ЛОКАЛЬНЫЙ d-ОПЕРАТОР ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ КОНЕЧНЫХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОРЯДКОВ ДЛЯ ДРОБНОГО АНАЛИЗА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика и механика. Физика

УДК 517

ЛОКАЛЬНЫЙ d-ОПЕРАТОР ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ КОНЕЧНЫХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОРЯДКОВ ДЛЯ ДРОБНОГО АНАЛИЗА

В.А. Чуриков

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Вводится локальный d-оператор дифференцирования и интегрирования любых конечных вещественных порядков, который является обобщением операций дифференцирования и интегрирования стандартного анализа. Обсуждается возможность построения на основе d-оператора дробного анализа. Получены частные случаи d-оператора нецелочисленных и целочисленных порядков.

Ключевые слова:

анализ, дробный анализ нецелочисленных порядков, дробный анализ целочисленных порядков, d-оператор, оператор Адама-ра, логарифмические случаи.

Key words:

Fractional analysis, fractional analysis nonintegtal order, fractional analysis integer order, d-operator, operator Hadamar, logarithmic events.

Введение

Дробный анализ является обобщением стандартного анализа на случай дифференцирования и интегрирования любых конечных вещественных порядков. Развитие дробного анализа основывается, прежде всего, на операторах дифференцирования и интегрирования (или дробного ынтегродыфференцырова-ния) любых конечных вещественных порядков.

Большинство введённых ранее операторов дробного интегродифференцирования являются интегральными преобразованиями [1-3], определёнными в рамках стандартного анализа и относятся к нелокальным теориям. Этими интегральными преобразованиями заменяются операторы дифференцирования и интегрирования стандартного анализа. Замена нелокальными операторами обобщает локальные операции дифференцирования и интегрирования стандартного анализа в рамках самого стандартного анализа.

Стандартный анализ в своей основе является локальной теорией, поэтому строить его обобщения было бы логично на основе локальных операторов дифференцирования и интегрирования любых конечных вещественных порядков. При этом очень важно, чтобы в частном случае вводимый локальный оператор давал бы операторы дифферен-

цирования и интегрирования стандартного анализа (принцип соответствия) [4].

Попытки построения локального дробного анализа раньше уже предпринимались, например, на основе оператора Адамара [5, 6]. На этом пути был получен ряд положительных результатов, но выявились также и недостатки, которые касались, прежде всего, самого оператора Адамара.

Дальнейшее развитие локального дробного анализа в данном направлении возможно при замене оператора Адамара, на другой локальный оператор, лишенный его недостатков, но с сохранением всего положительного, что было сделано на основе оператора Адамара.

Для устранения недостатков оператора Адамара и были предприняты попытки сформулировать новый оператор дробного интегродифференцирова-ния, который был назван ^-оператором [4]. Во всех этих случаях получались операторы, которые тоже не были лишены недостатков.

В данной работе вводится ^-оператор, в котором удалось устранить недостатки оператора Адамара и недостатки предыдущих версий ^-оператора.

Строго говоря, ^-оператор постулируется на основе ряда обоснованных предположений, часть из которых приведена в [4].

Определение ¿-оператора

Определение. Оператор d±sx будем называть d-оператором дифференцирования и интегрирования дробного порядка з>0, действующим над множеством степенных функций xq; s,x,qeR; Ы,Ь|=сошКда:

г(д +1)

r(q - s +1)

dsx: xq = ■

r(q + 1)

■xq+s + Cs (x);

r(q + s +1) q ^ -1, -2, -3,...; s £ N; q = -1, -2, -3,...; s eN; s <|q |;

d ~ sx: x~n =----------(——^-------------x

(n - 1)!T(-s - n + 1)

n e N; s ^ 0,1,2,3,...;

(-1) 1

dsx:x n =-

x-n+s + Cs (x);

d±sx:

r(q +1)

xq±s + Cs (x);

(n -1)!Г(s - n +1) n e N; s ^ 0,1,2,3,...; d1 x: x- = ln| x| +C1; C1 = const. (1)

Здесь Cs(x) и C1 — соответственно полиномы интегрирования дробного порядков s и 1. Производная порядка s от полинома интегрирования порядка s равна нулю,

d-sx: Cs(x)=0.

Первое равенство в d-операторе (1) определяет дробное дифференцирование порядка s<0 при отсутствии полюсов у гамма-функции в числителе коэффициента оператора. Дополнительные условия исключают случаи дифференцирование в «полюсах», которые учтены в третьем равенстве.

Второе равенство определяет дробное интегрирование порядка s>0, при отсутствии полюсов у гамма-функции в числителе коэффициента оператора. Первые дополнительные условия в данном равенстве исключают случаи интегрирования в «полюсах», которые учитываются четвёртым равенством. Вторые дополнительные условия исключают интегрирование в логарифмических случаях.

Третье и четвёртое равенства определяют дифференцирование и интегрирование «в полюсах», когда показатели степени степенных функций имеют отрицательные целочисленные значения.

Пятое равенство определяет интегрирование в логарифмическом случае, как в стандартном анализе.

Выражение для d-оператора (1) записано в развёрнутом виде и является достаточно громоздким, но его можно выразить более компактно, если производные и интегралы для рассматриваемых случаев записать одним равенством

r(q ± 5 +1) q *-1,-2,-3,...; 5 < 0; q * -1,-2,-3,...; 5 g N; q = -1, -2,-3,...; 5 eN; 5 <| q |;

d±5x :x-n =------(-1)-----x~n±5 +C ();

(n - 1)!Г( ± 5 - n +1) 5

n e N; 5 * 0,1,2,3,...;

d1 x: x-1 = ln | x | +C1; C1 = const;

Co( x) = C s (x) = 0. (2)

Последнее, четвёртое равенство в данном представлении d-оператора явно указывает на то, что полиномы интегрирования для операции дифференцирования (порядки —s) и в случае нулевого порядка (единичный оператор) всегда равны нулю.

Предложенный d-оператор является существенно преобразованным оператором Адамара [5, 6], который соответствует первому равенству и второму равенству в (1), но без учёта дополнительных условий в данных равенствах налагаемых на показатели степенных функций и порядки дифференцирования и интегрирования (1).

В операторе Адамара отсутствует возможность дифференцировать и интегрировать, когда в числителе коэффициента оператора гамма-функция имеет полюс или когда не учтены логарифмические случаи. Это не позволяет на основе оператора Адамара построить полноценный дробный анализ удовлетворяющий принципу соответствия.

В данной версии d-оператора учтены все возможные особые случаи дифференцирования и интегрирования степенных функций. Возникающие полюса у гамма-функций в числителях коэффициентов d-оператора заменяются вычетами в соответствующих полюсах, при условии, что в знаменателе у гамма-функций полюса не появляются одновременно с полюсами в числителе. Также учтены все возможные варианты логарифмических случаев при интегрировании.

Учёт логарифмических случаев и отсутствие полюсов в числителях коэффициентов в d-операторе, делает его значительно более привлекательным, чем оператор Адамара, для систематического и непротиворечивого построения полноценного локального дробного анализа. Кроме того, для d-оператора выполняется принцип соответствия, согласно которому в частном случае, когда порядки дифференцирования и интегрирования равны 1, d-оператор даёт операторы интегрирования и дифференцирования стандартного анализа.

Частные случаи ¿-оператора

Рассмотрим два наиболее важных случая й-опе-ратора (1).

Целочисленные и нецелочисленные порядки ин-тегродифференцирования й-оператора (1) приводят к качественно различным следствиям, поэтому имеет смысл рассмотреть отдельно эти случаи й-оператора.

Нецелочисленные порядки. Если в й-операторе (1) порядки дробного дифференцирования и дробного интегрирования всегда являются нецелочисленными, тогда в нём полностью отсутствуют логарифмические случаи, возникающие при интегрировании степенных отрицательных целочисленных порядков (пятое равенство в (1)). Исключив логарифмические случаи из рассмотрения, получим более простое выражение для й-оператора, который будем называть й-оператором нецелочисленных порядков

й-*х : х» = Г(» +1 х*-;

Г(» - 5 + 1)

5 * 0,1,2,...; » *-1, -2, -3,...;

Л»,,.,Л _ Г(» +1)

r(q + s +1) s Ф 0,1,2,...; q Ф -1, -2, -3, (-1) ”-1

С (х);

х : х = ■

s Ф 0,1,2,

х: х =

(n - 1)!Г(-s - n +1) n е N;

(-1)П-1 „-n

(n - 1)!Г( s - n +1) s Ф 0,1,2,...; n е N.

■Cs (х);

(3)

Полиномами интегрирования для не целочисленных порядков интегрирования будут являться

ряды

Cs(х) = ^с1пх n+s; an = const [4].

Целочисленные порядки. Третье и четвёртое равенства й-оператора (1) определяют дифференцирование и интегрирование только для нецелочисленных порядков, поэтому для целочисленных порядков они теряют смысл.

Все возможные производные и неопределённые интегралы целочисленных порядков определяются первым, вторым и пятым равенствами (1).

В результате можно записать частный случай й-оператора, который будем называть й-операто-ром целочисленных порядков

й-тх : х» = Г(» + 1) х» - ;

Г(» - т + 1)

т = 0,1,2,...; » ^-1,-2,-3,...;

Г(» + 1) о

Стх: х11

-Ст (х);

r(q + т + 1)

iq ^-1,-2,-3,...;

[q = -1,-2,-3,...; т <| q |;

Z1 х: х- = ln | х | +С1; С1 = const. (4)

т = 0,1,2,...;

Полиномами интегрирования для целочисленных порядков интегрирования будут полиномы

т-1

Ст (х) = ^ а1х‘; at = const [4].

i=0

Для d-оператора целочисленных порядков имеются особые частные случаи, связанные с одновременным появлением полюсов у гамма-функций в числителях и знаменателях коэффициентов d-оператора, а при интегрировании степенных функций могут возникать логарифмические случаи. Все эти особые случаи возникают при действии оператора на степенные функции с отрицательными целочисленными порядками. Распишем более подробно d-оператор целочисленных порядков с учётом этих особых случаев. В результате получим более громоздкое выражение для d-оператора, в котором эти случаи выглядят более понятно и наглядно.

Так первое равенство (1), отвечающее за дифференцирование целочисленных порядков распадается на случаи, когда равенство сохраняется и на особые случаи, которые исключаются из данного равенства путём наложения условий на порядки дифференцирования и показатели степени в степенных функциях.

Особые случаи соответствуют дифференцированию степенных функций целочисленных отрицательных порядков в «полюсах». Остальные случаи дифференцирования не являются особыми.

В первом случае в числителе коэффициента d-оператора значение гамма-функции попадает в полюс. В этом случае бесконечное значение в гамма-функции заменяется вычетом в соответствующем полюсе. Во втором случае полюса у гамма-функций появляются одновременно в числителе и в знаменателе коэффициента d-оператора. В этом случае полюса сокращаются, а результат получается конечным.

Пятое равенство для целочисленных порядков интегродифференцирования описывает случай интегрирования в самом простом из логарифмических случаев.

В дальнейшем для более подробного рассмотрения целочисленных порядков дифференцирования и интегрирования нужно использовать алгебраические соотношения, которые просто выводятся из d-оператора целочисленных порядков [4].

Теорема 1. Любой d-оператор дифференцирования или интегрирования целочисленного порядка m можно разложить соответственно на произведение m операторов производных или интегралов первого порядка

С~пх : f (х) = й-1х: с1~1х: ...cTlx: f (х) =

dn = d d d f ( ^

Схп dx dx dx

(5)

dnх: f (х) = dnх: f (х) = Схх: c11x: ..cCCc; f (х) =

= J f ( х)Спх =jj-ijf (х) СхсХ. . .dx. (6)

n=1

n

Обратное утверждение тоже верно.

Теорема 2. Произведение п операторов интегрирования (дифференцирования) первого порядка равносильно й-оператору интегрирования (дифференцирования) порядка п.

Заметим, что для й-оператора нецелочисленных порядков теоремы 1 и 2 в общем случае не верны.

Теперь рассмотрим частные случаи внешней алгебры й-оператора целочисленных порядков, т. е. для случаев, когда й-оператор действует на степенные функции.

Дифференцирование целочисленных порядков степенных функций с целым отрицательным показателем

х: х _ -

Г(-п +1)

Г(-т - п +1)

п _ 0,1,2,3,...; т е N.

Эту формулу легко упростить, используя (5) и свойство гамма-функции

Г(а)

Г(а - т) _

(а - 1)(а - 2)...(а - т)

(-1)т Г(а)

(1 -а)(2 -а)...( т -а) Заменив а на -п+1, получим

, . Г(-п +1)

Г(-п +1 - т) _

(-п)(-п -1)...( - п +1 - т) (-1)т Г(-п +1)

п(п + 1)...(п -1 + т)

Подставив это выражение в рассматриваемую формулу дифференцирования, получим

г-т - п Г(-п + 1) _ п- т

й х: х _-------------------х _

Г(-т - п +1)

_ (-1)тп(п + 1)...(п-1 + т)Г(-п + 1) _п_т _

_ Г(-п +1) х

_ (-1)т п(п + 1)...(п -1 + т) х ~п -т;

п _ 0,1,2,3,...; т е N.

Данную формулу можно представить иначе, если переписать гамма-функции через факториалы Г(-п +1) _п_т _

х: х _ -

Г(-т - п +1) (-1)т (п + т -1)! _п

(7)

(п -1)!

В рассматриваемом случае, если полюсы одновременно образуются в числителе и в знаменателе коэффициента й-оператора, данную формулу можно записать другим способом, заменив бесконечности в полюсах соответствующими вычетами

х: х _ -

Г(-п +1) Г(-т - п +1)

ЯеБ Г(- п +1)

1-п -

---------------------х

ЯеБ Г(1 - т - п)

1-п-т

_ (-1)т (п + т -1)!

(-1)п 1(п + т-1)! (п -1)!(-1)п+т-1

хт-п _

хпт; п _ 0,1,2,3,...; т е N. (8) (п -1)!

Формулы (7) и (8) совпадают, что является аргументом в пользу замены полюсов соответствующими вычетами.

Интегрирование целочисленных порядков степенных функций с целочисленной отрицательной степенью. В случае, когда интегралы целочисленных порядков т берутся от степенных функций с целочисленным отрицательным показателем -п, но т<п, тогда задача полностью решается также при интегрировании в рамках стандартного анализа в силу разложимости оператора интегрирования целочисленного порядка т на т операторов первого порядка (6). Тогда получим формулу (-1)т

йтх:х п _-

(п - 1)(п - 2)...(п - т) (-1)т (п - т -1)!

хп -п + Ст (х) _

хт п + Ст (х);

(9)

(п-1)!

Данную формулу можно получить, как и в случае дифференцирования, если у гамма-функции снова заменить соответствующими вычетами бесконечности в полюсах

Г(-п +1)

йтх:х п _-

Г(-п + т +1) Яе8 Г(-п +1)

1-п т

----------------------х

Яе8 Г(-п + т + 1)

1-п+т

(-1)п-1(п - т -1)! т

(п -1)!(-1) (-1)т (п - т -1)!

-п + Ст (х) _

'+ Ст (х) _

+ Ст (х) _

хт п + Ст (х); т < п; т, п е N. (10) (п-1)! т v ’

Полученные формулы (9) и (10) совпали с формулами стандартного анализа, что подтверждает выбранные способы устранения бесконечностей.

Целочисленное интегрирование в логарифмических случаях. При интегрировании целочисленных порядков т степенных функций с целочисленным отрицательным показателем степени -п возникают логарифмические случаи, причём должно выполняться условие т>п. Всего имеется бесконечное счётное множество логарифмических случаев.

Рассмотрим более подробно логарифмические случаи.

Если п раз проинтегрировать функцию с показателем степени -п, пеМ, то легко получить формулу, которая обобщает пятое равенство й-оператора (1):

Л" " I х- Зх-йх.-.йх = |х пйпх _

(-1) n-1

ln| х | + Cn (x).

(11)

(n -1)!

Используя выбранные обозначения, формула (11) в обозначениях дробного анализа будет записываться

(-1)n-1

dnx: x n =--------ln | x | +C (x). (12)

(n -1)!

Но случаями, когда dnx:x-n (иеН), логарифмические случаи полностью не исчерпываются. Рассмотрим интегралы целочисленных порядков т от степенных функций с целочисленным отрицательным показателем -и и т>и. Эти случаи тоже можно рассмотреть в рамках стандартного анализа с учётом (12).

dmx: x ~n = dm -n x: d x : x~n =

(

x:

(-1)n-1 (n -1)!

ln |

+ Cn(x) =

(-1)n-1

dm nx: ln | x | +Cn (x);m > n; m,n e N. (13)

1

1

d x :ln|x |=— x ln|x |—-x — x + C2(x); 2 2 2

d3x: ln | x |= —x3 ln | x | —i-x3 -2 • 3 32

—21— x3 —— x3 + C3( x)

22 • 3 2•3 3

d4x: ln | x |= —1— x4 ln | x | —^x4 -2 • 3 • 4 42

1 -x4 -- 1

1

- x4----------------x4 + C4 (x).

dmx:x n =-

(-1)n-1

(n -1)!(m - n)!

xx

ln |

ЬЕ^^+СтМ. (15)

“ т - п -1 +1 )

Для частного случая, когда т=п будет справедлива формула интегрирования (11). В частном случае, когда т=1, а п=1, получим формулу стандартного анализа, пятое равенство в (1).

Описанные случаи интегрирования являются логарифмическими. Целое число т-п+1 будем называть порядком логарифма.

Используя первое, второе и третье равенства из (4) для степенных функций с показателями степени не равными целым отрицательным числам и полученные соотношения (7), (9), (12), (14) и (15) в случае отрицательных целочисленных порядков степенных функций, окончательно запишем й-оператор целочисленных порядков в развёрнутом виде, который эквивалентен выражению (4)

Г(о +1)

(n -1)!

В данной формуле необходимо найти интегралы порядков m-n:

Ст-пх :ln | х |.

Данные интегралы можно получить в рамках стандартного анализа.

В случаях, когда порядки интегрирования будут 1, 2, 3 и 4, получим

d1 х: ln| х |= х ln| х | -х + С1; С1 = const;

d mx: xq = -

r(q - m +1) q *-1, -2, -3,.

,-m -n (-1)m (n + m -1)! _

d x : x =-----------------------x

dmx: xq =-

(n-1)! r(q + 1) xq+m

r(q + m +1) q *-1,-2,-3,...;

n; n e N; m = 0,1,2,

+ Cm(x); m = 0,1,2,

(-1)m(n - m-1)! m

d x: x =----------------------x

(n-1)!

n e N; m < n;

d 1x: x-1 = ln | x | +C1;

- (-1)”-1

d x: x = -—-— ln | x | +Cn(x); n e N (n-1)! ' ' A 7

dkx :ln | x |= -xk iln|x|-]T (k - /)!

' + Cm(x); m = 0,1,2,.

k!

k, l e N;

dmx: x =

(-1)n-1 x

tk -1 +1

+ Ck(x);

(m - n -1)! , ln | x| -^---------¡-^7- |+ Cm(x);

32-4 22-3-4 2-3-4

Общую формулу для к интегрирований первого порядка натурального логарифма легко получить, обобщив данную последовательность интегралов:

йкх: 1п|х | _ -1 х* Г 1п| х | -^ ?(к ^'] + Ск (х); к! ^ £1 к -1 +1)

к, I е N. (14)

Подставив (14) в (13), получим общую формулу интегрирования для рассматриваемых случаев т>п; п,т,!еН:

(п -1)!(т - п)! ^ /=1 т - п -1 +1

т > п; т, п е N. (16)

Здесь первое и второе равенства является следствием первого равенства (1). Третье и четвёртое равенства являются частными случаями второго равенства (1). Пятое, шестое, седьмое и восьмое равенства более подробно описывают все возможные логарифмические случаи при целочисленном интегрировании. Шестое, седьмое и восьмое являются следствием второго и пятого равенств (1). Восьмое равенство наиболее общее и описывает все возможные логарифмические случаи, а пятое, шестое и седьмое являются важными частными случаями восьмого равенства.

В представлении (16) й-оператора целочисленных порядков явно выделены особые случаи, что

п

делает его более громоздким, чем в представлении (4), но при этом более удобным для вычислений.

В частном случае из й-оператора целочисленных порядков (4) (или (16)) легко получить для порядка 5=1 формулы дифференцирования и интегрирования степенных функций из стандартного анализа, что подтверждает принцип соответствия

—Тхх: х» = —х» _ »х»-1;

—х

—1 х:х» = Гх»—х _ — х» +1 + С,;

* д +1 1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка. - Минск: Наука и техника, 1987. -687 с.

2. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. - М.: Физматлит, 2003. - 272 с.

3. Учайкин В.В. Метод дробных производных. - Ульяновск: Артишок, 2008. - 512 с.

4. Чуриков В.А. Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. - Томск: Изд-во ТПУ, 2010. - 118 с.

Устойчивые распределения упоминаются еще в работах П. Леви, датированных 1925 г. Они вводятся как предельные (имеется в виду сходимость по распределению) для суммы одинаково распределенных случайных величин. Наиболее известным представителем данного семейства является нормальное распределение. На нем основано целое множество методов прикладного статистического анализа. В частности, классическая теория регрессионного анализа предполагает существование достаточно большого числа малых случайных величин, интерпретируемых как разного рода

d1 x : x 1 = Jx ldx = ln | x | +C1.

В результате d-оператор (1) (или (2)) распадается на d-оператор нецелочисленных порядков (3) и d-оператор целочисленных порядков (4) (или (1б)). Каждый из этих операторов лежит в основе двух основных направлений дробного анализа, а именно, дробного анализа нецелочисленных порядков и дробного анализа целочисленных порядков. Эти направления качественно отличаются друг от друга и требуют отдельного и глубокого рассмотрения.

5. Hadamar J. Essai sur 1’е tude des fonctions donn¿ es par leur de’ ve-lopment de Taylor // J. math. pures et appl. - 1892. - V. 8. -Ser. 4. - P. 101-18б.

6. Чуриков ВА. Дробный анализ на основе оператора Aдамара // Известия Томского политехнического университета. - 2008. -Т. 312. - № 2. - С. 1б-20.

Поступила 17.12.2010 г.

ошибки, присущих рассматриваемой ситуации. При этом в центральной предельной теореме [1] утверждается, что при некоторых дополнительных предположениях сумма этих ошибок есть нормально-распределенная величина.

Однако практически реализуемые распределения далеко не всегда являются нормальным, что неоднократно отмечалось разными авторами. Тем не менее предположение о существовании определенного числа одинаково распределенных составляющих может оставаться верным. Именно в таком случае следует обратиться к устойчивым ра-

УДК 519.213;519.23

УСТОЙЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕССИОННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

В.И. Денисов, В.С. Тимофеев

Новосибирский государственный технический университет E-mail: [email protected]

Работа посвящена задаче оценивания параметров регрессионных уравнений. Используя устойчивые распределения, авторы предлагают новый алгоритм, обеспечивающий максимально правдоподобное оценивание даже в ситуациях, когда распределение случайных ошибок имеет большую дисперсию. Проведенные вычислительные эксперименты подтвердили работоспособность разработанного алгоритма и позволили дать ряд рекомендаций о практическом использовании.

Ключевые слова:

Регрессия, метод максимального правдоподобия, устойчивые распределения, характеристическая функция, преобразование Фурье.

Key words:

Regression, maximum likelihood method, stable distributions, characteristic function, fourier transformation.