CC BY
167
_UPBRINGING AND TRAINING QUESTIONS_
УДК 372.851
Дулатова Зайнеп Асаналиевна
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики обучения математике, Иркутский государственный университет, [email protected], Иркутск
Лапшина Елена Сергеевна
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики обучения математике, Иркутский государственный университет, [email protected], Иркутск
ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ
Аннотация. Формирование логических универсальных учебных действий есть одна из важнейших задач образования. Статья посвящена логическим задачам как эффективному средству развития логического мышления, формирования логических универсальных учебных действий. Выделяются основные принципы обучения решению логических задач. В частности, обучение методам решения логических задач не должно быть лишь обучением алгоритму. Это должно быть в первую очередь обучение логическим принципам, логической грамотности, умению излагать свои мысли, анализировать, представлять информацию. В качестве примера в статье рассмотрен традиционный табличный метод решения логических задач. Предложен метод генерации новых логических задач.
Ключевые слова: универсальные учебные действия, логическое мышление, школьное математическое образование.
Научная экспозиция. Анализ стандартов начального, основного и среднего (полного) общего образования показывает, что особое внимание в них уделяется развитию познавательных универсальных учебных действий (УУД), среди которых в особую группу выделены логические УУД. Через логические УУД конкретизуется традиционное требование к общему образованию -развитие логического мышления [9]. Так как математика и информатика считаются базовыми дисциплинами, направленными на развитие логического мышления обучающихся, то в требования к результатам изучения этих дисциплин в явном виде включены требования к развитию не только познавательных УУД вообще, но и в том числе отдельных логических УУД [5; 8]. Например, развитие такого логического УУД, как «Умение устанавливать причинно-следственные связи, осваивать методы рассуждений, основанные на построении умозаключений разных видов», включено в требования к обучению математике и информатике. От ступени к ступени, от класса к классу возрастает лишь степень сложности используемых общелогических и формально-логических УУД (действий с понятиями, суждениями и умозаключениями), используемых математических средств построения моделей (тек-
стовых, символьных, графических, табличных) для условия заданий, для описания процесса рассуждений при его выполнении и представления результатов.
В профессиональном стандарте учителя математики и информатики подчеркивается, что учителя математики и информатики должны обладать на высоком уровне профессиональными компетенциями, позволяющими им реализовывать направленность обучения математике и информатике на развитие логического мышления обучающихся, на освоение основ математического моделирования объектов и процессов [6].
Настоящая работа продолжает цикл наших статей, посвященных вопросам развития логического мышления обучающихся школ и вузов средствами математики (см., к примеру, [2; 3]). В них мы обращали особое внимание на следующие две проблемы. Первая проблема - однообразие логических конструкций в теоретическом и задач-ном материале школьных учебных пособий по математике. Подавляющее большинство задач носит вычислительный характер. Не хватает задач, формулировки которых содержат логические союзы (и, или, следовательно, равносильно, ...), кванторные слова (все, некоторые, хотя бы одно, ни для одного, ...). Не хватает задач, в которых требуется
доказать или опровергнуть общие и частные суждения; построить, доказать или опровергнуть логическое следование; доказать равносильность суждений. Таким образом, учитель лишен необходимых дидактических материалов для формирования логических познавательных универсальных учебных действий обучающихся. Отсюда с необходимостью приходим ко второй проблеме. Это отсутствие полноценного интеллектуально -го взаимодействия учителя и обучающегося, важность которого неоднократно подчеркивалась отечественными и зарубежными исследователями [10; 11]. Решение задач почти исключительно технического характера обедняет общение «учитель - ученик». Обсуждение логической правильности рассуждений из решения задачи нередко подменяется синтаксической правильностью оформления решения в соответствии с принятыми стандартами.
Постановка задачи и цель статьи. В этой работе мы обратимся от математических задач к задачам чисто логического характера. Под логической задачей далее мы будем понимать задачу, решение которой требует в первую очередь разбора ее логической структуры, не опираясь существенно на положения конкретных предметных теорий. (Естественно, такое определение является довольно условным.) Эти задачи имеют то преимущество, что их можно активно использовать в процессе обучения школьников и студентов, не имеющих специализированной математической подготовки.
Таким образом, возникает вопрос: как организовать решение логической задачи так, чтобы в процессе его реализации в явном виде актуализировались и артикулировались общелогические и формально-логические операции, правила и действия?
Итак, мы приходим к цели нашей статьи - описать процесс обучения решению логических задач, который был бы более эффективным для развития логических УУД обучающихся, особое внимание при этом уделив возможным сценариям взаимодействия учителя и обучающегося.
Анализ существующих методологических подходов к решению данной задачи. Развитию логического мышления посредством решения логических задач посвящено достаточно много исследований [1; 4; 7; 8
и др.]. В ряде работ рассматриваются методы решения логических задач. При этом нередко выделяется табличный метод, метод графов, метод диаграмм, ряд других методов (типизация которых основана на способах представления условия) и метод логических рассуждений, про который замечается, что он применяется к наиболее простым задачам. Подобный взгляд нам кажется принципиально ошибочным. Все упомянутые «методы» являются способами реализации метода логических рассуждений, в связи с чем выделение последнего в отдельный класс нам представляется неверным. Кроме того, задачи, не решаемые табличным, графическим и иными способами, являются неалгоритмическими. Среди них есть как действительно простые, так и задачи высокого уровня сложности [1]. Работа с неалгоритмическими логическими задачами представляет большой интерес в обучении и заслуживает отдельного исследования.
Исследование и его результаты. Сначала нам бы хотелось рассмотреть применение популярного табличного метода к решению логических задач и предложить основанный на нем метод генерации новых логических задач. Табличный метод нас заинтересовал своей распространенностью и удобством. При его применении процесс решения задачи сопровождается визуальным моделированием условия, решения и результата, что способствует овладению методами обработки информации. Но одновременно с этим в применении табличного метода проявляются уже обозначенные выше проблемы обучения.
Таблица, сопровожденная подробным описанием обозначений для простых высказываний и формул алгебры высказываний для моделей сложных высказываний, используемых в условиях задачи, наглядно отображает и условие задачи, и выводы из рассуждений, проводимых в процессе ее решения. Однако если ограничиться только указанными компонентами использования таблиц, не представляя и не фиксируя в текстовой форме процесс рассуждения, который проводится при заполнении таблицы, обучающиеся привыкают в качестве решения задачи приводить итоговую таблицу без каких-либо комментариев к ее заполнению. Тем самым, и у обучающихся, и нередко у учителей возникает ошибочное мнение,
что ответ является не только результатом, но и самим решением логической задачи. При таком подходе к обучению табличному методу решения логических задач, у обучающихся не формируются умения проведения строгих рассуждений, основанных на осознанном применении законов логики. Это препятствует как овладению ими собственно табличным методом, так и овладению более сложными логическими конструкциями. Одним из подходов к развитию логических универсальных учебных действий является такая организация процесса решения логических задач, при которой проговаривается весь процесс рассуждения, а фиксируется в текстовой или символьной форме либо весь процесс решения, либо его ключевые моменты. Также для понимания обучающимися универсальности законов логики необходимо решение нескольких задач, имеющих одинаковую логическую структуру, но относящихся по содержащимся в них понятиям к различным доступным обучающимся областям сферы культуры, быта и производства. При этом желательно, чтобы логические операции в условиях задач выражались различными словами или словосочетаниями.
Отметим, что мотивация обучающихся к развернутому описанию процесса решения и его результата (ответа задачи) тормозится тем фактом, что многие задачи имеют единственное решение и/или однозначный (без разветвлений) путь логических рассуждений, и обучающиеся не видят смысла в детализации рассуждения, а тем более в его письменном представлении. В то же время задачи с неоднозначным ответом, с ответом «ситуация невозможна, решений нет» наглядно требуют обоснования либо вариативности ответа, либо его отсутствия. Поэтому такие задачи и необходимы для формирования логической грамотности.
Рассмотрим несколько вариантов решения одной из логических задач.
Пример 1. В секретной лаборатории на должностях заведующего, программиста и инженера работают сотрудники Х, Y и 2. Разведчику достоверно известно следующее: 1) если 2 - программист, то Y - инженер; 2) если 2 - инженер, то Y - заведующий; 3) если Y - не программист, то X - не программист; 4) если X - заведующий, то 2
- инженер. Выясните, кто есть кто.
Первое решение. Ни одно из четырех условий не приводит нас к однозначному определению должности хотя бы одного из трех сотрудников. Таким образом, мы имеем дело как раз с задачей, решение которой разветвляется, требует анализа нескольких случаев. Попытаемся решать эту задачу «в лоб». Начнем с первого условия. Дальнейшие выводы зависят от того, является ли 2 программистом. Поэтому рассмотрим два случая.
Пусть 2 - программист. Тогда Y - инженер, а значит, X - заведующий. Если X - заведующий, то 2 должен быть инженером, а не программистом. Противоречие с предположением.
Пусть 2 - не программист. Тогда 2 - инженер или заведующий. Если 2 - инженер, то Y - заведующий (по второму условию), а X - программист. Снова проверяем условия и получаем противоречие условию 3. Если 2 - заведующий, то один из X и Y - программист. Если X - программист, то Y - не программист, и по условию 3 X должен быть программистом. Значит, Y - программист, X - инженер.
Ответ. X - инженер, Y - программист, 2 - заведующий.
В представлении решения задачи естественно можно использовать таблицы. Но заметим, что в данном случае нам надо строить не одну, а три таблицы для иллюстрации рассуждений в каждом случае, и заполнение каждой из них требует пояснений.
Отметим, что в первом решении мы не искали «легких путей». Мы последовательно перебирали каждое условие и случаи, которые возникали в связи с рассмотрением этих условий. Более лаконичное решение можно было получить, если начинать анализ с тех условий, которые приводят к наименьшему разветвлению случаев. Например, если начать с рассмотрения условия 3, решение может быть следующим.
Второе решение. Пусть Y - не программист. Тогда из третьего условия следует, что и X - не программист. В этом случае программистом может быть только 2. Отсюда из условия 1 получаем, что Y - инженер. Для X остается последняя должность - заведующего. Но из четвертого условия тогда 2 будет инженером. Получили противоречие: Y и 2 -оба инженеры. Этот вариант невозможен.
Значит, Y - программист. Поскольку Y -не заведующий, то Ъ - не инженер. Таким образом, Ъ - не программист и не инженер, то есть заведующий, а X тогда работает инженером. Приходим к тому же ответу.
В рассмотрении второго случая использовалась равносильность условия «Из А следует В» и обратно-противоположного условия «Из не В следует не А». Это так же позволило сделать рассуждения более сжатыми.
В учебно-методической литературе учитель, как правило, встречается с лаконичными красивыми решениями задач, что вызвано естественным стремлением авторов представить наиболее оптимальные решения. Однако это часто приводит к тому, что учителю информатики (математики) не ясно, как получить такое решение. Почему нужно начать с анализа такого-то случая, а не другого. С теми же проблемами сталкиваются и обучающиеся. Кроме того, если обучающийся (учитель) редко решает неалгоритмические задачи, он не имеет ни опыта эвристического поиска решения, ни опыта довольно трудоемкого обоснования полученного решения.
Подчеркнем, что в основе учебной деятельности, связанной с решением логических задач, лежат в первую очередь не технические приемы, а понимание необходимости полного логического обоснования, владение общелогическими и формально-
Анализ истинностных значений высказываний, описывающих распределение должностей между сотрудниками лаборатории, показал, что условию одновременной истинности всех высказываний удовлетворяет только случай 2. Отсюда, приходим к ответу задачи: X - инженер, Y - программист, Ъ - заведующий.
В оформлении решения мы сознательно не использовали специальную символику
логическими действиями. Тем не менее мы считаем полезным рассматривать специальные подходы к решению нестандартных задач, которые, с одной стороны, дают некоторую ориентировочную основу деятельности, а с другой - позволяют расширить логическую культуру обучающихся, освоить непривычные конструкции. После такого укрепления «технической базы» и обучающийся, и учитель готовы к тому, чтобы искать лаконичные и красивые решения логических задач.
Третье решение. К этому способу решения мы приходим, если обучающиеся начинают просто подбирать возможный ответ, но затрудняются обосновать его единственность (а он может быть и не единственным). Тогда хаотичный перебор вариантов обучающимися позволяет учителю предложить рассмотреть все возможные случаи. Перечислять их удобнее всего в виде таблицы (табл. 1). Каждой строке соответствует один случай. Например, первая строка - это случай, когда X - инженер, Y - заведующий, Ъ - программист. Рядом поместим столбцы, в которых мы будем помечать истинностное значение условий задачи. Эти условия предварительно удобно закодировать на символьном языке, используя вполне очевидные обозначения (например, Хп будет означать, что «X - программист», Хне п - «X - не программист»). И заполним таблицу («1» - высказывание истинно, «0» - ложно).
алгебры высказываний. Для обучающихся 5-7 классов излишняя формализация препятствует пониманию задачи. Заметим также, что полное заполнение таблицы не требуется. Если в данном случае хотя бы одно условие стало ложным, его дальнейшее рассмотрение можно не проводить. Представленный подход к решению задачи, в отличие от предыдущих решений, более алгоритми-чен. Его могут реализовать и те обучающие-
Таблица 1
Номер случая X У Ъ Ъп^Уи Ъи^Уз Уне п^Кне п Xз^Ъи
случай 1 и з п 0 1 1 1
случай 2 и п з 1 1 1 1
случай 3 з и п 1 1 1 0
случай 4 з п и 1 0 1 1
случай 5 п и з 1 1 0 1
случай 6 п з и 1 1 0 1
ся, для которых первый способ рассуждения труден, нестандартен.
На основе предложенного метода решения задач можно построить метод генерации задач на установление соответствия. Потребность в создании таких задач обусловлена тем, что многие задачи такого типа «затерты», они кочуют из учебника в учебник.
Покажем на примере варьирования условий рассмотренной задачи процесс построения новых задач. Каждая задача опре-
деляется своей математической моделью. Математическую модель задачи из примера 1 мы можем видоизменить, поменяв исходные условия. Например, условия 1-3 оставим без изменений, а четвертое условие заменим так, чтобы ответ получался в случае 3, а не в случае 2. Это ограничение можно получить так: «неверно, что X - инженер, а Ъ - заведующий».
А теперь рассмотрим такой вариант. Пусть последнее ограничение будет «Ъ - не инженер» (табл. 2).
Таблица 2
Номер случая X Y Z ZÏÏ^YH Zи^Yз YHe п^Хне п ZHe и
случай 1 и з п 0 1 1 1
случай 2 и п з 1 1 1 1
случай 3 з и п 1 1 1 1
случай 4 з п и 1 0 1 0
случай 5 п и з 1 1 0 1
случай 6 п з и 1 1 0 0
Тогда в условие можно вставить: «Разведчику удалось раздобыть следующие сведения. При этом ему достоверно известно, что ровно два из них ложны». Эти изменения приводят к двум возможным ответам (случай 4 и случай 6). О пользе работы с задачами, имеющими несколько ответов, мы уже говорили выше.
Кроме того, мы можем наложить на эту математическую модель другой сюжет, например, фантастический. И наша задача станет почти совсем другой, хотя и с очень похожей математической моделью [7].
Пример 2. На планете N живут племена мерзяков, тупонцев и дикоедов. Каждое племя имеет одну из моноокрасок: черную, серую или бесцветную. Четверо исследователей сделали заявления: 1) если дико-еды - черные, то тупонцы - серые; 2) если дикоеды - серые, то тупонцы - бесцветные; 3) если тупонцы - не черные, то и мерзя-ки - не черные; 4) тупонцы не бесцветные. Опытный космопутешественник Йон Тихий точно знает, что двое из ученых ошибаются. Как окрашено каждое племя?
Отдельное внимание хотелось бы уделить распространенным сюжетным задачам, героями которых являются всегда говорящие правду рыцари и всегда лгущие лжецы. Кро-
ме классических сюжетных героев в этих задачах могут встречаться так же хитрецы, то есть обычные люди, которые иногда лгут, иногда говорят правду.
Пример 3 [1]. Из трех человек, А, В и С, один - рыцарь, другой - лжец, а третий - хитрец. А сказал: «Я хитрец». В сказал: «А и С иногда говорят правду». С сказал: «В - хитрец». Кто из них кто?
Первое решение. Проанализируем каждое из высказываний. Первое высказывание не мог сделать рыцарь, значит, А - не рыцарь. Второе высказывание будет правдой, только если среди А и С нет лжеца. Но тогда лжецом будет В, а это противоречит тому, что он сказал правду. Таким образом, второе высказывание обязано быть ложным, и В -не рыцарь. Следовательно, рыцарем может быть только С. Таким образом, В - хитрец (рыцарь сказал правду), а А - лжец.
Ответ. А - лжец, В - хитрец, С - рыцарь.
Как уже говорилось, к решению можно было прийти и другим путем. Рассмотрим решение этой задачи табличным методом, который позволяет выписать все возможные случаи распределения ролей между героями сюжета.
Второе решение. Построим таблицу, перечисляющую все случаи распределения ролей (табл. 3).
Таблица 3
Номер случая А В С Высказывание А Высказывание В Высказывание С
случай 1 л р х 0 0 0
случай 2 л х р 0 0 1
случай 3 р л х 0 1 0
случай 4 р х л 0 0 1
случай 5 х л р 1 1 0
случай 6 х р л 1 0 0
Опишем, к примеру, заполнение первой строки. Если А - лжец, то фраза «Я хитрец» в его исполнении будет ложной, и значение высказывания А будет ложным. В лжет, так как А, будучи лжецом, никогда не говорит правды. С лжет, так как В по предположению рыцарь, а не хитрец. Аналогично заполняем все остальные строки таблицы.
Проанализируем результат заполнения строк таблицы, соотнеся предполагаемые роли героев сюжета и соответствие этим ролям истинностных значений их высказываний. В первом случае А - лжец, значит, он и должен лгать, что согласуется с истинностным значением первого высказывания. Рыцарь В должен говорить правду, а он лжет. Получили противоречие между предполагаемой нами ролью В и его истинным «лицом». Значит, случай 1 невозможен. Таким же образом, анализируя остальные случаи, приходим к единственному ответу: А - лжец, В - хитрец, С - рыцарь (случай 2).
Меняя в таблице, построенной для решения задачи о рыцарях, лжецах и хитрецах значения высказываний, произнесенных героями сюжета, можно для каждого распределения этих значений подобрать соответствующие высказывания для героев и получить различные задачи, как имеющие ответы на поставленный вопрос об определении «Кто есть кто», возможно даже не единственные, так и не имеющие ответов вовсе.
Кроме того, полезно в создаваемых задачах формулировать требования в разных формах. Например, вопрос в задаче может звучать так: «Может ли А быть рыцарем?»; «Докажите, что В не может быть хитрецом»; «Докажите, что не могут одновременно выполняться два условия - А быть рыцарем, а В быть лжецом» и так далее.
Рассмотренные задачи широко распространены в олимпиадной математике. Они обладают занимательным сюжетом с чертами парадоксальности, привлекательной для школьников. Математическая модель в этих задачах может быть как довольно простой, так и очень сложной. В школьных учебных пособиях задачи о рыцарях и лжецах почти не встречаются, хотя они могли бы как обогатить задачный материал и повысить мотивацию к изучению математики и информатики, так и содействовать развитию всего спектра логических УУД. Эти задачи также развивают комбинаторное мышление, умение выдвигать и подтверждать или опровергать гипотезы и т. д. Так как практически все логические задачи не являются алгоритмическими (в классическом понимании ал-горитмичности), то их решение развивает эвристические и исследовательские умения. Реализуя требования формирования и развития у обучающихся проектных и исследовательских умений, можно разрабатывать с ними проекты, содержащие исследование вариаций на тему какой-либо данной задачи или результат самостоятельной разработки наборов или серий задач, удовлетворяющих определенным требованиям.
Для достижения указанных образовательных результатов необходимо при обучении решению логических задач основное внимание уделять освоению логических законов и методов. Для этого нужно полноценное обсуждение решений задач с обучающимися, обсуждение различных способов рассуждений, логических ошибок. В обучении школьников желательно использовать логические задачи разнообразных типов, не акцентируя внимание на технических приемах, добиваясь формирования навыков поиска и объяснения решения.
Библиографический список
1. Горбачев Н. В. Сборник олимпиадных задач по математике. - М.: МЦНМО, 2004. - 560 с.
2. Дулатова З. А., Лапшина Е. С. Развитие культуры трансляции способов познавательной деятельности у студентов педагогических вузов в процессе изучения методов индуктивных рассуждений // Сибирский педагогический журнал. - 2008. - № 10. - С. 41-55.
3. Дулатова З. А., Лапшина Е. С. О развитии логического мышления учащихся средствами математики // Сибирский педагогический журнал. -2016. - № 3. - С. 7-12.
4. Кузьмин О. В. Логические задачи: учебное пособие. - Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1999. -204 с.
5. Мартишина Н. И. Логическая компетентность как основа науки и профессионального образования // Высшее образование в России. -2011. - № 5. - С. 129-134.
6. Профессиональный стандарт «Педагог (педагогическая деятельность в сфере дошкольного, начального общего, основного общего, среднего общего образования) (воспитатель,
учитель)» [Электронный ресурс]. - URL: https:// rg.ru/2013/12/18/pedagog-dok.html (дата обращения: 20.03.2017).
7. Раскина И. В., Шноль Д. Э. Логические задачи. - М.: МНЦМО, 2014. - 120 с.
8. Фазилова Ш. Н. К. Решение математических задач как способ развития логического мышления учеников начальных классов // МНКО. -2015. - № 3 (52). - С. 178-181.
9. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования [Электронный ресурс]. - URL: http:// www.edu.ru/db/portal/obschee/ (дата обращения: 20.03.2017).
10. Christy H. Vaughn. Middle School Mathematics Students' Perspectives on the Study of Mathematics. Dissertation. 2012. ProQuest Dissertations and Theses database. (UMI No. 3494607)
11. Young G. The Journey to Becoming Constructivist, Presidential Award for Excellence in Mathematics and Science Teaching, Secondary Mathematics Teacher. 2014. ProQuest Dissertations and Theses database. (UMI No. 3668811)
Поступила в редакцию 08.04.2017
Dulatova Zainep Asanalievna
Cand. Sci. (Physical and mathematical), Chair of the Department of mathematics and method of teaching mathematics of Irkutsk State University, [email protected], Irkutsk
Lapshina Elena Sergeevna
Cand. Sci. (Physical and mathematical), Assoc. Prof. of the Department of mathematics and method of teaching mathematics of Irkutsk State University, [email protected], Irkutsk
LOGICAL PROBLEMS AS MEANS OF DEVELOPMENT OF COGNITIVE UNIVERSAL LEARNING ACTIVITIES
Abstract. Forming of logical universal learning activities is one of major tasks of education. The article is devoted to the logical problems as effective means of development of the logical thinking, forming of logical universal learning activities. Basic principles of educating for the decision of logical problems are distinguished. In particular, educating to the methods of decision of logical problems must not be only educating to the algorithm. It must be first of all educating to logical principles, logical literacy, to ability to expound the ideas, to analyze, present information. As an example the traditional tabular method of decision of logical problems is considered in the article. The method of generation of new logical problems is offered.
Keywords: universal learning activities, logical thinking, mathematical education school.
References
1. Gorbachev, N. V., 2004. The collection of olympiad problems in mathematics. Moscow: MCCME Publ., 560 p. (In Russ.)
2. Dulatova, Z. A., Lapshina, E. S., 2008. The development of translation culture of cognitive activity methods for students of teacher training universities
in the process of study of the methods of inductive reasonings. Siberian Pedagogical Journal, 10, pp. 41-55. (In Russ., abstract in Eng.)
3. Dulatova, Z. A., Lapshina, E. S., 2016. About the development of logical thinking of students means of mathematics. Siberian Pedagogical Jour-
nal, 3, pp. 7-12. (In Russ., abstract in Eng.)
4. Kuz'min, O. V., 1999. Logical problems: shoolbook. Irkutsk: Irkutsk University Publ., 204 p. (In Russ.)
5. Martishina, N. I., 2011. Logical competence as the basis of science and vocational education. Higher Education in Russia, 5, pp. 129-134. (In Russ., abstract in Eng.)
6. Professional standard «Teacher (pedagogical activity in the field of preschool, primary general, basic general, secondary general education) (educator, teacher)». Available at: https://rg.ru/2013/12/18/ped-agog-dok.html (accessed 20 March 2017) (In Russ.)
7. Raskina, I. V., SHnol', D. Je., 2014. Logical problems. Moscow: MCCME Publ., 120 p. (In Russ.)
8. Fazilova, Sh. N. K., 2015. Solving mathemat-
ical problems as a way of development of thought in primary school. RMNKO, 3 (52), pp.178-181. (In Russ., abstract in Eng.)
9. Federal state educational standard of secondary (complete) general education. Available at: http:// www.edu.ru/db/portal/obschee/ (accessed 20 March 2017) (In Russ.)
10. Christy, H., 2012. Vaughn Middle School Mathematics Students' Perspectives on the Study of Mathematics. Dissertation. ProQuest Dissertations and Theses database. (UMI No. 3494607)
11. Young, G., 2014. The Journey to Becoming Constructivist, Presidential Award for Excellence in Mathematics and Science Teaching, Secondary Mathematics Teacher. ProQuest Dissertations and Theses database. (UMI No. 3668811)
Submitted 08.04.2017
