CC BY
47
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ И ХАОС В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
Вестник Челябинского государственного университета. 2015. № 22 (377).
Физика. Вып. 21. С. 58-67.
УДК 537.6, 537.86
МАГНИТОУПРУГАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА В ФЕРРИТОВОЙ ПЛАСТИНЕ
Д. А. Плешев1, В. С. Власов2, Ф. Ф. Асадуллин1, Л. Н. Котов2
1 ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет им. С. М. Кирова», Санкт-Петербург, Россия 2 ФГБОУ ВПО «Сыктывкарский государственный университет им. Питирима Сорокина», Сыктывкар, Россия
Исследована нелинейная прецессия вектора намагниченности и упругие колебания вблизи ФМР в двухслойной нормально намагниченной пластине. Система обыкновенных дифференциальных уравнений решалась численно методом Рунге — Кутты 7-8 порядка с контролем шага интегрирования. Выявлены характерные особенности развития процессов магнитных и упругих колебаний в обладающих различными характеристиками слоях образца. Исследовано распределение магнитоупругих колебаний в двухслойной пластине. Определены максимальные амплитуды магнитных и упругих колебаний внутри образца. Обнаружена возможность возбуждения магнитоупругих хаотических колебаний и автоколебаний в системе.
Ключевые слова: автоколебания, колебания намагниченности, магнитоупругие колебания, хаотические колебания, ферритовая пластина.
Введение
Проблема возбуждения ультразвуковых колебаний на основе магнитострикционных преобразователей и нелинейные явления в магнитных средах длительное время привлекают внимание исследователей [1-6]. Наиболее перспективным материалом в этом плане является железоиттриевый гранат (ЖИГ), высокая механическая добротность которого позволяет создать высокоэффективные СВЧ-устройства обработки информации. Эксперименты по возбуждению гиперзвука, основанные на использовании магнитоакустических преобразователей, показали высокую эффективность возбуждения в сочетании с низким затуханием [1; 7-8].
Однако нестабильные нелинейные явления, связанные с параметрическим возбуждением обменных спиновых волн, возникают при достаточно малых амплитудах прецессии намагниченности. Параметрическое возбуждение затрудняет выявление других нелинейных процессов, но может быть исключено за счёт выбора соответствующей геометрии образца [9-10]. Оптимальным вариантом является плоскопараллельная перпен-
дикулярно намагниченная пластина, когда частота однородной моды ферромагнитного резонанса приходится на дно спектра обменных спиновых волн, вследствие чего их параметрическое возбуждение становиться невозможным.
В работе была использована система уравнений, представленная в [11] и описывающая электромагнитное нелинейное возбуждение магнитоупругих колебаний в нормально намагниченной пластине, когда параметрическое возбуждение спиновых волн не осуществляется. Система решалась методом, отличным от использованного в [11]. В данной работе для решения системы нелинейной магнитоупруго-сти был использован метод прямых. В статье исследуется только первая упругая мода, а возмущающее переменное поляризованное по кругу поле ориентировано в плоскости пластины.
Геометрия задачи
Плоскопараллельная пластина толщиной ё, обладающая магнитными, упругими и магнито-упругими свойствами, помещена во внешнее магнитное поле Я„, направленное по нормали
к плоскости пластины. Возбуждение колебаний осуществляется посредством приложенного возмущающего поляризованного по кругу поля, плоскость поляризации которого параллельна плоскости пластины. Задача решается в декартовой системе координат Oxyz. Оси координат параллельны рёбрам куба кристаллографической ячейки. Центр системы координат O совпадает с центром пластины и с точкой раздела её на два слоя равной толщины с различными свойствами. В свою очередь слои, представленные на рис. 1., разбиваются на сетку с расстоянием между узлами I. Плоскости пластины совпадают с координатами z = ±d/2 [12].
Рис. 1. Геометрия системы
Полагая полную плотность энергии пластины U в поле H = {0;0; H 0} равной сумме плотностей
магнитной, упругой и магнитоупругой энергий, получим
U = -M0 hxmx - M0 hymy - M0 H0 mz + +2%M 0 ml + 2c44 (u]y + u]z + и° ) + (1 )
+2B2(mxmyuxy + mymzuyz + mzmxuzx X
где m =M / M 0 нормализованный вектор намагниченности; M0 — намагниченность насыщения; c44 — константа упругости; B2 — константа маг-нитоупругого взаимодействия.
Система уравнений Ландау — Лифшица — Гильберта и уравнений для упругих смещений с конечно-разностной аппроксимацией производных по координате описывают возбуждение поперечных упругих колебаний:
dmn г ^
■ = -т|_ mn
д2
dt un
еи ]
+ a
dmn
m„
= -2^ + ^ U д t2 d t p
dt
n+1 - 2un + un-1
l2
(2) (3)
где п = 0, 1, .., N и N = й/1. Для упрощения решения задачи используется только одна компонента упругого смещения их. Эффективные поля
Нехп = К -4nNxMsnmxn, (4)
M 0
l
Hey„ = hyn - 4-KNyM
Sn yn '
(5)
Hzn = H -4nNzMSnmzn -Bmn^^-U-1, (6)
M0 l Уравнение упругого смещения
^ = -2P+ + ^m^X (7)
dt dt p ^ l
Граничные условия
C44l
u1 u0
C44-T" = -B2mx1mz1,
UN UN-1 D
N N ^ -B2 m,,N m
l
J2" 'xN-1" 'zN-1 ■
(8)
(9)
Система уравнений решается численно, методом Рунге — Кутта 7-8 порядка с контролем интегрирования на каждом шаге. Параметры исследуемого материала типичны для кристалла ЖИГ.
Для определения параметров вектора намагниченности и упругого смещения внутри образца, последний делится на необходимое количество узлов N = d/l, где l — расстояние между узлами сетки. Упругие смещения рассчитываются в узлах сетки.
Развитие колебаний в двухслойной пластине
В работе выявлена возможность возбуждения различных режимов магнитоупругих колебаний в нормально намагниченной двухслойной ферри-товой пластине, слои которой имеют параметры, близкие к параметрам ЖИГ, при малых углах отклонения вектора намагниченности от оси Oz. Для того чтобы релаксация колебаний происходила максимально быстро, параметры затухания магнитной и упругой подсистем были выбраны следующим образом: a = 0,01 и Р = 3,48107 с4 (что больше типичных для монокристалла ЖИГ значений a = 0,001 и Р = 106 с-1). Намагниченность насыщения первого (вышележащего) слоя, занимающего 1-25 узел, M1s = 140 Гс; намагниченность насыщения второго (нижележащего) слоя, занимающего 26-50 узлы, M2s = 160 Гс.
Совпадение частоты возбуждения с частотой ФМР первого или второго слоя приводит к различным формам протекания релаксационных процессов и амплитудам колебаний в узлах образца (рис. 2-3).
а\ о
* * ( (10 с |
тру^ИИМИИЯ
Л/с. 2. Развитие колебаний в двухслойной системе. Параметры: I = 13,68-10 6 см, Н0 = 1850 Э, В2 = 7,4-106 эрг см 3, Ъ0х = Ьоу = 10 Э, со = 1,59-109с 1. Рассматривались колебания в следующих узлах: а) п = 1, б) п = 20, в) п = 25, г) п = 26, д) п = 40, е) п = 49
л.
Ьэ
О &
о
о о
Сй ©
л. о
о
г:
а: £
о
Ой
0)
г)
А!
Рис. 3. Развитие колебаний в двухслойной системе. Параметры: I = 15,61-10 6 см, Н0 = 2100 Э, В2 = 7,4-106 эрг-см 3, = = 10 Э, со = 1,57-109 с 1. Рассматривались колебания в следующих узлах: а) п = 1, б) п = 20, в) п = 25, г) п = 26, д) п = 40, е) п = 49
С 1£-
% Ц0 Н> И -и С Юо ио а » и И к ¡л и « ч
Ч Ч
а) б; в:
Рис. 4. Распределение максимумов амплитуд по узлам образца: а) амплитуда намагниченности образца с параметрами, идентичными рис. 2, пунктирная линия —
тх, сплошная линия — ту; б) амплитуда намагниченности образца с параметрами, идентичными рис. 3, пунктирная линия — тх, сплошная линия — ту; в) амплитуды колебаний упругой подсистемы, пунктирная линия — параметры, идентичные рис. 3, сплошная линия — параметры, идентичные рис. 2
I (1С с) о-
||Ш»1111111Ш111111111111
а\ ю
Рис. 5. Развитие колебаний в двухслойной системе. Параметры: I = 30,768 10 6 см, Н0 = 1850 Э, В2 = 7,4-106 эрг-см 3, И0х = Иоу = 5 Э, со = 1,596-109 с 1.
Рассматривались колебания в следующих узлах: а) п = 1, б) п = 25, в) п = 26, г) п = 49
л.
Ьэ
О &
о
о о
Сй ©
©
л. о
о
г: а:
£
ШЮОШ
tiUlí'i::;)11
........
=i:<>
Е ..'т 10
I: (10 с)
, 1 ю
1 (1U £¡1
Рис. 6. Развитие колебаний в двухслойной системе. Параметры: I = 7,6910~ см, Н0= 1850 Э, В2= 7,4-10б эрг-см , h0x = hoy = 50 Э, со = 1,59 -10я с1.
Узлы: а) п = 1,6) п = 25, в) п = 49
1д1
IÍ (П"|
о
fe
1 §
а:
§
¡г а:
(й »
а: §
О/ ¡г а:
¡г РЧ
а
Сй
1-2 ¡г
...... I ГГц)
ЦПГЦ]
Рис. 7. Спектры колебаний намагниченности тх. Параметры: I = 7,69-1045 см, Н0 = 1850 Э, В2 = 7,4-106 эрг-см~3; hш = h^ = 50 Э; со = 1,59-10я сУзлы: а) п = 1; б) п = 25; в) п = 49
о\
LtJ
Развитие колебаний в пластине, возбуждаемой на различных частотах, а именно на частоте, близкой к частоте ФМР первого (рис. 2) и второго (рис. 3) слоёв соответственно, имеют схожие черты. Время релаксации магнитной подсистемы нижележащего слоя, обладающего большей намагниченностью насыщения, больше времени релаксации вышележащего слоя. Квазистационарный режим колебаний упругой подсистемы устанавливается на всех узлах соответствующих слоёв одновременно, но для параметров образца, представленного на рис. 2, время релаксации меньше.
Распределение максимумов амплитуд колебаний магнитной подсистемы зависит от намагниченности насыщения. Чем большая намагниченность насыщения соответствует данному узлу, тем большая амплитуда колебания магнитной подсистемы на данном узле достижима (рис. 4а,б). Распределение амплитуд упругих колебаний в образце симметрично относительно плоскости Оху и не зависит от намагниченности насыщения (рис. 4в).
Было обнаружено возбуждение магнитоупру-гих автоколебаний релаксационного типа, впервые выявленных в работе [13], параметры которых определяются свойствами образца, а частота автоколебаний происходит с частотой, отличной от частоты возбуждения.
Возбуждение автоколебаний возможно при воздействии на образец возбуждающего поля, частота которого находится вблизи частоты ФМР первого (вышележащего) слоя (рис. 5).
Воздействие на образец поля на частоте ФМР второго (нижележащего) слоя не возбуждает автоколебания.
Автоколебания магнитной подсистемы (рис. 5.) обнаружены только во втором (нижележащем) слое. Следует отметить, что время релаксации магнитной подсистемы нижележащего слоя в случае возникновения автоколебаний равно времени релаксации верхнего, что резко отличает их от процессов, проходящих без автоколебаний (рис. 3-4).
Автоколебания упругой подсистемы обнаружены на всех узлах образца, при этом разница амплитуд и времён релаксации колебаний между узлами образца отсутствует.
Развитие хаотических колебаний
В работе [13] рассматривалась возможность генерации хаотических колебаний для однослойной пластины, чувствительной к изменениям параметров системы, в том числе к параметрам диссипации и магнитоупругой связи. Иными словами, показана возможность генерации неупорядоченных колебаний магнитоупругой подсистемы в детерминированной нелинейной динамической системе несвязанных с действием случайных внешних полей [14].
В случае многослойной системы возникает несколько иной механизм формирования хаотических колебаний, жёсткие требования к параметрам системы отсутствуют, однако хаотические колебания могут происходить только при достаточно большой амплитуде напряжённости возбуждающего поля (рис. 6-7).
Хаотические колебания обнаружены на узлах нижележащего слоя с большей намагниченностью насыщения на частоте его ФМР. При этом частота акустического резонанса выше частоты возбуждения.
Заключение
В работе описана возможность генерации незатухающих магнитоупругих колебаний для двухслойной пластины с параметрами, характерными для ЖИГ.
Описано соотношение времён релаксации, а также распределение амплитуд магнитных и упругих колебаний внутри образца, в зависимости от свойств слоя, в том числе от намагниченности насыщения слоя образца. Определены характер и зависимости развития автоколебаний в пластине.
Показана возможность генерации хаотических магнитоупругих колебаний в детерминированной системе, что поможет определить запрещённые частоты для СВЧ-устройств на ЖИГ и возможно найдёт применение в криптографии.
Авторы признательны кандидату физико-математических наук В. И. Щеглову (ИРЭ РАН) за первичную постановку задачи, помощь на предварительных этапах и постоянное стимулирующее внимание к работе.
Список литературы
1. Comstock R. L. Generation of Microwave Elastic Vibrations in a Disk by Ferromagnetic Resonance / R. L. Comstock, R. C. LeCraw // J. Appl. Physics. - 1963. - Vol. 34, iss. 10. - P. 3022-3027.
2. Голямина, И. П. Магнитострикционные излучатели из ферритов / И. П. Голямина // Физика и техника мощного ультразвука. Источники мощного ультразвука. - М. : Наука, 1967. - С. 111-148.
3. Linnik, T. L. Theory of magnetization precession induced by a picosecond strain pulse in ferromagnetic / T. L. Linnik, A. V Scherbakov, D. R. Yakovlev [et al.] // Phys. Rev. - 2011 - Vol. 84. - 214432.
4. Scherbakov, A. V. Coherent Magnetization Precession in Ferromagnetic (Ga, Mn) As Induced by Picosecond Acoustic Pulses / A. V. Scherbakov, A. S. Salasyuk, A. V. Akimov [et al.] // Phys. Rev. Letter. - 2010. - Vol. 105. -117204.
5. Kim, Ji-Wan. Ultrafast Magnetoacoustics in Nickel Films / Ji-Wan Kim, Mircea Vomir, Jean-Yves Bigot // Phys. Rev. Letter. - 2012. - Vol. 109. - 166601.
6. Mohammad, S. F. Magnetization dynamics, Bennett clocking and associated energy dissipation in multiferroic logic / S. F. Mohammad, R. Kuntal, A. Jayasimha, B. Supriyo // Nanotechnology. - 2011. - Vol. 22. - 309501.
7. Eggers, F. G. A uhf Delay Line Using Single-Crystal Yttrium Iron Garnet / F. G. Eggers, W. Strauss // J. Appl. Phys. - 1963. - Vol. 34, iss. 4, pt. 2. - P. 1180-1182.
8. Spencer, E. G. Temperature Dependence of Microwave Acoustic Losses in Yttrium Iron Garnet / E. G. Spencer, R. T. Denton, R. P. Chambers // Phys. Rev. - 1962. - Vol. 125, iss. 6. - P. 1950-1951.
9. Гуляев, Ю. В. Нелинейные собственные колебания спинов в плоскопараллельном ферромагнитном резонаторе / Ю. В. Гуляев, П. Е. Зильберман, А. Г. Темирязев, М. П. Тихомиров // Радиотехника и электроника. -1999. - Т. 44, № 10. - С. 1262-1270.
10. Семенцов, Д. И. Нелинейная регулярная и стохастическая динамика намагниченности в тонкоплёночных структурах / Д. И. Семенцов, А. М. Шутый // Успехи физ. наук. - 2007. - Т. 177, вып. 8. - С. 831-857.
11. Vlasov, V. S. Nonlinear excitation of hypersound in a ferrite plate under the ferromagnetic-resonance conditions / V. S. Vlasov, L. N. Kotov, V. G. Shavrov, V. I. Shcheglov // J. Comm. Technology and Electronics. - 2009. -Vol. 54. - P. 821-832.
12. Власов, В. С. Нелинейное возбуждение гиперзвука в ферритовой пластине при ферромагнитном резонансе / В. С. Власов, Л. Н. Котов, В. Г. Шавров, В. И. Щеглов // Радиотехника и электроника. - 2009. - Т. 54, № 7. - С. 863-874.
13. Pleshev, D. A. Investigation of nonlinear dynamics of magnetoelastic oscillations in normal magnetized ferrite plate / D. A. Pleshev, V S. Vlasov, L. N. Kotov [et al.] // Solid State Phenomena. - 2015. - Vol. 233-234. -P. 471-475.
14. Moon, F. C. Chaotic and Fractal Dynamics / F. C. Moon. - New York : A Wiley-Interscience Publ., 1992. -408 p.
Поступила в редакцию 20 августа 2015 г. После переработки 14 октября 2015 г.
Сведения об авторах
Плешев Дмитрий Александрович — старший преподаватель кафедры информационных систем Сыктывкарского лесного института (филиала) ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет им. С. М. Кирова», Сыктывкар, Россия. [email protected].
Власов Владимир Сергеевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры радиофизики и электроники Сыктывкарского государственного университета им. Питирима Сорокина, Сыктывкар, Россия. [email protected].
Асадуллин Фанур Фаритович — доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой автоматизации технологических процессов и производств Сыктывкарского лесного института (филиала) ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет им. С. М. Кирова», Сыктывкар, Россия. [email protected].
Котов Леонид Нафанаилович - доктор физико-математический наук, профессор, заведующий кафедрой радиофизики и электроники Сыктывкарского государственного университета им. Питирима Сорокина, Сыктывкар, Россия. [email protected].
Bulletin of Chelyabinsk State University. 2015. № 22 (377). Physics. Issue 21. P. 58-67.
MAGNETOELASTIC NONLINEAR DYNAMICS IN A FERRITE PLATE
D. A. Pleshev1, V. S. Vlasov2, F. F. Asadullin1, L. N. Kotov2
1Syktyvkar Forest Institute (branch) of Saint Petersburg State Forest Technical University name under of S. M. Kirov, Syktyvkar, Russia 2Syktyvkar State University named after Pitirim Sorokin, Syktyvkar, Russia
Corresponding author F. F. Asadullin, [email protected]
The present work deals with investigation of a nonlinear magnetization vector precession and elastic displacements close to the ferromagnetic resonance in a two-layer normal magnetized ferrite plate. The system of ordinary differential equations is solved numerically by means of the Runge-Kutta 7-8 orders method with control of the integration at every step length. The authors defined typical peculiarities of development in magnetoelastic oscillations processes in the sample layers that have different characteristics. The distribution of magnetoelastic oscillations in the two-layer plate was also studied. Inside the sample the maximum amplitudes of magnetoelastic oscillations were determined. The possibility of excitation of autooscillations and chaotic magnetoelastic oscillations was determined and describe by authors.
Keywords: autooscillation, oscillation of magnetization, magnetoelastic oscillations, chaotic oscillations, ferrite plate.
References
1. Comstock R.L., LeCraw R.C. Generation of Microwave Elastic Vibrations in a Disk by Ferromagnetic Resonance. Journal of Applied Physics, 1963, vol. 34, iss. 10, pp. 3022-3027.
2. Golyamina I.P. Magnitostriktsionnye izluchateli iz ferritov [Magnetostrictive transducers of ferrites]. Fizika i tekhnika moshchnogo ul'trazvuka. Istochniki moshchnogo ul'trazvuka [Physics and the powerful ultrasound technique. Sources of high-power ultrasound]. Moscow, Nauka Publ., 1967. (In Russ.).
3. Linnik T.L., Scherbakov A.V., Yakovlev D.R., Liu X., Furdyna J.K., Bayer M. Theory of Magnetization Precession induced by a picosecond strain pulse in ferromagnetic. Physical Review, 2011, vol. 84, iss. 21, 214432.
4. Scherbakov A.V., Salasyuk A.S., Akimov A.V., Liu X., Bombeck M., Bruggemann C., Yakovlev D.R., Sapega VF., Furdyna J.K., Bayer M. Coherent Magnetization Precession in Ferromagnetic (Ga,Mn) As Induced by Picosecond Acoustic Pulses. Physical Review Letter, 2010, vol. 105, iss. 11, 117204.
5. Kim J.-W., Vomir M., Bigot J.-Y. Ultrafast Magnetoacoustics in Nickel Films. Physical Review Letter, 2012, vol. 109, 166601.
6. Salehi Fashami Mohammad, Roy Kuntal, Atulasimha Jayasimha, Bandyopadhyay Supriyo. Magnetization dynamics, Bennett clocking and associated energy dissipation in multiferroic logic. Nanotechnology, 2011, vol. 22, 309501.
7. Eggers F.G., Strauss W. A uhf Delay Line Using Single-Crystal Yttrium Iron Garnet. Journal of Applied Physics, 1963, vol. 34, iss. 4, pp. 1180-1182.
8. Spencer E.G., Denton R.T., Chambers R.P. Temperature Dependence of Microwave Acoustic Losses in Yttrium Iron Garnet. Physical Review, 1962, vol. 125, iss. 6, pp. 1950-1951.
9. Gulyaev Yu.V., Zil'berman P.E., Temiryazev A.G., Tikhomirov M.P. Nelineynye sobstvennye kolebaniya spinov v ploskoparallel'nom ferromagnitnom rezonatore [Nonlinear natural oscillations of the spins in ferromagnetic planeparallel resonator]. Radiotekhnika i elektronika [Journal of Communications Technology and Electronics], 1999, vol. 44, no. 10, pp. 1262-1270. (In Russ.).
10. Sementsov D.I., Shutyy A.M. Nelineynaya regulyarnaya i stokhasticheskaya dinamika namagnichennosti v tonkoplenochnykh strukturakh [Nonlinear regular and stochastic dynamics of magnetization in thin-film structures]. Uspekhi Fizicheskikh Nauk [Advances in Physical Sciences], 2007, vol. 177, iss. 8, pp. 831-857. (In Russ.).
11. Vlasov VS., Kotov L.N., Shavrov V.G., Shcheglov V.I. Nonlinear excitation of hypersound in a ferrite plate under the ferromagnetic-resonance conditions. Journal of Communications Technology and Electronics, 2009, vol. 54, iss. 7, pp. 821-832.
12. Vlasov V.S., Kotov L.N., Shavrov VG., Shcheglov V.I. Nelineynoe vozbuzhdenie giperzvuka v ferritovoy plastine pri ferromagnitnom rezonanse [Nonlinear excitement of a hyper sound in a ferrite plate at a ferromagnetic resonance]. Radiotekhnika i elektronika [Journal of Communications Technology and Electronics], 2009, vol. 54, no. 7, pp. 863-874. (In Russ.).
13. Pleshev D.A., Vlasov V.S., Kotov L.N., Asadullin F.F., Poleshikov S.M., Shavrov V.G., Shcheglov V.I. Investigation of nonlinear dynamics of magnetoelastic oscillations in normal magnetized ferrite plate. Solid State Phenomena, 2015, vol. 233-234, pp. 471-475.
14. Moon F.C. Chaotic and Fractal Dynamics: an introduction for applied scientists and engineers. New York, A Wiley-Interscience Publ., 1992. 408 p.
Submitted 20 August 2015 Resubmitted 14 October 2015
