CC BY
11
Владикавказский математический журнал 2017, Том 19, Выпуск 2, С. 3-10
УДК 517.983.2
Lp - Lq-ОЦЕНКИ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ РИССА С ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ ЯДРАМИ
М. Н. Гуров, В. А. Ногин
Получены Ьр — Ьч-оценки для обобщенных потенциалов Рисса с осциллирующими ядрами и однородными характеристиками бесконечно дифференцируемыми в К" \{0}. Описаны выпуклые множества (1 /р, 1/д)-плоскости, для точек которых упомянутые операторы ограничены из Ьр в Ьд и указаны области, где эти операторы не ограничены.
Ключевые слова: потенциал Рисса, осциллирующее ядро, метод Фурье-мультипликаторов, Ьр-Ьч-оценки, ^-характеристика.
где 0 < Rea; < n, a(t') (í' = щ) — однородная нулевой степени функция, бесконечно дифференцируемая в Rn \ {0} удовлетворяющая условию a(t') ф 0 t' £ Sn-1.
В работе описаны выпуклые множества (1 /р, 1/д)-плоскости, для точек которых оператор R ограничен из Lp в Lq и указаны области, где этот оператор не ограничен (см. теорему 1.1). В некоторых случаях доказана точность полученных оценок (см. замечание 1.1). В частности, получены необходимые и достаточное условия ограниченности Lp
Lp - Lq
с осциллирующими ядрами, в частности, для операторов Бохнера — Рисса и акустических потенциалов, возникающих в различных задачах анализа и математической физики (см. книги [5, 6], а также работы [1-4, 9, 10]. Во всех упомянутых работах, кроме [1], рассматривались ядра, содержащие радиальную характеристику Ь(т), которая стабилизируется на бесконечности как гёльдеровская функция. Благодаря этому свойству, получение оценок для указанных операторов сводилось к случаю оператора с характеристикой Ь(т) ф 1. Подобное сведение в принципе невозможно, когда ядро оператора (1) содержит однородную характеристику a(t').
В работе [1] были получены оценки для потенциала (1) в случае < Rеа < п. Однако, использованный в ней метод, основанный на представлении оператора через оператор Бохнера — Рисса и некоторый оператор, близкий к акустическому потенциалу, не работает при Re а ^ .
Введение
Lp - Lq
(1)
© 2017 Гуров М. Н., Ногин В. А.
Здесь мы развиваем новый метод, основанный на получении специальных представлений для символа оператора (1) с последующим применением техники Фурье-мультипликаторов, вырождающихся или имеющих особенности на единичной сфере в Ж".
1. Основные результаты
Для формулировки основного результата будут использованы следующие обозначения: (А, В,..., К) — открытый многоугольник в Ж2 с вершинами в точках А, В, • • •) К [А, В,..., К] — его замыкание. Через ^(А) обозначим ^-характеристику оператора А, т. е. множество всех точек (1/р, 1/д)-плоскости (1 ^ р ^ д ^ то) таких, что оператор А ограничен из Ьр в Ьд.
Пусть 0 < Ие а < п. Введем в рассмотрение следующие точки (1/р, 1/д)-плоскости:
A = 1,1 -
Re а
n
A' =
Re а
n
О
3 2 Re а 3 2 Re а
n — 1 2 n — 1
C' =
2 Re а 1 2 Re а
n — 1 2 n — 1
E = (1, 0), F =
1 1 2' 2
G =
(n — Re a)(n — 1) Re а 1 — -;-—-, 1 — -
n(n + 3)
n
Re а Re а H = II--, 1--
n
n
G' = H' =
Re а (n — Re а)^ — 1) n ' n(n + 3)
Re а Re а
n
n
O = (1,1), O' = (0,0),
B = 1 -
K _ í2(Re a + 1)
~ V n +1
(n — 1)(n — Re а)
1 1 2' 2
n(n + 1)
1
Re а
n
,'1 3 2(Rea + 1) ~ 2' 2 n + 1
Re а (n — 1)(n — Re а)
B' =
n
n(n + 1)
Нам понадобятся также следующие множества на (1/p, 1/д)-плоскости (см. рис. 1 и 2 для случаев 0 < Rea; ^ и < Rеа <п, соответственно):
L1 (а, n) =
[A', H', H, A, E] \ ([A',H'] U [A, H]),
(A', G', C', C, G, A, E) U (A, E] U (A', E) U (C', C),
(A', G', F, G, A, E) U (A, E] U (A', E) U {F},
(A',G', F, G, A, E) U (A, E] U (A',E),
(A', G', K', K, G, A, E) U (A, E] U (A', E) U [K', K],
(A',B', B, A, E) U (A, E] U (A',E),
(A',B', B, A, E) U (A, E] U (A',E) U (B',B),
0<ltea
2(n+l) ^ " ^ 2 '
Rea = 2=1, Ima/0,
а=
ra— i
< Rea < §, f ^ Rea < n, Ima/0, f ^ a < n,
^2(а, n) = [O, A, A',O'] \ ({A'}U{A}).
Рис. 1.
Рис. 2.
Основным результатом статьи является следующая
Теорема 1.1. Пусть 0 < Яе а < п.
I. Справедливо вложение
&(Я£) Э (а, п) П (а, п).
(2)
II. Множество &(ЩО не содержит точек, лежащих:
1) на отрезке [А, И] и выше него, если а(а) = 0, а £ Бп-1;
2) на отрезке [А, И'] и левее него при том же условии на характеристику а(а), что и в п. 1);
3) на отрезке [О', О], если а = (п — 1)/2;
4) ниже прямой А'А а также точки А и А.
Замечание 1.1. При 0 < Rea; ^ 2(n+i) и 1 ^ а ^ п полученные оценки являются точными. А именно,
JSf(i£) = [А',Н',Н,А] \ {[А>,Н>] U [А,Я]), 0 < Rea < fj^y,
n
JSf = (А', В', В, А, Е) U (А, Я] U {А', Е) U (В', В), | < a < п.
В частности, для таких а получено необходимое и достаточное условие ограниченности оператора (1) в Lp. А именно, этот оператор ограничен в Lp тогда и только тогда,
когДа <Р< шъ-
Замечание 1.2. На примере оператора (1) можно пояснить влияние осциллирующей экспоненты в ядре на картину ограниченности рассматриваемого оператора. Для этого вначале рассмотрим потенциал Рисса с однородной характеристикой:
(/»(ж) = J -щ^Ф -t)dt, 0 < Rea < п.
Хорошо известно, что оператор Ia ограничен из Lp в Lq тогда и только тогда, когда 1/p — 1/q = Re а/n. Перейдем далее от оператора Ia к оператору RТогда, как это следует из (2) и аналогичного вложения, доказанного в [1] при (n — 1)/2 < Re а < n, над интервалом (A', A) «надстраивается» выпуклое множество положительной лебеговой меры, для точек (1/p, 1/q) которого полученный оператор ограничен из Lp в Lq.
2. Вспомогательные сведения и утверждения
Ниже мы будем использовать следующие функции. Пусть $(т), к(г),х(г) G С°°(0,+оо) таковы, что 0 ^ i?(r), x(r),x(i") ^ 1; iЦг2) = 1, если г ^ 1 — |, i?(г2) = 0, если г ^ 1 — |; я(г) = 1, если |1 — r\ ^ я(г) = 0, если |1 — r\ ^ %(г) = 0, если г ^ 1 + |, %(г) = 1, если г ^ 1 + |. Функция й(|£|) такова, что 0 ^ ^ 15 = 0, если
|1 - |£|| ^ 6 и Ш\) = 1, если |1 - |£|| < |. Тогда = "(Ш
Будем предполагать, что $(r2) + к(г) + x(r) = 1.
Теорема 2.1 (см. [11]). Справедливы следующие утверждения:
a) Пусть f G CN (R]), N > [n/2] и существуют постоянные c,ö> 0 такие, что \Dkf (x)| < c|x|-5-|k|, x G R] 0 < |k| < N. Тогда f G Rq.
b) Пусть f G CN(R] \ {0}), N > [n/2], имеет компактный носитель и существуют постоянные c,6> 0 такие, что \Dkf (x)| ^ c|x|-ä-|k|, x G R] \ {0} 0 ^ |k| ^ N. Тогда f G Rq.
Оператор Ra представим в следующем виде:
(R»(x) = (M»(x) + (N a^)(x), (3)
где
n
R
Rn
Через ma (£) обозначим символ oneратора Ma. В работе [7] получено следующее представление для mа(£):
ma (f) = m a'0 (f) + m"'1 (f) + ma(£).
(4)
Здесь
m °'0(е)= ^(к|2)Г(а)
a(a)
(—i(1 + £<т))<
da
со
— tf(|£|2) | a(a) da J(1 — x(p))pa—1 е*(1+^ dp,
Sn-l
mm0,1 (0 = <
N-1
k=0
lil
ч —¡7--h«
N-1
mm a'c(0 =
n — 1 _
MieD(l-iei) —"ax Z(A'a ^ k + A"a ^
fc—Q "2 2
X In(i - lei +i0))^L(i _ +
n—1 N-1
k=0 2
n—1 N-1
X(iei)(l-Iei) —"ax E (A'
а-Ьф 2=1,2=3 ...;
a-jfe = 2=1,2=3
a - k Ф 2=1, 2=3 ...;
—a ч^ V* i M \H
n+l 7, "T" -Л n+1
k=0 2 2 +1 C\
x ln(l - lei + ¿0)) X _ + <TQ(0, a-k = 2=1, 2=3 ...
Функции Ra(£), R'a(£) и X±(£') удовлетворяют условиям теоремы 2.1
^ - (2.)
1
(2тг)п
1 (i/>(-A)+if)e"f(A+1)
(—A — 1)!
^ = —
1 e~l-f(x+l) (2vr)ra (—A — 1)!'
N =
n 2J
+ 1.
Теорема 2.2 [7]. Пусть 0 < Re a < n и G S. Тогда
(M»(ж) = (2п)—™ У ma(On(Oe—^^ d£
Кроме того, в [8] был изучен вопрос о принадлежности классу Мр мультипликатора
М1£|) = ^
га—1 га—3 2 ' 2 '
A'
n+l
где 0 < Re a < n.
n—1
S
x
Доказана следующая теорема
Теорема 2.3 [8]. Пусть 0 < Re а < n. Тогда
MlÉl) е если ) G («>«);
ЪМ)?МЧ, если (-,-) € [А,Н,0]И[А',Н',0'].
1 1 кР} Q
При Re а = 0 имеем
' 1 1
Ь«№)<=М2 & е[0',Е,0]\({0'}и{0}).
p \p q
Re а < 0
11
ЪМ)£М« £[0',Е,0].
............(5)
p q,
Замечание 2.1. Если 0 < Rea; ^ 2(n+i) и f ^ ReQ; < ni т0 из теоремы 2.3 следует,
ЧТО
Ьа(|£|)ем« ^ е^2(«,п).
Замечание 2.2. Нетривиальность теоремы 2.3 при q = p объясняется тем, что &a(|£|) ^ Мр, если 0 < Rea < п и 0 < 1 /р ^ Re^ либо 1 — Re^ ^ 1 < 1. Следовательно, для исследования мультипликатора 6а(|£|) не применимы классические мульти-пликаторные теоремы Михлина, Хёрмандера, Крэ, Лизоркина и др., дающие условия принадлежности мультипликатора классу Mp для всex p, 1 < p < то.
3. Доказательство основного результата
Докажем вложение
& (К) э &1(а,п) П &2(а,п).
Воспользуемся представлением (3).
Отметим, что ядро оператора Nа принадлежит Ь1. Кроме того, для него справедлива теорема С. Л. Соболева (см. [121). Следовательно,
&^а) э &2(а,п). (6)
Рассмотрим оператор Ма, для символа та(£) которого справедливо представление (4), и исследуем вопрос о принадлежности мультипликатора та(£) классу Мр.
Исходя из представления для мультипликатора тна основании теоремы 2.1, заключаем, что т € Кроме то го, т € Ь1. Отсюда получаем
€ Мд, (1/р, 1/д) € [0',0,Е]. (7)
Рассмотрим мультипликатор т"'1^)- Заметим, что € ^о в силу теоремы 2.1.
Кроме того, € Ь1 (см. [7]). Применяя далее теорему 2.3, будем иметь
таД(0 € Мд, (1/р, 1/д) € &(а,п). (8)
Ьр — Ь,-оценки для обобщенных потенциалов Рисса с осциллирующими ядрами 9
Отметим также, что т°'0(£) € Со°(Мп). Следовательно,
ша'°(0 € мд, (1/р, 1/д) € [0',0,Щ. (9)
Из (7)-(9) получаем вложение
&(Ма) э &г(а,п) П &2(а,п). (10)
Из (6) и (10) вытекает (2).
Перейдем к доказательству утверждения II теоремы 1.1.
Докажем 1) в случае а ф > 3 ^ Для этого) учитывая (6), (7) и (9), а также соображения выпуклости и двойственности, достаточно показать, что та,1(£) € Мр,, если (1/р, 1/д) € [А, И]. Аналогично тому, как это делалось при доказательстве основного результата работы [8], получаем
™в>1(0 = а(-е)ЬЖ\) + Св(£).
Здесь
2
1
да№)J о-т-т-^я
0
Рассуждая как и при доказательстве теоремы 1.1 из [8], с учетом того, что Х+(£') G C ~(Mn \ {0}), к = 1,...,N +1, будем иметь
Ga(0 G Mq, (1/p, 1/q) G [A,H]. (11)
Далее, из условия a(a) = 0 v G Sn-1 легко вывести, что
а(-£')Ъа(1^1) G Mq, (1/p, 1/q) G [A, H].
Отсюда, с учетом (11) получаем 1) при а ф — j, j G N. Случай, когда а = — j рассматривается аналогично (см. [8]). Тогда 2) следует из 1) в силу двойственности.
Утверждение 3) вытекает из того, что символ оператора Rа имеет особенность на gin-1 ПрИ а _ BlzX И) следовательно, не принадлежит М|.
Утверждение 4) доказывается аналогично соответствующему утверждению из [1].
Литература
1. Betilgiriev М. A., Karasev D. N., Nogin V. A. Lp — Lq-estimates for some potential type operators with oscillating kernels // Fract. Cal. Appl. Anal—2004—Vol. 7, № 2—P. 213-241.
2. Borjeson L. Estimates for the Bochner-Riesz operator with negative index // Ind. Univ. Math. J.— 1986.—Vol. 35, № 2.—P. 225-233.
3. Karapetyants A. N., Karasev D. N., Nogin V. A. Lp-Lq-estimates for some fractional acoustic potentials and some related operators // Fract. Cal. Appl. Anal.—2005.—Vol. 7, № 1,—P. 155-172.
4. Karasev D. N., Nogin V. A. On the boundness of some potential — type operators with oscillating kernels // Math. Nachr.-2005.-Vol. 278, № 5.-P. 554-574.
5. Samko S. G. Hypersingular Integrals and Their Applications.^London: Taylor and Frances Group.— 2002.^376 p.^(Analytical Methods and Special Functions; Vol. 5).
6. Stein E. M. Harmonic Analysis: Real-variable Method, Orthogonality, and Oscillatory Integrals.^ Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1993.^355 p.
7. Гуров M. H. О преобразовании Фурье одной осциллирующей функции // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки.—2014.—№ 5.—С. 11-14.
8. Гуров М. П.. Карасёв Д. П.. Ногин В. А. Об одном Фурье-мультипликаторе // Владикавк. мат. жури. 2015. Т. 17, № I. С. 14-20.
9. Карапетянц А. Н., Карасев Д. Н., Ногин В. А. Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Изв. НАН Армении.—2003.—Т. 38, № 2.—С. 37-62.
10. Карасев Д. Н. Ьр — Lq-оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Диф. уравнения.—2003.—Т. 39, № 3.—С. 418-420.
11. Сашко С. Г., Костецкая Г. С. Абсолютная интегрируемость интегралов Фурье // Вестн. РУДН. Маи-машка. 1991. .V" 1.—С. 138-168.
12. Соболев С. JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.—М.: Мир, 1988.^336 с.
Статья поступила 8 июля 2016 г. Гуров Михаил Николаевич
Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, научный сотрудник отдела математического анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: MGurov0inbox.ru
Ногин Владимир Александрович Южный математический институт - филиал ВНЦ РАН, старший научный сотрудник отдела мат. анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22; Южный федеральный университет, доцент кафедры дифференц. и интегр. уравнений РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: vnogin®ns.math.rsu.ru
Lp - ¿^-ESTIMATES FOR GENERALIZED RISS POTENTIALS WITH OSCILLATING KERNELS
Gurov M. N., Nogin V. A.
We consider a class of multidimensional potential-type operators whose kernels are oscillating at infinity. The characteristics of these operators are infinitely differentiable homogeneous functions. We describe convex sets in the (1 /p; 1/q)-plane for which these operators are bounded from Lp into Lq and indicate the domains where they are not bounded. In some cases we describe their L-characteristics. To obtain these results we use a new method based on special representation of the symbols of multidimensional potential-type operators. To these representations of the symbols we apply the technique of Fouriermultipliers, which degenerate or have singularities on the unit sphere in Rn.
Keywords: potential-type operators, oscillating kernel, method of Fourier multipliers, Lp — Lq-estimates, L-charact eristic.
