Локальная единственность решения смешанной обратной краевой задачи на полигональных римановых поверхностях с простыми точками ветвления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 148, кн. 2

Физико-математические пауки

2006

УДК 517.54

ЛОКАЛЬНАЯ ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ОБРАТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА ПОЛИГОНАЛЬНЫХ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ С ПРОСТЫМИ ТОЧКАМИ ВЕТВЛЕНИЯ

С. Р. Насыров, 11.3. Фаизов

Аннотация

В статье исследуется смешанная обратная краевая задача по параметру х на рима-повой поверхности с точками ветвления в случае, когда известная часть границы полигональна. Получено интегральное представление решения, в которое входят акцессорные параметры. Доказана локальная единственность решения.

Введение

Смешанные обратные краевые задачи являются важным классом краевых задач с неизвестной (свободной) границей. В этих задачах ищутся область с частично неизвестной границей и аналитическая в этой области функция по заданным краевым условиям. Как правило, на известной части границы задается одно условие. на неизвестной два. Смешанные обратные краевые задачи находят важные применения во многих областях механики сплошных сред, в частности, в задачах аэрогидромеханики, кавитационном обтекании профилей, теории фильтрации, задачах взрыва на выброс, при изучении движения плазмы и др. Многие математические постановки смешанных обратных краевых задач возникли при изучении конкретных задач механики. По поводу различных постановок таких задач и библиографии мы отсылаем к обзорным статьям и книгам [1 4].

В настоящей работе изучается смешанная обратная краевая задача по параметру х на римановой поверхности с точками ветвления в случае, когда известная часть границы полигональна.

х

В.Н. Монахов [3]. Им исследовалась разрешимость задачи для областей с полигональной известной границей, а затем аппроксимацией и для произвольных спрямляемых границ. В работах [5. 6] было замечено, что с использованием результатов [3] можно доказать разрешимость задачи на римановых поверхностях без точек ветвления с достаточно произвольной границей. В [7] был предложен приближенный метод решения для случая, когда известная часть границы полигональна. Отметим также работы С.Р. Тлюстен [8 11]. в которых также исследовалась разрешимость задачи на римановых поверхностях.

Упомянем еще несколько работ, близких к данной тематике. В работе [12] ис-

х

известной части границы не фиксируются, в [13. 14] получены некоторые достаточные условия однолистности решения. В [15] была рассмотрена аналогичная задача для двусвязной области, в [4] исследована задача для однорядной решетки. В [16]

рассмотрена внешняя смешанная обратная краевая задача по параметру х, доказана разрешимость аналога уравнения Ф.Д. Гахова, служащего для определения точки образа бесконечно удаленной точки искомой области.

В данной статье дается постановка смешанной обратной краевой задачи по пах

полигональной известной части границы. Получено интегральное представление решения, которое зависит от нескольких акцессорных параметров. При фиксированных акцессорных параметрах это представление дает решение задачи, но не для данной, а для другой полигональной римановой поверхности, которая имеет те же величины углов, но отличается длинами сторон и положением точек ветвления.

Изучается зависимость решения от этих параметров. Основным результатом является доказательство теоремы о локальной единственности решения: при малом изменении акцессорных параметров соответствующая полигональная риманова поверхность не может оставаться неизменной.

1. Постановка задачи

Под римановой поверхностью а над С будем понимать пару а = (Д, 7г), где Д абстрактная риманова поверхность. 7г : Д —> С голоморфное отображение, называемое проекцией.

Риманова поверхность с краем над С это пара а = (Д, тг), где Д = Д и дН риманова поверхность с краем дН, ¥ : Д —> С отображение, голоморфное на Д и непрерывное на Я (проекция).

Римановы поверхности (с краем) называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм между ними, сохраняющий проекции. Эквивалентные поверхности. как правило, отождествляются.

Пусть а = (Д, 7г) компактная риманова поверхность с краем дЯ, состоящим из одной компоненты, и кривая Г обходит дЯ в положительном направлении. Будем говорить, что <т ограничена кривой 7, если 7г(Г) = 7. В дальнейшем не будем делать различия между дугами кривой Г и их проекциями па С. Пусть Д = Я\дЯ, 7г = 7Гд. Если а = (Д,тТ) ограничена кривой 7. то будем говорить, что риманова поверхность а = (Д, п) также ограничена кривой 7. Ясно, что в этом случае а однозначно определяет а, и наоборот, если задана а, то а восстанавливается по ней однозначно.

Зафиксируем числа г € N С € Си 1 > 0. Пуст ь а1,...,ап - некоторые числа, ак € (0, 2), вк = ак - 1, к = 1,. . ., п,

п

]Гвк = -(2г +1). (1)

к=1

Пусть ^ - верхняя полуплоскость £-плоскости,

Д = I"? = (52, . . . , 8п-1) € МП-2| - 1 <52 < • • • < 8п-1 < 1},

Щ = . .. ,4) € Щ1 = , 3 = г, 3, г = 1,...,г}.

Введем пространство Л = Лг(а1,..., ап, I, С) римановых поверхностей (Я0, п0), для которых существует конформный гомеоморфизм О : Щ —> Я0 такой, что п0 о О = г, где

С

щ, Г,ш) = с + - (п(с, Г)Р(с,т) ас (2)

пг .]

-1

есть обобщенный интеграл Кристоффеля Шварца,

Рис. 1

П

п(С,_) = П(С-Sj)в' Sl = -1' Sn = 1 _ = (s2,...,sn-i) еД, (3)

j= i

r

Р(С,ш) = П(С-^)(С-^о), wo = (w10,...,wr0)£Dl (4)

fc=1

Рассмотрим поверхность (До, по) го пространства Л = Лг(а1;..., an, z1, /) (рис. 1). Она имеет r простых точек ветвления z^, z2,..., zjj и ограничена некоторой ломаной L о с вершинами в т очках zj = z(sj, s , w 0), j = 1,...,n, ив бесконечно удаленной точке. Точки sj, j = 1,..., n, являются прообразами конечных вершин ломаной, точки wk, к = 1,..., r, — прообразами точек ветвления. Угол поверхности (Д0,п0) в вершине zj равен naj. Обозначим через L1 часть ломаной L о, получающуюся го нее отбрасыванием двух лучей /* и /**, идущих из точек z1

zn

Ясно, что если (Д0, п0) определяется отображением (2), то C = z1? / = x1 — xn, где = Re zk, и, таким образом,

С

_^ _^ Х1 _ Xn / __

z((, s' ,и>о) = Z! + :-— / П(С, s)P((,w0)d(.

пг J -1

Задача. Требуется разбить (Д0,п0) на две части (Д1,п1) и (Д2,п2) кривой L2, которая принадлежит мноэю&стнву ^Д(Хп, X1 ) графиков Г/ непрерывных функций / па [жп,.гч], так, чтобы граница (Дьяч) состояла из ломаной L\ и кривой Lo, и существовал гомеоморфуизм Z : D—> R\, конформный в Dq и такой, что Re z(£) = H(£), |£| > 1, где z = п1 о Z.

При этом предполагается, что H(£) = H(_1/£) на (_1,1) является дифференцируемой функцией с гельдеровой производной H'(£) = 1/£2 h(_1/£) > 0, где h(£) = H'(£), причем на концах отрезка h имеет степенные особенности:

ь(0 = ie _ 1|7*-1ie+1|7"-1h*(e),

где h*(£) > 0 и ограничена при 1 < |£| < то, 7* > 0, 7** > 0.

Из условий, наложенных на Н(£), следует, что |^(£)| < С|£|-2 в окрестности бесконечности.

Будем называть функцию ) решением задачи, поскольку по ней сразу однозначно определяются Ь2, (Й1,П1) и (Д2,п2).

2. Построение интегрального представления решения

Ограничимся рассмотрением случая, когда а1 < 1, ап < 1. Пусть г(С) - решение задачи. Запишем уравнения прямых, па которых лежат стороны полигона ¿1:

акХ - Ъку = ек, к = 1,...,п - 1.

Пусть -1= г1 < г2 < ••• < гп-1 < гп = 1 - прообразы вершин ломаной ^ при отображении Со,..., Со _ прообразы точек ветвления. Обозначим г =

= (г2,г3, . . . ,^п-1), Со = (Со> . . . , Со )-

Для нахождения производной функции ) имеем следующую краевую задачу в верхней полуплоскости П:

ак <ж(г)/Л - Ък<у(г)/< = 0, г € [¿к , ¿к+1], к = 1, . ..,п - 1, (5)

<ж(г)/Л = к(г), г € (-те,-1) и (1, те). (6)

Данная задача является краевой задачей Гильберта с разрывными коэффициентами в П^:

Ие [(а(г) + ¿Ъ(г))<г(г)/Л] = с(г), 4 € (-те, те),

где

а

(¿) =

Ъ(4)

Ф)

ак, 4 € [¿к, ¿к+1], к =1, ...,п - 1, 1, г € (-те, -1) и (1, те),

, 4 € [¿к, ¿к+1], к = 1, . .. ,п - 1, г € (-те, -1) и (1, те),

0, г € [-1,1],

й(г), г € (-те,-1) и (1, те).

Напомним, как ведет себя производная конформного отображения в окрестности точки, соответствующей угловой. Справедлива (см., например, [17])

Лемма 1. Пусть г = ^(С) - конформное отображение круга | С |< 1 на область П, при котором точка Со = е®70 переходит в угловую точку г0 = ^(в®70), образованную дугами Г1, Г2 € С1+в, в > 0, лежащими на границе Г области П. Тогда для производной в этой точке имеет место представление

^ (0/<с = (С - Со)а-1/(С),

где / (С) ^ непрерывная в окрес тности С = С0 функция, при чем / (Со) = 0.

Разумеется, аналогичный результат справедлив для конформных отображений полуплоскости.

Из леммы 1 следует, что решение задачи (5). (6) следует искать в классе функций ¿г(£)/с%, ограниченных в точках, соответствующих вершинам полигона с углами, большими п, имеющих интегрируемые особенности в остальных и простые нули в точках , 3 = 1, • • •,г, порядка 1.

Построим каноническую функцию однородной задачи Гильберта, соответствующую задаче (5), (6).

Запишем краевые условия задачи Гильберта в виде

П I* - СО I2

3 = 1

Ф(0 =

Р(С Со)'

Пусть ветвь функции П(£, * ) зафиксирована так, что И-еЩС, * ) = 0 вдоль вещественной оси. Вещественная и мнимая части функции П(£, * ) удовлетворяют условию (3). Функция П(£, * ) дает решение однородной задачи Гильберта. Поэтому можем взять функцию П(£, * ) за каноническую функцию однородной задачи. Запишем теперь решение краевой задачи Гильберта (см., например, [18]):

ф(С) - ^ / -^-+ ВДП(С, Г), (7)

пг ¿1 П(£, * ) П |е - СО 12(е - С)

3 = 1

где В(С) — некоторый многочлен.

Из (3) и (1) следует, что на бесконечности

К12т+1'

Для того чтобы искомый контур был конечен, следует положить ) = 0, так как

П(С,Т)Р(С,<Ь)~^ С^оо.

Итак, доказана

Теорема 1. Пусть а1 < 1 и ап < 1. Если существует решение задачи, то оно имеет вид

С

-(С) = -(С,Со) = + - [п(с, 1>(с, Сз)

пг ]

-1

- Г т А, (8)

^ П(е, * )рсе, Со)(е - о

где -1 = *1 < *2 <*з < ••• < *п-1 < *п = 1 - прообразы вершин ломаной и

•т

о

Со, • • •, Со _ прообразы точек ветвления.

Таким образом, для всех (Д, п) е Л решение задачи (если оно существует) имеет вид (8). Докажем, в некотором смысле, обратное утверждение.

Теорема 2. Для любых — е Д и -о е - £ формула (8) дает решение задачи для некоторого (Д, п) е Л.

Доказательство. Так как

1т [ = 1т -С)«

|5>1 п (е,v )p (z, Zo )(е - Z) псе,v )P ее, Zo )|е - Z |2

imc / -^->0

I?I>1 П ie-Col2ie-CI2

при Z G D z,tob силу (8)

dz(C, i', Co) ^ Q

dZ

Z G D z, Z = Zj, j =

Следовательно, z(Z, t , Zo) локально однолистна, за исключением точек Z = Zj, j = 1,..., r. Рассмотрим пару (Д1 Д1 = D z, n1(Z) = z(Z) •

Из формулы (8) с помощью формул Сохоцкого получим, что па участке {|£| > > 1} имеет место равенство Re z(£) = H(£). Так как H"'(t) > 0, t G (— 1, 1), где H(t) = H( —1/t), то z(Z, t , Zo) локально однолистна на участке {|£| > 1}, включая бесконечно удаленную точку, и соответствующая часть границы (Д1,п1) является кривой L2 из Х1 ). Приклеивая к (Д1,П1) вдоль L2 вертикальную

однолистную полуполосу (Д2, п2) с границей L2 и лучами, идущими из концов L2 вниз, получим полигональную риманову поверхность (До,по).

Из анализа (8) на участке {|£| < 1} получим, что границей (Д0,п0) является (n + 1)-звенная ломаная, а угловые точки (Д0,п0) имеют растворы nak, fc = 1,... ,11. Таким образом, (До, 7Tq) G Л, и теорема 2 доказана. □

3. Локальная единственность решения

Зафиксируем набор параметров ( £ , Со) е Д х - £. С помощью функции

£ , Со), определенной по формуле (8), сопоставим данному набору параметров риманову поверхность <1 = (Д1? п^ с границей, состоящей из ломаной Ь с вершинами 21,..., 2П и некоторой кривой Ь.

Достроим риманову поверхность <1 = (Д1,п1) до полигональной римановой поверхности 7 о = (До, по) путем приклеивания к ней однолистной вертикальной криволинейной полуполосы (Д2, П2) с границей, состоящей из кривой ¿2 и двух лучей, исходящих вниз из концов кривой ¿2. С помощью функции 2(С, в , го), определенной по формуле (2), сопоставим полученной многоугольной римановой поверхности <о = (До,по) е Л набор параметров ("?, 1о) е Д х -С Этот набор определяется единственным образом.

Обозначим (!?,й>о) = д(ао). Тогда определена суперпозиция (!?,й>о) = = р( £ , Со) = ?(<о( £ , Со)), действующая из Д х в Д х -.

Основным результатом данной работы является

Теорема 3. Отображение р : Д х - 1 Д х - является локально од-нолиептым, непрерывно дифференциру&мы.м, и его якобиан отличен от нуля в Д х -

Доказательство. Рассмотрим отображения

/ : I-?, С о) " ( 1 , — о), 9 : ^о) " ( ^ ?о), где наборы параметров

( 1 , "0) = (/Ь • • • , /п-2,2о, • • • ,

( I , 2 о) = (/Ь • • • , • • •

а 1и и 1]~ - длины сторон граничных ломаных, , = 1, • • •, г, и , ® = 1, • • •, г, — проекции точек ветвления римановых поверхностей, которые определяются отображениями (8) н (2) соответственно. Имеем

Ik —

ifc+i

! tk

Sk+1

dz(£, t,Zo )M С zj — z(Zj, t , z

Ik —

|dz(£, s ,-o)/d£| d£, z° — z(w°, s , w

(9)

(10)

где k — 1, ...,n - 2, j — l,...,r.

Если покажем, что якобианы отображений f и g отличны от нуля, то отображение p будет локально представимо в виде суперпозиции g—1 о f, где g—1 — «ветвь»

обратной к g функции, определенная в окрестности соответствующей точки. Зна-

p

и его якобиан не равен нулю. Итак, докажем следующее утверждение.

Лемма 2. Якобианы отображений f и g отличны от н у ля в Ах D £.

fg

непрерывно дифференцируемы.

Придадим параметрам tv, v — 2,..., n — 1 ^ и Zo, j — 1,..., r, малые приращения (вариации).

Запишем вариации длин ломаной Li : 51 k, k — 1,..., n — 2, и вариации проекций точек ветвлений римановой поверхности Д1 : 5z j, j — 1,... ,r:

n—1 ai v^ dlk

' r)/

> _ ,i/„ . у sc?

о

=2 n —1

■Ml

54 X —

v=2

dtv

o=1

J=1

E<9/fc -j

j=1 dZ0

£ ^

j=1 dz0

k — 1, ...,n — 2,

j — 1,... ,r.

/

показать, что однородная система

51k

0, k —1,...,n — 2, 5zj —0, j — 1,..., r,

(H)

имеет только пулевое решение ¿¿^ = 0, V = 2, • • •, п — 1, и ¿Со =0, ^ = 1, • • •, г, то есть при равенстве нулю вариаций геометрических величин ¿/&, к = 1, • • •, п — 2, и ¿2$, ] = 1, • • •, г, определяющих полигональную риманову поверхность, обращаются в пуль вариации постоянных ¿¿^ и ¿£0 •

Предположим противное. Тогда система (11) имеет ненулевое решение ¿tv, v = = 2, ...,n — 1, ¿Zo, j = 1, • • •, г- Рассмотрим вариацию ¿z(Z) = ¿x(Z) + i¿y(Z) функции z(C). Эта функция является решением следующей краевой задачи

av¿x(t) — bv¿y(t) = ¿cv, t £ [tv,tv+i], v = 1,. ..,n — 1, ¿x(t) = 0, |t| > 1-

Докажем, что ¿cv = 0, v = 1,..., n — 1. Для этого запишем уравнения сторон ломаной в виде (x — xv) cos yvп + (y — yv) sin yvп = 0, или

x cos п + y sin yvп = xv cos yvп + yv sin yvп.

Здесь yvп = — V= i (aj — 1)п - угол наклона нормали к v-й стороне ломаной. Без ограничения общности можно считать, что av = cos yvп, bv = sin yvп, cv = = xv cos Yvп + yv sin Yvп .

Имеем xv+1 — xv = —1v sin yvп, yv+1 — yv = —1v cos yvп^ли ¿1v = 0, то учитывая, что Yv _ константа, получаем, что ¿xv+1 = ¿xv, ¿yv+1 = ¿yv, v = 1,..., n — 1. Так как ¿x1 = ¿y1 = 0, то ¿xv = ¿yv = 0, v = 1,..., n, откуда

¿cv = ¿xv cos yvп + ¿yv sin yvп = 0.

Итак, ¿z является решением однородной краевой задачи Гильберта

av¿x(t) + bv¿y(t) = 0, t £ [tv,tv+1], v =1, •••,n — 1,

¿x(t) = 0, |t| > 1.

Исследуем асимптотическое поведение функции ¿(dz/dZ) в лотках tv и на бесконечности. Найдем производную функции z(Z, t , Со) по Z> а затем - ее вариацию по переменным tv, v = 2,..., n — 1, Z0, j = 1, • • •, г.

Имеем

МО dC

,-1

Ш-Ф(с-Со)х j=1

h(t)dt

|t|>1

nn=1(t — tv )av-^r=1(t — Zj )(t — Zo )(t — Z)

¿

dz(Q = 1 dZ пг

n-1

— E

5tv{av - 1) -A ¿Co v^ ¿Co

Z - tv

j= i с - Co j=i С - Co

хП(с-Ф(с-Со)-Ш-^)

j = 1 v=1

h(t) 1

-1 v v) v

|t|>1

* -c n;=i(í - cm - Ф x n"=i(* - *„)<*•>-

-+

+ -П(С-С^)(С-Со)х f[(C-t„)c

j=1

v=1 1

|t|>1

fe(*)__

* - c Щ=i(í - СЗ'Х* - Co) • n"=i(*

E1 Й^а,, - 1) _ A ¿Cq _ ¿Co

v=2 t tv j=1 t — Z0 j=1 t — Zo

dt. (12)

1

v

x

x

X

1

X

X

X

1

X

Пусть С — — 1 (случай, когда С — 1, рассматривается аналогично). Тогда

И Г (£ + 1)71-01

-^(0 = (С+1Г-^(0 у (13)

|4|>1

где функция ^(С) аналитична и не равна нулю в некоторой окрестности точки С = — 1, а (£) гельдерова и те обращается в нуль в окрестности точки £ = —1 на прямой.

Из свойств интеграла типа Коши (см., например, [18, гл. 1, § 8]) получим, что

ад = о(1), с — —1. (14)

Аналогично покажем, что

ад = о(1), с — 1. (15)

Пусть ( — tV, V = 2,..., п — 1. Из (12) следует, что

с1

Ж"

где функция аналитична в некоторой окрестности точки tV. Тогда

) = (С — К г-2^(С)

Го((с — и)а^-1), «V < 1, &(С) = ' с - и. (16)

[0(1), «V > 1,

Осталось рассмотреть случай, когда С — то. Тогда в силу (8) и с учетом (1) получим

=/1(0+12(0,

где Здесь

где

/1 (с) ~ с-2 ад)$1(с), 12(0 ~ с-1 ^2(0, с — то. (17)

|4|>1 |4|>1

«о =

П(£, £ )Р(£, Со)

$1(0 = 0(1), С — то Ф2(£) = 0(£-1), £ — то Поскольку функция £-2^(1/£) гельдерова, то после замены переменных получим

У *(*-«;) -1

где ад = 1/0 Поскольку функция ф(1/£) гельдерова, то из формул Сохоцкого следует, что ~ ад = 1/0 С — то- Для П2 аналогично получим, что П2 ~ 1/0 С — то.

Следовательно, с учетом (17) получим ¿(¿г(0)/ИС ~ -2, С(0 — то, где С1 - некоторая постоянная, а значит,

¿г = 0(1), С — то. (18)

Теперь докажем, что

) = 0, 3 = 1,..., г. (19)

Рассмотрим представление г(С, г , Со) в окрестности точки Со - С учетом того, что г (СО, "?, Со) = ¿0 , получим

г(С,"0) = ¿0 + а2(с - СО)2 + ••• = ¿0 + (С - СО)2 Ф(С"о),

где Ф(С, г , 0 о) _ непрерывно дифференцируемая по всем параметрам и аналитическая в окрестности точки Со функция. Тогда, в силу условия ¿¿о = 0 имеем

¿¿(С,""о) = - 2(С - со) ¿со Ф(С,"о) + (С - со)2 ¿Ф(С,"С о).

Следовательно, справедливо (19). Рассмотрим функцию

¿2

МО =-^^-—• (20)

(С - *1)(С - *п)п(С, г )Р(С, Со)

Она аналитична в верхней полуплоскости, за исключением точек Со, 3 = 1,..., г, в которых имеет в силу (19) устранимые особенности, непрерывна на вещественной осп, за исключением точек г^, 3 = 1,..., п.

Докажем, что на вещественной оси, за исключением точек г^, 3 = 1,...,п, выполняется соотношение 1т и>(г) = 0. Действительно, поскольку при пробегании переменной г по участку [г^, г^+1] образ г (г) будет пробегать по участку [гк,гк+1 ], то аргументы функции ¿г и произведения совпадают либо отличаются на п, следовательно, их отношение есть вещественная величина.

По принципу симметрии продолжим функцию и> в нижнюю полуплоскость плоскости С- Симметрия совершается относительно вещественной оси, за исключением, может быть, точек ги, V = 1,..., п. Поскольку в точках ги, V = 1,..., п, и Со, 3 = 1,..., г, в силу (14)—(16) функция (20) имеет самое большее интегрируемые особенности, то получим, что в данных точках функция и> имеет устранимые особенности. Поэтому функция т является голоморфной во всей плоскости СВ силу (1) и (18) по теореме Лиувилля получим, что ад(С) = 0. Следовательно,

¿г(С)= ¿г(С, ") = 0.

Воспользуемся формулой (12), чтобы доказать равенства ¿г^ = 0 и ¿Со = 0 для любых V = 2,..., п - 1, 3 = 1,..., г. Разделив равенство (12) на (С - г^)аи-1, получим

Следовательно, ¿г^ = 0. Аналогично, разделив (12) на (С - Со), получим

¿со

(С - С

2

+ о(1) = 0, С " со.

Следовательно, ¿Со = 0.

Итак, доказано, что якобиан отображения / не равен пулю. Для функции д проводятся аналогичные рассуждения, которые местами упрощаются. Таким образом, лемма 2 доказана. □

Из леммы 2, как отмечалось выше, следует утверждение теоремы 3. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты Х- 05-01-00523 и Л* 06-01-81019-Бел).

Summary

S.R. Nasyruv, I.Z. Faizuv. Local uniqueness of solution of a mixed boundary value problem for Riemann surfaces with branch-points.

A mixed boundary value problem for Riemann surfaces with branch-points, with boundary conditions depending on the parameter x is investigated. Is is supposed that the known part of the boundary of the required surface is a polygon. We obtain an integral representation of solution to the problem: it depends 011 accessory parameters. Local uniqueness of the solution is proved.

Литература

1. Ae-xadv.ee Ф.Г., Аксептьев Л.А., Елшаров A.M. Достаточные условия копечполист-пости аналитических функций и их приложения // Итоги пауки и техники. Сер. «Матом, анализ». М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 25. С. 3 121.

2. Ae-xadv.ee Ф.Г., Аксептьев Л.А., Елизаров A.M., Насыров С.Р. Научный семинар по геометрической теории функций: основные результаты двух последних десятилетий // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Казан, матем. о-во, 2002. Т. 14. С. 7 38.

3. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптический систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977. 424 с.

4. Салилюе Р.Б., Шабалии П.Л. Краевая задача Гильберта теории аналитических функций и ее приложения. Казань: Казан, матем. о-во, 2005. 297 с.

5. Насы/рое С.Р. О методе полигональной аппроксимацией в смешанных обратных кра-

x

ВИНИТИ 17.05.82, Л» 2459-82.

6. Насыров С.Р. Смешанная обратная краевая задача па римаповых поверхностях // Изв. вузов. Математика. 1990. Л® 10. С. 25 36.

7. Насыров С.Р. Метод движущегося разреза в смешанных обратных краевых задачах // Копстр. теория функций и ее приложения. Махачкала, 1994. С. 71 73.

8. Тлюстси С. Р. Смешанная краевая задача со свободной границей в неоднолистных областях // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1986. Л' 76. С. 148 156.

9. Тлюстси С.Р. Неоднолистные отображения со свободной границей. // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1988. Л' 86. С. 141 148.

10. Тлюстси С.Р. Априорные оценки решений смешанной краевой задачи со свободной границей для аналитических функций // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1989. 92. С. 108 121.

11. Тлюстси С. Р. Геометрические свойства решений смешанной краевой задачи со свободной границей // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1990. Л'97. С. 114 123.

12. Салимое Р.Б., Стре/жисва, Е.В. К решению обратной смешанной краевой задачи // Тр. семинара по краев, задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1992. Вып. 27. С. 95 117.

13. Салилюе Р.Б., Насыроеа Е.В., Шабалии П.Л. Однолистная разрешимость одной обратной смешанной краевой задачи // Изв. вузов. Математика. 1998. Л' 4. С. 78 82.

14. Стре/жнева, Е.В. Достаточные условия однолистности одной смешанной обратной краевой задачи по параметру x для односвязной области в случае полигона // Теория функций и приближений. Межвуз. сб. иаучп. тр. Ч. 3. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1995. С. 109 115.

15. Салимое Р.Б., Стре/жнева, Е.В. Решение обратной краевой задачи для двусвязпой области в видоизмененной постановке. Казань. 1990. 26 с. Деп. в ВИНИТИ 29.12.90, 6487-В90.

16. Галиудлина Г.Р., Наеыров С.Р. Уравнение Гахова для внешней смешанной обратной

x

17. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

18. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

Поступила в редакцию 12.06.06

Насыров Семен Рафаилович доктор физико-математических паук, профессор кафедры математического анализа Казанского государственного университета.

E-mail: snasyrovQksu.ru

Фаизов Искандер Загретдинович студент мехапико-математического факультета Казанского государственного университета.

E-mail: fizehitv.ru