Lp - Lq-оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983

Lp - Lq-ОЦЕНКИ для некоторых операторов типа потенциала

С ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ ЯДРАМИ

© 2004 г. М.А. Бетилгириев, Д.Н. Карасев, В.А. Ногин

We consider potential-type operator with the kernel 9(t')\t\clrneit\ 0<Rea<n, where homogeneous characteristic в(t') , t' = t/ | 11,

is smooth in Rn \{0}. We describe convex sets in the (l/p,l/q) - plane for which this operator is bounded from Lp into Lq, and indicate the domains where it is not bounded. In some cases we describe the L - characteristic of the considered operator.

1. Введение

В работе развит новый подход к получению Ьр - Ьч -оценок для многомерных операторов типа

потенциала

(о)} = | -ХX - №, (1)

кп I t I

где 0 < Яеа < п , однородная характеристика в (/'), t' = t/111, является гладкой функцией в Кп \{0}. Описаны выпуклые множества (1/ р,1/ д) - плоскости, для точек которых оператор К^ ограничен из ^р в Ьд и указаны области, в которых он не ограничен (эти результаты содержатся в теореме 1). В некоторых случаях нам удалось построить Ь-харак-

теристику оператора К % (см. замечание 1).

Интерес, проявляемый нами к оценкам для оператора (1), вызван, прежде всего, их приложениями к обращению оператора Ка и описанию образа К%(Ьр) как в эллиптическом, так и в неэллиптическом случае (эти приложения будут даны в другой статье). Кроме того, этот интерес обусловлен «плохим» поведением характеристики на бесконечности, -в такой постановке задача ранее не рассматривалась.

Наиболее трудным для получения Ьр - Ьд -оценок

является случай (п -1) / 2 < Яе а < п, в котором символ оператор (1) имеет степенные особенности порядка (п-1)/2-а на единичной сфере £п-1, не интегрируемые при Яе а > (п +1) / 2 . Здесь мы рассматриваем главный и очень нетривиальный вопрос об ограниченности оператора (1) вдоль интервала (В',В), перпендикулярного линии двойственности 1/р +1/д = 1 (рис. 1).

Хорошо известный и ставший традиционным метод, основанный на разложении осциллирующего ядра и последующем применении результатов Херман-дера-Стейна для некоторых осцилляторных интегралов [1, 2], не дает ответа на этот вопрос; он позволяет лишь получить оценки ниже прямой В'В, ( [3,4] в случае в = 1). Для этой цели мы разработали новый метод, основанный на специальном представлении для символа оператора К а (см. п.3). В соответствии с

ним, в прообразах Фурье мы получаем представление для оператора (1) через оператор Бохнера-Рисса, некоторый оператор, близкий к акустическому потенциалу, и мультипликаторные операторы, для которых Ьр - Ьд -оценки могут быть установлены с помощью

традиционных методов, а затем используем результаты, полученные для указанных операторов. В частности, мы доказываем ограниченность оператора (1) вдоль (Б', Б) для п /2 <а< п (за исключением некоторых значений а), что играет решающую роль при описании Ь-характеристики ь(ка) для таких а .

Рис. 1

В случае 0 < Re a < (n -1) / 2 наиболее важным является вопрос об ограниченности оператора K% в Lp. Такой вопрос рассматривался еще в первых исследованиях по операторам с осциллирующими ядрами (E.M. Stein, Ch. Fefferman, L. Carleson, P. Sjolin и др.). Для получения Lp-оценок, мы модифицируем описанный выше метод (применительно к случаю, когда ядро оператора (1) принадлежит L2 на бесконечности) и, в рамках этой модификации, получаем необходимые и достаточные условия ограниченности оператора Ka в Lp при 0 < Rea < n(n - 1)/(2(n +1)).

Л1 (a, n) =

В настоящее время имеется много работ по операторам типа потенциала [5,6]. Среди работ по потенциалам с осциллирующими ядрами укажем статьи [3,4,7-14]. В них рассматривались потенциалы вида (1) но с радиальными характеристиками в (ґ) = в (/ ґ /), т. е. с характеристиками существенно другой природы, где функция в (г) дифференцируема достаточное число раз (как правило, она являлась бесконечно дифференцируемой) в окрестности

точки г = ж. Благодаря этому свойству, получение оценок для оператора ка сводилось к получению оценок для модельного оператора Ка (см. (1) с

в = 1). Подчеркнем, что такое сведение в принципе не возможно в случае оператора (1) из-за того, что характеристика в (ґ') разрывна на бесконечности (ситуация близка к анизотропной в том смысле, что в (ґ') принимает, вообще говоря, разные значения на разных лучах, выходящих из начала координат).

Ниже используются обозначения: 0 - винеров-

ское кольцо функций; Мр - класс р - д-мультипликаторов, [15]; Ь(А) - Ь-характеристика

оператора А, т. е. множество всех пар (1/р,1/д), для которых оператор А ограничен из Ьр в Ьд.

2. Основные результаты Обозначим:

Чтобы сформулировать основной результат статьи, введем следующие множества (1/р,1/д) - плоскости (рис. 1, 2):

(A', B', B, A, E) u (A, E] u (A', E),

(A', B\B, A, E) u (A, E] u (A', E) u (B', B),

(A', O', KK, O, A, E) u (A, E] u (A', E) u [K', K ],

(A', O', С', С, O, A, E) u (A, E] u (A', E) u (С', С), [A', H', H, A, E] \ ([A', H'] u [A, H ]),

Л2(a,n) = [О,A,A',0']\({A'}u{A}).

— < Rea < 2

n

— < a < n,

2

n -1 R

< Rea

2

n(n -1) < R 2(n +1)

0 < Rea <

A = I 1,1 -

Яеа

; A'=

Яеа

, (n - 1)(n - Re a) Re a

B = I 1---------------------------------,1-------------

n(n +1) n

Re a (n - 1)(n - Re a)

B' =

С=

С' =

n n(n + 1)

З 2 Re a З 2 Re a 2 n -1 ’"2 n -1 2 Re a 1 2 Re a

n-1

„ , (n - Re a)(n -1) Re a

O = I 1------------------------------,1-----------

n(n + З) n

Re a (n - Re a)(n -1)

O' =

n(n + З)

Re a Re a 1 rr. і Re a Re a H = I 1-------------------,1---------------I; H =

K =

nn 2(Re a +1) -1 _1 n +1 2 , 2

n

n

, = . _1_ 2 - 2(Rea +1)

= , 2 , 2 n +1

О = (1,1), О' = (0,0),

(А,Б,...,К) - многоугольник в К2 с вершинами в точках А,Б,...,К , [А,В,...,К] - его замыкание.

Рис. 2

Обозначим

0. = {а є С : 0 < Яе а < п, аФ (п -1) / 2,

(п +1)/ 2, (п + 3) /2,..., п -1} для нечетных п, и О = {а є С : 0 < Яе а < п,

а Ф (п -1) /2, п /2, (п +1) /2,..., п -1/2} для п -четных. Следующая теорема дает Ьр - Ьд -оценки для оператора (1).

Теорема 1. I. Пусть а є О. Тогда справедливо вложение

Ь(Ка) зА1(а, п) пА2(а, п). (2)

II. Ь-характеристика Ь(К^) не пересекает следующие множества:

1) [А1, Е, А]\(А', А);

2) [А, Н, О] и [А', НО'], если Яе в (с) Ф 0, а є £п-1;

0

n

n

n

З) множество, лежащее выше прямой BB' в случае

n-1

—— < a < n при том же дополнительном условии на в (а).

Замечание 1. Теорема 1 описывает L-характеристику оператора K; в следующих случаях: a є Qn [n/2,n),

0 < Rea < .

2(n +1)

Именно, L(K() = Л1(а,n) пЛ2(a,n).

Замечание 2. Отметим, что в теореме 1 получены необходимые и достаточные условия ограниченности

оператора (1) в Lp при 0 < Rea <

n(n -1)

. Именно,

2(п +1)

оператор К а ограничен в Ьр тогда и только тогда, когда п /(п - Яе а) < р < п / Яе а .

3. Схема доказательства теоремы 1

При доказательстве вложения (2) рассматриваются два случая. Пусть (п -1) / 2 < Яе а < п и функции

ю(г),^(г), ^(г) є Сш (0,да) таковы, что 0 < а(г ),у(г), ^(г) < 1, ю(г2) = 0, если г > 1 -8/2, ю(г2) = 1; если г < 1 - 8 ; ц/(г) = 0, если |1 - г |> 8, у/(г) = 1, если |1 - г |< 8 / 2; ^(г) = 0, если г < 1 + 8/ 2; ^(г) = 1, если г > 1 + 8 ; а(г2) +^(г)^(г) = 1.

В указанном случае для символа Рд (<^) оператора К^ доказывается представление

щ (#)=Що (#)+a (#)+(1- \ # \2)+n-1)/2-a X s((£) + (\ # \2 -1)+n-1)/2-a s( (£) + ra (£) . Здесь

(#) = o(/ d /2)Г(a)\sn—l—в—а——

(3)

(i(a£ + 1))a

a (£) =Xa *a(£)

где (A 2a-n+1p)( x) =

• 1-n /2 ^ 2a-3n / 2+1

in 2

Г (2a - n +1)

2a-3n/2+1 h (1)

3n/2-2a-1 (j У j)P(x - y)dy

акустический потенциал; К а 0, К^х, Ка, 8га, -

мультипликаторные операторы с символами

4о (^), ^ г« (^), -а (£), ю, соответственно;

3у (г) - функция Бесселя порядка V, Я® (г) - первая функция Ханкеля. Применяя Ьр - Ьд-оценки для

операторов Ba-(n-1)/2,Oa-(n-1)/2 и A2a-n+1, ные в [3,4,7,9], и учитывая, что

получен-

є Mq »(1/p,1/q) є [О',О, A, A']\({A'}u {A}),

получаем (2).

В случае 0 < Rea < (n - 1)/2 используется равенство K a a + M%,

где N a и M a - операторы с ядрами (1 - x(\ t \))k( (t) и x(\ t \)k( (t), соответственно (k a (t) - ядро оператора K (). Для оператора N a имеем

L( N() = Л 2 (a, n).

При получении оценок для оператора M a мы исходим из равенства

( M»( x) = (2n)-' l.ea(zm)e -lxedd a (4) a где p є S , Є( (£) - символ оператора M (. Равенство (4) позволяет использовать технику p — q-мультипликаторов. В рассматриваемом случае мы получаем следующее представление для символа

«Ж>:

= &,(£)+^(\f \K(£) +

где a( (£) є А/p ,1 < p < да. Функции s( (£), ,1(1), и +^<j d ^ (j £ D + V((j £ j>> + X(j £ \>’*'« £ j)

ra (£) принадлежат Сда (они содержат i//(\ £ \) в качестве множителя). Равенству (3) в прообразах Фурье соответствует равенство

(Kaep)( x) = (K(>)( x) + (K(»(x) + (Ra p)( x) +

+ (Ba-(n-1)/2s;p)(x) + (Oa-(n-1)/2S2“p)(x).

Здесь (Ba-(n-1)/2p)(x) =

= R \ У \ a-n+1 / 2 Jn-a-1 / 2 (\ У j)p(x - y)dy

оператор Бохнера-Рисса порядка a- (n -1) / 2,

(Oa-(n-1)/2p)(x) = (A2a-n+1p)(x) - e-in(a-(n-1)/2) x

x г((п + 1)/2 -a) (Ba-(n-1)/2p)(x) a ф^,... ,

2a-(n-1)/2(2n)n/2 2 2

где е со0, 1К|£|К(|£|) и

^(| £ |)^а(| £ I) принадлежат ^0 ^ Ь1. Мультипликатор иа(£), определяющий картину ограниченности оператора К д , имеет вид

иа (£) = ^(| £ |)((1- | ^ | +Ю)(п-1)/2-“ Т1а +

+(1-1 ^ | +/0)п/2-ат„2о,

а ^ (п - 2)/2,(п - 3)/2,...;

и„(£)=^(|£|}((l-|£|}(n-l)/2-а(тад(£}+

X

x

+ Т'ЮЧН^+Ю)) + (1- \ £ \ +i0)

n / 2 -a 2

Ta

!££M

a = (n - 3)/2,(n - 5)/2,...;

U.£) = И\£ \)«1-1 £ l nor^at) +

+ (1- | £ |)n/2 a (7021 (£) + Ta2 (£)ln(1- | £ | +i0))) Analysis und ihre Anwendungen. 2002. Vol. 21. № 4. P.

2. Stew E.M. Harmonic Analysis: Real-variable ethods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton, 1993.

3. Karasev D.N., Nogin V.A. // Proceeding of A. Razmadze Math. Inst. 2002. Vol. 129. P. 29-51.

4. Karasev D.N., Nogin V.A. // Zeitschrift fur

a = (n - 2)/2,(n - 4)/2,...,

где

Tat),

T( (£), t(,1 (£), T(,2 (£), a (£), T2 (£) є С,

Мы доказываем, что ua (£) є M

если

(1/p,1/ q) e Л1(а, n),0 < Rea < (n -1)/2 и (1/p,1/q) e [O',O,E] при Rea < 0 . Отсюда следует вложение (2).

При доказательстве утверждения II мы следуем схеме, изложенной в [9] в случае в = 1.

В заключение авторы благодарят профессоров С.Г. Самко, Н.К. Карапетянца и Я.М. Ерусалимского за полезное обсуждение результатов работы. Работа поддержана Российским Фондом Фундаментальных исследований, грант № 04-01-00862а.

Литература.

1. Hormander L. // Arkiv fur Math. 1971. Vol.

11. P. 1-11

915-929.

5. Samko S.G. Hypersingular Integrals and Their Applications. Series «Analytical Methods and Special Functions». London-New York, 2002.

6. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987.

7. Bak J.-G, McMichael D. Oberlin D. // J. Austral. Math. Soc. (Series A) 1995. Vol. 58. P. 154-166.

8. Borjeson L. // Indiana University Mathematics Journal. 1986. Vol. 35. № 2. P.225-233.

9. Karasev D.N., Nogin V.A. // Fractional Calculus & Applied Analysis. 2002. Vol. 5. № 3. P. 315-349.

10. Karasev D.N. // Fractional Calculus & Applied Analysis. 2002. Vol. 5. № 2. P. 131-153.

11. Ногин В.А., Рубин Б.С. // Диф. уравнения. 1990. Т. 26. № 9. С. 1608-1613.

12. Sogge Ch. D. // Duke Mathematical Journal. 1986. Vol. 53. № 1. P. 43-65.

13. Карасев Д.Н., Ногин В.А. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. 2003. № 1. С. 8-12.

14. Hormander L. // Acta Mathematica. 1960. Vol. 104. P. 93-140.

Ростовский государственный университет_______________________________________________________26 июня 2003 г.