CC BY
0Логические исследования 2024. Т. 30. № 1. С. 41-61 УДК 162.1+514::164.3
Logical Investigations 2024, Vol. 30, No. 1, pp. 41-61 DOI: 10.21146/2074-1472-2024-30-1-41-61
Традиционная логика
Traditional Logic
О.В. ЧЕРКАШИНА
Логический многоугольник для реляционных высказываний: правила построения и применения
Оксана Викторовна Черкашина МГУ имени М.В. Ломоносова.
Российская Федерация, 119991, г. Москва, Ломоносовский пр-т, д. 27, корп. 4. E-mail: [email protected]
Аннотация: Цель настоящей работы - сформулировать правила построения и применения геометрических фигур для выявления и выражения логических отношений (контрарности, субконтрарности, контрадикторности, подчинения) между высказываниями об n-местных отношениях (n - натуральное число, n > 1; пример подобного высказывания для n = 2: «Каждый юрист знает некоторого логика»). Такие фигуры должны быть построены по аналогии с логическим квадратом, однако для высказываний с n-местным предикатом, а не одноместным, как квадрат. Правила сформулированы и фигуры построены. Эти правила и графическое представление основаны на теоретических положениях, также сформулированных в настоящей работе.
Предлагаемые правила направлены на выявление, а не только на выражение логических отношений между рассматриваемыми высказываниями. Будучи алгоритмами, названные правила представляются более удобными для выявления этих отношений, чем рассуждение с использованием исчисления предикатов (когда оно применяется для той же цели).
Построенное в настоящей работе графическое представление отношений между высказываниями, в сочетании с правилами его построения и применения, можно называть «логическим многоугольником».
Предлагаемое в работе графическое представление является первым и, на момент написания статьи, единственным успешным решением проблемы построения сходных с логическим квадратом фигур для выражения отношений между высказываниями о многоместных отношениях (для n ^ 3), а также проблемы единого представления таких фигур, построенных для разных n.
Настоящая работа, вместе с другими статьями ее автора, может быть одним из исходных пунктов в новом направлении исследования - построении и изучении аналогов силлогистических теорий, но для высказываний об отношениях.
Ключевые слова: логический многоугольник, логический квадрат, расширения логического квадрата, высказывания об отношениях, суждения об отношениях, n-местный предикат, силлогистические теории, диаграммы, логическая геометрия
© Черкашина О.В., 2024
Для цитирования: Черкашина О.В. Логический многоугольник для реляционных высказываний: правила построения и применения // Логические исследования / Logical Investigations. 2024. T. 30. № 1. С. 41-61. DOI: 10.21146/2074-1472-2024-30-1-41-61
Введение
Настоящая работа ставит целью сформулировать правила построения и применения геометрических фигур для выявления и выражения логических отношений между реляционными высказываниями (высказываниями о двух-, трех- и более -местных отношениях). При этом требуется, чтобы такие фигуры могли быть сконструированы по аналогии с логическим квадратом, выражающим отношения между высказываниями о свойствах. Будем называть отличные от логического квадрата фигуры, правила построения и применения которых мы намерены сформулировать, «логическими многоугольниками для высказываний об отношениях» или «.. .для реляционных высказываний».
Для достижения цели определяется, применительно к высказываниям какого вида строятся искомые многоугольники. Выясняется, какие отношения между высказываниями должны получить геометрическое выражение. Выявляются характерные черты этих отношений, в том числе выразимость одних из них через другие, специфика отношений между реляционными высказываниями. Выясняется, как характеристики этих отношений могут быть использованы для их графического представления.
Задача построения фигур для выражения отношений между высказываниями о трех- и более -местных отношениях и обобщения их в одной фигуре сформулирована Ю.В. Ивлевым. Он же классифицировал реляционные высказывания, сформулировал правила их отрицания и представил отношения между высказываниями о двухместных отношениях в виде квазишестиугольников1 (см., например, [Ивлев, 2008, с. 32, 38-41, 47-48, 118]; изображение квазишестиугольника на рис. 1 настоящей статьи приведено оттуда. Используемые на рис. 1 обозначения: названия вершин -«О» на первом или втором месте в обозначении - для общих высказываний, «Ч» для частных, «У» для утвердительных, «О» на третьем месте для отрицательных. Двойные стрелки показывают отношение контрадик-торности, простые стрелки - подчинения, простые линии - контрарности, двойные линии - субконтрарности, прерывистые - независимости. Для построенной нами фигуры обозначения будут немного отличаться).
1 Впервые эти результаты представлены не позже 1988 г., в [Ивлев, 1988], вероятно, раньше - в [Ивлев, 1976].
ООУ-ООО
Рис. 1. Квазишестиугольник Ю.В. Ивлева
Некоторые из результатов, представленных в настоящей работе, были обнародованы нами в качестве доклада на Шестой международной конференции по логическому квадрату в ноябре 2018 г. ([СИегкавЫпа, 2018Ь]). Независимо от нас доклад на близкую тему представил там же профессор Йорген Фишер Нильссон, изучающий возможности графического выражения отношений между высказываниями о двухместных отношениях. Его результаты ([М^оп, 2018]) близки по существу с полученными раньше результатами профессора Ивлева ([Ивлев, 1988]) и нашими ([Черкашина, 2018а; СИегкавЫпа, 2018Ь]), однако у профессора Нильссона они ограничиваются частным случаем п = 2 (впрочем, в этих рамках он рассматривает расширение для модальной логики и некоторые другие вариации). По словам профессора Нильссона, он намерен использовать свои выводы для целей «компьютерной обработки естественного языка для создания основанных на содержании поисковых систем». Таким образом, поставленный еще в советское время теоретический вопрос сейчас переживает интерес, связанный с новыми практическими задачами.
Насколько нам известно, результаты, полученные автором настоящей работы, являются первыми для высказываний об п-местных отношениях для произвольных п, и на момент написания статьи единственными.
Обратимся к вопросу о том, применительно к высказываниям какого вида должны быть сформулированы искомые нами правила и построены геометрические фигуры.
1. Рассматриваемые высказывания
В настоящей работе рассматриваются отношения внутри наборов ассерторических высказываний с одинаковыми для всех высказываний в рамках набора субъектами и предикатом, при этом каждое из высказываний содержит предикат, обозначающий п-местное отношение между субъектами (п -натуральное число, п > 1). На каждом месте предиката имеется квантифи-цированный субъект (указание, что некоторые или что все элементы некоторого множества находятся в данном отношении и на данном месте этого отношения). Эти высказывания сходны с рассматриваемыми в рамках силлогистики (напр., [Бочаров, Маркин, 2010, с. 11]), однако, в отличие от последних, являются не атрибутивными (о факте наличия или отсутствия некоторого свойства), а реляционными (о факте наличия или отсутствия некоторого отношения). Все термины в рассматриваемых нами высказываниях предполагаются непустыми и неуниверсальными; термины, обозначающие единичный объект, считаются общими; внутренняя структура терминов не принимается во внимание. Допускается отрицание предиката. Все рассматриваемые высказывания имеют форму «Все/некоторые Б\, ..., все/некоторые Бп находятся/не находятся между собой в отношении Кп». В каждом случае от каждой из пар «все/некоторые» и «находятся/не находятся» присутствует строго один элемент: или «все», или «некоторые» (хотя термин «некоторые» при этом понимается в смысле «по крайней мере некоторые, а возможно, и все»); или «находятся», или «не находятся». Глубина анализа высказывания для формализации и дальнейшего рассмотрения высказывания в многоугольнике такая же, как для логического квадрата: и там, и там выявляются субъекты, предикат, утвердительное это высказывание или отрицательное, частное или общее (см. далее). Сложные высказывания, образованные при помощи пропозициональных связок, не рассматриваются (как и в логическом квадрате).
Хотя выражающие логические отношения геометрические фигуры могут строиться и для высказываний других типов (например, модальных), выбранный тип не только обеспечивает аналогию с логическим квадратом, но и позволяет начать исследование с наиболее простого случая.
Используя классификацию Ю.В. Ивлева, будем рассматривать высказывания в соответствии с их количеством (числом и видом кванторов при записи на языке логики предикатов) и качеством (отсутствием или наличием отрицания). В зависимости от качества, высказывания являются
или утвердительными, или отрицательными. Когда местность предиката велика, бывает удобно не упоминать качественную характеристику соответствующего высказывания там, где такой пропуск допустим. Вместе с тем иметь в виду ее необходимо.
В то время, как высказывания, рассматриваемые в рамках логического квадрата, могут быть охарактеризованы в терминах количества как просто либо общие, либо частные, для высказываний об n-местных отношениях количественная характеристика состоит из n элементов. Так, для двухместных отношений высказывания могут быть обще-общими (оба квантора в формуле - общности), обще-частными, частно-общими и частно-частными. Будем использовать для количественной характеристики высказываний обозначения, состоящие из знаков «О» и «Ч». Например, высказывания, имеющие форму (1),
3xVy(S(x)&(P(y) D R(x,y))) (1)
частно-общие, обозначим «ЧО». В дальнейшем, говоря о форме высказываний, будем иметь в виду в первую очередь их количественную (а также в ряде случаев качественную) характеристику, если прямо не указано иное.
Продолжая аналогию с логическим квадратом и используя рассмотренную классификацию, будем для обозначения формы высказываний использовать буквенную запись, состоящую из n букв количественной характеристики (каждая буква характеризует квантификацию соответствующего субъекта), стоящих в том порядке, в котором стоят на первом, втором и т.д. местах предиката квантифицированные субъекты. К этой последовательности букв добавляется (за исключением случаев, когда она нас не интересует) качественная характеристика высказывания, выраженная словами «утвердительное» или «отрицательное».
2. Рассматриваемые логические отношения и их характеристики
Обратимся к логическим отношениям между реляционными высказываниями. По аналогии с логическим квадратом, рассмотрим отношения контрадикторности, подчинения, контрарности и субконтрарности.
Высказывание и результат его отрицания несовместимы как по истинности, так и по ложности и находятся в отношении контрадикторности. «При отрицании суждений об отношениях их качество и количество . . . меняются на противоположные» ([Ивлев, 2008, с. 41]). То есть утвердительные -на отрицательные, обще-частные - на частно-общие и т.п. В настоящей работе мы берем это правило в качестве исходного положения.
Отношение подчинения имеет место между двумя высказываниями, когда одно из них, «подчиненное», логически следует из другого, «подчиняющего», в то время как подчиняющее не следует из подчиненного. Поэтому, если подчиняющее высказывание истинно, таковы и все подчиненные ему высказывания. Если подчиненное высказывание ложно, таковы, по контра-позиции, и все подчиняющие его высказывания.
В то время, как среди составляющих логический квадрат высказываний о свойствах каждому подчиняющему высказыванию соответствует строго одно подчиненное и наоборот, а высказывание не может быть и подчиняющим, и подчиненным одновременно, применительно к искомой фигуре дело обстоит иначе. Поскольку предикат в высказывании об отношении является многоместным (в записи на языке логики предикатов это выражается наличием многоместного предиката и более чем одной квантифицирован-ной переменной), одному общему высказыванию (в записи имеется квантор общности) могут быть подчинены и более одного частного, и одно частное (в записи имеется квантор существования) может подчиняться более чем одному общему. (Частное предполагает смысл «некоторые, возможно все»).
Отношение подчинения имеет место между двумя высказываниями, одним частным и одним общим, если субъекты и предикат одного высказывания совпадают, соответственно, с субъектами и предикатом другого (порядок субъектов тоже имеет значение), совпадает качественная характеристика высказываний, а их количественные характеристики удовлетворяют в точности одному из следующих двух условий. Первое -характеристики рассматриваемых высказываний различаются ровно в одной букве, стоящей на к-м месте количественной характеристики каждого из них. Высказывание, у которого к-я буква - «О», является подчиняющим для высказывания, у которого к-я буква - «Ч». Отношение подчинения является транзитивным. Отсюда второе условие. Оно предусматривает, что есть разница в более чем одной букве, и что на каждом месте, где количественные характеристики сопоставляемых высказываний различаются, характеристика одного высказывания имеет только буквы «О». (Конечно, это означает, что у другого на этих местах будут только буквы «Ч».) Если ни одно из этих двух условий не соблюдено, высказывания будут независимы друг от друга по своей форме. Например, высказывание, имеющее форму (1), то есть частно-общее, утвердительное (ЧО), является подчиняющим для частно-частного (ЧЧ), утвердительного, подчиненным для обще-общего (ОО), утвердительного, и независимым с обще-частным (ОЧ), утвердительным. Другой пример - высказывание с трехместным предикатом, имеющее форму ОЧЧ, утвердительное, является подчиняю-
щим для ЧЧЧ, утвердительного, и подчиненным для утвердительных высказываний ООО, ООЧ, ОЧО.
Отношения подчинения имеют место только между высказываниями одного качества, а специфика этих отношений одинакова для утвердительных и для отрицательных высказываний. Это позволяет в ряде случаев абстрагироваться от качественной характеристики высказываний при рассмотрении отношений подчинения. Графическое выражение этих отношений для множества всех форм утвердительных высказываний и для множества всех форм отрицательных высказываний также будет совпадать.
Для реляционных высказываний как отношение контрарности (при котором два или более высказывания не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными), так и отношение субконтрар-ности (при котором два или более высказывания могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными) в общем случае имеют место между некоторым высказыванием и каждым из соответствующей группы других высказываний, в отличие от отношений в рамках логического квадрата, где и контрарность, и субконтрарность имеют место только внутри одной пары высказываний. Некоторые, но не все, реляционные высказывания находятся и в отношении контрарности (с высказываниями из одной группы), и в отношении субконтрарности (с высказываниями из другой группы). В этом состоит еще одна их особенность по сравнению с атрибутивными высказываниями, для которых построен логический квадрат.
Отношения контрарности и субконтрарности выразимы при помощи отношений контрадикторности и подчинения. Поскольку это наиболее ясно видно при геометрическом представлении2 отношений между высказываниями, рассмотрим вопрос подробно при создании логического многоугольника.
3. Построение логического многоугольника для реляционных высказываний
Построим фигуру, выражающую иерархию отношений подчинения между высказываниями об п-местных отношениях. Этот многоугольник имеет 2п вершин, каждая из которых обозначает одну из всех возможных с точки зрения количественной характеристики форм высказываний. (Все обозначаемые вершинами высказывания попарно различны.) В данном случае удобно абстрагироваться от качественной характеристики высказываний, рассматривая при этом только один из фрагментов искомого логического многоугольника (а именно, его часть для утвердительных
2Более формальное рассмотрение данного вопроса см. в [Черкашина, 2021].
высказываний или его часть для отрицательных высказываний; назовем каждую из этих частей «фрагментом для отношений подчинения», утвердительным или отрицательным, соответственно). При этом качественная характеристика должна быть одинаковой для всех рассматриваемых высказываний.
Полученная фигура - еще не искомый многоугольник для реляционных высказываний, а только его отдельный фрагмент. В дальнейшем при построении искомой фигуры эта схема обогащается линиями (или стрелками), выражающими отношения других видов и соединяющими различные вершины соответствующих фрагментов.
Для п = 2 фрагменты для отношений подчинения - четырехугольники. Отношения между высказываниями могут быть графически выражены при помощи системы из двух четырехугольников: одного для утвердительных и одного для отрицательных высказываний (рис. 2, пример высказывания о двухместном отношении: «Каждый юрист знает некоторого логика» (ОЧ, утвердительное), соответствующая вершина отмечена на рисунке кругом). Пример с отношениями подчинения и контрадикторности при п = 2 представлен на рис. 3, подробнее о частном случае для п = 2 см. в [Черкашина, 2019а], построение логических многоугольников для произвольных п рассмотрено далее.
Здесь и в дальнейшем будем располагать фрагменты на изображениях параллельно, то есть так, чтобы одноименные вершины двух фрагментов лежали на одной горизонтали. Сетка на заднем плане рисунка использована, чтобы было легче найти имена вершин, поскольку их обозначения размещены по краям рисунка: вершины обозначаются при помощи количественной характеристики (на рисунке - слева от каждой вершины на одной горизонтали с ней) и качественной характеристики (на рисунке -сверху, на одной вертикали с вершиной).
Утвердительные Отрицательные
ОО ОЧ ЧО ЧЧ
Рис. 2. Фрагменты, выражающие отношения подчинения, для п = 2
Для высказываний о двухместных отношениях весьма нагляден квазишестиугольник Ю.В. Ивлева, в то же время при увеличении п возникает
Утвердительные Отрицательные
ОО ОЧ ЧО ЧЧ
Рис. 3. Отношения подчинения и контрадикторности при п = 2
необходимость в графическом представлении, гибко реагирующем на увеличение количества логических отношений.
Для трехместных отношений фрагмент, выражающий отношения подчинения, является «прозрачным» параллелепипедом (рис. 4, пример высказывания о трехместном отношении: «Каждый юрист знает некоторого логика лучше, чем некоторого математика» (ОЧЧ, утвердительное), соответствующая вершина отмечена кругом).
ООО ООЧ ОЧО ОЧЧ ЧОО ЧОЧ ЧЧО ЧЧЧ
Рис. 4. Фрагмент, выражающий отношения подчинения, для п = 3
Для каждого п + 1 соответствующий фрагмент строится параллельным переносом («проецированием») фрагмента для п вниз (или вниз и вбок) с сохранением линий переноса между каждой из вершин исходного фрагмента и соответствующей вершиной «проекции». «Проекция» находится ниже исходного фрагмента, линии, принадлежащие одной из этих геометрических фигур, не пересекают линий другой (это не относится к линиям переноса). Такая фигура - всегда многоугольник, расположенный так, что все вершины находятся на разном уровне. Обозначения вершин исходного фрагмента сохраняются с прибавлением слева обозначения «О», а обозначения вершин «проекции» дублируют исходные, с прибавлением слева «Ч».
Названия вершин даются в порядке, аналогичном рядам значений на входе в таблицу истинности для пропозициональной логики.
Логический многоугольник, который мы строим, включает в себя в качестве составных частей фрагменты, выражающие отношения подчинения между высказываниями. Эти геометрические объекты, хотя и построены независимо и для других целей, графически совпадают с булевым кубом.
В качестве вспомогательного приема для упрощения графического представления отношений подчинения допустимо заменить стрелки на линии, отметив, что для каждой пары соединенных ими принадлежащих одному фрагменту вершин в силу выбранного принципа их расположения одна всегда находится выше и соответствует высказыванию, которое является подчиняющим относительно расположенного ниже.
Рассмотрим подробно построение искомой фигуры на примере с высказываниями о трехместных отношениях. Начнем с двух выражающих отношения подчинения фрагментов с 23 = 8 вершинами, одного для утвердительных и одного для отрицательных высказываний. Изобразим эти многоугольники вместе со всеми линиями, соединяющими, каждая, обозначающую некоторое высказывание вершину одного фрагмента с обозначающей ее отрицание вершиной другого фрагмента (рис. 5; в силу симметричности получившейся фигуры можно выбрать произвольно, который из параллелепипедов выражает отношения подчинения между утвердительными высказываниями, а какой - между отрицательными).
ООО
ООЧ ОЧО ОЧЧ ЧОО ЧОЧ ЧЧО ЧЧЧ
Рис. 5. Отношения подчинения и контрадикторности для п = 3
Получившаяся схема - подробное выражение отношений подчинения и контрадикторности. Для больших п такое графическое представление будет менее наглядным. В связи с этим имеет смысл в конкретном случае исключить из рассмотрения те отношения контрадикторности, которые нас в данный момент не интересуют.
Для иллюстрации некоторых закономерностей рассмотрим различные отношения высказывания формы ЧОО, утвердительное («выбранного высказывания») с другими.
Построим (рис. 6) два фрагмента, выражающих отношения подчинения между трехместными реляционными высказываниями, один - для утвердительных высказываний и один - для отрицательных.
ООО ООЧ ОЧО ОЧЧ ЧОО ЧОЧ ЧЧО ЧЧЧ
Рис. 6. Пример логического многоугольника для высказываний о трехместных (п = 3) отношениях: отношения высказывания формы ЧОО, утвердительное, с высказываниями другого количества и качества
На этом изображении отметим белым кругом вершину, соответствующую выбранному высказыванию. Проследим линии, идущие вниз от нее3, и выделим эти линии (на рисунке они двойные прерывистые). Вершины, соединенные этими линиями, выражают формы высказываний, в силу подчиненности выбранному высказыванию истинных, если оно истинно. Совокупность этих вершин и линий назовем «фигурой истинности» выбранного высказывания.
Прерывистые одинарные линии, идущие вверх от вершины, соответствующей выбранному высказыванию, позволяют проследить формы тех высказываний, которые являются подчиняющими для него, а значит, ложными, если оно ложно (по контрапозиции). Назовем совокупность соответствующих этим формам высказываний вершин, вместе с соединяющими их линиями, «фигурой ложности» выбранного высказывания.
Стрелка с двумя наконечниками между фрагментами показывает отношение контрадикторности между выбранным высказыванием и высказыванием формы ОЧЧ, отрицательным, которое мы будем называть «противоречащим высказыванием» и отметим на рисунке черным кругом. Линии,
3В том числе через другие вершины, поскольку отношение подчинения транзитивно.
Утвердительные
Отрицательные
идущие вверх от вершины, обозначающей противоречащее высказывание (на рисунке - жирные), позволяют проследить формы высказываний, являющихся подчиняющими для противоречащего. Если выбранное высказывание истинно, то противоречащее высказывание ложно. При этом ложны и все подчиняющие его высказывания. Соответствующие им вершины вместе с выражающими отношения подчинения линиями, идущими вверх от вершины противоречащего высказывания, образуют фигуру его ложности. Она показывает формы высказываний, которые не могут быть истинными, если выбранное высказывание истинно.
Проверим, соблюдается ли аналогичное отношение в обратную сторону, то есть действительно ли для всякого высказывания, подчиняющего противоречащее высказывание, верно, что если первое истинно, то выбранное высказывание (то есть ЧОО, утвердительное) ложно. Этот вопрос также удобно рассматривать графически. Легко видеть (на рис. 5 или по формам вы-сказываний)4, что всякая вершина, соответствующая этим подчиняющим высказываниям, может быть соединена линией, обозначающей контрадик-торность, с одной из вершин, входящих в фигуру истинности выбранного высказывания. То есть всякое из высказываний, подчиняющих противоречащее, является отрицанием некоторого высказывания, подчиненного выбранному. Если первое истинно, то его отрицание ложно. Но из ложности подчиненного высказывания следует ложность подчиняющего, а значит, и выбранное высказывание не может быть в этой ситуации истинным.
Аналогичным образом, когда выбранное высказывание ложно, противоречащее и все подчиненные ему высказывания (показанные фигурой, расположенной вниз от противоречащего, здесь - двойной сплошной линией) истинны. Верно и обратное - когда высказывания, подчиненные противоречащему, ложны, их отрицания, подчиняющие выбранное высказывание, истинны, а с ними и само это высказывание. Выбранное высказывание не может быть ложным одновременно с противоречащим и подчиненными последнему высказываниями.
Итак, мы получили две группы высказываний, одна из которых несовместима с выбранным высказыванием по истинности, а другая - по ложности. Эти две группы совпадают в одном и только одном месте - в вершине, обозначающей противоречащее высказывание, лишь оно несовместимо с выбранным и по истинности, и по ложности (отношение контрадик-
4С точки зрения только самих форм высказываний, без обращения к графической стороне, эти закономерности (приведенная здесь, для контрарности, и аналогичная, приведенная далее - для субконтрарности) рассмотрены в [Черкашина, 2021], подробное доказательство для произвольного высказывания и произвольных п мы, в силу его объема, предполагаем опубликовать отдельно.
торности соответствует функции отрицания). В связи с единственностью места совпадения можно утверждать, что первая группа не только несовместима по истинности, но, за исключением противоречащего высказывания, совместима по ложности, то есть находится в отношении контрарности, а вторая, за тем же исключением совместимая по истинности, - в отношении субконтрарности с выбранным. На рис. 6 вершины из первой группы соединены между собой и с вершиной для противоречащего высказывания жирной одинарной линией, а из второй - жирной двойной. Одинарные непрерывные тонкие линии от белого круга к вершинам другого фрагмента явным образом показывают отношения контрарности выбранного высказывания, такая же двойная - субконтрарности; эти линии добавлены для наглядности, но схема работает и без них.
Аналогичным образом можно проследить отношения с участием любого другого из рассматриваемых высказываний.
Следует отметить, что все эти рассуждения опираются на характерные черты отношений между высказываниями и не зависят от иллюстрирующей их геометрической фигуры - она лишь помогает представить рассматриваемые отношения наглядно. В связи с этим и учитывая, что эти характерные черты сохраняются при разных п, приведенные рассуждения будут верны и для других п.
Как видим, сами отношения те же, что и иллюстрируемые логическим квадратом - но их количество велико, и схема отношений между высказываниями об п-местных отношениях с большим п содержит так много компонентов, что удобнее рассматривать их по отдельности. Так предлагаемое графическое представление не столько показывает, сколько содержит в «свернутом» виде схемы логических отношений высказываний.
Аналогичным образом строится логический многоугольник для высказываний о четырехместных отношениях и вообще для любого п > 1.
Возможны и внешне отличающиеся представления отношений между высказываниями об п-местных отношениях (п > 1), основанные на тех же теоретических соображениях. Например, можно объединить два выражающих отношения подчинения фрагмента в один (при определенных условиях [СИегкавЫпа, 2019Ь]).
Логический квадрат, иллюстрирующий те же логические отношения, имеющие те же свойства, тоже может быть представлен в предложенной интерпретации (рис. 7). Применяя тот же подход для п = 1, рассмотрим произвольно составленную пару диаграмм, где выбранным является в одном случае общее, в другом - частное высказывание. Для п = 1 их достаточно для обнаружения всех возможных логических отношений.
Фигура ложности противоречащего высказывания указывает на высказывание, контрарное выбранному, а фигура истинности противоречащего - на субконтрарное выбранному; при этом на схеме контрарность и суб-контрарность дополнительно показаны, соответственно, простой и двойной линией (это вопрос внешнего представления). На рис. 7 выбранное высказывание в каждом из двух случаев (слева и посередине) отмечено белым кругом, противоречащее ему - черным. Отношения контрадикторности показаны стрелками с наконечниками с обеих сторон; подчинения - стрелками с одним наконечником и разным типом линий, причем для фигур истинности отмеченных высказываний у этих стрелок двойные линии, для фигур ложности - одинарные.
При соединении рассмотренных двух схем в одну и замене обозначений вершин на традиционные, получается логический квадрат в его классическом виде. Разница состоит в возможности разделить многоугольник на отдельные диаграммы в зависимости от интересующего исследователя в данный момент высказывания. Это требуется для наглядности при больших п, но не для п = 1. При этом и логический многоугольник для высказываний об отношениях, и логический квадрат могут рассматриваться как частные случаи фигуры одного типа - логического многоугольника.
Рис. 7. Применение правил построения логического многоугольника к случаю п =1. Выбраны попеременно высказывания общеотрицательное (ОО, диаграмма слева) и частноотрицательное (ЧО, посередине). При соединении двух схем в одну и замене обозначений вершин на традиционные получается логический квадрат в его классическом виде (справа)
4. Примеры применения логического многоугольника для
О
Е
п = 3
Для иллюстрации некоторых возможностей применения логического многоугольника приведем примеры.
Многоугольник позволяет выявить логические отношения между двумя сопоставимыми высказываниями рассматриваемого вида. Пусть нас интересует вопрос о том, каково отношение между утверждениями двух исследователей в области философии сознания: С. Шумейкера и Т. Виллиамсона.
С. Шумейкер (S. Shoemaker) утверждает, что не может быть невозможным замечать «ментальные состояния, к которым обычные люди имеют
5
доступ в интроспекции»5.
Т. Виллиамсон (T. Williamson) пытается доказать, что условия, с которыми мы имеем дело в повседневной жизни, являются «не-светящимися»6. «Светящимися» ("luminous") он называет условия, которые человек, встречающий их, способен обнаружить; под «условиями» Т. Виллиамсон подразумевает некоторые положения дел, зависящие от возможного мира и субъекта, о котором идет речь, например, условие «субъект ощущает холод»; его «условия» можно рассматривать, по крайней мере в первом приближении, как ментальные состояния.
На первый взгляд кажется, что эти утверждения несовместимы по истинности.
Проанализировав, что понимается под невозможностью и о каких объектах идет речь в каждом случае, мы можем сформулировать эти высказывания как сопоставимые (в данном случае нас интересует в основном логическая форма, поэтому мы не приводим здесь философскую аргументацию для именно такой интерпретации высказываний).
Утверждение С. Шумейкера можно переформулировать как «Для всех существ все ментальные состояния являются (по крайней мере) в некоторых случаях доступными в интроспекции» (обозначим это утверждение «А»). Форма этого высказывания - ООЧ, утвердительное.
Утверждение Т. Виллиамсона можно переформулировать как «Для всех существ все ментальные состояния [в повседневной жизни] являются (по крайней мере) в некоторых случаях недоступными в интроспекции» (обозначим это утверждение «В»). Форма этого высказывания - ООЧ, отрицательное.
5В оригинале на английском. Невозможность действительно упоминается дважды: Self-blindness (the impossibility of noticing "mental facts to which normal people have introspective access") is impossible. Сформулировано нами с использованием цитат из исходного текста. В оригинале несколько длиннее. [Shoemaker, 1996, p. 30, 226].
6 В оригинале на английском. The conditions with which we engage in our everyday life are non-luminous. Roughly, people having a luminous condition would be able to know that they have it. Сформулировано нами с использованием цитат из исходного текста. В оригинале формулировка значительно длиннее. [Williamson, 2002, p. 94-107].
Найдем на схеме отношений подчинения и контрадикторности для п = 3 (рис. 5) соответствующие вершины и построим на ее основе схему, отражающую отношения высказываний А и В с другими высказываниями.
Утвердительные
Отрицательные
ООО ООЧ ( А ОЧО ОЧЧ ЧОО ЧОЧ ЧЧО ЧЧЧ
Рис. 8. Логический многоугольник для п = 3, сопоставление утверждений С. Шу-мейкера и Т. Виллиамсона
Найдем вершины, соответствующие отрицанию каждого из высказываний А и В, и обозначим (рис. 8) их соответственно: —А и —В. Согласно с уже рассмотренными алгоритмами найдем высказывания, контрарные и субконтрарные по отношению к А, проследив линии вверх и вниз от —А (то есть от вершины, обозначающей высказывание, противоречащее высказыванию А, мы проследим линии, соответственно, жирные и двойные, исходящие от вершины —А напрямую или через другие вершины). Аналогично поступим для В. Мы видим, что вершина В не связана с вершиной А линиями, обозначающими контрадикторность или подчинение; вершина В также не входит в показанные жирными и двойными линиями, соответственно, фигуры истинности и ложности для —А, то есть обозначенное вершиной В высказывание не находится с высказыванием, обозначенным вершиной А, также и в отношениях контрарности или субконтрарности. Аналогично в обратную сторону, А для В. Эти два высказывания находятся в отношении независимости: совместимы и по истинности, и по ложности, ни одно из них не следует из другого. Тогда, если наша формализация утверждений названных философов соответствует их действительным взглядам, то правота любого из них не влияет на правоту другого.
Мы рассмотрели один из способов применения логического многоугольника - выявление логических отношений между имеющимися высказываниями. Возможно и применение для иной цели. Так, многоугольник позволяет для имеющегося высказывания найти высказывания, находящиеся с первым в заданном отношении. Так мы находили, например, высказывания, контрарные высказыванию А.
В качестве еще одного примера дадим интерпретацию формам высказываний на схеме на рис. 6. Пусть выбранное высказывание формы ЧОО, утвердительное (отмечено на схеме белым кругом), интерпретируется как: «Существует исследователь, предпочитающий любую книгу любому лакомству». Тогда противоречащее высказывание, имеющее форму ОЧЧ, отрицательное (отмечено черным кругом), означает: «Для всякого исследователя [найдется] некоторая книга, которую он не предпочитает некоторому лакомству». Несовместимы с выбранным по истинности, но совместимы по ложности (контрарны) отрицательные высказывания с количественными характеристиками ООО, ООЧ, ОЧО. То есть «Всякий исследователь не предпочитает ни одну книгу ни одному лакомству» (ООО), «Всякий исследователь не предпочитает ни одну книгу некоторому лакомству» (ООЧ), «Всякий исследователь не предпочитает некоторую книгу ни одному лакомству» (ОЧО). Совместимо с выбранным по истинности, но несовместимо по ложности (субконтрарно) высказывание формы ЧЧЧ, отрицательное: «Существует исследователь, не предпочитающий некоторую книгу некоторому лакомству». (Напомним, что все термины предполагаются непустыми, то есть предполагается, в частности, что какие-то исследователи существуют). Подчиняющим для выбранного высказывания является высказывание формы ООО, утвердительное: «Всякий исследователь предпочитает любую книгу любому лакомству» - если оно истинно, то и выбранное высказывание истинно, но из истинности выбранного не следует истинность подчиняющего. Подчиненными для выбранного являются утвердительные высказывания с количественными характеристиками ЧОЧ, ЧЧО, ЧЧЧ. То есть «Существует исследователь, предпочитающий любую книгу некоторому лакомству» (ЧОЧ), «Существует исследователь, предпочитающий некоторую книгу любому лакомству» (ЧЧО), «Существует исследователь, предпочитающий некоторую книгу некоторому лакомству» (ЧЧЧ). Эти высказывания истинны, если выбранное высказывание истинно, но из истинности подчиненных не следует истинность выбранного. Высказывания остальных возможных форм (ООЧ, ОЧО, ОЧЧ утвердительные; ЧОО, ЧОЧ, ЧЧО отрицательные) независимы от выбранного, то есть совместимы с ним и по истинности, и по ложности, не находясь при этом с ним в отношениях подчинения.
Заключение
Выявлены правила, позволяющие построить и применять конструируемое по аналогии с логическим квадратом графическое представление логических отношений между высказываниями об п-местных отношениях для произвольных п.
Показано, как эти правила позволяют выявлять логические отношения между высказываниями, а также выявлять высказывания, находящиеся в искомом отношении с некоторым заданным высказыванием.
Вопросы о соотношении высказываний, произвольно выбранных из представленных в рамках рассмотренной фигуры, как и вопросы поиска высказываний, находящихся в заданном отношении с выбранным высказыванием, решаются достаточно удобно и быстро благодаря тому, что эти правила представляют собой простые алгоритмы (последовательности действий), которые, в свою очередь, основаны на специфике отношений между высказываниями. Такая специфика, однако, не проявляется столь же явно при использовании других способов решения этих задач для реляционных высказываний, например, при использовании исчисления предикатов. В этом смысле использование логического многоугольника представляется более удобным.
Построены такие графические представления для п = 2 и п = 3. Показано, как они могут строиться для других п. Показано, что логический квадрат может рассматриваться как частный случай графического представления отношений между высказываниями с п-местными предикатами. Это представление вместе с принципами построения и правилами применения можно называть «логическим многоугольником» для выбранного п.
Дальнейшие исследования включают доказательства ряда теорем и рассмотрение логических отношений, не представленных в логическом квадрате, но обнаруживаемых между реляционными высказываниями.
Литература
Бочаров, Маркин, 2010 - Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории.
М.: Прогресс-Традиция, 2010. 336 с. Ивлев, 1988 - Ивлев Ю.В. Курс лекций по логике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. 160 с.
Ивлев, 1976 - Ивлев Ю.В. Логика. РИО Академии МВД. М., 1976. 144 с. Ивлев, 2008 - Ивлев Ю.В. Логика: учеб. 4-е изд., перераб. и доп. М.: ТК Велби:
Проспект, 2008. 304 с. Черкашина, 2021 - Черкашина О.В. Логический многоугольник для высказываний об отношениях: два правила для контрарности и субконтрарно-сти // Двенадцатые Смирновские чтения: Материалы Междунар. науч. конф. (г. Москва, 24-26 июня 2021 г.). М.: Русское общество истории и философии науки, 2021. С. 148-150. Черкашина, 2018а - Черкашина О.В. Логический многоугольник для суждений об отношениях // Логико-философские штудии. 2018. Т. 16. № 1-2 (май-июнь 2018). С. 194-195.
Черкашина, 2019a - Черкашина О.В. Некоторые аспекты построения логических многоугольников для высказываний о двухместных отношениях // Одиннадцатые Смирновские Чтения: Материалы Междунар. науч. конф. (г. Москва, 19-21 июня 2019 г.). М.: Современные тетради, 2019. C. 89-91.
Cherkashina, 2018b - Cherkashina O. Figure of Opposition for Propositions about Relations // Handbook of Abstracts, 6th World Congress on the Square of Opposition. Crete, November 1-5, 2018 / Ed. by J.-Y. Beziau et al. Crete, 2018. P. 68-69.
Cherkashina, 2019b - Cherkashina O. Logical polygon for relations among propositions about relations: Symmetry // Symmetry: Art and Science. 2019. № 1-4. P. 86-89.
Nilsson, 2018 - Nilsson J.F. The Cube for Relational Subject-Predicate Logic // Handbook of Abstracts, 6th World Congress on the Square of Opposition. Crete, November 1-5, 2018 / Ed. by J.-Y. Beziau et al. Crete, 2018. P. 65-67.
Shoemaker, 1996 - Shoemaker S. The First-Person Perspective and Other Essays. Cambridge: Cambridge University Press, 1996. 278 p.
Williamson, 2002 - Williamson T. Knowledge and its Limits. Oxford: Oxford University Press, 2002. 354 p.
Oksana V. Cherkashina
Logical polygon for propositions about relations: rules of constructing and application
Oksana V. Cherkashina
Lomonosov Moscow State University,
27/4 Lomonosovskiy prospect, Moscow, 119991, Russian Federation. E-mail: [email protected]
Abstract: In this work we formulate rules of constructing and application for geometric figures that graphically express and allow to deduce the logical relations (contrariety, sub-contrariety, contradiction, subalternation) among propositions about n-place relations, where n is a natural number greater than 1 (an example of such proposition for n = 2 is "Every lawyer knows some logician"). Such representations are constructed in a way analogous to that of the logical square, but, unlike the square, for propositions about relations, not properties. These rules and the suggested graphical representation are based on theoretic ideas also formulated in this work.
The suggested rules allow to deduce the relations among propositions. Being algorithms, those rules make the logical polygon a more convenient instrument in its field of application than predicate calculus (when used in the same field).
This geometric representation of the relations between propositions, together with the rules of its construction and application, can be called the "Logical polygon" for propositions about relations.
The graphical representation proposed by us is the first and, at the moment, the only successful solution of the problem of constructing figures (analogous to the square of opposition) for expressing the relations among propositions about many-place relations (for n ^ 3), and also of generalization of the obtained results in one figure.
This work, together with other papers by the same author, intends to be useful in a new field of research - constructing and studying analogues of syllogistic theories, but for propositions about relations.
Keywords: Logical polygon, square of opposition, logical square, extensions of the square, propositions about relations, n-place predicate, syllogistic theories, diagrams, geometry in logic, logical geometry
For citation: Cherkashina O.V. "Logicheskii mnogougol'nik dlya relyatsionnykh vyskazy-vanii: pravila postroeniya i primeneniya" [Logical polygon for propositions about relations: rules of constructing and application], Logicheskie Issledovaniya / Logical Investigations, 2024, Vol. 30, No. 1, pp. 41-61. DOI: 10.21146/2074-1472-2024-30-1-41-61 (In Russian)
References
Bocharov, Markin, 2010 - Bocharov, V.A., Markin, V.I. Sillogisticheskie teorii [Syllogistic theories]. Moscow: Progress-Traditsiya, 2010. 336pp. (In Russian) Cherkashina, 2018a - Cherkashina, O.V. "Logicheskii mnogougol'nik dlya suzhdenii ob otnosheniyakh" [Logical polygon for propositions about relations], Logiko-filosofskie shtudii [Logico-philosophical studies], 2018, Vol. 16, № 1-2 (May-June 2018), pp. 194-195. (In Russian) Cherkashina, 2018b - Cherkashina, O. "Figure of opposition for propositions about relations", in: Handbook of Abstracts, 6th World Congress on the Square of Opposition, ed. by J.-Y. Beziau et al. Orthodox Academy of Crete. Crete, 2018, November 1-5, pp. 68-69. Cherkashina, 2019a - Cherkashina, O.V. Nekotorye aspekty postroeniya logicheskikh mnogougol'nikov dlya vyskazyvanii o dvukhmestnykh otnosheniyakh [Some aspects of constructing figures of opposition for propositions about two-place relations]. Proceedings of the 11th Smirnov readings on logic (Moscow, 19-21 June 2019). Moscow: Sovremennye tetradi Publ., 2019, pp. 89-91. (In Russian) Cherkashina, 2019b - Cherkashina, O. "Logical polygon for relations among propositions about relations: Symmetry", Symmetry: Art and Science, 2019, № 1-4, pp. 86-89.
Cherkashina, 2021 - Cherkashina, O.V. Logicheskii mnogougol'nik dlya vyskazyvanii ob otnosheniyakh: dva pravila dlya kontrarnosti i subkontrarnosti [Logical polygon for propositions about relations: Two rules for contrariety and subcontrariety]. Proceedings of the 12th Smirnov readings on logic (Moscow, 24-26 June 2021). Moscow: "Russkoye obshestvo istorii i filosofii nauki" Publ., 2021, pp. 148-150. (In Russian)
Ivlev, 1988 - Ivlev, Yu.V. Kurs lektsii po logike [Course of lectures in Logic]. Moscow
University publishing. Moscow, 1988. 160 pp. (In Russian) Ivlev, 1976 - Ivlev, Yu.V. Logika [Logic]. Editorial and publishing department of the
Ministry of Internal Affairs Academy. Moscow, 1976. 144 pp. (In Russian) Ivlev, 2008 - Ivlev, Yu.V. Logika [Logic]. Moscow: TK Velbi, Prospect Publ., 2008.
(4th ed. with corrections). 304 pp. (In Russian) Nilsson, 2018 - Nilsson, J.F. "The cube for relational subject-predicate logic", in: Handbook of Abstracts, 6th World Congress on the Square of Opposition, ed. by J.-Y. Beziau et al. Orthodox Academy of Crete. Crete, 2018, November 1-5, pp. 65-67.
Shoemaker, 1996 - Shoemaker, S. The First-Person Perspective and Other Essays.
Cambridge: Cambridge University Press, 1996. 278 p. Williamson, 2002 - Williamson, T. Knowledge and its Limits. Oxford: Oxford University Press, 2002. 354 p.
