Магистральное управление траекториями экономического развития региона Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Электропривод и системы управления

УДК 681.513.5:519.86

МАГИСТРАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЯМИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО

РАЗВИТИЯ РЕГИОНА

Н.В. Квасова, В.Л. Бурковский, Е.М. Васильев

Предложен метод магистрального управления экономикой региона на основе его межотраслевой динамической модели. Решена вариационная задача выбора экстремальной траектории и разработан алгоритм её реализации на базе теории многоагентных систем. Приведены результаты численного моделирования соответствующей системы управления инвестициями, функционирующей в пространстве координат конечного потребления

Ключевые слова: магистральная теория, многоотраслевая динамическая модель, оптимальное управление

1. Обсуждение магистральной траектории

Пусть состояние замкнутой расширяющейся экономической системы региона, содержащего п взаимосвязанных чистых отраслей, соответствует траектории своего развития, описываемой диагональной системой линейных уравнений:

х^) = В ■ х^) + Н ■ и^);

у^) = (Е - А) ■ ); (1)

е ■ и^) = и,

где х - валовой выпуск продукции отраслей, х=[х1 х2 ... хп]т; у - объёмы конечного потребления продукции отраслей, у=[у у2 ... уп]Т; u - внешнее воздействие - инвестиции в отрасли, u=[ul и2 ... ия]Т; В - характеристическая диагональная матрица размером [пхп]; Н - диагональная матрица коэффициентов приростной капиталоотдачи от инвестиций, [пхп]; А - матрица коэффициентов прямых материальных затрат, [пхп]; Е - единичная матрица, [пхп]; U - общий объём инвестиций в регион на рассматриваемом интервале времени; е - единичный вектор-строка, [1хп].

Если известно начальное состояние системы хн(0), и на период времени Т определён экономический горизонт её развития хк(Т), то в условиях ограниченного общего объёма U инвестиций может быть сформировано множество траекторий х(Г) движения системы в пространстве её состояний, определяемое различным распределением инвестиций U

п

по отраслям: U = I и а).

i=1

Примем, что лучшей траектории соответствует наименьшее время Т. Тогда система уравнений

(1) будет описывать собою дифференциальную игру [1,2], в которой локально противоположные интересы каждого игрока в увеличении своей доли

Квасова Наталия Викторовна - ВГТУ, аспирант, e-mail: [email protected], тел. 8 473 243 77 76 Бурковский Виктор Леонидович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: [email protected], тел. 8 473 246 59 98 Васильев Евгений Михайлович - ВГТУ, канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, e-mail: [email protected], тел. 8 473 243 77 76

и,(0 ресурсов и в общем случае не обеспечивают движение по экстремальной (в смысле минимума Т) траектории и требуется внешнее управление распределением общих ресурсов и по отраслям.

Для определения траектории х (О, переводящей систему из состояния х(0)=хн в состояние х(Т)=хк за минимальное время Т сформулируем вариационную задачу:

T = J 1dt

(2)

х(0) = хн; х(Т) = хк, с ограничениями (1), составляющими совместно с

(2) линейный функционал, содержащий функцию Лагранжа L:

JL(x,u,Л,X)dt = J [1 + Л(x(t) - B • x(t) - H • u(t)) +

(3)

+ ^ п+1(е ■ и^) — и + Щу1+1\& —— шш, где Л - [Х1 Х2 ... Хя] и Хя+1 - неопределённые множители; ия+1 (/) - дополнительная переменная.

Необходимым условием существования экстремалей х (Г) и и (() является выполнение системы уравнений Эйлера [3]:

дЬ ё дЬ = о.

дх,- Л дх,■

дL d дL = 0.

ди dt дії.

(4)

і = 1, п.

В силу линейности L(x,u,Л,X) относительно и система (4) несовместна, т.е. экстремум функционала (3) достигается в классе кусочно-постоянных управлений и(0=и=сопз^ удовлетворяющих огра-

п

ничению: ^ иі = и .

і=і

Таким образом, вариационная задача (2) сводится к оптимизационной задаче поиска минимума времени Т на конечном числе переменных иі:

0

0

0

Т[( хн1, хк1, и1) — шш;

п

I иг = и;

,=1 (5)

Т] (хн] , хк] , и] ) < Т1(хн1, xк1, и1);

] = 2, п,

где Т] - время движения координаты ху из точки хн] в точку хк].

С целью иллюстрации решения (5) и определения вида экстремалей х (() рассмотрим случай с п=2: х1 = Щ-! + Ьи1;

х 2 = сх2 + йи 2-х1 (0) = хн1;

Х2(0) = хн2.

Решение (6) имеет вид:

^ ( Ь Л а1 ь

х1^) — I хн1 +— и1 1е--------и^

V а ) а

, ч ( й Л с( й x2(t) = 1 хн2 + си2 Iе -~CU2,

(6)

(7)

который с учётом конечных условий Х1(Т1)=ХкЬ х2(Т2)=хк2 позволяет определить выражения для Т, и сформулировать задачу математического программирования [4]:

( ь ^

1 ^

Т1 = - 1п

а

хк1 + ~ и1

а

Т2 =- 1П с

Ь

хн1 + ~ и1

V а

^ й ^ хк2 + ~ и2

с

— шш;

х

н2

2

С )

(8)

Т2 < Т1; и1 + и2 = и.

Решение (8) даёт значения и*, и^, обеспечивающие минимальное значение Т1, причём этот минимум достигается при условии Т2=Т1.

Подставляя и*, и2 в (7) получим выражения

для экстремалей х* ^), х^ ^). Траектория х* (t)для числовых параметров а=0,8; Ь=1,6; с=4; d=16; хн1=3; хн2=1; хк1=5; хк2=10; и=1, Т1=Т2=0,45;

и* = 0,81; и^ = 0,19 представлен на рис. 1.

3 4 Х1 5

Рис. 1. Экстремали наискорейшего х*(^ и пропорционального х ({) роста

Использование экстремали х*(t) наискорейшего роста в качестве магистральной траектории привлекательно с точки зрения постоянства инвестиций (и,=сош^ на заданном этапе развития и теоретической возможностью разомкнутого управления траекторией роста. Однако, принятые исходные предпосылки о линейности уравнений движения системы и постоянстве на интервале [0,7] её параметров В, Н, А являются весьма сильными и могут не выполняться на практике.

В связи с этим, в качестве магистрали целесообразно рассмотреть траекторию пропорционального роста валового выпуска х(/) (см. рис. 1) опирающуюся на достаточно слабую предпосылку её формирования в условиях изменяющихся параметров системы на основе замкнутого принципа регулирования [5-9].

2. Алгоритм магистрального управления

Траектория пропорционального развития при условии сохранения межотраслевого баланса [10]:

у«=(Е-А)х(0, (9)

в силу линейности преобразования (9) отображается в эквивалентную траекторию у(/) в пространстве у(Г) конечного потребления.

Таким образом, можно поставить задачу разработки алгоритма управления инвестициями и,(^, обеспечивающими пропорциональный сбалансированный рост конечного потребления у() продукции

отраслей г = 1, п.

В теории управления эта задача сводится к регулированию относительного движения в многоагентной системе [11,12], содержащей п одномерных агентов с текущими координатами у,(0, каждая из которых стремится в результате управления к своему магистральному значению:

п—( У] ^)- у ну Л

Ум,г ^) = Ун,г +1

, ач

]=^ п -1 ])

(10)

где - коэффициент пропорционального развития:

ук,г — ун,г

аи =-----------,

ук,] ун,]

ун, ук - начальные и конечные значения потреблений, получаемые из векторов хн и хк с помощью соотношения (9).

Вычисляя отклонение от магистрали в виде (рис. 2):

е(0=ум(0-у(0, (11)

мы можем перейти к формированию управляющих воздействий uI■(t).

Рис. 2. Иллюстрация способа вычисления

отклонения состояния системы от магистрали

Учитывая, что е(1) содержит, по меньшей мере, линейно изменяющуюся во времени компоненту, остановимся на управлении с пропорциональной и интегрирующей составляющими:

и(1) = ^б(1) + k2 |б(1^ , (12)

где к1, к2 - постоянные коэффициенты, определяющие вклад в управление указанных составляющих.

Для варианта дискретного управления алгоритм вычисления (10)-(12) содержит следующие этапы:

1. Вычисление значения ошибки 8,(1т) для каждой отрасли , на момент ^ окончания очередного интервала времени управления [1т-ь1т].

2. Определение управления на предстоящий интервал времен [1т,1т+1]:

т

и, (1т+1) = Ье, (1т ) + k2 Е Е (1Р ).

Р=1

Отметим, что эффективная реализация магистрального управления возможна при достаточно большом объёме и инвестиций региона. Полное отсутствие управления приводит как к замедлению, так и к нарушению пропорций темпов развития отраслей.

3. Численная проверка алгоритма управления

Для численной проверки предложенного алгоритма магистрального управления воспользуемся динамической моделью экономического развития региона:

х = (В о D о Мс о х +

+ Н О (Б(е • Б)-1(и - е • и) + и)) О Gп О Gс,

в которой символ “°” означает поэлементное произведение (произведение Адамара). Матрицы В, Б, Мс, х, и, Н, Gп, Gc имеют здесь размерности [пх1] и обозначают: В, Н - соответственно матрицы коэффициентов прироста валового выпуска и приростной капитализации от инвестиций:

Мс -

спроса:

мультипликатор неудовлетворённого

Мс (1) е у(1)/(г(1) + утахХ утах

2

2,5

4

Б(1) = еТ - АТеТ,

где 2(1)=х(1)+у(1); знак “/” - поэлементное деление матриц;

Б(1) - инновационный мультипликатор:

" 0,1 0,3 0,1"

А = 0,5 0,2 0,2 ,

0,2 0,4 0,1

Gc - ограничитель спроса на конечное потребление:

Т

^ = е - У(1)/ Утах ,

Gп - ограничитель сдерживающего производственного потребления:

Gп = [&п ^)];

8п

, (t) = П

]=1 } *,

У:

min, ]

У, О1)

Л "0,2"

; Утт = 0,1

/ 0,3

Коэффициенты управления в (12): К1=500, к2=100.

Для указанных числовых параметров построены траектории движения системы, представленные на рис. 3-5.

Рис. 3. Влияние общего объема и инвестиций на траекторию движения

На рис. 3 показаны траектории движения системы при различных значениях общего объёма и инвестиций. При и>5 траектория становится магистральной. Этот рисунок иллюстрирует также отличие регулируемого пропорционального роста (траектории, изображённые сплошными линиями) от развития в условиях неуправляемого взаимодействия отраслей (штриховая линия).

У

2. 4

2.2

1 1

В = 2 ; н = 1,5 , 2

1,5 1,2

$21_0: Ута

С управл 4 V ени- УЧ, X 1 = ,

$21=0, У/ £ $21=' У '’-г' Без

равле-

0.5 1 1.5 У1 2

Рис. 4. Изменения управляемой и неуправляемых траекторий движения системы под влиянием инновационной деятельности отраслей

1

Рис. 4 позволяет визуально оценить работоспособность алгоритма (10)-(12) при изменении матрицы А коэффициентов прямых материальных затрат происходящем, например, в результате инновационной деятельности первой отрасли по сокращению производственных расходов (коэффициент а21 изменяется со значения 0,5 до 0,4). Отметим, что без внешнего управления (штриховая линия) в системе наблюдаются существенные изменения в темпах развития отраслей.

Рис. 5. Иллюстрация магистрального управления тремя отраслями

На рис. 5 показаны результаты магистрального управления тремя отраслями при движении системы из Ун в Утах при и=6. Соответствующие этому управлению требуемые значения инвестиций в каждую отрасль показаны на рис. 6.

Рис. 6. Требуемые изменения объёма отраслевых инвестиций при движении системы по магистральной траектории, представленной на рис. 5

Нетривиальный характер изменения во времени инвестиционных вложений и,(1) подтверждает необходимость замкнутого управления траекториями развития отраслей по координатам состояния системы. При этом изменения внутренних параметров системы будут парироваться необходимым перераспределением управляющих ресурсов.

В условиях ограниченного объёма указанных ресурсов принцип регулирования относительного движения активных элементов системы, использованный в предложенном алгоритме управления многоагентными взаимодействиями, обеспечивает не полное, но предельно возможное приближение системы к магистральной траектории.

Литература

1. Губко М.В. Теория игр в управлении организационными системами / М. В. Губко, Д. А. Новиков, Ин-т проблем упр. им. В.А. Трапезникова. - М.: СИНТЕГ, 2002. -139 с.

2. Протасов И.Д. Теория игр и исследование операций / И. Д. Протасов. - М.: Гелиос АРВ, 2006. - 368 с.

3. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. - М.: Эдитори-ал УРСС, 2000. - 319 с.

4. Карманов В.Г. Математическое программирование / В. Г. Карманов. - М.: Физматлит, 2001. - 263 с.

5. Альсевич В.В. Введение в математическую экономику. Конструктивная теория / В.В. Альсевич. - М.: Еди-ториал УРСС, 2005. - 256 с.

6. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория / М. Интрилигатор. - М.: Айрис-пресс, 2002. - 565 с.

7. Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике / С.А. Ашманов. - М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1980. - 199 с.

8. Колемаев В.А. Математическая экономика / В.А. Колемаев - М.: ЮНИТИ, 1998. - 240 с.

9. Макконел К.Р., Брю С.П. Экономикс: Принципы, проблемы и политика / К.Р. Макконел, С.П. Брюс. - М.: ИНФРА-М, 2001. - Т. 1. 497 с. , Т. 2. 528 с.

10.Леонтьев В.В. Экономическое эссе. Теории, исследования, факты и политика / В.В. Леонтьев. - М.: Политиздат, 1990. - 415 с.

11.Новиков Д.А. Теория управления организационными системами / Д.А. Новиков, Ин-т проблем управления. -М.: Физматлит, 2007. - 583 с.

12.Новиков Д.А. Механизмы управления динамическими активными системами / Д.А. Новиков, И.М. Смирнов, Т.Е. Шохина. - М.: ИПУ РАН, 2002. - 124 с.

Воронежский государственный технический университет

THE MAIN CONTROL OF TRAJECTORIES ECONOMIC DEVELOPMENT OF REGION

N.V. Kvasova, V.L. Burkovsky, E.M. Vasiljev

The method of the main control is offered by economy region on the basis of his interbranch dynamic model. The variational problem of a choice an extreme trajectory is solved and the algorithm of its realization is developed on the basis of the theory multiagent systems. Results of numerical modeling a corresponding control system are resulted by the investments functioning in space of coordinates final consumption

Key words: the main theory, diversified dynamic model, optimum control