри области, допустимой для движения. Приводится пример.
Ключевые слова: вариационный принцип Гамильтона, функционал действие, односторонние связи.
Hamilton's variational principle for mechanical systems with unilateral constraints is considered. It is shown that the action functional attains its local maximum on the class of variations lying inside the area allowed for the movement. An example is given.
Key words: Hamilton's variational principle, action functional, unilateral constraints.
Рассмотрим механическую систему с лагранжианом L(q,q,t), где q £ Rn — обобщенные координаты. Считаем, что на систему наложена односторонняя голономная связь g(q) ^ 0, где g(q) — гладкая функция обобщенных координат, и выполнено условие невырожденности: dg/dq = 0 на границе связи g(q) = 0. Пусть qo(t), ti ^ t ^ t2, — траектория системы, выходящая на границу односторонней связи один раз в момент r: ti ^ т ^ t2, т.е. g(qo(r)) =0 и g(qo(t)) < 0 при t = т. Для таких систем был получен вариационный принцип Гамильтона (см. [1]) в следующем виде. Вариации траектории берутся таким образом, чтобы окольные траектории имели одну точку выхода на границу связи и момент выхода гладко зависел от параметра вариации. Показано, что в этом случае вариация функционала действие равна нулю. В работе [2] установлено, что на классе вариаций общего вида вариация функционала действие неотрицательна.
1 Отраднова Лина Сергеевна — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
В данной работе рассматривается класс вариаций траектории, для которых окольные траектории лежат строго внутри области, допустимой для движения. Оказывается, на классе таких вариаций функционал действие достигает своего строгого локального максимума.
1. Максимальность действия. В данной работе рассматриваются вариации специального вида
да(Ь) = до(Ь) + аю(г),
где а € [0, е) и ь(Ь) — некоторое кусочно-гладкое векторное поле вдоль траектории, которое в точке удара направлено внутрь области движения, т.е. такое, что
дд(д оО))
дд
ь(Ь)
< 0.
г=т
При достаточно малых е = 0 окольные траектории не имеют общих точек с границей. Окольные траектории — кусочно-гладкие непрерывные функции, и для них выполнены следующие условия:
1) концы траектории закреплены: д(а,Ь 12) = д(0,Ь12);
2) при а = 0 варьированная траектория совпадает с действительной: д(0,Ь) = до(Ь).
Покажем, что если при ударе скорость меняется, то для указанных вариаций функционал действие 5 = / ЬсМ на действительной траектории достигает локального максимума.
В работе [3] установлено, что движение можно описать с помощью уравнения Лагранжа второго рода с мерами:
, . дЬ\ дЬ дд ,
дд дд дд
(1)
Напомним, это уравнение означает равенство соответствующих мер Лебега-Стилтьеса. Здесь мера сосредоточена в точке удара Ь = т и ее скачок отрицателен. Это значит, что ¡л,(Ь) — ступенчатая функция с одной ступенькой Д^ < 0 в точке удара.
Обозначим Д5 = 5(да) — 5(д0), Дд = да — д0 = аУ, Да = а — 0. Из (1) получаем
Д£ Да
1
а
t2
Щ Ад + ^ Ад + 0{(Ад)2, (Ад)2) ) М.
Так как величины Дд и Дд имеют порядок а при а — +0, то величина 0((Дд)2, (Дд)2) в последней формуле имеет порядок а2 при а — +0 и ей можно пренебречь. Интегрируя по частям, получаем
Да ~ а 1 дд ^ +
¿2 \ ¿2 t2
' дЬ й дЬ 1 I 1 С дд {дд
— Ад--—Ад\<И =--/ = - / / Уф.
дд Мдд) а У дд ) дд
¿1
Мера сосредоточена в точке удара. Поэтому последний интеграл равен подынтегральному выражению в точке удара, умноженному на отрицательный скачок меры Д^ < 0:
Д5 ? дд ддтг.
¿1
<0
¿=т
с точностью до О(а) при а — +0. Значит, при достаточно малых а будем иметь 5а < 5о. То есть функционал действие на действительной траектории достигает максимума на классе вариаций, не имеющих общих точек с границей связи.
2. Пример. Приведем пример, иллюстрирующий доказанное утверждение. Рассмотрим движение точки единичной массы на плоскости Оху по инерции. На движение наложено ограничение у ^ 0. Удар о границу связи считаем абсолютно упругим: модуль скорости после удара сохраняется. Зафиксируем две точки А и В в полуплоскости у < 0 и рассмотрим траекторию движения из точки А в точку В на отрезке времени [^,¿2] в том случае, когда происходит только один удар о границу у = 0 связи — в точке С в момент т € (¿1, ¿2). Траектория представляет собой двухзвенник АС В.
Рассмотрим следующие окольные траектории. Пусть точка О лежит в полуплоскости у ^ 0. В качестве окольной траектории возьмем движение по двухзвеннику ЛОВ из точки Л в точку В на отрезке времени [¿0^1] с некоторой постоянной скоростью V. Вычислим функционал действие:
Поскольку ¿2 _ ¿1 фиксировано, то действие зависит только от длины двухзвенника ЛОВ. Линия постоянства функционала действие — это эллипс Е(О) с фокусами в точках Л и В. С ростом действия получим семейство расширяющихся софокусных эллипсов. Эллипс Е(С), на котором лежит точка удара С, касается прямой у = 0.
Возьмем вектор V = (Ух, Уу), такой, что Уу < 0. Рассмотрим вариации точки О, близкие к С и такие, что О(а) = С + аV, а > 0. Замечаем, что при а ^ +0 точка О будет лежать внутри эллипса Е(С), и при этом 5 О(а)) < Б (С). Максимальность действия для данного класса вариаций траектории выполнена.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты № 09-08-00925, 10-01-00406 и 12-08-
1. Козлов В.В., Трещев Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ,
2. Румянцев В.В. О вариационных принципах для систем с неудерживающими связями // Прикл. матем. и механ. 2006. 70, № 6. 902-914.
3. Березинская С.Н., Кугушев Е.И. О движении механических систем с односторонними связями // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 3. 18-24.
V
\АР\ + \РВ\
00591.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1991.
Поступила в редакцию
19.10.2011
