Локально конформно однородные римановы пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 5М.705

Е.Д. Родионов. В. В. Славетні'

Локально конформно однородные римановы пространства

1. Кнллинговы векторные поля на ри-мановом многообразии

Данный пункт носит вводный характер її включен, чтобы подчеркнуть единообразные! подход к киллинговым и конформно-кнллинговым векторным полям.

Определение. Векторное поле называется киллинговым, если оно порождает локальную од-нопара.метрическую группу движений риманова пространства. Условие того, что векторное поле киллингаво имеет вид

*'■’ ] 9аі + і’° , да; = 0, (1)

где г — {?я} контравариантные координаты векторного ноля г(.е), {Vа (} ковариантные производные векторного поля. Переходя к кова-/пптчггп'ос.і»’ ниорЛтипш.«•. получи м с истему уривисті й Г;/ + = 0.

Теорема. Система уравнений (I) на векторное поле />(х) эквивалентна линейной однородной системе на тензорные поля {к/}, {'?>';}■

Вычитая эти равенства (из первого второе) и пользуясь тождеством Риччи

Vk,ij ^кі — УаП

кі]і

получим

(2)

Ч?Л = 'Ьк,

(), ь = 11 а Я *,■/)

где {1,} - ковариантные компоненты векторного поля с(.т), {/?,,} - кососимметричный ковари-антный тензор. При этом условие интегрируемости системы Сна решение) имеет вид

СиЯі,,к,а-ТІіа^аз>к-у/Я,аак-~ 1} Кііяк ~~ % Я-і]аа — 0.

(3)

~ г’.>з),к ~ Ьа (^кЦ + ^'¡к.1 + Яа¡{к) —

— 2 {(¡{к— Язкл) ■

Применив в этом равенстве первое тождество Бпанки /?“_,•,* + Кац{1 + = 0. имеем

(^.3 ~ Ч#1*’),к = 2^11 Я к^ + 2 (сЦк,,1 ~ ч./к^) ■

Следовательно, для произвольного векторного ноля получим

Ч?'Л = Ък + <Цк,

{Щ,1) к 1 ИаИ к4] (Я4к,) Яjk.t) •

Отсюда получаем первую часть утверждения теоремы.

Для нахождения условий интегрируемости повторно продифференцируем первое равенство и, пользуясь тождеством Риччи, имеем

Ч/,** — Vj.sk — ~^пЯ ¿кг = 1}а Я ¿¿к — 1'аЯ к],,

или иа {Яа,к, + па1]к + Яак,]) = 0- Это равенство будет тождественно выполняться в силу первого равенства Бианки. Повторно дифференцируя второе равенство в (2) и пользуясь тождеством Риччи,получим

?/| j.kí ^1 j.tif ~11аз Я Iк4 — jк, =

— kij Уа-Я. к{^,з ~ ЧакЯ ¡{],к<

Доказательство. Эквивалентность этих систем уравнении означает, что каждому кил-лингову векторному полю соответствует решение системы (2), и наоборот, если есть решение системы (2), то векторное поле {^} будет кил-лиигово. Для доказательства, следуя [7], положим для произвольного векторного поля с(х)

4.1 к = 7} {Vj.lt +«*,;•) ,

Ък = \k-Vkj).

Из первого равенства дифференцированием получим

щ.к) + ук,1} = 2(/,>

Щ,к1 + — '24.ik.i-

1 Работа выполнена при поддержке. Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 99-01-00543, 00-15-96145), грантового центра при Санкт-Петербургском государственном университете (код проекта 97-0-1.3-63).

ИЛИ

~ Лаі Я іка “ЦіаН jfc4 Щі Я *,'.7 + ЧакЯ —

= г'а (ЯакЦ,і ~ *а,ч.к) ■

Используя симметрии тензора кривизны и второе тождество Бианки Я^ка..1 + Я31а,.к + Я}і>к,а =

0. получившееся равенство можно переписать в виде

T)aj R ¡lot Vttf ^ j , l/aaR fcij "Ь 4akR- jyj —

— О Я-ijgif,п 1

что эквивалентно (3).

Замечание. Свертывая в (3) по индексам {/, А-} {j, в}, получим VaR,a - rjk“Rak - r)>aRas -t}>nRja — 4"'Riu = vaR a — 0, T.e. R = const вдоль интегральных линий киллингова поля.

Замечание. Свертывая в (3) по индексам {j, в}, получим VaRiк,а = %аЯлк + ri,aRia,к + 4iaftijak + nkaRia, ИЛИ VaR,k.a ~ Ч* Rak ~ Чк Ria = -ya,Riafk + r)asRiu,к = 0. Следовательно, для тензора одномерной кривизны

Л, к =

1

п - 2

Rik

R<jik 2 (n-1)

имеем равенство ьаА,к.а - гцаАак - Чк^а = 0. Отсюда для тензоров Вейля и Схоутена-Вейля, оп редел нем ы х формулам 11

И ,чI,’“ R9kij 0»Л-4}» “Ь 15 Ч- ¡]\&Л$к Ц/уа^к 1

= Л/р.* ~ Ajt.pt

получим равенства

v* Wijgk.a — 4iaWajsk + И-'ia**. +

+П,аЩак + ПкЩ>а, v Sjpt.t = 4j &ар» + 4p Sjat + 4s Sjpa•

Замечание. Свертывая по индексам к в равенстве (2) получим

= ЩокУ1к = ь'аЯ\чу~1к = -уаЯ?.

Отсюда получаем утверждение [5]: если векторное поле х>а на компактном римановом многообразии удовлетворяет равенствам

Oijkff

Jk

-VaR?, Vijg,j = 0,

то оно киллингово.

Определение. Риманово .многообразие {М", (1.<т — д^(1х'(1х-’} назовем локально однородным [2], если для любой точки хо £ М и любого касательного вектора уо £ Т„0М в этой точке существует киллингово векторное ноле ■1'(х) в окрестности данной точки такое, что Ф’о) = Гг.).

Лемма. Если .многообразие локально однородно, то в окрестности каждой точки существует тензорное поле кососимметричное по

первым двум индексам такое, что ^¡¿>к,р =

= + 0“рН{а,к + В~“рЯ1]ак + В°рН^,а, |

Д'Д + Щ/ А>£ — Какц

верно и обратное утверждение.

Доказательство. Пусть (7 окрестность точки хо £ и такая, что для каждого касательного вектора ~ё* £ ТТо существует киллингово векторное поле !?(х) в данной окрестности, значение которого в точке *о € и есть вектор Т^(хо) = ~ё* ■ Пусть ё?,... , базис пространства 7!Го. тогда уменьшая, если необходимо, окрестность I/, можно считать, что векторные поля в? (®),... , (*) также образуют ба-

зис Тх для любой точки х £ 1/. Пусть ¿7 £ Тх, х £ и, - произвольный вектор, тогда однозначно найдутся коэффициенты {а1,... ,ап} такие, что

и — a’vf (х) .

1=1

Киллингово векторное поле 53"=1 а' й} (х) зависит от п параметров, и эти параметры можно выбрать так, чтобы в заданной точке х £ Ц его значение совпало с заданным вектором й £ Тх. Вычисляя ковариантные производные в точке х £ и киллингова векторного поля а' и} (ж) получим линейное отображение

У}

Компоненты [0'’у\ образуют тензорное поле, кососимметричное по первым двум индексам. Подставляя в уравнение (3), получим

DiapupRaj,k + 0°рпг' И1а,к + +о;риЧ1<:ак + пкарь.р^,а = Яу,* ,Рир.

Так как вектор й £ Тх произвольный, то отсюда следует первое из равенств леммы. Определим в окрестности и связность V, коэффициенты которой будут

Га = г? + о а.

х \р 1р ’ I р

Тогда равенство (3) означает, что ^ Я>]»к = 0.

Кроме того, тензорное поле {£>^р} удовлетворяет условиям вполне интегрируемости

I1!¿к = У3 ) к = 01] кга + О- V, к --

= ДДва + = У„ЯакЦ1

т.е. должно выполняться тождество

ДД+ /у/^' =

Обратное утверждение доказывается по стандартной схеме.

Замечание. Ранее данная теорема была доказана Амброузом-Зингером и инвариантной форме ['2].

Замечание. Тензор кручения связности V равен Ц, = Г;*, - = £>,аг - Ор°(.

Замечание. Р’иманово многообразие {Мп. с/а- } максимально подвижное, если для любого вектора Рц 6 ТТоМ и для любого косо-симметричного тензора г]и € Т°0~М можно указать КНЛЛИНГОВО векторное поле !>(.£) н окрестности точки хц такое, что

ф'о) = Щ. гі а(х0) = і?°„.

В этом случае условие вполне интегрируемости распадается на два условия

Щ$$к и — О»

— Ча)Я (кг ~~ ЧіаЯ ¿кз ЧсііЯ кі] ^ Чакїї — О

для любого кососимметричного тензора ща,

2. Конформно киллннговы векторные поля на рнмановом многообразии

Определение. Векторное поле V определяет инфинитезимальное конформное преобразование ри.панова пространства и называется нонфармно-киллингоьым, если

іИ,к + «к,і - 2(4)

где и> — і'к,іЦік/п.

Лемма. Система уравнений (У,) на векторное поле г>(х) жвавії іентна линейной систе ме

ір - Ч)Р + 9.1ри!’ (5)

Чкі.г — і>аШ )1(-( + трСі — 9зр0' (6)

- Ср, (Т)

У,р = ЧраА] + Ч]аАр ~ — 2и'.4^р,(8)

на тензорные поля {«,•}, {»/, /), {ии}, {Ср}. где

I (- КУ]Р

Аїр —

2

-

2 (п — 1)

{с,) - ковариантные компоненты векторного ноли (>(.г), {чі-і} - кососимметричный ковари-аптиый тензор, и> - функция, - ковектор-ное поле. При этом условия интегрируемости системы (на решение) имеют вид

Vа к,* + 2 гг И 'и зА. - ч*№а],к -- Ч/Щашк - Ч?Щак ~ ПкЩ*° = 0.

+

(9)

где 1У^р) - тензор Вейля, 31Р, = г -

тензор Схоутена-Вейля.

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы первого пункта для киллии-говых векторных полей.

Замечание. При п — 3 тензор Вейля тождественно равен нулю и, следовательно, первое равенство в (9) выполняется автоматически, а второе равенство принимает вид

-3\uSjp, - +

¿арз 'Г Чр ]а5 "Ь Ч> ра = ^•

При п > 4 второе равенство в (9) есть следствие первого, для доказательства достаточно продифференцировать ковариантно первое равенство по V,, свернуть по индексу I и учесть тождество

и,и< = (п“3)5м-

Замечание. Умножая первое равенство на руЪ'к и сворачивая индексы, получим равенство

г"

4- 2и> \]¥\г = 0.

Аналогично, умножая второе равенство на 31Р> и сворачивая индексы, получим равенство

0.

Следствие. Если |1У| = соп.чі ф 0, то -и/ = 0 и С, = 0 (т.е. конформно-киллингово векторное поле в этом случае будет просто киллинговым).

Замечание. Пусть {М,сІ82 = дцаИ'дР) ри-маново многообразие, и векторное поле V — {V*} - киллингово. Тогда на многообразии

|м, ¿в” = е-2<7^^уЛ<Лл'|. полученном из исходного конформной деформацией, векторное поле V = {у’ } будет конформно-киллинговым.

Действительно, в исходной метрике имеем равенство

і ди’ а ГЛ

ьк,і = и і9ік = -^]-9ік + V Гаі,к.

Отсюда

п.і = Є'

Ук,

да

+ ч/Зар» + Чр + Чі'З.іря — 0'

І "

да

дік

- 9акЬа-^1+да^аш

(:ледовательно,

____ _ _ а дет___

Гк,3 + *зМ — д^а9к.1-

Определение. Пусть риманово многообразие

{Мп, (1б2 = ¡/¡¿ихЫх^ } таково, что для любой точки .си б М и любого касательного вектора € ГГч М существует векторное поле и(л') е окрестности точки хо £ М, удовлетворяющее системе (4) такое, что

ь(х0) = Ьи.

Многообразие в этом случае назовем локально конформно однородным.

Замечание. Конформная деформация локально однородного пространства есть локально конформно однородное пространство.

Теорема. Пусть {Мп, ds2 = g^dx'dx1) локально конформно однородное связное риманово многообразие. Тогда либо тензор Вейля \W\ = 0 и многообразие конформно-плоское, либо \W\ ф Об каждой точке, и тогда определена точечно-конформная деформация метрики ds — e~io^gijdt.,dP, превращающая многообразие в локально однородное.

Доказательство. При конформной деформации тензор Вейля инвариантен, точнее

Waitk = waiik, \w\2 = ^\wf.

Следовательно, если [W| ф 0, можно выбрать функцию a(t) так, чтобы |И7| = const ф 0. В силу замечания, многообразие в этом случае локально однородное.

Литература

1. Ambrose W., Singer l.M. On homogeneous Riemannian manifolds // Duke Math. J. 1958.

V. 25.

2. Tricerri F., Vanhecke L. Homogeneous structures on Riemannian manifolds // London Mathematical Society Lecture Note Series. 1983. V. 83.

3. Tricerri F. Locally homogeneous Riemannian

manifolds // Rend. Semin. Mat.. Torino 50.

1992. №4.

4. Kowalski 0. Counter-example to the "second Singer’s theorem” // Ann. Global Anal. Geom.1990. V. 8. М2.

5. Яно К., Бохнер С. Кривизны и числа Бетти. М., 1957.

6. Nomizu К. On local and global existence of Killing vector-fields // Ann. of Math. II. 1960. Ser. 72.

7. Reshetnyak, Yu.G. Stability theorems in geometry and analysis. Novosibirsk, 1996. w